Trên hình vẽ, OA và OB là các thanh cứng cùng độ dài R, OAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm G của vật 1, C là giao điểm của OG và lòng máng.. Do tính đối xứng, t
Trang 1CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM TRỌNG TÂM VÀ MOMEN QUÁN
TÍNH TRONG ĐỀ THI HSG QUỐC GIA CÁC NĂM
1/ Tìm trọng tâm bán cầu đặc đồng chất như hình dưới (2003)
Sử dụng tọa độ cầu Do tính đối xứng nên trọng tâm bán cầu chỉ nằm trên trục z:
2
G
3
sin cos
3
R
R
π π
π
Bài 2 – HSG QG 2011: Cho vật 1 là một bản mỏng đều, đồng chất, được uốn theo dạng lòng máng
thành một phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có trục ∆, bán kính R và được gắn với điểm O bằng các thanh cứng, mảnh, nhẹ Vật 1 có thể quay không ma sát quanh một trục cố định (trùng với trục ∆) đi qua điểm O Trên hình vẽ, OA và OB là các thanh cứng cùng độ dài R, OAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm G của vật 1, C là giao điểm của OG và lòng máng Tìm vị trí khối tâm G của vật 1
Lời giải :
Chọn hệ trục Decartes như hình vẽ (Oy là trục đối xứng của
cung AB) Do tính đối xứng, ta thấy khối tâm G nằm trên trục
Oy Sử dụng hệ tọa độ cực và do khối lượng phân bố đều theo
chiều dài nên:
º
º
3π 4
π 4
RsinφRdφ sin
2 2R
2πR 4
AB
G
AB
R dl
y
dl
ϕ
×
∫
∫
∫
Bài 3 – HSG QG 2004
ω2
ω1
Trang 2Hai chiếc đĩa tròn đồng chất giống nhau chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang rất nhẵn, theo đường thẳng nối tâm các đĩa, đến gặp nhau Các đĩa này quay cùng chiều quanh trục thẳng đứng qua tâm của chúng với các tốc độ góc tương ứng là ω1 và ω2
Tác dụng của lực ma sát giữa các đĩa và mặt bàn không đáng kể, còn tác dụng của lực
ma sát xuất hiện ở điểm tiếp xúc hai đĩa với nhau thì đáng kể Biết các đĩa có khối lượng m,
có dạng trụ tròn thẳng đứng, hai đáy phẳng, bán kính R; phần tâm đĩa có khoét một lỗ thủng hình trụ tròn đồng tâm với vành đĩa, bán kính R/2 Tính mômen quán tính đối với trục quay nói trên của mỗi đĩa
Lời giải : Mô men: I = ; r = R/2, I = m =
Bài 4 - HSG QG 2006
C
D
MÆt bµn
O
m
TÊm gç
R
Một vật hình cầu bán kính đang đứng yên trên tấm gỗ mỏng CD Mật độ khối lượng của vật phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm của nó theo quy luật:
là một hằng số dương
Tấm gỗ được kéo trên mặt bàn nằm ngang theo chiều DC với gia tốc không đổi a (xem hình vẽ) Kết quả là vật lăn không trượt về phía D được đoạn l và rơi xuống mặt bàn Hệ số
ma sát trượt giữa vật và mặt bàn là k, gia tốc trọng trường là g Tính khối lượng và mô men quán tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó
Lời giải : Khối lượng của vật:
2 3
3
4 1
7
Mo men quán tính :
R
0
vr
0
1
3 1 R
r 2 2
dr r 2 ) ) r R (
m
− π
R r
3
ρ
= + ÷
Trang 3
R
2
0
44
105
Bài 5 - HSG QG 2007
Một khối trụ đặc có bán kính R, chiều cao h, khối lượng m, lăn không trượt trên mặt sàn nằm ngang rồi va vào một bức tường thẳng đứng cố định (trục của khối trụ luôn song song với mặt sàn và tường) Biết hệ số ma sát giữa khối trụ và bức tường là µ; vận tốc của trục khối trụ trước lúc va chạm là v0; sau va chạm thành phần vận tốc theo phương ngang của trục giảm đi một nửa về độ lớn; mômen quán tính đối với trục của khối trụ là
(hình vẽ) Bỏ qua tác dụng của trọng lực trong lúc va chạm và bỏ qua ma sát lăn Biết mật
độ khối lượng ρ tại một điểm của khối trụ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm đó đến trục
Lời giải : Sử dụng hệ toạ độ trụ:
2
2
5
=
2
2 2
R R h
12
A
25
→ =
π