LUẬN văn THẠC sĩ TOÁN học KHÔNG GIAN LP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Xayyalinh Kolakanh KHÔNG GIAN Lp LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Xayyalinh Korlakanh KHÔNG GIAN Lp Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin kính gửi đến Thầy, PGS.TS Nguyễn Bích Huy lời cảm ơn sâu sắc tận tình bảo học tập, thời gian tìm hiểu trình bày hoàn chỉnh luận văn Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô giảng dạy khoa toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt trình học tập trường Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô công tác phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn tất chương trình học tập thức luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân bạn bè động viên giúp đỡ suốt trình học tập thức luận văn Xayyalinh Korlakanh MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương KHÔNG GIAN LP THEO MỘT ĐỘ ĐO TỔNG QUÁT P 1.1 Không gian L .2 1.2 Sự hội tụ tính đầy đủ: .7 1.3 Tập trù mật Tính khả li 10 1.4 Không gian liên hợp Lp 12 1.5.Tính chất lồi đều: 17 1.6 Một số ánh xạ không gian Lp 19 Chương KHÔNG GIAN LP THEO ĐỘ ĐO LEBESGUE 22 2.1 Tập trù mật, tính khả li: .22 2.2 Phép chập làm trơn 24 2.3 Tập compact: 31 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Các không gian Lp đóng vai trò quan trọng giải tích ứng dụng Một mặt chúng mô hình mà định lí tổng quát lí thuyết hàm thực, Giải tích hàm, Lí thuyết phương trình vi phân tích phân ứng dụng vào để kiểm tra hiệu định lí tổng quát Mặt khác không gian Lp lại công cụ hiệu để nghiên cứu Lí thuyết không gian Sobolev, Lí thuyết phương trình vi phân, Vật lí lượng tử, Lí thuyết xác suất… Trong học phần Độ đo –Tích phân, Giải tích hàm sinh viên chuyên ngành Toán làm quen bước đầu với không gian Lp Việc tìm hiểu sâu đầy đủ không gian giúp sinh viên hiểu môn học Độ đo – Tích phân, Giải tích hàm, Topo đại cương mối liên hệ chúng giúp sinh viên làm quen với nghiên cứu khoa học Nội dung luận văn tập trung nghiên cứu đặc trưng không gian Lp gồm hai chương: Chương Trình bày định nghĩa không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞ ) theo độ đo tổng quát, số khái niệm tính chất đặc biệt sử dụng chương sau Chương Là trường hợp riêng chương mà ta xét không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞ ) theo độ đo Lebesgue Chương chủ yếu xây dựng khái niệm tích chập Lp để xếp xỉ hàm Lp hàm trơn điều kiện để tập Lp compact tương đối Chương KHÔNG GIAN LP THEO MỘT ĐỘ ĐO TỔNG QUÁT P 1.1 Không gian L Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian độ đo (X,F,μ) Ta định nghĩa: i) LP (X,μ)={ f :X→  f đo được, ∫ p d µ < ∞} , ≤ p < ∞ với chuẩn: f X f p = p  f ∫  X  p g ⇔ f ( x) = g ( x) hkn X Do đó, xét f ∈ Lp cần ta có Trong 𝐿𝑃 ta qui ước f = thể thay giá trị hàm tập có độ đo không  f ( x)  nÕu x ∈ X\A nÕu x ∈ A,µA=0 Ví dụ f ′ = f với f ′ ( x ) =  ii) L∞ ( = X , µ) {f :X → | f đo được, ∃c 0, ∃ 𝑔𝑔 𝐶 (𝑋 ): ‖𝑔 − 𝑓‖ 𝑝 < 𝜀 Bước1: f =1 A (A ∈ F, μ(A) 𝑛 𝑣à |𝑥| < 𝑛�) ���� Với n, Ω 𝑛 phủ hữu hạn wi : Ω n ⊂  wi với 𝐼𝑛 ⊂ 𝐼 hữu hạn i∈I i Đặt J =  I n J đếm n Ta có: W = W n n ⊂  W n ⊂  wi hay W =  wi n i∈J i∈J Vì f = hkn 𝑤𝑖 nên f = hkn W Nhận xét 2.2.1 i) Nếu 𝑓1 = 𝑓2 hkn Ω supp 𝑓1 = supp 𝑓2 Ta nói giá 𝑓 𝜖 𝐿𝑝 (mà không cần rõ chọn hàm lớp tương đương) 28 ii) Nếu f liên tục Ω ta kiểm chứng dễ dàng định nghĩa trùng với định nghĩa thông thường giá Mệnh đề 2.2.2 Giả sử f ∈ L1 (  n ) , g ∈ Lp (  N ) Khi đó, supp ( f ∗ g ) ⊂ supp f +suppg Chứng minh: Giả sử 𝑥𝑥 ℝ𝑁 cố định cho hàm 𝑦 → 𝑓(𝑥 − 𝑦) 𝑔(𝑦) khả tích Có: ( f ∗ g )( x ) = ∫ 𝑓 (𝑥 − 𝑦) 𝑔(𝑦)𝑑𝑑 = ∫(𝑥−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)⋂𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑓(𝑥 − 𝑦) 𝑔(𝑦)𝑑𝑑 Nếu 𝑥 ∉ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡ℎì (𝑥 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) ∩ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = ∅ 𝑣à (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = 0 hkn C (suppf+suppg) Do đó: ( f ∗ g )( x ) = Đặc biệt hkn Int C (supp f +suppg) ( f ∗ g )( x ) = Vậy supp( f *g) ⊂ supp f +suppg Nhận xét 2.2.2 i) Nếu f g có giá compact f ∗ g có giá compact ii) Nếu hai giá compact f ∗ g giá compact Định nghĩa 2.2.2 i) Cho hàm ρ ∈ cc∞ ( R N ) thỏa ρ(x) ≥ 0, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝 ⊂ 𝐵�(0,1), � 𝜌(𝑥)𝑑𝑑 = ℝ𝑁 Ví dụ hàm ρ ρ(x)= � Ở c chọn thích hợp 𝑐.exp� � (|𝑥| : ∀h < δ , ∀z ∈ B (θ ,1) ⇒ f ( x ) − f ( x − hz ) < ε∀x ∈ Ω′ 30 ⇒ f ( x ) − fh ( x ) < ε ∫ ρ ( z )dz= ε , ∀x ∈ Ω′ z ≤1 Định lí 2.2.3 Nếu 𝑓𝑓 𝐿𝑃 (Ω), ≤ 𝑃 < ∞ lim f h = f Lp ( Ω ) h →0 Chứng minh: Cho 𝜀 > 0, 𝑑𝑑 𝐶𝐶 (ℝ𝑁 ) trù mật 𝐿𝑃 (ℝ𝑁 ) nên∃ 𝑔𝑔 𝐶𝐶 (ℝ𝑁 ): ‖𝑓 − 𝑔‖ 𝑝 < 𝜀 Có supp 𝜌ℎ ∗ 𝑔 ⊂ 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜌ℎ + 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔 ⊂ 𝐵�(𝜃, ℎ) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (mệnh đề 2.2.2) nên sup p ρ h ∗ g ⊂ k ∀h ∈ ( 0,1) ∃kcompact :  sup pg ⊂ k Khi đó: ρ h ∗ g − g = p p ∫ρ ∗ g ( x ) − g ( x ) dy p h k lim ρ h ∗ g ( y ) = g ( y ) k (định lí 2.22) h →0 Do lim Bh ∗ g − g = p Mặt khách: ρ h ∗ f − f = ρ h ∗ ( f − g ) + ( ρ h ∗ g − g ) + ( g − f ) nên ρ ∗f−f h p ≤ ρh ⋅ f − g lim sup ρ h ∗ f − f h →0 p h →0 h →0 p + ρh ∗ g − g p + g− f p (định lí2.2.1) ≤ 3ε ≤ lim ing ρ h ∗ f − f ⇒ lim ρ h ∗ f − f p p ≤ lim sup ρ h ∗ f − f h →0 p = = Định lí 2.2.4 Cc∞ ( Ω ) trù mật Lp ( Ω ) với ≤ p < ∞ Chứng minh: Cho f ∈ Lp ( Ω ) , ε > Do Cc ( Ω ) trù mật Lp ( Ω ) nên ∃g ∈ Cc ( Ω ) : f − g < ε Mở rộng g lên  N : g ( x ) = với x ∈  N \ Ω 31 Theo định lí 2.2.2, ρ h ∗ g ∈ C∞ (  N ) Do mệnh đề 2.2.2, supp ρ h ∗ g ⊂ sup p ρ h + sup pg ⊂ B (θ , h ) + sup pg ⊂ Ω h đủ nhỏ Nên ρ h ∗ g ∈ Cc∞ ( Ω ) ρh ∗ g − f p ≤ ρh ∗ g − g p + g− f p < 2ε h đủ nhỏ Vậy Cc∞ ( Ω ) trù mật Lp ( Ω ) Với 1≤p0: f C( X ) ≤ M ∀f ∈ F ) F họ liên tục đồng bậc (Tức ∀ε>0,∃δ(ε) >0: ∀f ∈ F , ∀x, x′ ∈ X , d ( x, x′ ) < d ⇒ f ( x ) − f ( x′ ) < ε ) Cho hàm f kí hiệu Th ( f ) hàm x  f ( x + h ) , h ∈  N , Th ( f ) xác định –h+Ω Định lí 2.3.2 Giả sử Ω ⊂  n mở, W⋐Ω, F tập bị chặn Lp ,1 ≤ p < ∞ Có tính chất: ∀ε > 0, ∃ < d < d (Ω , CΩ ) : ∀f ∈ F , ∀h ∈  N , h < δ ⇒ Th f − f F /W Thì= {f p 0, ∃W⋐Ω: f Lp ( W \W ) Lp (W ) < ε ∀f ∈ F Cho tập mở W⋐Ω thỏa ii) Vì F/W compact tương đối Lp (W ) (định lí 2.3.1) nên n ∃g1 , g , , g n ∈ Lp (W ) : F / W ⊂  B ( gi , ε ) i =1 Kki đó: n F ⊂  B ( gi , 2ε ) i =1 Với gi ( x ) = � Ta có điều phải chứng minh 𝑔𝑖 (𝑥) 𝑛ế𝑢 𝑥 ∈ 𝑊 𝑛ế𝑢 𝑥 ∈ Ω\𝑊 34 KẾT LUẬN Luận văn trình bày tính chất không gian Lp • Tính đầy đủ , khả li, tập trù mật Lp • Tính lồi không gian Lp • Không gian liên hợp không gian Lp • Tính liên tục ánh xạ Nemytsku Ngoái ra, luận văn giới thiệu tính chất đặc biệt không gian Lp gắn với tính chất tô pô  N • Xấp xỉ hàm thuộc Lp hàm trơn • Tính chất compact lớp tập không gian Lp Luận văn dung làm tài liệu tham khảo cho sinh viên Đại học học viên cao học học môn Giải tích thực TÀI LIỆU THAM KHẢO Hàm Brezis, Giải tích hàm: Lý thuyết ứng dụng NXB Đại học Quốc gia TP.HCM (2002), 104-144 Hoàng Tụy, Lí thuyết hàm thực Giải tích hàm NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2003) Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm (lý thuyết) NXB Giáo dục Đào tạo (1997) Hàm Brezis, Analyse fonctionnelle theorie et applications Edition Masson, Paris (1983) H.Brezis-G.Tronell, Analyse fonctionnell, Recueil de problemes et exercises Edition Masson, Paris [...]...     p 1.4 Không gian liên hợp của Lp Định nghĩa 1.4.1 Với p ∈ [1, ∞ ) , ta kí hiệu ( Lp ( X , µ ) ) là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục ∗ trên Lp ( X , µ ) và được gọi là không gian liên hợp của không gian Lp ( X , µ ) Định lí 1.4.1 Giả sử 1 < p′ < ∞ và P′ là số mũ liên hợp của p X µ ) thì: ϕ ( f ) Nếu g ∈ Lp ( = ∫ f ( x )g ( x ) d µ , f ∈ L ( X , µ ) p x tục trên Lp ( X , µ ) là... p + g− f p < 2ε khi h đủ nhỏ Vậy Cc∞ ( Ω ) trù mật trong Lp ( Ω ) Với 1≤p 0, ∃δ > 0 : (|| x || ≤1, || y || ≤ 1, || x − y || > ε ) ⇒ x+ y < 1− δ 2 Hay ∀ε > 0, ∃δ > 0 : (|| x || ≤1, || y || ≤ 1, x+ y ≥ 1 − δ ) ⇒ || x − y || ≤ ε ) 2 Định nghĩa tương đương: ( xn ≤ 1, yn ≤ 1, lim xn + yn = 2 ) ⇒ lim xn − yn = 0 n →∞ n →∞ 18 Định lý 1.5.1 Cho không gian độ đo... ) ) dx = 0 q k →∞ X Từ (1.18) và ( 1.24 ) ta thấy điều mẫu thuẫn Vậy N f liên tục (1.24) 22 Chương 2 KHÔNG GIAN LP THEO ĐỘ ĐO LEBESGUE Trong chương này ta xét X ⊂  N là tập hợp đo được theo Lebesgue μ là độ đo Lebesgue và F là σ- đại số các tập con của X, đo được theo Lebesgue Khi đó không gian Lp ( X , µ ) ngoái các tính chất đã nói trong chương 1, còn có thêm các tính chất liên quan đến tính chất... thì: p f ∫ ⋅1 ∈ L1 ⇒ f ∈ Lp p f 1d µ ≤ f p p r X  f dµ ≤  ∫ f X p ⇒∫ X  ⇒∫ f X p 1  dµ   p ⇒ f p 1 r′ 1 pr   q ≤  ∫ f dµ  X  ≤  µ ( X )   r  d µ   ∫ 1r ′ d µ   X  1 q− p pq q  µ ( X )  f 1 1 r′ ( r ′p ) q 1.2 Sự hội tụ và tính đầy đủ: Định lí 1.2.1 Với p ∈ [1, ∞ ] thì Lp là không gian Banach ∞ Chứng minh: Giả Sử { f n } ⊂ Lp thỏa ∑ n =1 hội tụ trong Lp hay dãy Sn = f1 +... ∈ Lp : f p ≤ 1, g p ≤ 1, f − g p >ε Áp dụng bất đẳng thức Clarkson thứ nhất đúng cho f +g 2 f −g + 2 p p f +g 2 p p ⇒ f +g ⇒ 2 p p 2≤ p ... chp Lp xp x cỏc hm Lp bi cỏc hm trn v ch iu kin mt Lp l compact tng i 2 Chng KHễNG GIAN LP THEO MT O TNG QUT P 1.1 Khụng gian L nh ngha 1.1.1 Cho khụng gian o (X,F,) Ta nh ngha: i) LP (X,)={... Lun ó trỡnh by cỏc tớnh cht c bn nht ca khụng gian Lp nh Tớnh y , kh li, cỏc trự mt Lp Tớnh li u ca khụng gian Lp Khụng gian liờn hp ca khụng gian Lp Tớnh liờn tc ca ỏnh x Nemytsku Ngoỏi ra,... 1.4 Khụng gian liờn hp ca Lp nh ngha 1.4.1 Vi p [1, ) , ta kớ hiu ( Lp ( X , ) ) l hp tt c cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn Lp ( X , ) v c gi l khụng gian liờn hp ca khụng gian Lp ( X , )