Giáo trình toán rời rạc

B GIÁO D C VÀ ÀO T O TR NG I H C C N TH KHOA S PH M B MÔN TOÁN H C GIÁO TRÌNH TOÁN R I R C (Discrete mathematics) A Biên so n Th.s Bùi Anh Ki t Th.s Tr ng Qu c B o N m 2003 L I NÓI U Toán r i r c m t l nh v c c a toán h c nghiên c u v đ i t ng r i r c M c dù đ i t ng r i r c, ý ngh a nh ng liên k t đ i t ng r i r c l i v i ta l i có đ c nh ng thông tin r t lý thú mang nhi u ý ngh a Chúng ta s s d ng công c c a toán h c r i r c ph i đ m đ i t ng, nghiên c u m i quan h gi a t p r i r c, nghiên c u trình h u h n M t nh ng nguyên nhân ch y u làm t ng t m quan tr ng c a toán r i r c vi c l u tr x lý thông tin máy tính n t mà b n ch t trình r i r c Ba l nh v c có nhi u ng d ng c a toán h c r i r c lý thuy t t h p, hàm đ i s logic (đ i s Boole) lý thuy t đ th Các v n đ v lý thuy t t h p, hàm đ i s logic (đ i s Boole) s đ c trình bày giáo trình khác Trong ph m vi giáo trình ch trình bày l nh v c có th xem quan tr ng nh t có nhi u ng d ng nh t c a toán h c r i r c Lý thuy t đ th Lý thuy t đ th đ c khai sinh k t công trình nghiên c u v toán “7 c u Königsberg” c a nhà toán h c Leonhard Euler (1707 - 1783) đ c công b vào n m 1736 T đ n nay, có nhi u nhà toán h c th gi i nghiên c u làm cho lý thuy t đ th ngày phong phú có nhi u ng d ng l nh v c khác nh m ng n t , lý thuy t mã, v n trù h c, kinh t h c, c bi t, kho ng vài ch c n m tr l i đây, v i s đ i c a máy tính n t s phát tri n nhanh chóng c a Tin h c, Lý thuy t đ th đ c quan tâm nhi u h n, đ c bi t thu t toán ng d ng đ th Hi n nay, môn h c đ c xem ki n th c c s c a khoa h c máy tính Giáo trình đ c biên so n t gi ng c a tác gi n m qua Tr ng i h c C n th trung tâm đào t o liên k t vùng ng b ng sông C u long, nh m đáp ng nhu c u tài li u tham kh o h c t p b ng ti ng Vi t c a sinh viên ây giáo trình dành cho sinh viên s ph m Toán Tin, Toán nên h u h t v n đ đ c trình bày đ u đ c ch ng minh ch t ch , rõ ràng ng th i, c ng kèm theo m t s thu t toán ng d ng th c t c ng nh ng d ng máy tính Các sinh viên chuyên ngành Lý Tin, Tin h c i n t c ng có th s d ng giáo trình nh m t tài li u tham kh o h u ích N i dung c a giáo trình bao g m n i dung c b n nh t c a lý thuy t đ th có kèm t p áp d ng đ c chia làm 04 ch ng: Ch ng 1: Trình bày thu t ng , đ nh ngh a khái ni m c b n c a đ th nh đ th vô h ng, có h ng, lo i đ th , đ ng đi, chu trình, tính liên thông, ph ng pháp t ng quát đ gi i quy t m t toán b ng lý thuy t đ th , đ Ch ng 2: Trình bày toán v đ ng Euler, Hamilton, gi i thu t tìm ng ng n nh t nh Dijkstra, Heterdetmin m t s ví d ng d ng Ch m t s ng 3: Trình bày v n đ liên quan đ n đ th ph ng toán tô màu đ th ng d ng Ch ng 4: Kh o sát t ng quát v c u trúc v n đ liên quan, đ c bi t nh phân M t s ng d ng c a tin h c c ng đ c trình bày nh phép t cây, bi u th c s h c, ký pháp ngh ch đ o Ba Lan (RPN), thu t toán tìm ph t i ti u, Cu i m i ch ng có ph n t p giúp sinh viên rèn luy n ki m tra l i nh ng ki n th c đ c h c M t s v n đ ph n lý thuy t c ng đ m xem nh ph n t p t gi i c a sinh viên Do gi i h n v m t th i gian (giáo trình đ c gi ng d y 45 ti t) nên ch đ c p đ n v n đ c b n nh t c a lý thuy t đ th Các v n đ m r ng chuyên sâu c a lý thuy t c a lý thuy t đ th s đ c trình bày thêm trình gi ng d y l p xem v n đ m cho sinh viên t h c, nghiên c u thêm làm ti u lu n, lu n v n t t nghi p Tuy h t s c c g ng, song v i qu th i gian ki n th c h n ch ch c ch n giáo trình v n nh ng v n đ m khuy t, r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n quý báu c a quý th y cô, b n bè đ ng nghi p em sinh viên đ giáo trình đ c hoàn thi n h n Th.S Bùi Anh Ki t Th.S Tr ng Qu c B o C n th , tháng 12 n m 2003 Ch ng I IC NG V TH I Các khái ni m c b n th th (graph) G = (V,E) m t b g m t p h p V E, V ≠ ∅ ph n t c a V đ c g i đ nh (vertices), ph n t c a E đ c g i c nh (edges), m i c nh t ng ng v i đ nh N u c nh e t ng ng v i đ nh v, w ta nói v w đ nh k (hay đ nh liên k t) (adjacent) v i Ta c ng nói c nh e t i hay liên thu c (incident) v i đ nh v w e w (ho c e = vw; e = wv) C nh vv t ng ng v i đ nh trùng Ký hi u e = vw hay v g i m t vòng hay khuyên (loop) t i v Hai c nh phân bi t t ng ng v i m t c p đ nh đ c g i c nh song song (paralleledges) hay c nh b i th c nh song song c ng vòng đ c g i đ n đ th (simple graph) Ng c l i đa đ th (multigraph) th mà m i c p đ nh c a đ u k đ c g i đ th đ y đ (Complete n đ th đ y đ bao g m n đ nh đ c ký hi u: Kn graph) th G' = (V',E') đ ⊂ V; E' ⊂ E l iđ c g i m t đ th (subgraph) c a đ th G = (V,E) n u V' th có s đ nh s c nh h u h n đ c g i đ th vô h n (Infinite graph) c g i đ th h u h n (finite graph), ng c Trong giáo trình này, ch kh o sát đ th h u h n Bi u di n đ th M t đ th có th đ c bi u di n b ng hình h c, m t ma tr n hay m t b ng 2.1 Bi u di n hình h c Ng i ta th ng bi u di n hình h c c a đ th nh sau: - Bi u di n m i đ nh c a đ th b ng m t m (vòng tròn nh , ô vuông nh ) - M t c nh đ c bi u di n b i m t đ ng (cong hay th ng) n i đ nh liên thu c v i c nh Ví d 1: th G có: V = {a, b, c, d, e} E = {ab, ac, ad, bd, cd, ce} c bi u di n hình h c nh sau: b c a Ví d 2: th G có: d e V = {u, v, x, y} E = {uv, uv, ux, vx, xy, yy} c bi u di n hình h c nh sau: Trang v x u y Chú ý: Khi bi u di n hình h c đ th , giao c a c nh ch a ch c đ nh c a đ th B A x C Ví d 3: D y z Ví d 4: Các đ n đ th đ y đ : K1 K2 K3 K5 K4 2.2 Bi u di n đ th b ng ma tr n Ng i ta có th bi u di n đ th b ng ma tr n Có ki u ma tr n th bi u di n đ th : ng đ c dùng đ - Ma tr n liên k t hay li n k (adjacency matrix) - Ma tr n liên thu c (incidence matrix) Ü Ma tr n li n k Cho G = (V,E) có n đ nh v1, v2, , Ma tr n li n k c a G t đ nh v1, v2, , m t ma tr n vuông c p n ng ng v i th t A = (aij)n đó: n u vivj m t c nh c a G n u vivj không m t c nh c a G aij = Ü Chú ý: - Ma tr n li n k c a m t đ th khác tùy thu c vào th t li t kê đ nh Do đó, có t i n! ma tr n li n k khác c a m t đ th n đ nh có n! cách s p x p n đ nh - Ma tr n li n k c a m t đ th m t ma tr n đ i x ng n u vi đ c n i v i vj vj c ng đ c n i vi ng c l i n u vi không n i v i vj vj c ng không n i v i vi - M t vòng đ c tính m t c nh t đ nh v vào v B Ví d 5: D th sau: A có ma tr n li n k là: C E Trang A B C D E A 1 0 B 1 1 C 1 D 1 E 2 Ví d 6: Hãy v đ th có ma tr n li n k theo th t c a đ nh a, b, c, d 1 1 0 1 1 a 1 0 b c d Ü Ma tr n liên thu c Ng i ta dùng ma tr n liên thu c đ bi u di n đ th Cho G = (V,E) m t đ th v i v1, v2, , đ nh e1, e2, , em c nh c a G Khi ma tr n liên thu c c a G theo th t c a V E m t ma tr n M = (mij)n x m v i: n u c nh ej n i v i đ nh vi n u c nh ej không n i v i đ nh vi mij = Ü Chú ý: Các ma tr n liên thu c c ng có th đ c dùng đ bi u di n c nh b i khuyên (vòng) Các c nh b i (song song) đ c bi u di n ma tr n liên thu c b ng cách dùng c t có ph n t gi ng h t c nh đ c n i v i m t c p đ nh Các vòng đ c bi u di n b ng cách dùng m t c t v i m t ph n t b ng t ng ng v i đ nh n i v i khuyên Ví d 7: th v1 e2 v2 e4 e3 e6 e1 e5 e7 e8 v4 Có ma tr n liên thu c nh sau: v3 v5 e v v1 v0 v0 v0 e e e e e e e 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 Trang 2.3 Bi u di n đ th b ng b ng Ng i ta có th bi u di n đ th c nh b i b ng b ng hay g i danh sách li n k Danh sách ch rõ đ nh n i v i m i đ nh c a đ th Ví d 8: Dùng danh sách li n k đ bi u di n đ th b c a e d nh nh li n k a b, c, e b a c a, c, d, e d c, e e a, c, d B c c a đ nh đ th nh ngh a: nh v c a đ th G đ c g i có b c n n u v k v i n đ nh khác (v đ u mút c a n c nh) Ký hi u: deg(v) hay d(v) - M i vòng (khuyên) t i v đ c k c nh t i v - nh có b c g i đ nh cô l p (isolated vertex) - nh có b c g i đ nh treo (pendant vertex) - C nh t i đ nh treo g i c nh treo (pendant edge) - th mà m i đ nh đ u đ nh cô l p g i đ th r ng (null graph) Ví d 9: Cho đ th sau: a g f e b c d Ta có: deg(a) = 4; deg(b) = 5; deg(c) = 4; deg(d) = 0; deg(e) = 1; deg(f) = 4; deg(g) = Ü nh lý 1.1: Trong m i đ th G = (V, E), t ng s b c c a đ nh c a G b ng l n s c nh Ngh a ta có: V ∑ deg(v ) = E i =1 i Ü H qu : Trong m i đ th G = (V, E), ta có: S đ nh b c l c a m t đ th m t s ch n T ng b c c a đ nh b c l m t đ th m t s ch n Ü nh lý 1.2: Trong m i đ th G = (V, E), có V ≥ t n t i nh t hai đ nh b c Ü nh lý 1.3: Trong m i đ th G = (V, E), có V > có hai đ nh b c hai đ nh không th đ ng th i có b c ho c b c n-1 Ch ng minh - gi i toán b ng ph ng pháp đ th ch ng minh (gi i) toán b ng đ th ta th c hi n theo b c sau: Trang ÜB đó: c 1: Xây d ng đ th G = (V, E) mô t đ y đ thông tin c a toán, + M i đ nh v ∈V bi u di n cho m t đ i t ng c a toán + M i c nh e ∈ E n i đ nh vi v j s bi u di n cho m i quan h gi a hai đ i t ng ng đ ng t c bi u di n b ng vi v j + V đ th G = (V, E) mô t toán (n u đ c) Ü B c 2: S d ng đ nh ngh a, đ nh lý, tính ch t, bi t v lý thuy t đ th đ suy u c n gi i (ch ng minh) Ví d 10: Ch ng minh r ng m t cu c h p tùy ý có nh t 02 đ i bi u tham gia tr lên, luôn có nh t hai đ i bi u mà h có s ng i quen b ng đ i bi u đ n d h p Ch ng minh: ÜB c 1: Xây d ng đ th G = (V, E) mô t đ y đ thông tin c a toán: + nh: L y m m t ph ng hay không gian t ng ng v i đ i bi u đ n d h p i t ng c a toán đ i bi u d h p V y, m i đ nh v ∈V bi u di n cho m t đ i bi u cu c h p + C nh: Trong đ th G đ nh vi v j đ c n i v i b ng m t c nh n u hai đ i bi u vi v j quen V y, m i quan h gi a 02 đ i t ng m i quan h quen bi t M i c nh e ∈ E n i đ nh vi v j G n u hai đ i bi u vi v j quen ÜB c 2: Suy lu n đ suy u c n ch ng minh: + V i cách xây d ng đ th G nh trình bày s đ nh c a G s đ i bi u đ n d h p V ≥ b c c a m i đ nh G b ng s đ i bi u quen v i đ i bi u đ c bi u di n b ng đ nh + Theo đ nh lý 1.2 ta có G t n t i nh t 02 đ nh có b c ngh a luôn có nh t hai đ i bi u mà h có s ng i quen b ng đ i bi u đ n d h p Ví d 11: Ch ng minh r ng s ng trái đ t m t s ch n i mà m i ng i có m t s l l n b t tay (Xem nh t p - Sinh viên t ch ng minh) II M t s đ th đ c bi t th đ y đ nh ngh a: th đ y đ (Complete graph), ký hi u: Kn m t đ n đ th bao g m n đ nh mà m i đ nh đ u có b c n−1 (m i đ nh đ u n i v i n−1 đ nh l i) K1 K2 K3 K4 K5 K6 Ü V y Kn có: + S đ nh: V = n + B c c a đ nh deg(vi ) = n − ; ∀vi ∈V Trang + S c nh: E = n(n − 1) th vòng nh ngh a: th vòng ký hi u: Cn, n ≥ m t đ th v i n đ nh v1, v2, , c nh v1v2, v2v3, , vnv1 C3 C5 C4 C6 Ü V y Cn có: + S đ nh: V = n ≥ + B c c a đ nh deg(vi ) = ; ∀vi ∈V + S c nh: E = n th hình bánh xe nh ngh a: N u thêm m t đ nh vào đ th vòng Cn (n ≥ 3) n i đ nh v i n đ nh c a Cn ta đ c đ th hình bánh xe (Wheel graph), ký hi u: Wn W3 W5 W4 W6 Ü V y Wn có: + S đ nh: V = n + n≥3 + B c c a đ nh deg(vi ) = ; ∀vi ∈ V vi ≠ đ nh đ c thêm vào (vnew) + deg(v new ) = n + S c nh: E = 2n th đ u nh ngh a: M t đ th đ u (Regular graph) đ th mà m i đ nh đ u có b c N u đ th G có đ nh có b c K đ c g i K-đ u Ví d 12: + th r ng g m n đ nh đ th đ u b c + Cn đ th đ u b c + Kn đ th đ u b c (n−1) + th 3-đ u đ nh: Trang + th 3-đ u đ nh: + th đ u b c 3: đ th Petersen: Ü V y k đ u n đ nh cóï: + S đ nh: V = n + B c c a đ nh deg(vi ) = k ; ∀vi ∈V + S c nh: E = Các kh i n-l p ph n*k ng Các kh i n-l p ph ng (n-cube graph), ký hi u: Qn đ th có 2n đ nh, m i đ nh đ c bi u di n b ng m t dãy s nh phân v i đ dài n Hai đ nh li n k n u ch n u dãy nh phân bi u di n chúng ch khác bit 10 Ví d 13: 11 Q1 00 Q2 01 110 111 101 100 010 011 000 Q 001 V y Qn cóï: + S đ nh: V = n + B c c a đ nh deg(vi ) = n ; ∀vi ∈V + S c nh: E = n * n −1 th bù Hai đ n đ th G G' đ c g i bù v i n u chúng có chung đ nh, c nh thu c G không thu c G' ng c l i Ký hi u: G' = G Ví d? 14 th l ng phân M t đ th G đ c g i đ th l ng phân (bipartie graph) n u t p h p đ nh V c a G có th phân thành t p h p không r ng V1 V2, V1 V2 = ∅ cho m i c nh c a G n i m t đ nh c a V1 v i m t đ nh c a V2 Trang BÀI T P CH NG II: CÁC BÀI TOÁN V Bài 01 Các đ th sau có chu trình Euler, đ xây d ng chu trình, đ ng NG I ng Euler hay không? N u có a b a c a b d e a c b a f d c a g g f d e a b e f e e d b c e f f h h i d g g j a k e d c c i h b d h b c f Bài 02 M t ng i có th qua nh ng chi c c u nh hình v sau, m i chi c c u qua l n l i tr v n i xu t phát đ c không? 64 Bài 03 Xem xét đ th có h ng sau, có chu trình hay đ không? N u có, xây d ng chu trình đ ng a b d c a b d e ng Euler hay c a b c a b c d d e f e f g h Bài 04 V i giá tr c a n, đ th sau có chu trình Euler: a Kn b Cn c Wn d Kn,n Bài 05 M t ông vua xây d ng m t lâu đài đ c t báu v t Ng i ta tìm th y s đ c a lâu đài nh sau v i l i c n d n: mu n tìm báu v t, ch c n t m t c n phòng bên (s 1, 2, 6, 10 ) qua t t c c a phòng, m i c a ch m t l n Báu v t đ c gi u sau cánh c a cu i Hãy tìm n i gi u báu v t 11 12 13 16 17 18 10 14 15 Bài 06 Tìm chu trình Hamilton ho c đ ng Hamilton19c a c c đ th sau: 20 21 a b a b c b a c d e d e f g h f g i j 65 a a d b b e c d f b e g f e j h i c d Bài 07 Cho ví d v : th Petersen a th có m t chu trình v a chu trình Euler v a chu trình Hamilton b th có m t chu trình Euler m t chu trình Hamilton nh ng hai chu trình không trùng c th có chu trình Euler nh ng chu trình Hamilton d th có chu trình Hamilton nh ng chu trình Euler Bài 08 V i giá tr c a n, đ th sau có chu trình Hamilton: a Kn b Cn c Wn Bài 09 Tìm đ dài đ sau: a b a b a d Kn,n ng ng n nh t gi a a z đ th có tr ng s d f b z c b de 35 gg j 3 h e 9 6 c f i k 30 c a 50 z 40 35 19 d 12 23 c 10 g 11 z 20 f 66 h b d a e 3 d Bài 10 Tìm đ g 3 m s q z t n p j o l i 2 8 r k ng ng n nh t gi a a z c a đ th sau, v i u ki n: B D A C a i qua đ nh H b Ch a c nh IJ 5 I 8 H Bài 11 Dùng thu t toán Hedetniemi, tìm đ đ th c a 9a 9c J L F G E K 12 M 5 Z N ng ng n nh t gi a a z 67 BÀI T P CH NG III: TH PH NG VÀ BÀI TOÁN TÔ MÀU TH 1) Xây d ng đ th đ i ng u tô màu b n đ sau: a b D C A B E c 2) Tìm s c s c a đ th sau: a b c A d e F E J G I D H A D B E F H G C B 68 C 3) Tìm s c s c a đ th sau: a b c d 4) Tìm s c s c a đ th : a Kn b Cn c Wn d Kn,n 5) Các đ th sau có ph ng hay không? N u có v c nh c t nhau: B a b A c C d E e A B C D f 69 D E F A g h B A B F C F E B C D 6) Tìm s đ nh, c nh mi n c a đ th sau: a b D c 7) V đ th ph ng liên thông v i c nh mi n 8) V đ th ph ng liên thông v i đ nh mi n 9) V đ th ph ng liên thông v i đ nh c nh 10 Ch ng minh đ th sau không ph ng: a b c 70 11) M t ng i gi th o c m viên mu n s p x p v t s ng theo thói quen t nhiên c a chúng Nh ng ông ta không th cho t t c v t s ng chung m t ch chúng có th n th t l n D u ch m b ng sau ch nh ng v t có th n th t l n S n i nh nh t ng i gi th o c m viên c n đ nuôi v t bao nhiêu? a a b c d e f g h i j b • c d e • f • • g h i • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 12) Ch ng minh r ng m t âån đ th v i n đ nh có s c s n đ th có n(n − 1) c nh Bài t p ch ng IV CÂY V t t c (không đ ng c u v i nhau) có đ nh, đ nh, đ nh đ nh Tìm m i T cho: a T m t đ th đ u b đ th bù c a T c ng m t Tìm bao trùm ng n nh t c a đ th G sau b ng thu t toán Kruskal thu t toán Prim (b t đ u t đ nh d) a b 10 14 d c 11 e 15 20 f 4.Tìm bao trùm dài nhg t c a7 đ th hG Dùng thu t toán Kruskal thu t toán Prim tìm bao trùm ng n nh t c a đ th sau: a b c 3 a d j • e 3 f 71 a d b a c 7 i e 9 f h 10 8 d g CMR n u m t đ n đ th vô h 6 e h f i k 10 c g h Tìm s t i đa đ nh c a m t m-phân có chi u cao Tìm bao trùm nh nh t ch a c nh km c a đ th sau: b b p m j n ng G có t t c c nh đ u c u G m t 72 TÀI LI U THAM KH O MÔN S H C Apostol, T M (1976) Introduction to Analytic Number Theory Spinger - Verlag, 512.73 NewYork MSTV: A 645 Barnett, I A (1969) Elements of Number Theory Prindle, Weber and Schmid, Inc., 513 Boston, Massachusetts MSTV: B259 Hungerford, T WW (1997) Abstract Algebra: An Introduction Sauler College Publishing, Orlando, Florida Rose, H E (1999) A Course in Number Theory Oxford University Press, NewYork Uspensky, J V (1939) Elementary Number Theory Mc Graw - Hill book Company, 5127 Inc., NewYork and London MSTV: U 86 Bùi Huy Hi n (1985) Bài t p i s S h c T p I Nhà xu t b n Giáo d c Hà Huy Khoái (1997) Nh p môn s h c thu t toán Nhà xu t b n Khoa h c K thu t Hoàng Chúng (1997) S h c - Bà Chúa c a Toán h c Nhà xu t b n Giáo d c L i c Th nh (1970) S lu n T p I, II Nhà xu t b n Giáo d c MSTV: 10 Ngô Thúc Lanh (1986) i s S h c T p I - Nhà xu t b n Giáo d c 11 Tr n ình Hi n (1997) Giáo trình Lý thuy t s Nhà xu t b n Giáo d c 513 Th 312 TÀI LI U THAM KH O MÔN TOÁN R I R C Kenneth H Rosen, Toán h c r i r c ng d ng tin h c, Nhà xu t b n Khoa h c K thu t - Hà N i 1997 Nguy n c Ngh a - Nguy n Tô Thành, Toán r i r c, Nhà xu t b n Giáo d c, 1997 Hoàng Chúng, ic Nguy n Cam - Chu ng v toán h c h u h n, Nhà xu t b n Giáo d c, 1998 c Khánh, Lý thuy t đ th , Nhà xu t b n tr , 1998 Giáo trình Toán r i r c I, i h c M TP.HCM, 1993 nh lý v n đ v đ th h u h n, Nhà xu t b n Giáo d c, 2001 TSKH V ình Hòa, TSKH V 2001 ình Hòa, M t s ki n th c c s v Graph h u h n, Nhà xu t b n Giáo d c, ng Huy Ru n, Lý thuy t đ th ng d ng, Nhà xu t b n Khoa h c K thu t - Hà N i 2000 Robin J Wilson, Introduction to Graph Theory, Fourth Editon, Longman Publisher, 1996 MSTV: P CH 2221 10 Ralph P Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, 3rd Edition, Addison Wesley Publishing Company, 1994 11 Richard Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Second Edition, Macmillan Publishing Company, Newyork, 1992 12 John A Dossey, Discrete Mathematics, 2nd Edition, Harper Collins College Publishers, NewYork, 1993 13 John G Michaels and Kenneth H Rosen, Applications of Discrete Mathematics, Mc Graw - Hill, Inc., 1994 14 John E Manro, Discrete Mathematics for Computing, Thomas Nelson Publisher, 1992 15 Gary Chartrand and Ortrud R Oellermann, Applied and Algorithmic Graph Theory, Mc Graw - Hill, Inc., 1993 Bài t p ch CÂY ng IV: V t t c (không đ ng c u v i nhau) có đ nh, đ nh, đ nh đ nh Tìm m i T cho: a T m t đ th đ u b th bù c a T c ng m t Tìm bao trùm ng n nh t c a đ th G sau b ng thu t toán Kruskal thu t toán Prim (b t đ u t đ nh d) a 12 b 10 14 11 d c 15 g f e 20 h Tìm bao trùm dài nh t c a đ th G cho Dùng thu t toán Kruskal thu t toán Prim tìm bao trùm ng n nh t c a đ th sau: a 3 a d e h 3 g i Tìm s t i đa đ nh c a m t m-phân có chi u cao h Tìm bao trùm nh nh t ch a c nh km c a đ th sau: b a f i b d b f a c 3 g b k h e c 10 p 10 m 6 9 g d j n h e c f i M CL C Trang Ch IC ng I NG V TH I Các khái ni m c b n 1 th Bi u di n đ th B c c a đ nh đ th 4 Ch ng minh - gi i toán b ng ph ng pháp đ th II M t s đ th đ c bi t th đ y đ th vòng th hình bánh xe th đ u Các kh i n-l p ph ng th bù th l ng phân III S đ ng c u c a đ th nh ngh a th t bù 10 IV th có h ng 10 nh ngh a 10 B c c a đ nh đ th có h ng 10 V Tính liên thông 11 ng 11 Chu trình 11 Tính liên thông đ th vô h ng 13 Tính liên thông đ th có h ng 14 VI M t s phép bi n đ i đ th 15 H p c a hai đ th 15 Phép phân chia s c p 15 Ch ng II CÁC BÀI TOÁN V NG I I Chu trình đ ng Euler 17 Bài toán m đ u 17 nh ngh a 18 Chu trình đ ng Euler đ th vô h ng 18 Chu trình đ ng Euler đ th có h ng 21 II Chu trình đ ng Hamilton 22 Chu trình Hamilton 22 Ph ng pháp tìm chu trình Hamilton 25 ng Hamilton 26 III Bài toán đ ng ng n nh t 27 M đ u 27 Thu t toán tìm đ ng ng n nh t 27 IV Thu t toán Hedetniemi 31 Phép c ng ma tr n Hedetniemi 32 Thu t toán Hedetniemi 32 Ch ng III TH PH NG VÀ BÀI TOÁN TÔ MÀU I TH th ph ng 34 Bài toán m đ u 34 th ph ng 34 Công th c Euler 35 nh lý Kuratowski 38 II Bài toán tô màu đ th 39 Bài toán m đ u 39 Tô màu đ th 40 M t s đ nh lý v tô màu đ th 41 Thu t toán Welch-Powell v tô màu đ th 44 ng d ng c a toán tô màu 44 Ch ng IV CÂY I M t s khái ni m c b n 46 Cây (Tree) 46 R ng (Forest) 46 nh lý v u ki n đ c a 47 Cây có g c 47 nh lý Chain 49 Cây m - phân 50 II M t s tính ch t c a 50 Tính ch t 50 Tính ch t 51 Tính ch t 51 III Cây nh phân phép t 51 nh ngh a 51 Ví d 52 Ký pháp ngh ch đ o Ba Lan (Reverse Polish Notation - RPN) 52 IV Cây khung 54 nh ngh a 54 Ví d 54 nh lý 55 Cây khung nh nh t 55