Cuc_tri_ham_nhieu_bien.doc

Cuc_tri_ham_nhieu_bien

I. Cực trị hàm nhiều biến:1. Định nghĩa:  Cực trị địa phương: Cho f(x,y) xác định trên D là tập mở chứa ( )0 0 0,M x y. Ta nói:( )0 0 0,M x y là điểm cực tiểu địa phương của f nếu ( )0 0 0,M x ylà điểm thấp nhất của f trong một lân cận nào đó của 0M, nghĩa là ( ) ( ) ( )0 0M 0 0 V : , , , ,Mf x y f x y M x y V∃ ≥ ∀ ∈( )0 0 0,M x y là điểm cực đại địa phương của f nếu ( )0 0 0,M x ylà điểm cao nhất của f trong một lân cận nào đó của 0M, nghĩa là ( ) ( ) ( )0 0M 0 0 V : , , , ,Mf x y f x y M x y V∃ ≤ ∀ ∈2. Cực trị toàn cục (Giá trị lớn nhất –Giá trị nhỏ nhất): ( )0 0 0,M x y là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D nếu ( )0 0 0,M x y là điểm thấp nhất của f trên D, nghĩa là :( )( )( )0 0, , , ,f x y f x y M x y D≥ ∀ ∈( )0 0 0,M x y là điểm cực đại toàn cục của f trên D nếu ( )0 0 0,M x y là điểm cao nhất của f trên D, nghĩa là : ( )( )( )0 0, , , ,f x y f x y M x y D≤ ∀ ∈2. Điều kiện cần: Nếu f có các đạo hàm riêng tại ( )0 0 0,M x y và f đạt cực trị địa phương tại ( )0 0 0,M x y thì ( ) ( )( ) ( )0 0 00 0 0, 0(*), 0f fM x yx xf fM x yy y∂ ∂= =∂ ∂∂ ∂= =∂ ∂ Các điểm ( )0 0 0,M x y thỏa hệ phương trình (*) được gọi là điểm dừng của f.3.Điều kiện đủ : 1. Dạng toàn phương:  Biểu thức 2 21 2yxax b xy b cy+ + + được gọi là một dạng toàn phương của x,y . Biểu thức 2 2 21 2 1 2 1 2yxax b xy b c xz c zx d yz d zy ey fz+ + + + + + + +được gọi là một dạng toàn phương của x,y,z Định nghĩa tổng quát cho n biến: Một dạng toàn phương n biến là biểu thức có dạng ij, 1ni ji jA a h h==∑  Với dạng toàn phương ij, 1ni ji jA a h h==∑, ta có ma trận ( )ijn nH a×= được gọi là ma trận của dạng toàn phương và 11 11kkk kka aHa a=LM ML được gọi là nhân tử cấp k của dạng toàn phương.Dạng toàn phương ij, 1ni ji jA a h h==∑ được gọi là xác định dương nếu ij i, 10, , 0, 1,ni j jjkiA a h h h H k nh== > ∀∀ =⇔ >∑ Dạng toàn phương ij, 1ni ji jA a h h==∑ được gọi là xác định âm nếu ( )ij i, 11 0, 10 ,, ,ni j ji jkkA a h h h k nh H== < − > ∀ =∀ ⇔∑ Dạng toàn phương xác định âm hay xác định dương được gọi là xác định dấu. Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong lân cận của 0M thì vi phân cấp 2 của f là một dạng toàn phương theo 1, .ndx dx.2. Định lý : Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận của 0Mkhi đó  Nếu ( )220, 1ni ji ji ifd f M dx dxx x=∂=∂ ∂∑ là dạng toàn phương xác định dương thì ( )0 0 0,M x y là điểm cực tiểu địa phương của f. Điều này tương đương với :12000nHHH>>>MTất cả Hk đều dương >>>>cực tiểu địa phương Nếu ( )220, 1ni ji ji ifd f M dx dxx x=∂=∂ ∂∑là dạng toàn phương xác định âm thì 0M là điểm cực đại địa phương của f. Điều này tương đương với ( )1200 1 0kkHH H<> ⇔ − >M4.Các ví dụ:1.³ 3 ² -15 -12f x xy x y= + Đạo hàm riêng : 3x²+3y²-15, 6xy-12 Điểm dừng : {[x=-1,y=-2],[x=1,y=2],[x=-2,y=-1],[x=2,y=1]}Ma trận Hess 6 66 6x yHy x =   Tại (2,1)?Tại (-2,-1)?Giá trị hàm số là {-28,-26,26,28}2.2 41f x y= + +Điểm dừng M0(0,0) . Ma trận Hesse:2 00 12y²   Tại M0 thì 2??0 ??H= ⇒3.3 2 22 2 3 1f x xy y xz z y= + + − + + −, Điểm dừng:( )11, 2,1/ 2M− , 21 5 1, ,2 4 4M− − −   Ma trận Hess : 6x 1 -21 2 0-2 0 4H  =   4. ( )221 2x y− − Điểm dừng {[x=1,y=0]}, ma trận Hess 212 0, 2 0;0 48 0H H H = = > = −−< ????? Tính vi phân cấp 2: 2 2 2(1,0) 2 4d f dx dy= −22003dx dydx dy dd ff= ⇒= >⇒<(điểm yên ngựa) II. Cực trị có điều kiện:Định nghĩa: Cực trị của hàm ( )1 2, , ,nf x x x với ràng buộc ( )1 2, , .nx x x bϕ=được gọi là cực trị có điều kiện ( )1 2, , .nx x x bϕ= của f.1. Phương pháp: Xét hàm Lagrange ( ) ( ) ( )1 2 1 1, , , , , , .n n nL x x x f x x b x xλλ ϕ= + −  Ta có: λ được gọi là nhân tử Lagrange.