ĐỀ SỐ y = x3 − 3mx + 4m3 Câu (2.0 điểm): Cho hàm số (m tham số) có đồ thị (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Câu (2.0 điểm ) : + 2sin x + − = 2(cotg x + 1) sin x cos x x3 − y + y − 3x − = Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực 2 x + − x − y − y + m = Giải phương trình: Câu (2.0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình: (P): 2x − y − 2z − = 0; (d): x y +1 z − = = −1 1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) khoảng vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Câu (2.0 điểm): Cho parabol (P): y = x2 Gọi (d) tiếp tuyến (P) điểm có hồnh độ x = Gọi (H) hình giới hạn (P), (d) trục hồnh Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) quay quanh trục Ox Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 1 + + + xy + yz + zx x2 y2 Câu (2.0 điểm): Trong mp với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tiếp tuyến chung elip (E): + =1 parabol (P): y2 = 12x 12 Tìm hệ số số hạng chứa x 1 khai triển Newton: − x − ÷ x ĐỀ SỐ Câu I (5,0 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + (m tham số) (1) Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = Tìm m để đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) B C vng góc với Câu II (4,0 điểm) x x − y = x + y y x − y = Giải hệ phương trình: (x, y ∈ R) π sin x + cos x = sin ( x + ) − Giải phương trình: (x ∈ R) Câu III.(2,0 điểm) Cho phương trình: log( x + 10 x + m) = 2log(2 x + 1) (với m tham số) (2) Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt Câu IV (2,0 điểm) Tính tích phân: π tan xdx ∫ cos x + cos x Câu V (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), đường thẳng ∆1: x + y – = đường thẳng ∆2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B thuộc ∆1 điểm C thuộc ∆2 cho tam giác ABC vuông cân A Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) mặt phẳng (P): x + y + z - = Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ Câu VI (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) (SCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Câu VII (1,0 điểm) Chứng minh rằng: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = a3 b3 c3 + + ≥ 2 b +3 c +3 a +3 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn Câu II (2.0 điểm) Giải phương trình 2cos6x+2cos4x- 3cos2x = sin2x+ 2 x + x − y = 2 Giải hệ phương trình y − y x − y = −2 Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân ∫ ( x sin x + x )dx 1+ x Câu IV (1.0 điểm) Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện 1 + + ≥2 x y z Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Câu V (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi SA = x (0 < x < ) cạnh lại Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo x PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) Thí sinh làm hai phần A B (Nếu thí sinh làm hai phần khơng dược chấm điểm) A Theo chương trình nâng cao Câu VIa (2.0 điểm) 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M trung điểm đoạn AD, N tâm hình vng CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua điểm B, C’, M, N Câu VIIa (1.0 điểm) Giải bất phương trình log ( x + 1) − log ( x + 1)3 >0 x2 − 5x − B Theo chương trình chuẩn Câu VIb (2.0 điểm) Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) đường thẳng (d): x - y - = Lập phương trình đường tròn qua điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng (d) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vng góc với (Q) Câu VIIb (1.0 điểm) Giải phương trình ĐỀ SỐ C xx + 2C xx −1 + C xx − = Cx2+x2−3 ( Cnk tổ hợp chập k n phần tử) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= 2x − có đồ thị (C) x−2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Câu II (2 điểm) Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + = Giải phương trình: x2 – 4x - = x +5 Câu III (1 điểm) Tính tích phân: dx ∫ 1+ x + −1 1+ x2 Câu IV (1 điểm) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Câu V ( điểm ) Cho x, y, z số dương thỏa mãn 1 + + = CMR: x y z 1 + + ≤1 x + y + z x + y + z x + y + 2z PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn hai phần A B A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.( điểm ) Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = hai đường thẳng : x = + 2t x +1 − y z + (d) = = (d’) y = + t −1 z = + t Viết phương trình tham số đường thẳng ( ∆ ) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng Câu VIIa ( điểm ) Tính tổng : S = C50 C57 + C15C74 + C52 C37 + C35C72 + C54 C17 + C55C70 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b.( điểm ) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho hai đường thẳng : x = t (d) y = + 2t z = + 5t x = t (d’) y = −1 − 2t z = −3t a CMR hai đường thẳng (d) (d’) cắt b Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo (d) (d’) Câu VIIb.( điểm ) Giải phương trình : 2log5 ( x +3) = x S I.Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= 2x + x+2 có đồ thị (C) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Câu II (2 điểm) 1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x = log 22 x − log x − > (log x − 3) dx Câu III (1 điểm) Tìm nguyên hàm I = sin x cos x 2.Giải bất phơng trình Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng cách hai đờng thẳng AA1 B1C1 theo a Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ≥ a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= a3 + b2 + b3 + + c2 c3 1+ a2 II.PhÇn riêng (3 điểm) 1.Theo chơng trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = đờng thẳng d: x + y + m = Tìm m để đờng thẳng d có điểm A mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng tr×nh x = + 2t LËp phy = t z = + 3t ơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Câu VIIa (1 điểm) Có số tự nhiên có chữ số khác khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ 2.Theo chơng trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = đờng thẳng d có phơng trình x + y + m = Tìm m để đờng thẳng d có điểm A mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình x y z Lập = = phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Câu VIIb (1 điểm) Có số tự nhiên có chữ số khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn ba chữ sè lỴ Đ Ề SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) y = x − 3mx + m − x − m − ( m tham số) (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương Câu II (2 điểm) π 2sin 2x − ÷+ 4sin x + = 6 ( x − y ) x + y = 13 Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ¡ ) 2 ( x + y ) x − y = 25 Giải phương trình: ( ( ) ) Câu III (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với tạo với mặt phẳng đáy góc AB = a, AD = 2a, cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB 60o Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = điểm N Tính thể tích khối chóp Câu IV (2 điểm) a Mặt phẳng ( BCM ) cắt cạnh SD S.BCNM Tính tích phân: dx 2x + + 4x + I=∫ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y = 2sin8x + cos42x PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a câu V.b Câu V.a.( điểm ) Theo chương trình Chuẩn Cho đường tròn (C) : ( x − 1) + ( y − ) = điểm M(2;4) a) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho M trung điểm AB b) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) có hệ số góc k = -1 Cho hai đường thẳng song song d d2 Trên đường thẳng d có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n ≥ ) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n Câu V.b.( điểm ) Theo chương trình Nâng cao Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn 99 1 100C100 ÷ 2 (x +x ) 100 , chứng minh rằng: 100 1 − 101C100 ữ 198 99 + ììì 199C100 ÷ 2 199 100 + 200C100 ÷ 2 = Cho hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 – 4x +2y – = (C2) : x2 + y2 -10x -6y +30 = có tâm I, J a) Chứng minh (C1) tiếp xúc với (C2) tìm tọa độ tiếp điểm H b) Gọi (d) tiếp tuyến chung không qua H (C 1) (C2) Tìm tọa độ giao điểm K (d) đường thẳng IJ Viết phương trình đường trịn (C) qua K tiếp xúc với hai đường tròn (C1) (C2) H - Hết - ĐỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: ( điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y= 2x −1 x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Chứng minh đường thẳng d: y = - x + truc đối xứng (C) Câu II: (2 điểm) x 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + Giải phương trình: =0 2sinx - Giải bất phương trình: x − x + 2.log x ≤ x − x + 2.(5 − log x 2) Câu III: ( điểm) Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thi (C) hàm sô y = x3 – 2x2 + x + tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x0 = Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox Câu IV: (1điểm) Cho hình lặng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB A’C a 15 Tính thể tích khối lăng trụ Câu V:(1điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: (2 x + 1)[ln(x + 1) - lnx] = (2y + 1)[ln(y + 1) - lny] (1) (2) y-1 − ( y + 1)( x − 1) + m x + = II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần phần Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: ( điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1; phương trình: x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my – = (1) Chứng minh phương trình (1) phương trình đường tròn với m.Gọi đường tròn tương ứng (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x −1 y + z = = mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Lập phương trình 1 mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) qua điểm A(2; - 1;0) Câu VII.b: ( điểm) Cho x; y số thực thoả mãn x2 + y2 + xy = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 5xy – 3y2 Phần 2: Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: ( điểm) 1.Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;3) hai đường thẳng d2 : d1 : x −2 y −3 z −3 = = 1 −2 x −1 y − z − = = Chứng minh đường thẳng d1; d2 điểm A nằm mặt phẳng Xác định toạ độ −2 đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC 2.Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có hai tiêu điểm 1 F1 (− 3;0); F2 ( 3;0) qua điểm A 3; ÷ Lập phương trình 2 tắc (E) với điểm M elip, tính biểu thức: P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M Câu VII.b:( điểm) Tính giá trị biểu thức: 2k 2008 2010 S = C2010 − 3C2010 + 32 C2010 + + (−1) k C2010 + + 31004 C2010 − 31005 C2010 Hết ĐỀ SỐ Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = Câu II: (2 điểm) Giải phương trình : + (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = Tìm m để phương trình x − x + m.( x − 4) x+2 + + x − x − 14 − m = có nghiệm thực 4− x Câu III: (2 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : x −1 y +1 z −1 = = −1 x y z = = , −2 1 Chứng minh hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 tạo với đường thẳng ∆1 góc 300 Câu IV: (2 điểm) ln( x + 1) dx Tính tích phân : I = ∫ x3 Cho x, y, z > x + y + z ≤ xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P= 1 + + x + yz y + zx z + xy Câu Va: (2 điểm) ∆2 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh AB: x + y – = , phương trình cạnh AC : x – 7y + = 0, đường thẳng BC qua điểm M(1; 10) Viết phương trình cạnh BC tính diện tích tam giác ABC n n −1 2.x + ÷ , biết An − Cn +1 = 4n + x k k (n số nguyên dương, x > 0, An số chỉnhhợp chập k n phần tử, Cn số tổ hợp chập k n phần tử) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niutơn ĐỀ SỐ PhÇn dành chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu 1: Cho hàm số : y = x − 3mx + 3(m − 1) x − (m − 1) (1) a, Víi m = , khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hoành độ dơng Câu 2: a, Giải phơng tr×nh : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin (2x+ )=0 b, Xác định a để hệ phơng trình sau có nghiệm : Câu : T×m : x + x = y + x + a 2 x + y = sin xdx ∫ (sin x + cos x)3 Câu : Cho lăng trụ đứng ABC A' B 'C ' cã thĨ tÝch V C¸c mặt phẳng ( ABC ' ), ( AB 'C ), ( A' BC ) cắt O Tính thể tÝch khèi tø diƯn O.ABC theo V C©u : Cho x,y,z số thực dơng Chứng minh r»ng : P= 4( x + y ) + 4( y + z ) + 4( z + x3 ) + 2( x y z + + ) ≥ 12 y z x Phần riêng (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B ) A Theo chơng trình chuẩn Câu 6a : a, Cho đờng tròn (C) có phơng trình : x + y − x − y + = đờng thẳng (d) có phơng trình : x + y – = Chøng minh (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A,B Tìm toạ độ điểm C đờng tròn cho diƯn tÝch tam gi¸c ABC lín b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đờng thẳng có phơng trình : (d1 ) : (C) x = 4t ' (d ) : y = −2 z = 3t ' x y +1 z = = 2 Viết phơng trình đờng thẳng ( )đi qua điểm A cắt hai đờng thẳng(d ), (d ) Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x khai triĨn : 4 x+ ÷ x ( víi x > ) B Theo chơng trình nâng cao Câu 6b : a, Viết phơng trình đờng thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết B(2;-1) , đờng cao giác qua đỉnh A,C lần lợt : 3x -4y + 27 =0 vµ x + 2y – = b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) đờng thẳng ( ) có phơng trình : x y + z + = x − y + z + = Tìm toạ độ điểm M nằm đờng thẳng ( )sao cho : MA + MB nhá nhÊt C©u 7b : Cho (1 + x + x )12 = a0 + a1 x + a2 x + a24 x 24 TÝnh hÖ sè a HÕt ĐỀ SỐ 10 I PHN CHUNG CHO TT C TH SINH đờng phân Cõu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh Câu II (2,0 điểm): Giải phương trình lượng giác Giải hệ phương trình Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau π I=∫ π Câu IV(1,0 điểm): Cho ba số thực dx sin x cos x thỏa mãn ,Chứng minh rằng: Câu V(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) Tính góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) Biết thể khối tứ diện ABCD II PHẦN RIÊNG (Thí sinh làm phần A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa(2,0 điểm): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (BCD) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (Δ) vng góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 cắt đường tròn (C) A; B cho AB = Câu VIIa(1,0 điểm): Xác định hệ số x5 khai triển (2+x +3x2 )15 B Theo chương trình nâng cao Câu VIb(2,0 điểm): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (BCD) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (Δ ) vng góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 cắt đường tròn (C) A; B cho AB = Câu VIIb(1,0 điểm):Giải phương trình: ĐỀ SỐ 11 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số ( 07 điểm ) y = f ( x ) = x + ( m − ) x + m − 5m + 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 2/ Tìm giá trị m đồ thị hàm số cú cỏc im cc đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân x + y + x − y = 12 Câu II(2.0điểm) 1/ Giải hệ phương trình: y x − y = 12 log 22 x − log x − > (log x − 3) 2/ Giải bất phơng trình : Cõu III (1.0 im) Tìm x ∈ (0; π ) Câu IV(1.0 điểm) Tính tích phõn : thoả mÃn phơng trình: cot x - = π cos x + sin x − sin x + tan x I = ∫ cos x cos xdx a · · , SA = a , SAB = SAC = 30 Gäi M trung điểm SA , chứng minh SA ( MBC ) TÝnh VSMBC Câu V(1.0 điểm) Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC = PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH ( 03 điểm ) A/ Phần đề theo chương trình chuẩn Câu VI.a: (2.0im) 1, Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: x + y + = phân giác CD: x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC 2, Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15 a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 b) Tìm hệ số a10 Câu VII.a: (1,0điểm) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) mặt phẳng (P): 2x - y + z + = Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P) B/ Phần đề theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 điểm) 1, Cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C D 2, Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15 a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 b) Tìm hệ số a10 Câu VII.b: (1.0 điểm) Cho hàm số y = x2 − 2x + (C) vµ d1: y = −x + m, d2: y = x + x −1 Tìm tất giá trị m để (C) cắt d1 điểm phân biệt A,B đối xứng qua d2 S 12 Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm ) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y= 2x x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đờng tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đờng tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Câu II (2 điểm) x x π x + sin sin x − cos sin x = cos − 2 4 2 1 2 Giải bất phơng trình log ( x x + 1) − x > − ( x + 2) log − x Giải phơng trình e Câu III (1 điểm) Tính tích phân ln x I = ∫ + x ln x dx x + ln x C©u IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC = a · · SA = a , SAB = SAC = 30 TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABC x = − u ⇒ ∆ : y = u V× M ∈ ∆ ⇒ M ( − − u; u;4 + u ) , ⇒ AM (1 − u; u − 3; u ) z = + u AM ng¾n nhÊt ⇔ AM ⊥ ∆ ⇔ AM ⊥ u ⇔ AM.u = ⇔ −1(1 − u) + 1(u − 3) + 1.u = − 16 ; ; ⇔ u = VËy M 3 3 VIIb Giải hệ phơng trình: 23x +1 + y − = 3.2 y + 3x (1) 3x + + xy = x + (2) x + ≥ x Phơng trình (2) x(3x + y − 1) = 3x + + xy = x + x ≥ −1 x = ⇔ x = ⇔ x ≥ −1 3 x + y − = y = − x * Víi x = thay vµo (1) + y − = 3.2 y ⇔ + y = 12.2 y ⇔ y = 8 ⇔ y = log 11 11 x ≥ −1 thay y = – 3x vào (1) ta đợc: x +1 + −3 x −1 = 3.2 y = x Đặt t = x +1 Vì x nên t t = − ( lo¹ i ) x = log + − (3) ⇔ t + = ⇔ t − 6t + = ⇔ ⇔ t t = + y = − log (3 + ) * Víi [ ( [ ( ) ] ) ] x = x = log + Vậy hệ phơng trình đà cho có nghiƯm vµ y = log 11 y = − log (3 + ) ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 13 I.2 (1 điểm) * PT cho ⇔ -x3 + 3x2 + = -m3 + 3m2 + Đặt k = -m3 + 3m2 + * Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đt y = k * Từ đồ thị (C ) ta có: PT có nghiệm phân biệt ⇔ < k < * II.1 (1 điểm) ⇔ m ∈ (-1;3)\ { 0; 2} x + ≥ ⇔ x ≥ Đặt t = x + + x − (t > 0) x − ≥ t ≤ −2( L) BPT trở thành: t2 - t - ≥ ⇔ t ≥ * Đk: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x ≥ ( a) 9 - 2x ≤ * Với t ≥ ⇔ x − 16 ≥ - 2x x ≥ (b) 9 - 2x > 2 4( x − 16) ≥ (9 − x) * (a) ⇔ x ≥ 145 ≤x< * (b) ⇔ 36 145 ; +∞ ÷ *Tập nghệm BPT là: T= 36 II.2 (1 điểm) * Đk: cosx ⇔ * sin2x + sinxcosx - * * = 1 0 ∫ (t − 1)dt + ∫ (t − 2t ) Áp dụng định lí cosin 0,25 0,25 0,25 0,25 d (t + t + 1) t2 + t +1 + 2ln(t2 + t + 1) 0,25 0,25 e x − , Khi x = ln2 ⇒ t = x = ln3 ⇒ t = ex = t2 + ⇒ e2x dx = 2tdt 1 (t + 2)tdt 2t + )dt I = 2∫ = ∫ (t − + t + t +1 t + t +1 0 =2 0,25 0,25 * Đặt t = * IV (1 điểm) π + kπ s inx =0 cos x ⇔ sinx( sinx + cosx * )=0 cos x s inx = ⇔ s inx + cos x − = cosx * Sinx = ⇔ x = k π 1 * sinx + cosx = ⇔ tanx + =0 cos x cos x x = kπ t anx = ⇔ tan x - tanx = ⇔ ⇔ x = π + kπ t anx = 3 π Vậy PT có họ nghiệm: x = k π , x = + kπ PT cho III (1 điểm) ≠ 0⇔ x≠ 0,25 0,25 = 2ln3 - ∆ ABC có AB = AC = 2a ⇒ S∆ABC = AB.AC.sin1200 = a Gọi H hình chiếu S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC 0,25 0,25 2a BC = 2R ⇒ R = = HA sin A a ∆ SHA vuông H ⇒ SH = SA2 − HA2 = ⇒ VS ABC = S∆ABC SH = a * Theo định lí sin ∆ ABC ta có: 0,25 * Gọi hA, hM khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) ⇒ hM SM 1 = = ⇒ hM = hA hA SA 2 0,25 ∆ SBC vuông S ⇒ S∆SBC = a2 3VS ABC S a * Lại có: VS ABC = h = A ⇒ hA = ∆ SBC V 3 ∆SBC a Vậy hM = d(M;(SBC)) = V (1 điểm) * Ta cm với a, b > có a3 + b3 ≥ a2b + ab2 (*) Thật vậy: (*) ⇔ (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) ≥ ⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ Đẳng thức xẩy a = b * Từ (*) ⇒ a3 + b3 ≥ ab(a + b) b3 + c3 ≥ bc(b + c) c3 + a3 ≥ ca(c + a) 3 ⇒ 2(a + b + c3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) * Áp dụng BĐT co si cho số dương ta có: (1) 1 1 + + ≥ 33 3 = a a a abc a b c (2) * Nhân vế với vế (1) (2) ta BĐT cần cm Đẳng thức xẩy a = b = c VI.a.1 (1 điểm) * Đường trịn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = Ta có IA = > R ⇒ A nằm đường tròn (C) * Xét đường thẳng * ∆1 : x = qua A có d(I; ∆1 ) = ⇒ ∆1 tiếp tuyến (C) ∆1 tiếp xúc với (C ) T1(4;1) * T1T2 r uur ⊥ IA ⇒ đường thẳng T1T2 có vtpt n = IA =(1;2) phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1) ⇔ x + 2y - = VI.a.2 (1 điểm) VII.a (1 điểm) * Mp(P) có vtpt ur n P = (1;1;-2) (S) có tâm I(1;-2;-1) ur uur * IA = (2;1;2) Gọi vtcp đường thẳng ∆ u ∆ ur ur ur uur ∆ tiếp xúc với (S) A ⇒ u ∆ ⊥ IA Vì ∆ // (P) ⇒ u ∆ ⊥ n P ur uur ur * Chọn u = [ IA , n P ] = (-4;6;1) x = − 4t * Phương trình tham số đường thẳng ∆ : y = −1 + 6t z = 1+ t * Đặt z = x + yi (x; y ∈ R) |z - i| = | Z - - 3i| ⇔ |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i| * ⇔ x - 2y - = ⇔ Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z đường thẳng x - 2y - = uuuur * |z| nhỏ ⇔ | OM | nhỏ ⇔ M hình chiếu O ∆ ⇔ M( * VI.b.1 (1 điểm) 6 ;- ) ⇒ z = - i 5 5 Chú ý: HS dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M * B = d ∩ Ox = (1;0) Gọi A = (t;2 t - 2 ) ∈ d H hình chiếu A Ox ⇒ H(t;0) * Ta có: BH = |t - 1|; AB = H trung điểm BC (t − 1) + (2 2t − 2) = 3|t - 1| ∆ ABC cân A ⇒ chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1| t = * ⇒ 16 = 8|t - 1| ⇔ t = −1 ⇔ A(3;4 ), B(1;0), C(5;0) ⇒ G( ; ) −4 Với t = -1 ⇔ A(-1;-4 ), B(1;0), C(-3;0) ⇒ G( −1 ; ) * Gọi d đường cao tương ứng với đỉnh A ∆ ABC ⇒ d giao tuyến (ABC) với ( α ) qua A vng góc với BC uuur uuur uuur uuur uuur * Ta có: AB = (1;3;-3), AC = (-1;1;-5) , BC = (-2;-2;-2) [ AB , AC ] = (18;8;2) ur uuur uuur ur uuur mp(ABC) có vtpt n = [ AB , AC ] = (-3;2;1) mp( α ) có vtpt n ' = - BC = (1;1;1) ur ur ur * Với t = VI.b.2 (1 điểm) * Đường thẳng d có vtcp u =[ n , n ' ] = (1;4;-5) x = 1+ t * Phương trình đường thẳng d: y = −2 + 4t z = − 5t VII.b (1 điểm) * Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox: x − x + m = x2 − x + m =0 ⇔ x −1 x ≠ (Cm) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ pt f(x) = x2 - x + m = có nghiệm phân biệt khác 1 ∆ > m < ⇔ ⇔ (*) f (1) ≠ m ≠ x1 + x = * Khi gọi x1, x2 nghiệm f(x) = ⇒ x1x = m Ta có: y' = f '( x)( x − 1) − ( x − 1) ' f ( x) ( x − 1) ⇒ Hệ số góc tiếp tuyến (Cm) A B là: f '( x1 )( x1 − 1) − f ( x1 ) f '( x1 ) x1 k1 = y'(x1) = = = ( x1 − 1) ( x1 − 1) x1 − x2 * Tương tự: k1 = y'(x2) = ( f(x1) = f(x2) = 0) x2 − x1 x2 Theo gt: k1k2 = -1 ⇔ = -1 * ⇔ m = ( thoả mãn (*)) x1 − x2 − ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 14 Câu I(2đ) ý Nội dung 2(1đ) Tìm m Gọi k hệ số góc tiếp tuyến d: có véctơ pháp ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp n1 = (k ;−1) n = (1;1) k = k −1 ⇔ = ⇔ 12k − 26k + 12 = ⇔ Ta có cos α = 26 k +1 k = n1 n2 / / Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ hai phương trình: y = k1 (1) y = k (2) n1 n có nghiệm x 3 x + 2(1 − 2m) x + − m = ⇔ 3 x + 2(1 − 2m) x + − m = có nghiệm ∆/ ≥ ⇔ / có nghiệm ∆ ≥ 1 8m − 2m − ≥ m ≤ − ; m ≥ 1 ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ − m ≥ m ≤ − ; m ≥ 4m − m − ≥ II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình log Bpt ⇔ log 12 2x −4≥0 4−x 2x ≤9 4−x 2x − ≤ log − x ≤ −2(1) ⇔ 2x ≤ 3( 2) 2 ≤ log 4− x 3x − − x ≥ 2x 16 ≤8⇔ ⇔ ≤x≤ Giải (1): (1) ⇔ ≤ 4−x x − 16 ≤ − x 17 x − − x ≥ 2x 4 ≤ ⇔ ⇔ ≤x≤ Giải (2): (2) ⇔ ≤ 4− x 17 9x − ≤ − x 4 16 Vậy bất phương trình có tập nghiệm ; ; 17 2(1đ) Giải PT lượng giác Pt ⇔ sin x (2 cos x + 1) = (cos 3x − cos x) + (cos x − 1) − (2 cos x + 1) ⇔ sin x (2 cos x + 1) = −4 sin x cos x − sin x − ( cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1)( sin x + sin x + 1) = • sin x + sin x + = ⇔ sin x − cos x = −2 ⇔ sin( x − ⇔x=− π + kπ π ) = −1 2π x = + k 2π (k ∈ Z ) • cos x + = ⇔ x = − 2π + k 2π 2π 2π π Vậy phương trình có nghiệm: x = + k 2π ; x = − + k 2π x = − + kπ (k ∈ Z ) 3 III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân I= ∫ (1 + x +1 •Đặt + 2x ) dx t = + + x ⇒ dt = Đổi cận x t dx ⇒ dx = (t − 1) dt x = t − 2t + 2x 4 4 (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t − 2 •Ta có I = ∫ dt = dt = ∫ t − + − dt 2 ∫ 22 22 2 t t t t t2 2 − 3t + ln t + 2 t = ln − = IV (1đ) Tính thể tích khoảng cách •Ta có S IA = −2 IH ⇒ H thuộc tia đối tia IA IA = 2IH BC = AB = 2a ; AI= a ; IH= IA a = 2 3a AH = AI + IH = K A B I H C •Ta có Vì HC = AC + AH − AC AH cos 45 ⇒ HC = ∧ ∧ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC ; ( ABC )) = SCH = 60 SH = HC tan 60 = • VS ABC = a 15 1 a 15 a 15 S ∆ABC SH = (a ) = 3 2 a • BI ⊥ AH ⇒ BI ⊥ (SAH ) BI ⊥ SH Ta có V (1đ) d ( K ; ( SAH )) SK 1 a = = ⇒ d ( K ; ( SAH )) = d ( B; ( SAH ) = BI = d ( B; ( SAH )) SB 2 2 Tim giá trị lớn P x y z + + x + xy y + zx z + xy x y z + + Vì x; y; z > , Áp dụng BĐT Côsi ta có: P ≤ = 2 x yz y zx z xy P= = 2 + + yz zx xy 1 1 1 ≤ + + + + + 4 y z z x x Dấu xảy PHẦN TỰ CHỌN: 1 = y yz + zx + xy ≤ xyz ⇔ x = y = z = Vậy MaxP = x2 + y2 + z2 xyz ≤ xyz = xyz Câu VIa(2đ) ý 1(1đ) Nội dung Viết phương trình đường tròn… KH: d : x + y + = 0; d : x − y−2=0 d1 có véctơ pháp tuyến n1 = (1;1) d có véctơ pháp tuyến n = (1;1) • AC qua điểm A( 3;0) có véctơ phương n1 = (1;1) ⇒ phương trình AC: x − y − = x − y − = ⇒ C (−1;−4) C = AC ∩ d ⇒ Tọa độ C nghiệm hệ: 2 x − y − = x + yB • Gọi B ( x B ; y B ) ⇒ M ( B ; ) ( M trung điểm AB) 2 xB + y B + = ⇒ B (−1;0) Ta có B thuộc d1 M thuộc d nên ta có: yB x + − − = B • Gọi phương trình đường trịn qua A, B, C có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường trịn ta có 6a + c = −9 a = −1 ⇔ b = ⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là: − 2a + c = −1 − 2a − 8b + c = −17 c = −3 x + y − x + y − = Tâm I(1;-2) bán kính R = 2 2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P) •Gọi n = (a; b; c ) ≠ O véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = •TH1: 3⇔ 2a + c a + ( a − 2c ) + c 2 = ⇔ 2a − 16ac + 14c = a = c ta chọn a = c = ⇒ Pt (P): x-y+z+2=0 TH2: a = 7c ta chọn a =7; c = ⇒Pt (P):7x+5y+z+2=0 VII.a (1 đ) Tìm hệ số khai triển ( x + 1) + nên 4 (1 + x ) 10 ( x + x + 1) = (1 + x)14 + (1 + x)12 + (1 + x)10 16 16 14 6 • Trong khai triển (1 + x ) hệ số x là: C14 • Ta có x2 + x +1 = Trong khai triển (1 + x ) 12 hệ số 6 x là: C12 Trong khai triển (1 + x ) 10 hệ số 6 x là: C10 • Vậy hệ số VI.b(2đ) 1(1đ) a6 = 6 6 C14 + C12 + C106 = 41748 16 16 Tìm tọa độ điểm C • Gọi tọa độ điểm C ( xC ; y C ) ⇒ G (1 + xC y C ; ) Vì G thuộc d 3 x y ⇒ 31 + C + C − = ⇒ y C = −3 xC + ⇒ C ( xC ;−3 xC + 3) a = c ⇔ a = 7c ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 15 Câu I (2,0) Nội dung Làm đúng, đủ bước theo Sơ đồ khảo sát hàm số cho điểm tối đa Từ giả thiết ta có: (d ) : y = k ( x − 1) + Bài tốn trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt cho ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 90(*) 2 2x + kx − (2k − 3) x + k + = = k ( x − 1) + ( I ) ( I ) ⇔ Ta có: −x +1 y = k ( x − 1) + y = k ( x − 1) + Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt phương trình kx − (2k − 3) x + k + = 0(**) có hai nghiệm phân biệt Khi dễ có k ≠ 0, k < 2 Ta biến đổi (*) trở thành: (1 + k ) ( x2 − x1 ) = 90⇔ (1 + k )[( x2 + x1 ) − x2 x1 ] = 90(***) 2k − k +3 , x1 x2 = , vào (***) ta có phương trình: k k −3 + 41 −3 − 41 8k + 27k + 8k − = ⇔ (k + 3)(8k + 3k − 1) = ⇔ k = −3, k = , k= 16 16 Theo định lí Viet cho (**) ta có: x1 + x2 = KL: Vậy có giá trị k thoả mãn Câu II (2,0) P hầ n 1( 1, 0) Nội dung sin x − 3sin x − cos x + 3sin x + 3cos x − = ⇔ (sin x + sin x) + 2sin x − 3sin x − (cos x + − 3cos x) = ⇔ 2sin x.cos x + 2sin x − 6.sin cos x − (2 cos x − 3cos x + 1) = ⇔ 2sin x.cos x + 2sin x − 6.sin cos x − (2 cos x − 3cos x + 1) = sin x = ⇔ (2sin x − 1)(2 cos x − 3cos x + 1) = ⇔ cos x = cos x = π π x = + k 2π x = + k 2π 1 , (k ∈ Z ) +) cos x = ⇔ , (k ∈ Z ) +) sin x = ⇔ π π 2 x = x = − + k 2π + k 2π +) cos x = ⇔ x = k 2π , ( k ∈ Z ) KL:Vậy phương trình có họ nghiệm 2( 1, 0) x2 + +x+ y = x + y + xy + = y y ⇔ Dễ thấy y ≠ , ta có: 2 y( x + y) = x + y + ( x + y ) − x + = y u+v = u = 4−v v = 3, u = x2 + ⇔ ⇔ , v = x + y ta có hệ: Đặt u = y v − 2u = v + 2v − 15 = v = −5, u = +) Với x2 + = y x2 + = y x2 + x − = x = 1, y = v = 3, u = ta có hệ: ⇔ ⇔ ⇔ x = −2, y = x+ y =3 y = 3− x y = 3− x x2 + = y x2 + = y x + x + 46 = ⇔ ⇔ +) Với v = −5, u = ta có hệ: , hệ vơ x + y = −5 y = −5 − x y = −5 − x nghiệm KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( x; y ) = {(1; 2), ( −2; 5)} III (1,0) Câu IV (1,0) Phần Nội dung + Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC M, mp(SBD) kẻ BG cắt SD N + Vì G trọng tâm tam giác ABC nên dễ có S Điểm SG = suy G trọng tâm tam giác SBD SO 0,25 Từ suy M, N trung điểm SC, SD + Dễ có: 1 VS ABD = VS BCD = VS ABCD = V 2 N Theo công thức tỷ số thể tích ta có: VS ABN SA SB SN 1 = = 1.1 = ⇒ VS ABN = V VS ABD SA SB SD 2 A VS BMN SB SM SN 1 1 = = = ⇒ VS ABN = V VS BCD SB SC SD 2 M G D O 0,25 Từ suy ra: VS ABMN = VS ABN + VS BMN = V B + Ta có: V = SA.dt ( ABCD ) ; mà theo giả thiết SA ⊥ ( ABCD ) nên góc hợp AN · với mp(ABCD) góc NAD , lại có N trung điểm SC nên tam giác NAD cân SA · · N, suy NAD =a = NDA = 300 Suy ra: AD = tan 300 1 3 Suy ra: V = SA.dt ( ABCD ) = a.a.a = a 3 3 5 3a Suy ra: thể tích cần tìm là: VMNABCD = VS ABCD − VS ABMN = V − V = V = 8 24 Câu V (1,0) Phần Nội dung Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: = ab + bc + ca ≥ 3 (abc) ⇒ abc ≤ C 0,5 Điểm 0,25 Suy ra: + a (b + c ) ≥ abc + a (b + c) = a( ab + bc + ca ) = 3a ⇒ Tương tự ta có: 1 ≤ (1) + a (b + c) 3a 0,25 1 1 ≤ (2), ≤ (3) + b (c + a ) 3b + c (a + b) 3c Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 ab + bc + ca + + ≤ ( + + )= = W 2 + a (b + c) + b (c + a) + c (a + b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy abc = 1, ab + bc + ca = ⇒ a = b = c = 1, (a, b, c > 0) 0,5 VI a ( , ) R = 1, R ' = , đường thẳng (d) qua M có phương trình a ( x − 1) + b( y − 0) = ⇔ ax + by − a = 0, ( a + b ≠ 0)(*) + Gọi tâm bán kính (C), (C’) I(1; 1) , I’(-2; 0) 1( 1, 0) + Gọi H, H’ trung điểm AM, BM MA = 2MB ⇔ IA2 − IH = I ' A2 − I ' H '2 2 ⇔ − ( d ( I ;d ) ) = 4[9 − ( d ( I ';d ) ) ] , IA > IH 9a b2 2 ⇔ ( d ( I ';d ) ) − ( d ( I ;d ) ) = 35 ⇔ − = 35 a + b2 a + b2 36a − b ⇔ = 35 ⇔ a = 36b 2 a +b a = −6 Dễ thấy b ≠ nên chọn b = ⇒ a=6 Kiểm tra điều kiện IA > IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn uuur uuur + Ta có: AB = (2; 2; −2), AC = (0; 2; 2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x + y − z − = 0, y + z − = r uuur uuur + Vecto pháp tuyến mp(ABC) n = AB, AC = (8; −4; 4) Suy (ABC): 2x − y + z +1 = x + y − z −1 = x = + Giải hệ: y + z − = ⇒ y = Suy tâm đường tròn I (0; 2;1) 2 x − y + z + = z = Khi ta có: 2( 1, 0) Bán kính Câu 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 R = IA = ( −1 − 0) + (0 − 2) + (1 − 1) = Phần Nội dung + Ta có: VII a (1,0) 0,25 ( x(1 − 3x) ) ′ = a 20 + 2a1 x + 3a2 x + + 21a20 x 20 ⇔ (1 − 3x ) 20 − 60 x(1 − x)19 = a0 + 2a1 x + 3a2 x + + 21a20 x 20 (*) Nhận thấy: ak x k = ak ( − x) k thay x = −1 vào hai vế (*) ta có: S = a0 + a1 + a2 + + 21 a20 = 422 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 + Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận VIb (2,0 ) 1(1, 0) uuur HK = (−1; 2) làm vtpt AC qua K nên ( AC ) : x − y + = Ta dễ có: ( BK ) : x + y − = + Do A ∈ AC , B ∈ BK nên giả sử A(2a − 4; a ), B (b; − 2b) Mặt khác M (3;1) 0,25 trung điểm AB nên ta có hệ: 2a − + b = 2a + b = 10 a = ⇔ ⇔ a + − 2b = a − 2b = b = Suy ra: A(4; 4), B(2; − 2) uuur + Suy ra: AB = (−2; − 6) , suy ra: ( AB ) : x − y − = uuur + Đường thẳng BC qua B vng góc với AH nên nhận HA = (3; 4) , suy ra: ( BC ) : x + y + = KL: Vậy : ( AC ) : x − y + = 0, ( AB ) : x − y − = , ( BC ) : x + y + = 2(1, 0) + M , N ∈ (d1 ), (d ) nên ta giả sử uuuur M (t1 ; t1; 2t1 ), N (−1 − 2t2 ; t ;1 + t2 ) ⇒ NM = (t1 + 2t2 + 1; t1 − t ; 2t1 − t − 1) 0,5 0,25 0,25 + MN song song mp(P) nên: uur uuuur nP NM = ⇔ 1.(t1 + 2t2 + 1) − 1.(t1 − t2 ) + 1(2t1 − t2 − 1) = 0,25 uuuur ⇔ t2 = −t1 ⇒ NM = (−t1 + 1; 2t1 ;3t1 − 1) t1 = + Ta có: MN = ⇔ (−t1 + 1) + (2t1 ) + (3t1 − 1) = ⇔ 7t − 4t1 = ⇔ t1 = 4 + Suy ra: M (0; 0; 0), N ( −1; 0;1) M ( ; ; ), N ( ; − ; ) 7 7 7 + Kiểm tra lại thấy hai trường hợp khơng có trường hợp M ∈ ( P ) 2 2 0,25 0,25 KL: Vậy có hai cặp M, N thoả mãn Câu Nội dung VII b (1,0) Điểm 0,25 − xy − x + y + > 0, x − x + > 0, y + > 0, x + > (I ) < − x ≠ 1, < + y ≠ 2 log1− x [(1 − x)( y + 2)] + log 2+ y (1 − x) = + Ta có: ( I ) ⇔ =1 log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) 0,25 log1− x ( y + 2) + log 2+ y (1 − x) − = (1) ⇔ = (2) log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) + Đặt log + y (1 − x ) = t (1) trở thành: t + − = ⇔ (t − 1) = ⇔ t = t Với t = ta có: − x = y + ⇔ y = − x − (3) Thế vào (2) ta có: −x + −x + log1− x (− x + 4) − log1− x ( x + 4) = ⇔ log1− x =1⇔ = − x ⇔ x2 + x = x+4 x+4 0,25 x=0 y = −1 ⇔ Suy ra: 0,25 x = −2 y =1 + Kiểm tra thấy có x = −2, y = thoả mãn điều kiện Vậy hệ có nghiệm x = −2, y = + Điều kiện: ... vuông AHA1 có AA1 = a, góc ∠AA1 H =300 Do a Do tam gi¸c A1 B1 C1 tam giác cạnh a, H thuộc B1 C1 a nên A1 H vuông góc với B1 C1 Mặt khác AH B1 C1 nên B1 C1 ( AA1 H ) A1 H = ⇒ A1 H = A B C K A1 C H B1 ... cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1 B1 C1 Ta có AA1.HK = A1 H.AH Câu V điể m a3 Ta cú: P + = ⇔ P+ 1+ b = 0, a b3 + b2 + A1 H AH a = AA1 ⇒ HK = 1+ b2 + 1+ c a + c2 + 2 1+ b2 + c3 1+ a 0, 0,. .. DM đường cao nên 1 = + 2 DM DS DC2 0,5 Suy DS = a Tam giác ASD vuông A suy SA = a Vậy thể tích S.ABCD a3 a3 b3 c3 + + ≥ b +3 c +3 a +3 0,5 (***).Do ab + bc + ca = nên a3 b3 c3 + + b + ab + bc