Tai lieu on thi THPT quoc gia

TÀI LI U THAM KH O Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán 2015 GV: Dương Phước Sang M CL C Phần 1: Hàm số số tốn có liên quan A Tóm tắt lý thuyết 1,2,3,11,14 B Bài tập minh hoạ C Bài tập rèn luyện 16 Phần 2: Phương trình, bất phương trình mũ lơgarit 23 A Tóm tắt lý thuyết 23, 26 B Bài tập minh hoạ 24 C Bài tập rèn luyện 29 Phần 3: Ngun hàm, tích phân ứng dụng 32 A Tóm tắt lý thuyết 32 B Bài tập minh hoạ 35 C Bài tập rèn luyện 41 Phần 4: Phương pháp toạ độ khơng gian 45 A Tóm tắt lý thuyết 45,46,47,53,54 B Bài tập minh hoạ 48 C Bài tập rèn luyện 58 Phần 5: Số phức 67 A Tóm tắt lý thuyết 67 B Bài tập minh hoạ 68 C Bài tập rèn luyện 71 Phần 6: Khối đa diện, khối tròn xoay 73 A Tóm tắt lý thuyết 73 B Bài tập minh hoạ 74 C Bài tập rèn luyện 80 Phần 7: Phương trình lượng giác 85 A Tóm tắt lý thuyết 85 B Bài tập minh hoạ 87 C Bài tập rèn luyện 90 Phần 8: Tổ hợp – Xác suất & Nhị thức Newton 95 A Tóm tắt lý thuyết 95 B Bài tập minh hoạ 96 C Bài tập rèn luyện 100 Phần 9: Phương pháp toạ độ mặt phẳng 109 A Tóm tắt lý thuyết 109 B Bài tập minh hoạ 110 C Bài tập rèn luyện 113 Phần 10: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 127 A Tóm tắt lý thuyết 127 B Bài tập minh hoạ 128 C Bài tập rèn luyện 136 Phần 11: Bất đẳng thức, giá trị lớn & giá trị nhỏ 150 A Tóm tắt lý thuyết 150 B Bài tập minh hoạ 151 C Bài tập rèn luyện 155 Phụ lục: Phương pháp xét dấu biểu thức chứa biến 164 Phụ lục: Một số vấn đề tam thức bậc hai 165 Phụ lục: Một số vấn đề toạ độ mặt phẳng 167 Phụ lục: Bảng cơng thức đạo hàm 168 Phụ lục: Bảng cơng thức lượng giác 169 KH O SÁT HÀM S §1 HÀM S VÀ BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN B C BA VÀ HÀM S TRÙNG PH NG I Sơ đồ khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số đa thức Hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) Hàm số trùng phương: y = ax + bx + c (a ≠ 0) Tập xác định : D = ℝ Tính lim y lim y Dùng y ′′ tìm điểm uốn Tính y ′ Vẽ bảng biến thiên Lập bảng giá trị Cho y ′ = tìm x (nếu có) Nêu tính đơn điệu cực trị Vẽ đồ thị nêu nhận xét x →−∞ x →+∞ 1) Hình dáng đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d Số nghiệm phương trình y ′ = a>0 y y ′ = có nghiệm phân biệt y x O O x Đồ thị hàm số ln có điểm cực trị x Đồ thị hàm số ln ĐB ln NB y y y ′ = có nghiệm kép vơ nghiệm Sự biến thiên cực trị a0 a f ′′(x ) = : phải vẽ bảng biến thiên Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 Sự tồn cực trị hàm số bậc ba hàm số trùng phương Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị ⇔ y ′ = có nghiệm phân biệt Nếu hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị có cực đại cực tiểu Hàm số trùng phương y = ax + bx + c có cực trị ⇔ y ′ = có nghiệm phân biệt Hàm số trùng phương y = ax + bx + c có cực trị ⇔ y ′ = có nghiệm V Sự tương giao đồ thị hàm số đường thẳng Số giao điểm (C ) : y = f (x ) d : y = kx + b với số nghiệm phương trình f (x ) = kx + b Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hồnh điểm phân biệt hàm số có điểm cực trị cho giá trị cực trị tương ứng trái dấu với Đồ thị hàm số trùng phương cắt trục hồnh điểm phân biệt hàm số có điểm cực trị cho giá trị cực đại cực tiểu hàm số trái dấu với BÀI TẬP MINH HOẠ VỀ HÀM SỐ BẬC BA Ví dụ 1.1: Cho hàm số y = x − x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − 6x + 8m = (1) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm dương ? c) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm (C ) có hồnh độ – Bài giải Câu a: y = x − x + (1) Tập xác định : D = R Cho y ′ = ⇔ x − x = ⇔ x = x = Đạo hàm: y ′ = x − x Giới hạn: lim y = −∞ ; x →−∞ Bảng biến thiên: 2 lim y = +∞ Hàm số bậc ba x →+∞ x −∞ y′ + 0 – +∞ + lim y = +∞ x →+∞ +∞ dấu với hệ số a y –∞ –1 Hàm số (1) đồng biến khoảng (–∞; 0) (4;+∞) nghịch biến khoảng (0;4) Hàm số (1) đạt cực đại xCĐ = ⇒ yCĐ = ; đạt cực tiểu xCT = ⇒ yCT = – Th.S Dương Phước Sang 0942.080383 y ′′ = x − Cho y ′′ = ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = y 4 Điểm uốn đồ thị I (2;1) Bảng giá trị: x –2 y –1 –1 Đồ thị hàm số (1) đường cong nhận điểm -2 O -1 I (2;1) làm tâm đối xứng (như hình vẽ) x Câu b: Ta có (1) ⇔ x − 6x = −8m ⇔ x − x = −m ⇔ x − x + = − m 8  (C ) : y = x − x + Đặt  số nghiệm (1) với số giao điểm (C ) d   d : y = − m  (1) có nghiệm ⇔ (C ) d có điểm chung y ⇔ −1 < − m < ⇔ < m < (1) có nghiệm ⇔ (C ) d có điểm chung  − m = −1 ⇔  ⇔  − m = m =    m = 17 -2 -1 O x -1 (1) có nghiệm ⇔ (C ) d có điểm chung  − m < −1 ⇔  ⇔  − m > y=3-m m >    m < Đặc biệt: (1) có nghiệm dương ⇔ (C ) d có điểm chung bên phải Oy 3 −m ≥ ⇔  ⇔  − m = −1 m ≤    m = (lưu ý: phương trình có nhiều nghiệm số nghiệm dương phải nhất) Câu c: Với x = −2 ta có y = y(−2) = −1 y ′(x ) = y ′(−2) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm M (−2; −1) y = (x + 2) − ⇔ y = x + 2 Ví dụ 1.2: Cho hàm số y = −x + 3x − 3x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) song song với đường thẳng y = – 3x c) Tìm giá trị k để đường thẳng y = kx – 2k – cắt (C ) điểm phân biệt d) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ O Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 Bài giải Câu a: y = −x + 3x − 3x Tập xác định: D = R Cho y ′ = ⇔ −3x + 6x − = ⇔ x = Đạo hàm: y ′ = −3x + 6x − Giới hạn: lim y = +∞ x →−∞ Bảng biến thiên: ; x −∞ y′ y lim y = −∞ y x →+∞ – +∞ +∞ – −1 O –∞ Hàm số (5) nghịch biến R khơng đạt cực trị x -1 -2 y ′′ = ⇔ −6x + = ⇔ x = ⇒ y = −1 Điểm uốn : I(1;–1) Bảng giá trị: 0 x y −1 −2 Đồ thị hàm số đường cong nhận điểm I(1;–1) làm tâm đối xứng (như hình vẽ) Câu b: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = – 3x nên có hệ số góc k = y ′(x ) = −3 (trong x hồnh độ tiếp điểm) ⇔ −3x 02 + 6x − = −3 ⇔ 3x 02 − 6x = ⇔ x = x = Với x = y = Phương trình tiếp tuyến (C ) O(0;0) có phương trình y = −3(x − 0) + ⇔ y = −3x (song song với d) Với x = y = −2 Phương trình tiếp tuyến (C ) M(2;– 2) có phương trình y = −3(x − 2) − ⇔ y = −3x + (trùng với d) Như có tiếp tiếp song song với d y = – 3x Câu c: Hồnh độ giao điểm (nếu có) (C ) ∆ : y = kx − 2k − nghiệm phương trình −x + 3x − 3x = kx − 2k − ⇔ (x − 2)(−x + x − 1) = k (x − 2) x = (1)  ⇔ (x − 2)(x − x + + k ) = ⇔   x − x + + k = (2)  Đặt g(x ) = x − x + + k (C ) ∆ cắt điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có nghiệm x 1, x 2, x phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác  △g >  −3 − 4k > ⇔  ⇔  ⇔ k ∈ (−∞; − ) \ {−3}  g (2) ≠  + k ≠ Vậy với k ∈ (−∞; − ) \ {−3} (C ) ∆ cắt điểm phân biệt Th.S Dương Phước Sang 0942.080383 Câu d: Hàm số y = −x + 3x − 3x có đạo hàm y ′ = −3x + 6x − Giả sử x = a, y = −a + 3a − 3a y ′(a ) = −3a + 6a − Phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số x = a có dạng y = (−3a + 6a − 3)(x − a ) − a + 3a − 3a HàmChú số bậc ý ba Tiếp tuyến qua O khác với tiếp tuyến O Để tiếp tuyến qua gốc toạ độ O = (−3a + 6a − 3)(0 − a ) − a + 3a − 3a Giải phương trình ta nghiệm: a = a = , từ ta có hai tiếp tuyến y = −3x y = − x Ví dụ 1.3: Tìm giá trị tham số m để hàm số sau đạt cực tiểu x = −2 y = x + (m − m + 2)x + (3m + 1)x − Bài giải x + (m − m + 2)x + (3m + 1)x − (1) Đạo hàm cấp một: y ′ = x + 2(m − m + 2)x + (3m + 1) ⇒ y ′(−2) = −m + 4m − Đạo hàm cấp hai: y ′′ = 2x + 2(m − m + 2) ⇒ y ′′(−2) = 2m − 2m y= Tập xác định : D = R Hàm số đạt cực đại x = −2 nên y ′(−2) = ⇔ −m + 4m − = ⇔ m = m = Với m = y ′′(−2) = 12 > ⇒ hàm số đạt cực tiểu x = −2 Với m = y ′′(−2) = (ta chưa khẳng định tồn cực trị hàm số) Ta có y ′ = x + 4x + = (x + 2)2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ hàm số khơng đạt cực trị Vậy với m = hàm số đạt cực tiểu x = −2 Ví dụ 1.4: Cho hàm số y = (m + 1)x + 3mx + (3 − m )x − a) Tìm giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu b) Với giá trị m hàm số có điểm cực trị dương c) Với giá trị m điểm cực trị x 1, x thoả mãn x + x + x 1x + = Bài giải Câu a: Hàm số y = (m + 1)x + 3mx + (3 − m )x − có tập xác định D = R y ′ = 3(m + 1)x + 6mx + (3 − m ) y ′ = ⇔ 3(m + 1)x + 6mx + (3 − m ) = Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ phương trình y ′ = có hai nghiệm x1, x phân biệt  3(m + 1) ≠  ay ′ ≠ ⇔  ⇔  ⇔ m ∈ (−∞; 1− 13 ) ∪ (1+ 13 ; +∞) \ {−1} 4  12m − 6m − >  △y′ ′ > Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 Áp dụng bất đẳng thức (2) vào giả thiết tốn ta = + x + + 2y + + 2z ≥ + + x + 2y + + 2z ≥ + + + x + 2y + 2z ⇒ + x + 2(y + z ) ≤ ⇒ y + z ≤ − x2 (3) x Kết hợp (1) (3) ta P ≤ 2x +  −  Trở lại với điều kiện, x , y, z ≥ nên từ (3) ta tiếp tục suy ≤ x ≤ 2 x Xét hàm số f (x ) = 2x +  −  đoạn [0;2 2] ta tìm max f (x ) = f (0) = 64 [0;2 ] Do P ≤ f (x ) ≤ 64 P = 64 ⇔ x = y = 0,z = ∨ x = z = 0, y = Vậy giá trị lớn biểu thức P max P = 64 x = y = 0,z = ∨ x = z = 0, y = Ví dụ 7: Cho a, b, c ba số dương Tìm giá trị lớn biểu thức P= a + b2 + c2 + − (a + 1)(b + 1)(c + 1) Bài giải (x + y )2 ta (a + b)2 (c + 1)2 (a + b + c + 1)2 2 a +b +c +1 ≥ + ≥ ⋅ 2 2 1 ⇒ ≤ (1) a + b2 + c2 + a + b + c + Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức CauChy dạng x + y ≥ (x + y + z )3 ta 27 (a + b + c + 3)3 (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤ (2) 27 27 Kết hợp (1), (2) so sánh vào P ta P ≤ − a + b + c + (a + b + c + 3)3 27 Đặt t = a + b + c + > ta P ≤ − t (t + 2)3 27 Xét hàm số f (t ) = − khoảng (1; +∞) t (t + 2)3 81 f ′(t ) = − , f ′(t ) = ⇔ 81t = (t + 2)2 ⇔ t = (do t > 1) (t + 2) t Áp dụng bất đẳng thức CauChy dạng xyz ≤ Bảng biến thiên f (s ) sau: t f ′(t ) + f (t ) – Như P ≤ f (t ) ≤ +∞ Ngồi ta ta chứng minh P = ⇔a =b =c =1 Vậy giá trị lớn P max P = Th.S Dương Phước Sang 153 0942.080383 Bài tập rèn luyện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: 2) f (x ) = x − 5x + 10x − 1, x ∈ [−1;2] 1) f (x ) = x − 5x + 5x + 1, x ∈ [−1;2] 3) f (x ) = 2x + 3x + , x ∈ [0;2] x +1 6) f (x ) = (x − 1)2e −x , x ∈ [0;2] x − 8x + 4) f (x ) = x2 + 5) f (x ) = 2(x − 2)e x + 2x − x 2, x ∈ [0;2] 7) f (x ) = x − ln(1 − 2x ), x ∈ [−2; 0] 8) f (x ) = x ln x − 2x + 2,[1;e ] 9) f (x ) = x + − x 10) f (x ) = (x + 1)ln(x + 1), x ∈ [− ;2 ] 11) f (x ) = ln(x − 3x + 6) − ln(x − 1), x ∈ [2; 4] 12) f (x ) = x ln x , x ∈  14 ; 12  e e  13) f (x ) = ln x + + ln2 x , x ∈ [1;e ] 14) f (x ) = ln (x + x + 1) − 2x , x ∈ [0;2] 15) f (x ) = 2x − 9x + 12x + , x ∈ [−1; 4] 16) f (x ) = 2x +1 + (x − 6x )ln 2, x ∈ [−1;2] 17) f (x ) = x +1 x +1 18) f (x ) = , x ∈ [−1;2] 20) y = 22 + 4x − x − + 2x − x 19) f (x ) = 21 + 4x − x − 10 + 3x − x 2 1+ x +3 , x ∈ (1;6] x −1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: 1) f (x ) = 3) f (x ) = 5) f (x ) = 7) f (x ) = 9) f (x ) = x −1 x2 2x + x −1 2) f (x ) = 2x − x 4) f (x ) = x + − x2 + x3 + x2 + x (x + 1)2 x − x (x − 1) + x − x −1 +1 + sin x + cos6 x 6) f (x ) = + sin x + cos x cos4 x + sin2 x sin x + cos2 x sin (x − π ) sin x + + 2cos x , x ∈  π ; π  8) f (x ) = x − 1−x + x + 1−x + cos x sin x (2cos x − sin x ) , x ∈ ( 0; π  − 4x − + x − 4a + + x + 10) f (x ) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + x 4y HD: y rút từ giả thiết vào biểu thức P để dùng phương pháp hàm số Cho số dương x số thực y thoả mãn x − xy + = 2x + 3y ≤ 14 Tìm giá trị lớn Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = giá trị nhỏ biểu thức P = 3x 2y − xy − 2x (x − 1) HD: y rút từ giả thiết vào biểu thức P để dùng phương pháp hàm số x + y2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T = , biết x + y ≠ x + xy + 4y Cho số x, y thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x2 P= x + xy + y Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 154 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 Cho x + xy + y ≤ Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x + xy + 2y P HD: tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức từ cho kết luận x + xy + y Cho x , y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 1 P = 2xyz + + + x y z HD: áp dụng CauChy để biến đổi, đánh giá giải theo ẩn phụ t = xyz Cho số dương x, y thoả mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P = x +y +z + + + x y z HD: dùng bất đẳng thức phụ để so sánh P với biểu thức theo biến t = x + y + z 10 Cho số dương x, y thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + + + 2xyz x y z 11 Cho số thực x, y thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x + y + z + xy + yz + zx HD: biến đổi P theo t = x + y + z , dùng Bunyakovski vào giả thiết để tìm điều kiện cho t 12 Cho số x, y khơng âm thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x y P= + y +1 x +1 HD: Có thể dùng phương pháp biến đổi giải theo ẩn phụ t = xy (có dùng CauChy) Ngồi giải theo hai ẩn phụ tổng s tích p với s ≥ 4p 13 Cho số x, y thoả mãn x + y + xy = x + y + Tìm giá trị lớn nhỏ xy P= x +y +1 HD: Dùng phương pháp biến đổi P theo t = x + y, dùng CauChy tìm điều kiện cho t Ngồi giải theo hai ẩn phụ tổng s tích p với s ≥ 4p 14 Cho số x, y dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức 1 P= − xy x + y HD: Biến đổi P theo t = xy dùng CauChy vào giả thiết tốn để tìm điều kiện cho t  1   15 Cho x, y số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy  + +  (x − y )2 x y  y x HD: Biến đổi giải P theo t = + , dùng CauChy để điều kiện cho t x y 16 Cho số x, y dương thoả mãn x + y = 2(x + y ) + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x (x − 2) + y(y − 2) HD: đặt hai ẩn phụ phù hợp, biến đổi giả thiết để tìm điều kiện vào biểu thức P Th.S Dương Phước Sang 155 0942.080383 17 Cho số x, y thoả mãn x + 4y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức (x + 1)2 + 4y(x + y + 1) P= x + 2(y + 1) HD: giải theo t = x + 2y, dùng Bunyakovski vào giả thiết để điều kiện − ≤ t ≤ 18 Cho số x, y, z khơng âm thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx + x +y +z HD: giải theo t = x + y + z, dùng Bunyakovski vào giả thiết để tìm điều kiện cho t 19 Cho số x, y dương thoả mãn 3xy + = x + y + Tìm giá trị lớn biểu thức xy 16 P = x 2y + x + y2 + HD: giải theo t = xy, dùng CauChy vào giả thiết để suy điều kiện cho t 20 Cho số x, y dương Tìm giá trị lớn P = xy + x + 9x 2y x + 8y HD: tử thức mẫu thức P đẳng cấp bậc theo biến x y 21 Cho số a, b, c thuộc đoạn [1;2] Tìm GTNN P = (a + b)2 c + 4(ab + bc + ca ) HD: tử thức mẫu thức P đẳng cấp bậc theo biến c (a + b) 22 Cho số x, y khác thoả mãn x + y = 2x 2y + xy giá trị lớn nhỏ + x y HD: rút xy từ giả thiết thay vào P để biểu thức có tử mẫu đẳng cấp bậc P= 23 Cho số x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x (x + 2) + y (y + 2) + 3(x + y )(xy − 4) HD: giải theo tổng s tích p với s ≥ 4p , dùng giả thiết để suy −2 ≤ s ≤ 24 Cho số x, y khơng âm thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x (x + x + x + y ) + y(y + y + x + y ) HD: giải theo tổng s tích p với s ≥ 4p , dùng giả thiết để suy ≤ p ≤ 503 xy 2 26 Cho số x, y thoả mãn x + y = + xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 25 Cho số x, y dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ P = 8(x + y ) + P = (x + y − 2)xy x + y4 27 Cho 2(x + y ) = + xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = + 2xy 2 28 Cho x , y > thoả mãn x + y + = 2(x + y ) + xy Tìm giá trị lớn nhỏ 2 P = 2xy + xy − Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 156 x +y Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 29 Cho hai số thực x, y thoả mãn x + 4y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x + 8y − 3xy 30 Cho số x , y ≥ thoả mãn 4(x + y + xy ) ≤ + 2(x + y ) Tìm giá trị lớn A = xy + x + y − x − y 31 Cho số x ≥ 1, y ≥ thoả mãn 3(x + y ) = 4xy Tìm giá trị lớn nhỏ 1 1 P = x + y +  +  x y 32 Cho số dương x, y thoả mãn x 2y + xy = x + y + 3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1 + 2xy )2 − 2xy 2 33 Cho x, y phân biệt thoả mãn (x − 2) + (y + 2) − 2xy ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x − y − (x − y )(7 + 3xy ) + + 4xy x −y 34 Cho số dương x, y thoả mãn x + y + xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y2 + A= 4x 4y + + 2xy − − 3xy 1+y 1+x 35 Cho số thực x, y thoả mãn x − y + y − x = Tìm giá trị lớn nhỏ A = (x + y )3 − 12(x − 1)(y − 1) + xy HD: dùng Bunyakovski đổi giả thiết thành x + y = giải theo tổng s tích p 36 Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x + y + z ) − 4xyz − 9x HD: dùng CauChy Bunyakovski để đánh giá với y, z để dồn biểu thức sang biến x 37 Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 8z HD: dùng Bunyakovski đánh giá với x, y để dồn biểu thức sang biến z 1 + x xy xy , thay giả thiết vào biểu thức dùng phương pháp hàm số 38 Cho số dương x, y thoả mãn 3x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ A = HD: dùng CauChy cho 39 Cho số dương x, y thoả mãn x + 2y − xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 y2 P= + + 8y + x u2 v2 (u + v )2 HD: chứng minh áp dụng bất đẳng thức phụ + ≥ a b a +b 40 Cho số thực x, y thuộc khoảng (0;2) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2(x + y ) + x − y + y − x HD: giải theo ẩn phụ t = x + y ∈ (0;2 2) Th.S Dương Phước Sang 157 0942.080383 41 Cho số dương x, y thoả mãn x + (y − 1)2 + z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2(x + z )y + x + y2 + z + HD: giả thiết suy 2y + ≥ 2x + 4y + 2z Biến đổi giải theo t = x + y + z = xy + Tìm giá trị lớn biểu thức xy 2 P= + − 2 + 2xy 1+x 1+y 42 Cho số dương x, y thoả mãn x + y + HD: dùng CauChy để đánh giá P giả thiết để giải tốn theo xy 43 Cho x, y thoả mãn x + y = x − + 2y + Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x + y + 2(x + 1)(y + 1) + − x − y HD: giải theo x + y, dùng Bunyakovski để tìm điều kiện cho x + y 44 Cho x , y, z ≥ thoả mãn 3(x + y + z ) = x + y + z + 2xy Tìm giá trị lớn biểu thức x2 x P= + (x + y ) + x x + z u2 v2 (u + v )2 HD: giả thiết suy x + y + z ≤ , dùng x ≥ + ≥ để biến đổi P theo x a b a +b 45 Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 HD: giải theo xyz x y3 z3 46 Cho x + y − = 2x − + y + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = (x + y )(y + z )(z + x ) + + + HD: giải theo x + y x +y 47 Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ 2(y + 1) Tìm giá trị lớn biểu thức S = (x + y )2 − − x − y + HD: t = x + y + z x +y +z +1 48 Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y ≤ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2xy + 2yz + 1   P = (x + y + z )  + +  4x 4y 4z ( a + b ) x +y HD: áp dụng a + b ≥ nhiều lần để biến đổi biểu thức P theo t = z 2 49 Cho x , y, z ≥ thoả mãn < (x + y ) + (y + z ) + (z + x ) ≤ 18 Tìm giá trị lớn P = x + y2 + z − (x + y + z )4 3(xy + yz + zx ) HD: dùng giả thiết chứng minh ≤ x , y, z ≤ biến đổi P theo x + y + z 50 Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 3(x + y + z ) + (x + 5y )(y + 5z )(z + 5x ) HD: áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski CauChy để biến đổi P theo x + y + z Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 158 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 51 [A-2014] Cho x , y, z ≥ thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức x2 y +z + yz P= + − x + yz + x + x + y + z + HD: Dùng (x − y − z )2 ≥ để chứng minh x + yz + x + ≥ x (x + y + z + 1) Biến đổi để chứng minh (x + y + z )2 ≤ 4(1 + yz ) Cuối dùng ẩn phụ t = x + y + z chứng minh ≤ t ≤ để tìm max P 52 [B-2014] Cho a, b, c ≥ thoả mãn (a + b)c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c + + b +c a + c 2(a + b ) P= HD: chứng minh a 2a ≥ b +c a +b +c b 2b ≥ a +c a +b +c 53 [D-2014] Cho hai số x, y thoả mãn ≤ x ≤ ≤ y ≤ Tìm giá trị nhỏ P= x + 2y x + 3y + + y + 2x y + 3x + + 4(x + y − 1) HD: chứng minh x ≤ 3x − y ≤ 3y − Đặt ẩn phụ t = x + y với ≤ t ≤ 54 [A-2013] Cho a, b, c > thoả mãn (a + c)(b + c) = 4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 32a (b + 3c)3 + 32b (a + 3c )3 − a + b2 c a b , y = đổi điều kiện giả thiết c c (u + v )3 Áp dụng bất đẳng thức u + v ≥ P ≥ (x + y − 1)3 − x + y 55 [B-2013] Cho a, b, c số dương Tìm giá trị lớn biểu thức HD: Đổi biến x = P= 2 a +b +c + − (a + b ) (a + 2c)(b + 2c) HD: chứng minh (a + b) (a + 2c )(b + 2c ) ≤ 2(a + b + c ) 56 [D-2013] Cho x, y số dương thoả mãn xy ≤ y − Tìm giá trị lớn biểu thức P= x +y x − xy + 3y − x − 2y 6(x + y ) x ≤ y 57 [A-2012] Cho x, y, z số thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức HD: sử dụng xy ≤ y − để chứng minh t = P = 3|x −y| + 3|y −z | + 3|z −x | − 6x + 6y + 6z HD: Chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀t > áp dụng |a | + |b | ≥ |a + b | để chứng minh (|x − y| + |x − y| + |x − y|) Th.S Dương Phước Sang ≥ (|x − y|2 + |x − y|2 + |x − y|2 ) 159 0942.080383 58 [B-2012] Cho x, y, z số thực thoả mãn x + y + z = x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z 5 2x − x ) ( 2 Dùng (x + y + z ) = để chứng minh 2x − = 2yz CauChy để tìm điều kiện cho x HD: Biến đổi P = x + (y + z )(y + z ) − y 2z (y + z ) = ⋯ = 59 [D-2012] Cho x, y, z số thực thoả mãn (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + 3(xy − 1)(x + y − 2) HD: Biến A theo t = x + y chứng minh ≤ t ≤ để tìm giá trị nhỏ cho A 60 [A-2011] Cho x, y, z số thực thuộc đoạn [1; 4] thoả mãn x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ x y z + + 2x + 3y y + z z + x 1 HD: Chứng minh + ≥ với a, b > ab ≥ áp dụng hợp lý cho P + a + b + ab x Dùng ẩn phụ t = ∈ [1;2] để tìm giá trị nhỏ cho P y biểu thức P = 61 [B-2011] Cho a, b số dương thoả mãn 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị  a b3   a b2  nhỏ biểu thức P =  +  −  +   b3 a3   b a  a b a b HD: dùng giả thiết chứng minh + ≥ Biến đổi P theo t = + b a b a 62 [B-2010] Cho a, b, c số khơng âm thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = (a 2b + b 2c + c 2a ) + (ab + bc + ca ) + a + b + c HD: giải theo ẩn phụ t = ab + bc + ca (có chứng minh ≤ 3t ≤ ) 63 [A-2009] Cho x, y, z số dương thoả mãn x (x + y + z ) = 3yz Chứng minh (x + y ) 3 + (x + z ) + (x + y ) (y + z ) (z + x ) ≤ (y + z ) HD: đặt a = x + y, b = x + z , c = y + z ⇒ c = a + b − ab chứng minh 4c ≤ (a + b)2 64 [B-2009] Cho x, y, z số thực thoả mãn (x + y )3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ A = (x + y + x 2y ) − (x + y ) + HD: dùng giả thiết CauChy chứng minh x + y ≥ ⇒ x + y ≥ 65 [D-2009] Cho x , y, z ≥ thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = (4x + 3y )( 4y + 3x ) + 25xy HD: đặt t = xy ∈ [0; 14 ] 66 [B-2008] Cho x, y, z số thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhỏ P= Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 2(x + 6xy ) + 2xy + 2y 160 HD: đặt t = x y Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 67 [D-2008] Cho x, y số thực khơng âm Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P= (x − y )(1 − xy ) (1 + x )2 (1 + y )2 HD: áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a − b ≤ a + b , ∀a, b ≥ 68 [A-2007] Cho x, y, z số thực dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ P= x (y + z ) y (z + x ) z2 + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y HD: áp dụng CauChy cho tử thức đặt ẩn phụ mẫu thức 69 [B-2007] Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ x P = x  +  yz  y  + y  +   zx  z  + z  +   xy    t2 + ,t > t 1 70 [A-2006] Cho x , y ≠ (x + y )xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn A = + x y 1 HD: giải theo ẩn phụ a = , b = x y 1 71 [A-2005] Cho x, y, z số thực dương thoả mãn + + = Tìm giá trị lớn x y z 1 A= + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z HD: viết lại P sử dụng x + y + z ≥ xy + yz + zx Xét hàm số f (t ) = 1 1 16 + + + ≥ , ∀a, b, c, d > a b c d a +b +c +d 72 [B-2005] Chứng minh với x ∈ ℝ ta có HD: chứng minh áp dụng bất đẳng thức x x x  12   15   20  x x x   +   +   ≤ + + 73 [D-2005] Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh + x + y3 + y3 + z3 + z3 + x3 + + ≥3 xy yz zx 74 [A-2003] Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ Chứng minh x2 + Th.S Dương Phước Sang x + y2 + y 161 + z2 + z2 ≥ 82 0942.080383 PH NG PHÁP XÉT D U M T BI U TH C CH A BI N A Đa thức đơn giản - thường sử dụng Nhị thức bậc Tam thức bậc hai Đa thức bậc ba QUY TẮC XÉT DẤU ĐA THỨC ĐƠN GIẢN BẬC BẬC BẬC Nếu có đủ nghiệm phân biệt Nếu có đủ nghiệm phân biệt “trong trái – ngồi cùng” “trái – – trái – cùng” Nếu có nghiệp kép vơ nghiệm Nếu có nghiệm “lấy dấu hệ số a” “trước trái – sau cùng” “trước trái – sau cùng” Gặp trường hợp khác tốt ta sử dụng “phương pháp khoảng” B Đa thức bậc n - có đủ n nghiệm phân biệt Ơ cuối phía bên phải bảng xét dấu ln dấu với hệ số a (bậc cao nhất) Dấu “+” dấu “–“ nằm xen kẽ bảng xét dấu đa thức xét C Xét dấu biểu thức f (x ) phương pháp khoảng Cho f (x ) = để tìm nghiệm x i (nếu có) x j làm cho f (x ) khơng xác định Điền số x i x j vừa tìm vào bảng xét dấu theo thứ tự từ bé đến lớn Sau phân chia cho bảng xét dấu, để điền dấu cho ta lấy số x thay vào biểu thức f (x ) để xác định dấu cần điền vào Thực điền dấu điền dấu đầy đủ xong (lưu ý: khơng phải lúc có dấu xen kẽ với nhau) x x1 x2 x3 x4 x5 f (x ) thay vào lấy x Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 162 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 M TS V N Đ CĨ LIÊN QUAN Đ N TAM TH C B!C HAI I Tam thức bậc hai khơng đổi dấu R Cho tam thức bậc hai h(x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) a > a < h(x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  h(x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔   △ ≤  △ ≤ Lưu ý: Biến đổi sử dụng a ≠ mệnh đề vế trái có ký hiệu ∀x ∈ ℝ Nếu hệ số a có chứa tham số a = xảy ta phải xét thêm trường hợp a = II Dấu nghiệm số phương trình bậc hai Với h(x ) = ax + bx + c dấu nghiệm phương trình h(x ) = xét sau: Phương trình h(x ) = có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac <  △ > Phương trình h(x ) = có hai nghiệm phân biệt dấu ⇔   P >  △ >  Phương trình h(x ) = có hai nghiệm dương phân biệt ⇔  P >   S >  △ > ⇔  P >   S < Phương trình h(x ) = có hai nghiệm âm phân biệt Lưu ý: Khi áp dụng biến đổi ta khơng cần ý đến điều kiện a ≠ Để việc giải bất phương trình đơn giản ta cần nhớ thêm: m(x ) > ⇔ m(x ).n(x ) > n(x ) m(x ) < ⇔ m(x ).n(x ) < n(x )  m(x ).n(x ) ≥ m(x ) ≥ ⇔   n(x ) ≠ n(x )  m(x ).n(x ) ≤ m(x ) ≤ ⇔   n(x ) ≠ n(x ) III Ứng dụng đếm số nghiệm phương trình bậc ba đặc biệt Cho phương trình bậc hai h(x ) = ax + bx + c = (a ≠ 0) Khi đó,  △ > (x − x 0).h(x ) = có nghiệm ph.biệt ⇔ h(x) = có nghiệm ph.biệt khác x ⇔  g  h(x 0) ≠  h(x ) = có nghiệm phân biệt   △ >    h    h(x ) = (với nghiệm x 0)   (x − x 0).h(x ) = có nghiệm phân biệt ⇔  ⇔      △h =    h(x ) = có nghiệm kép khác x   h(x 0) ≠ △ <  h  h(x ) = vô nghiệm  (x − x 0).h(x ) = có nghiệm ⇔  ⇔   △h = h(x ) = có nghiệm kép x     h(x 0) = Đặc biệt: phương trình ax + cx = có nghiệm phân biệt ⇔ ac < Th.S Dương Phước Sang 163 0942.080383 Lưu ý: Nếu phương trình anx n + an −1x n −1 + an −2x n −2 + ⋯ + a1x + a = ⇔ (x − x 0)(bn −1x n −1 + bn −2x n −2 + ⋯ + b1x + b0) = hệ số bn −1, bn −2, , b0 tìm theo sơ đồ (gọi sơ đồ Hcne) x0 × an + an −1 + an −2 + an −3 bn −1 bn −2 bn −3 bn −4 … + a0 × × × IV Ứng dụng đếm số nghiệm phương trình trùng phương Với t = x (t ≥ 0), phương trình ax + bx + c = (1) (a ≠ 0) trở thành at + bt + c = (2) (a ≠ 0)  △ >   S > ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm < t1 < t2   P >  S >  Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm = t1 < t2 ⇔  P =   ac <   (2) có nghiệm t < < t   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔  ⇔   △ =   S >  (2) có nghiệm kép dương    S ≤ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t1 ≤ t2 = ⇔  P =     △ ≥   S <  (2) có nghiệm t ≤ t <   ⇔   Phương trình (1) vơ nghiệm ⇔  (2) vô nghiệm   P >    △<  Phương trình (1) có nghiệm theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇔ (2) có hai nghiệm t1, t2 dương phân biệt thoả mãn t2 = 9t1 Lưu ý: cho trước số a > Với nghiệm dương t < a phương trình (2) ta tìm hai nghiệm x ∈ (− a ; a ) Với nghiệm t > a (2) ta tìm nghiệm x < − a nghiệm x > a Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 164 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 M TS V N Đ V TO# Đ TRONG M%T PH&NG I Toạ độ điểm toạ độ véctơ  x +x y +y  Trung điểm I đoạn thẳng AB có toạ độ: I  A B ; A B     x +x +x y +y +y Trọng tâm G tam giác ABC có toạ độ: G  A B C ; A B C  3 (    ) Toạ độ véctơ: AB = x B − x A ; yB − yA Từ AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 II Đường thẳng số vấn đề có liên quan Nếu đường thẳng d có vtcp u = (u1; u2 ) với u1 ≠ d có hệ số góc k = u2 u1 Đường thẳng d qua M (x ; y ) có vtpt n = (a;b) có phương trình tổng qt a(x − x ) + b(y − y ) = Đường thẳng AB có phương trình x − xA xB − xA = y − yA yB − yA (điều kiện: x A ≠ x B yA ≠ yB ) Đường thẳng d qua A(x A; yA ) với hệ số góc k có phương trình y = k (x − x A ) + yA ( )( ) A B nằm khác phía so với d : ax + by + c = ⇔ ax A + byA + c ax B + byB + c <  I ∈ d A B đối xứng với qua đường thẳng d ⇔  (I trung điểm đoạn AB)  AB ⊥ d Cho hai đường thẳng d1 d2 có véctơ pháp tuyến n1 n2 Khi đó, d1 ⊥ d2 ⇔ n1.n2 = cos(d1, d2 ) = n1.n2 n1 n2 Cho hai đường thẳng d1 d2 có hệ số góc k1 , k2 Khi đó, k − k2 d1 ⊥ d2 ⇔ k1.k2 = −1 tan (d1, d2 ) = 1 + k1.k2 / d2 ) (với d1 ⊥ Khoảng cách từ điểm M (x ; y ) đến đường thẳng △ : ax + by + c = d (M ; △) = ax + by + c a + b2 Đặc biệt: d (M ;Ox ) = y d (M ;Oy ) = x III Diện tích tam giác Diện tích tam giác ABC (vng A): S△ABC = AB.AC Diện tích tam giác ABC (dùng khoảng cách): với △ đường thẳng chứa cạnh BC ta có S△ABC = BC d (A, △) Diện tích tam giác ABC (dùng toạ độ véctơ): trước tiên ta cần tính toạ độ véctơ AB BC  AB = (x ; y )  1 S△ABC = x 1y2 − x 2y1 Nếu   BC = (x ; y )  2 Th.S Dương Phước Sang 165 0942.080383 B'NG QUY T)C VÀ CƠNG TH C Đ#O HÀM Quy tắc tính đạo hàm (u + v )′ = u ′ + v ′ u  v ′ u ′v − v ′u  =  v2 (uv )′ = u ′v + v ′u 1  u (ku )′ = k u ′ ′ u′  = −  u2 ( f  u(x )  )′ = f ′  u(x )  u ′(x ) Đạo hàm hàm số hợp Đạo hàm hàm số thường gặp (c )′ = (x n )′ = n.x n −1 (u n )′ = n.u n −1.u ′ ( x )′ = x  ′   = − x x u′ u )′ = u u′  ′   = − u u ( sin x )′ = cos x ( sin u )′ = u ′ cos u ( cos x )′ = − sin x ( cos u )′ = −u ′ sin u ( tan x )′ = ( cos2 u u′ ( cot u )′ = − sin u cos2 x ( cot x )′ = − sin x  ax + b  cx + d ad − cb ′ =  (cx + d )  au + b  cu + d (ex )′ = ex (ln x )′ = u′ ( tan u )′ = ad − cb ′ = ⋅ u′  (cu + d ) (eu )′ = eu u ′ (ln u )′ = x (a u )′ = u ′.a u ln a (ax )′ = ax ln a (loga x )′ = (loga u )′ = x ln a Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia u′ u 166 u′ u ln a Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 B'NG CƠNG TH C L ,NG GIÁC I Cơng thức sin α cos α cos α cot α = sin α tan α cot α = tan α = sin2 α + cos2 α = 1 = + tan2 α cos α = + cot2 α sin α II Cơng thức cộng sin(a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b tan a ± tan b tan(a ± b) = ∓ tan a tan b III Cơng thức nhân đơi cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α sin 2α = sin α cos α tan α tan 2α = − tan2 α Cơng thức nhân đơi bổ sung tan α sin 2α = + tan2 α cos 2α = IV Cơng thức nhân ba sin 3α = sin α − sin α cos 3α = cos α − cos α tan 3α = − tan2 α + tan2 α tan α − tan α − tan2 α V Cơng thức hạ bậc + cos 2α − cos 2α − cos 2α sin2 α = tan2 α = 2 + cos 2α VI Cơng thức biến đổi tổng thành tích Cơng thức bổ sung cos2 α = sin a + sin b = sin a +b cos a −b sin a + cos a = sin  a + π  2 a + b a − sin a − sin b = cos sin b 2 a + b a cos a + cos b = cos cos −b 2 a + b a cos a − cos b = −2 sin sin −b 2 tan a ± tan b = sin a − cos a = sin  a − π  cos a + sin a = cos  a − π  sin(a ± b) cos a.cos b cos a − sin a = cos  a + π  VII Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b =  cos(a − b) + cos(a + b)  sin a sin b =  cos(a − b) − cos(a + b)  sin a cos b =  sin(a − b) + sin(a + b)  VIII Một số cơng thức khác + sin 2a = (sin a + cos a )2 sin4 a + cos4 a = − sin2 2a − sin 2a = (sin a − cos a )2 sin6 a + cos6 a = − sin2 2a Th.S Dương Phước Sang 167 0942.080383 [...]... của đồ thị (C ) tại giao điểm của (C ) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x − 1 Xác định tọa độ các giao điểm của đồ thị (C ) với tiếp tuyến vừa tìm được 4 e) Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = kx – 1 cắt đồ thị (C ) tại 3 điểm phân biệt 1 1 4 Cho hàm số y = x 3 + x 2 − 2x − 3 2 3 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị... phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 20 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 4 4 x − 4x 2 + 1 3 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số 44 Cho hàm số y = b) Tìm các giá trị của m để phương trình x 4 − 3x 2 + log m = 0 có 4 nghiệm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) song song với đường thẳng d : y = 120x – 2015 d) Tìm các giá trị của tham... 9m 9 Cho hàm số y = x 3 − x 2 + − 3 2 8 8 a) Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị có hồnh độ bằng – 1 song song với đường thẳng y = 5x (HD: biết x 0 = −1 , viết pttt của đồ thị hàm số rồi dùng điều kiện song song của hai đường thẳng để xác định giá trị của m ) b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có các điểm cực trị A, B sao cho chúng cách nhau... có cực trị Với giá trị nào của m các điểm cực trị của hàm số cùng dấu với nhau Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 18 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 mx − 3 (1) với m là tham số x +1 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 1 28 Cho hàm số y = b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao điểm của (C ) với đường thẳng d : x + y – 4 = 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết... −1 x −1 , từ đó vẽ y = x +1 x +1 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x – 1 29 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y = c) Tìm các giá trị của k để đường thẳng d : y = kx + k cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt Với giá trị nào của k thì các giao điểm của (C ) và d có hồnh độ đều dương? d) Xác định toạ độ các điểm M trên đồ thị (C... cận ngang của (C ) x −3 30 Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và họ đường thẳng dk : y = kx + k 2−x a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số b) Tìm điểm M thuộc (C ) biết tiếp tuyến của (C ) tại M song song với đường thẳng x + y + 1 = 0 c) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại giao điểm của (C ) với trục hồnh Tính diện tích của tam giác chắn bởi tiếp tuyến d và hai đường tiệm cận của đồ thị... là tham số thực và đường thẳng d : y = a – x x −m a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số ứng với m = 1 32 Cho hàm số y = c) Tìm các giá trị của m để hàm số ln đồng biến trên mọi khoảng của tập xác định hàm số d) Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với trục hồnh song song với đường thẳng y = 2x (Đáp số: m = 1) e) Tìm các giá trị của tham... Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia  8m(m − 2) > 0  ⇔ m ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞)  −m + 2 ≠ 0 10 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 §2 HÀM S NH T BI N I Sơ đồ khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số nhất biến y= Tìm tập xác định D ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d Tính lim y và lim y x →−∞ Tính y ′ và xét dấu y ′ trên D Suy ra tính đơn điệu của hàm số và khẳng định hàm Vẽ bảng biến thi n x →+∞ suy ra... Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 12 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 x + m −1 có đồ thị là (C m ) x −m a) Tìm các giá trị của m để đồ thị (C m ) của hàm số cắt đường thẳng y = 2x – 3 tại hai điểm Ví dụ 2.2: Cho hàm số y = M, N phân biệt sao cho tam giác OMN vng tại O b) Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của (C m ) tại x = 3 có hệ số góc đạt giá trị lớn nhất Bài giải Câu a: Hồnh độ giao điểm (nếu có)... ) + 10 = 0 (*) Thay hệ thức Viét x 1 + x 2 = −m và x 1x 2 = 1 vào (*) ta giải được m = ± 5 (thỏa (I)) Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia 8 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 BÀI TẬP MINH HOẠ VỀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Ví dụ 1.9: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 2 − m (1) a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến cắt trục hồnh và trục ... −3x (song song với d) Với x = y = −2 Phương trình tiếp tuyến (C ) M(2;– 2) có phương trình y = −3(x − 2) − ⇔ y = −3x + (trùng với d) Như có tiếp tiếp song song với d y = – 3x Câu c: Hồnh độ giao... giải Hồnh độ giao điểm (C ) với trục hồnh: x =0⇔x =0 Hồnh độ giao điểm d với trục hồnh: x − = ⇔ x = Hồnh độ giao điểm (C ) với trục hồnh: = π ∫ xdx − π ∫ Tài liệu ơn tập kỳ thi Quốc gia x Thể tích... tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm đồ thị có hồnh độ – song song với đường thẳng y = 5x (HD: biết x = −1 , viết pttt đồ thị hàm số dùng điều kiện song song hai đường thẳng để xác định giá trị m ) b) Tìm