Tìm trọng tâm bán cầu đặc đồng chất như hình trên

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM TRỌNG TÂM VÀ MOMEN QUÁN TÍNH TRONG ĐỀ THI HSG QUỐC GIA CÁC NĂM 1/ Tìm trọng tâm bán cầu đặc đồng chất hình (2003) Sử dụng tọa độ cầu Do tính đối xứng nên trọng tâm bán cầu nằm trục z: zG = = 1 r cos θ dV = r cosθ r sin θ drdθ dϕ ∫∫∫ ∫∫∫ V V V V 2π π R 3 d ϕ sin θ cos θ d θ r dr = R ∫0 ∫0 ∫0 πR Bài – HSG QG 2011: Cho vật mỏng đều, đồng chất, uốn theo dạng lòng máng thành phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có trục ∆, bán kính R gắn với điểm O cứng, mảnh, nhẹ Vật quay không ma sát quanh trục cố định (trùng với trục ∆) qua điểm O Trên hình vẽ, OA OB cứng độ dài R, OAB nằm mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm G vật 1, C giao điểm OG lòng máng Tìm vị trí khối tâm G vật Lời giải : Chọn hệ trục Decartes hình vẽ (Oy trục đối xứng cung AB) Do tính đối xứng, ta thấy khối tâm G nằm trục Oy Sử dụng hệ tọa độ cực khối lượng phân bố theo chiều dài nên: 3π yG = ∫ º AB ∫ RsinφRdφ R sin ϕ dl ∫º dl AB π = ×2πR Bài – HSG QG 2004 ω2 ω1 = 2R π Hai đĩa tròn đồng chất giống chuyển động mặt phẳng nằm ngang nhẵn, theo đường thẳng nối tâm đĩa, đến gặp Các đĩa quay chiều quanh trục thẳng đứng qua tâm chúng với tốc độ góc tương ứng ω1 ω2 Tác dụng lực ma sát đĩa mặt bàn không đáng kể, tác dụng lực ma sát xuất điểm tiếp xúc hai đĩa với đáng kể Biết đĩa có khối lượng m, có dạng trụ tròn thẳng đứng, hai đáy phẳng, bán kính R; phần tâm đĩa có khoét lỗ thủng hình trụ tròn đồng tâm với vành đĩa, bán kính R/2 Tính mômen quán tính trục quay nói đĩa Lời giải : Mô men: I = R m ∫r ( π(R − r ) )2πr1 dr1 ; r = R/2, I = m (R + r ) = 5mR Bài - HSG QG 2006 C D MÆt bµn O m TÊm gç R Một vật hình cầu bán kính R đứng yên gỗ mỏng CD Mật độ khối lượng vật phụ thuộc vào khoảng cách 3m  r  ρ= + ÷, m  7π R  R  r đến tâm theo quy luật: số dương Tấm gỗ kéo mặt bàn nằm ngang theo chiều DC với gia tốc không đổi a (xem hình vẽ) Kết vật lăn không trượt phía D đoạn l rơi xuống mặt bàn Hệ số ma sát trượt vật mặt bàn k, gia tốc trọng trường g Tính khối lượng mô men quán tính vật trục quay qua tâm Lời giải : Khối lượng vật: Mo men quán tính R r v0 : R R 0 3m  r ÷4π r dr = m 1 +  R ∫ ρ dV = ∫ 7π R 2 3m dI0 = dm.r = 4πr r dr 3 πR ; R I0 = ∫ dI0 = 44 mR 105 Bài - HSG QG 2007 Một khối trụ đặc có bán kính R, chiều cao h, khối lượng m, lăn không trượt mặt sàn nằm ngang va vào tường thẳng đứng cố định (trục khối trụ song song với mặt sàn tường) Biết hệ số ma sát khối trụ tường µ; vận tốc trục khối trụ trước lúc va chạm v0; sau va chạm thành phần vận tốc theo phương ngang trục giảm nửa độ lớn; mômen quán tính trục khối trụ mR (hình vẽ) Bỏ qua tác dụng trọng lực lúc va chạm bỏ qua ma sát lăn Biết mật I= độ khối lượng ρ điểm khối trụ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm đến trục theo quy luật r2 m ρ = A(1 + ) R R h Tìm hệ số A Lời giải : Sử dụng hệ toạ độ trụ: R mA R r2 I = ∫ r dm = 2πh ∫ ρr dr = 2πh ∫ (1 + )r dr = mR R h0 R 12 →A= 25π ... khối lượng m, có dạng trụ tròn thẳng đứng, hai đáy phẳng, bán kính R; phần tâm đĩa có khoét lỗ thủng hình trụ tròn đồng tâm với vành đĩa, bán kính R/2 Tính mômen quán tính trục quay nói đĩa Lời...Hai đĩa tròn đồng chất giống chuyển động mặt phẳng nằm ngang nhẵn, theo đường thẳng nối tâm đĩa, đến gặp Các đĩa quay chiều quanh trục thẳng đứng qua tâm chúng với tốc độ góc tương... C D MÆt bµn O m TÊm gç R Một vật hình cầu bán kính R đứng yên gỗ mỏng CD Mật độ khối lượng vật phụ thuộc vào khoảng cách 3m  r  ρ= + ÷, m  7π R  R  r đến tâm theo quy luật: số dương Tấm gỗ