MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC Như biết Tiểu học có số dạng tính nhanh mà ta tính theo cách thông thường khó tìm kết Ở dạng tính nhanh có cách tính đặc trưng riêng Sau xin giới thiệu số dạng bạng tính nhanh với cách tính đặc trưng dạng qua vài ví dụ cụ thể sau: NHÓM 1: Bài 1: Tính nhanh S = + 1/2 + 1/4 + 1/8 + + 1/128 + 1/256 Phân tích: Bài ta thấy số hạng liền sau 1/2 số hạng liên trước nên ta giải theo cách sau: Cách 1: S = + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .1/128 + 1/256 = + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) + (1/128 – 1/256) = – 1/256 = 511/256 Vậy S = 511/256 Cách 2: S x = + + 1/2 + 1/4 + + 1/128 S x – S = – 1/ 256 = 511/256 Vậy S = 511/256 Bài 2: Tính nhanh S = + 1/3 + 1/9 + 1/27 + + 1/2187 Phân tích: Bài ta thấy số hạng liền sau 1/3 số hạng liên trước nên ta giải theo cách 1: S x = + + 1/3 + 1/9 + 1/27 + + 1/729 S x – S = – 1/2187 = 6560/2187 Vậy S = 6560/2187 : = 6560/4374 Bài 3: Tính nhanh A = + + + + + 4096 + 8192 Phân tích: Bài ta thấy số hạng liền sau gấp lần số hạng liền trước Ta giải toán theo cách sau: Cách 1: A x = + + + + 16384 A x – A = 16384 – = 16383 Vậy A = 16383 Cách 2: Ta thấy: Tổng số hạng đầu là: 1+2+4=3+4 Tổng số hạng đầu là: 1+2+4+8=7+8 Tổng số hạng đầu là: + + + + 16 = 15 + 16 Theo quy luật ta tính kết tổng là: A = + + + + + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383 Vậy A = 16383 Cách 3: Nhận xét: 2=1+1 = (1 + 2) + = (1 + + 4) + 8192 = (1 + + + + 4096) + Vậy A = 8192 – + 8192 = 16383 * Kết luận: Với dạng có số hạng liền sau số hạng liền trước n lần ta có cách giải chung là: ta nhân biểu thức cho n lấy kết biểu thức sau nhân trừ cho biểu thức lúc đầu ta tính kết toán NHÓM 2: Bài 4: Tính nhanh 1/1 x2 + 1/ x + 1/ x + + 1/ 2013 x 2014 Phân tích: Bài ta thấy mấu số tích hai số tự nhiên liên tiếp nên ta phân tích sau: 1/1 x2 + 1/ x + 1/ x + + 1/ 2013 x 2014 = 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + + 1/2013 – 1/2014 = – 1/2014 = 2013/2014 Bài 5: Tính nhanh A = 1/1 x3 + 1/ x + 1/ x + + 1/ 2013 x 2015 Phân tích: Bài ta thấy giống với khác chỗ MS tích số lể liên tiếp Muốn đưa phân cách phân tích ta phải tìm cách đưa tử số Ta làm sau: A x = 2/1 x3 + 2/ x + 2/ x + + 2/ 2013 x 2015 = 1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + + 1/2013 – 1/2015 = – 1/2015 = 2014/2015 Vậy A = 2014/2015 : = 2014/4030 Bài 6: Tính nhanh 1/ x (1 + 2) + 1/ x (1 + + 3) + + 1/2 x (1 + + + + 9) Phân tích: Với ta phải tìm cách đưa MS dạng tính nhanh cở 4; Ta nhận thấy thừa số thứ mẫu số tổng số tự nhiên liên tiếp nên ta dùng cách tính tổng số tự nhiên liên tiếp để đưa dạng tính nhanh Ta làm sau: MS = x (1 + 2) + x (1 + + 3) + + x (1 + + + + 9) = x (2 x 3)/2 + 2x (3 x 4)/2 + + x (9 x 10)/2 x3 + x + + x 10 Vậy TS/MS = 1/2x3 + 1/3x4 + + 1/9x10 = 1/2 – 1/10 = 2/5 * Kết luận: Với có dạng n/a xb + n/b xc (với khoảng cách a b; b c n đơn vị) ta phân tích sau: n/a xb + n/b xc = 1/a - 1/b + 1/b - 1/c NHÓM 3: Bài 7: Tính nhanh M = x + x + x + + 201 x 202 Phân tích: Bài ta thấy số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp Để tạo nhóm thừa số loại trừ hết cho ta phân tích sau: M x = x x (3 - 0) + x x (4 - 1) + x x (5 - 2) + + 201 x 202 x (203 – 200) = x x + x x – x x + x x – x x + + 201 x 202 x 203 – 200 x 201 x 202 = 201 x 202x 203 = 8242206 Vậy M = 8242206 : = 2747402 Bài 8: Tính nhanh N = x x + x x + x x + + 100 x 101 x 102 Phân tích: Tương tự ta thấy số hạng tổng tích ba số tự nhiên liên tiếp Vì ta có thểphân tích sau: N x = x x x (4 - 0)+ x x x (5 - 1)+ x x x (6 – 2) + + 100 x 101 x 102 x (103 – 99) = x x x + x x x - x x x + x x x - x x x + + 100 x 101 x 102 x 103 – 99 x 100 x 101 x 102 = 100 x 101 x 102 x 103 = 106110600 Vậy N = 106110600 : = 26527650 Bài 9: Tính nhanh B = x + x + x + + 100 x 100 Phân tích: Bài thực thuộc dạng ta phải tìm cách đưa dạng Ta phân tích sau: B = x + x + x + + 100 x 100 = x (2 - 1) + x (3 - 1) + x (4 - 1) + + 100 x (101 – 1) = x – + x – + x – + + 100 x 101 – 100 = (1 x + x + + 100 x 101) – (1 + + + + 100) = (100 x 101 x 102) : - (101 x 100 : 2) = 343400 – 5050 = 338350 * Kết luận 3: Với dạng có số hạng tích số tự nhiên liên tiếp ta làm sau: - Số hạng thứ nhân với n (trong n số tự nhiên liền kề thừa số lớn tích) - Số hạng thứ hai nhân với (n + 1) – VD: x + x + x ta làm sau: x + x + x = x x + x x (4 - 1)+ x x (5 - 2) NHÓM 4: Bài 10: Tính nhanh Tử số = 2012 + 2011/2 + 2010/3 + + 2/2011 + 1/2012 Mẫu số = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/2012 + 1/2013 (Đề thi GVG trường TH Tân Lộc năm học 2013 - 2014) Phân tích: Với ta tìm cách đưa TS dạng tích thừa số có thừa số mẫu số Ta làm sau: TS = (1 + + + 1) + 2011/2 + + 2/2011 + 1/2012 (2012 chữ số 1) = (1 + 2011/2) + + (1 + 2/2011) + (1 + 1/2012) + = 2013/2 + + 2013/2011 + 2013/2012 + 2013/2013 = 2013 x ( 1/2 + + 1/2011 + 1/2012 + 1/2013) TS/MS = 2013 Bài 11: Tính nhanh TS = + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 2014) MS = x 2014 + x 2013 + + 2013 x + 2014 x Phân tích: Với dạng ta nhận thấy TS có 2014 số 1; 2013 số Vì ta giải sau: TS = (1 + + + 1) + (2 + + + 2) + + (2013 + 2013) + 2014 (2014 chữ số 1) (2013 chữ số 2) = x 2014 + x 2013 + + 2013 x + 2014 x Vậy TS/MS = Bài 12: Tính nhanh TS = 1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100 MS = 1/1x2 + 1/3x4 + + 1/99x100 Phân tích: Với ta dùng cách thêm bớt để đưa MS giống với TS Ta làm sau: MS = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + + 1/99 – 1/100 = (1 + 1/3 + + 1/99) – (1/2 + 1/4 + + 1/100) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99 + 1/100) – (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 1/100 + 1/100) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + 1/50 ) = 1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100 Vậy TS/MS = Bài 13: Tính nhanh TS = + 1/3 + 1/5 + .+ 1/97 + 1/99 MS = 1/1x99 + 1/3x97 + + 1/49x51 Phân tích: Với dạng ta thấy tương tự ta tìm cách đưa TS MS tích thừa số có thừa số chung Ta làm sau: TS = (1 + 1/99) + (1/3 + 1/97) + + (1/49 + 1/51) = 100/ 1x99 + 100/3x97 + + 100/49X51 = 100/ (1/1x99 + 1/3x97 + + 1/49x51) Vậy TS/MS = 100 Bài 14: Tính nhanh TS = 1/2 + 1/3 + 1/4 + .+ 1/99 + 1/100 MS = 1/99 + 2/98 + + 99/1 Phân tích: Với dạng ta phân tích MS sau: MS = (100 – 99)/99 + (100 - 98)/98 + + (100 – 2)/2 + (100 - 1)/1 = 100/99 – + 100/98 – + + 100/2 – + 100/1 – = 100/99 + 100/98 + + 100/2 + 100/1 – x 99 = 100/99 + 100/98 + + 100/2 + = 100/99 + 100/98 + + 100/2 + 100/100 = 100 x (1/99 + 1/98 + + 1/2 + 1/100) = 100 x (1/2 + 1/3 + + 1/99 + 1/100) Vậy TS/MS = 1/100 * Kết luận: Với từ 10 đến 14 ta thấy TS MS có mối quan hệ với ta tìm cách đưa TS MS thừa số giống để giúp ta rút gọn tính giá trị biểu thức Trên vài cách tính nhanh với dạng cụ thể mà nghiên cứu, tích lũy qua thời gian tự học, tự rèn luyện thân Rất mong nhận góp ý, bổ sung quý bạn đồng nghiệp để dạng toán tính nhanh trở thành dạng toán quen thuộc, dễ hiểu GV sở giúp BDHSG ngày hiệu Xin chân thành cảm ơn bạn ! ... 2014/4030 Bài 6: Tính nhanh 1/ x (1 + 2) + 1/ x (1 + + 3) + + 1/2 x (1 + + + + 9) Phân tích: Với ta phải tìm cách đưa MS dạng tính nhanh cở 4; Ta nhận thấy thừa số thứ mẫu số tổng số tự nhiên liên... luyện thân Rất mong nhận góp ý, bổ sung quý bạn đồng nghiệp để dạng toán tính nhanh trở thành dạng toán quen thuộc, dễ hiểu GV sở giúp BDHSG ngày hiệu Xin chân thành cảm ơn bạn ! ... 5050 = 338350 * Kết luận 3: Với dạng có số hạng tích số tự nhiên liên tiếp ta làm sau: - Số hạng thứ nhân với n (trong n số tự nhiên liền kề thừa số lớn tích) - Số hạng thứ hai nhân với (n + 1)