Diemthi.24h.com.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 180 ) Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm ) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = 2x − x −2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Câu II (2 điểm) Giải phương trình + sin x x π x sin x − cos sin x = cos − 2 4 2 1 − x 2 2 Giải bất phương trình log (4 x − x + 1) − x > − ( x + 2) log e + x ln x dx + ln x a · · Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC = SA = a , SAB = SAC = 30 Tính thể tích ∫ x Câu III (1 điểm) Tính tích phân I = ln x khối chóp S.ABC Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c = P= a + 3b +3 b + 3c +3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức c + 3a Phần riêng (3 điểm) Thí sinh làm hai phần: Phần phần Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn) Câu VIa (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : x − y + = d2: 3x +6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − = Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn (C) giao (P) (S) Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: 2C22n +1 − 3.2.2C23n +1 + + (−1)k k (k − 1)2 k −2 C2kn +1 + − n(2 n + 1)2 n −1 C22nn++11 = −40200 Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: x2 y2 − =1 16 Viết phương trình tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) ngoại tiếp hình chữ nhật sở (H) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( P ) : x + y − z + = đường thẳng (d ) : x+3 = y + = z − , điểm A( -2; 3; 4) Gọi ∆ đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vuông góc với d Tìm ∆ điểm M cho khoảng cách AM ngắn Câu VIIb (1 điểm): Diemthi.24h.com.vn 2 x +1 + y −2 = 3.2 y +3 x Giải hệ phương trình x + + xy = x + Hết -Dáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 180 ) Câu I Nội dung Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ Điểm 1,00 −1 2x − , x ≠ , y' (x ) = Ta có: M x ; ( x0 − ) x − Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng: ∆ : y = −1 2x − (x − x ) + x0 − ( x0 − ) 0,25 2x − ; B( 2x − 2;2 ) Toạ độ giao điểm A, B ( ∆ ) hai tiệm cận là: A 2; x0 − y + y B 2x − x + x B + 2x − = = y M suy M trung = = x0 = xM , A Ta thấy A x0 − 2 0,25 điểm AB Mặt khác I = (2; 2) tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2x − − = π(x0 − 2)2 + ≥ 2π S = πIM = π(x − 2) + 2 (x − 2) x0 − 2 Dấu “=” xảy (x − 2) = II x = 1 ⇔ (x − ) x = 0,25 Do có hai điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Giải phương trình lượng giác x x π x + sin sin x − cos sin x = cos − 2 2 (1) ⇔ + sin x sin x − cos x sin x = + cos π − x = + sin x 2 2 điểm (1) x x x x x x ⇔ sin x sin − cos sin x − 1 = ⇔ sin x sin − cos sin cos − 1 = 2 2 x x x ⇔ sin x sin − 1 sin + sin + 1 = 2 sin x = x = kπ x = kπ x ⇔ sin = ⇔ x π ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z = + k2 π x = π + k4 π 2 x x 2 sin + sin + 2 II Giải bất phương trình Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 1 < x < x < 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm 0,25 Diemthi.24h.com.vn III Tính tích phân e điểm e ln x dx + 3∫ x ln xdx x + ln x I=∫ e +) Tính I = ∫x ln x + ln x dx Đặt t = + ln x ⇒ t = + ln x; tdt = Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = (t ) ( t3 −1 22− 2 I1 = ∫ 2tdt = ∫ t − dt = 2 − t = t 3 1 1 dx du = e u = ln x x ⇒ +) Tính I = ∫ x ln xdx Đặt dv = x dx v = x 2 ( ) e I2 = x3 e3 x ln x 1e − ∫ x dx = − 31 3 = e 1 dx x ) 0,25 0,25 e3 e3 2e3 + − + = 9 I = I1 + 3I = − 2 + 2e IV 0,25 0,25 0,25 Tính thể tích hình chóp điểm S M A C N B Theo định lí côsin ta có: · SB = SA + AB − 2SA.AB.cos SAB = 3a + a − 2.a 3.a.cos30 = a Suy SB = a Tương tự ta có SC = a Gọi M trung điểm SA , hai tam giác SAB SAC hai tam giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA Suy SA ⊥ (MBC) Ta có VS ABC = VS MBC + VA MBC = 1 MA.S MBC + SA.S MBC = SA.S MBC 3 Hai tam giác SAB SAC có ba cặp cạnh tương ứng nên chúng Do MB = MC hay tam giác MBC cân M Gọi N trung điểm BC suy MN ⊥ BC Tương tự ta có MN ⊥ SA 2 a a 3a a 2 2 2 MN = AN − AM = AB − BN − AM = a − − = ⇒ MN = 16 4 Do VS ABC = 1 a a a3 SA MN.BC = a = 16 0,25 0,25 0,25 0,25 Diemthi.24h.com.vn V Tìm giá trị nhỏ biểu thức áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có điểm 1 1 1 (x + y + z) + + ≥ 33 xyz =9⇒ + + ≥ (*) xyz x y z x+y+z x y z 1 +3 +3 ≥3 áp dụng (*) ta có P = 3 a + 3b b + 3c c + 3a a + 3b + b + 3c + c + 3a áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có a + 3b + + 1 ( a + 3b ) 1.1 ≤ = ( a + 3b + ) 3 b + 3c + + 1 ( b + 3c ) 1.1 ≤ = ( b + 3c + ) 3 c + 3a + + 1 ( c + 3a ) 1.1 ≤ = ( c + 3a + ) 3 0,25 1 a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ ( a + b + c ) + ≤ + = 3 Do P ≥ 0,25 Suy 3 a + b + c = ⇔a=b=c= Dấu = xảy ⇔ 4 a + 3b = b + 3c = c + 3a = Vậy P đạt giá trị nhỏ a = b = c = / VIa.1 0,25 Lập phương trình đường thẳng 0,25 điểm Cách 1: d1 có vectơ phương a1 (2;−1) ; d2 có vectơ phương a (3;6) Ta có: a1.a = 2.3 − 1.6 = nên d1 ⊥ d d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình: 0,25 d : A(x − 2) + B(y + 1) = ⇔ Ax + By − 2A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I d tạo với d ( d2) góc 450 ⇔ 2A − B A2 + B2 A = 3B = cos 45 ⇔ 3A − 8AB − 3B = ⇔ 2 + ( −1)2 B = −3A 0,25 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x + y − = 0,25 * Nếu B = -3A ta có đường thẳng d : x − 3y − = Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = 0,25 d : x − 3y − = Cách 2: Gọi d đường thẳng cần tìm, d song song với đường phân giác đỉnh giao điểm d1, d2 tam giác cho Các đường phân giác góc tạo d1, d2 có phương trình 2x − y + 2 + (−1)2 = 3x + 6y − 32 + 3x − 9y + 22 = ( ∆1 ) ⇔ 2x − y + = 3x + y − ⇔ 9x + 3y + = (∆ ) +) Nếu d // ∆1 d có phương trình 3x − 9y + c = Do P ∈ d nên + + c = ⇔ c = −15 ⇒ d : x − 3y − = +) Nếu d // ∆2 d có phương trình 9x + 3y + c = Do P ∈ d nên 18 − + c = ⇔ c = −15 ⇒ d : 3x + y − = 0,25 0,25 0,25 Diemthi.24h.com.vn Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = d : x − 3y − = VIa Xác định tâm bán kính đường tròn Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là: (a x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, + b + c2 − d > điểm 0,25 ) 2a − b + d + = a = − 2a + 6b + 4c + d + 14 = ⇔ b = −1 ( ) A ' , B , C , D ∈ S Vì nên ta có hệ: 8a + b + 4c + d + 29 = c = −1 8a − b + 4c + d − 21 = d = −1 2 Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x + y + z − x − y − z + = 5 2 (S) có tâm I ;1;1 , bán kính R = 0,25 0,25 29 +) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Gọi ( d) đường thẳng qua I vuông góc với (P) (d) có vectơ phương là: n(1;1;1) x = / + t 5 ⇒ H + t;1 + t;1 + t Suy phương trình d: y = + t 2 z = + t Do H = ( d ) ∩ ( P ) nên: IH = VII a 5 5 1 + t + + t + + t − = ⇔ 3t = − ⇔ t = − ⇒ H ; ; 2 3 6 75 29 75 31 186 , (C) có bán kính r = R − IH = = − = = 36 6 36 Tìm số nguyên dương n biết * Xét (1 − x )2 n +1 = C 02 n +1 − C12 n +1x + C 22 n +1x − + (−1) k C 2k n +1x k + − C 22 nn ++11x n +1 (1) * Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: − (2 n + 1)(1 − x)2 n = −C 12 n +1 + 2C 22 n +1x − + (−1)k kC 2k n +1x k −1 + − (2 n + 1)C 22 nn ++11x n (2) Lại lấy đạo hàm hai vế (2) ta có: n(2n + 1)(1 − x)2 n −1 = 2C 22 n + − 3C 32 n + 1x + + (− 1)k k( k − 1)C 2k n + 1x k − + − 2n(2 n + 1)C 22 nn ++ 11x n −1 Thay x = vào đẳng thức ta có: k n −1 2n +1 −2n(2n + 1) = 2C 22n +1 − 3.2.2C 32n +1 + + (−1)k k(k − 1)2 k −2 C 2n C 2n +1 +1 + − 2n(2n + 1)2 Phương trình cho ⇔ n(2 n + 1) = 40200 ⇔ 2n + n − 20100 = ⇔ n = 100 VIb.1 0,25 Viết phương trình tắc E líp (H) có tiêu điểm F1 ( − 5;0 ) ; F2 ( 5;0 ) Hình chữ nhật sở (H) có đỉnh M( 4; 3), x y2 + = ( với a > b) a b2 (E) có hai tiêu điểm F1 ( − 5;0 ) ; F2 ( 5;0) ⇒ a − b2 = 52 (1) Giả sử phương trình tắc (E) có dạng: M ( 4;3) ∈ ( E ) ⇔ 9a + 16b = a b 2 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm 0,25 0,25 ( 2) a = + b a = 40 ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ: 2 2 9a + 16b = a b b = 15 0,25 0,25 Diemthi.24h.com.vn Vậy phương trình tắc (E) là: VIb x y2 + =1 40 15 0,25 Tìm điểm M thuộc ∆ để AM ngắn điểm x = 2t − Chuyển phương trình d dạng tham số ta được: y = t − z = t + 0,25 Gọi I giao điểm (d) (P) ⇒ I ( 2t − 3; t − 1; t + 3) Do I ∈ ( P ) ⇒ 2t − + 2(t − 1) − (t − 3) + = ⇔ t = ⇒ I ( − 1;0;4 ) * (d) có vectơ phương a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến n(1;2;−1) [ ] 0,25 ⇒ a, n = ( − 3;3;3) Gọi u vectơ phương ∆ ⇒ u( − 1;1;1) x = − u ⇒ ∆ : y = u Vì M ∈ ∆ ⇒ M ( − − u; u;4 + u ) , ⇒ AM(1 − u; u − 3; u ) z = + u 0,25 AM ngắn ⇔ AM ⊥ ∆ ⇔ AM ⊥ u ⇔ AM.u = ⇔ −1(1 − u) + 1(u − 3) + 1.u = ⇔u= VIIb − 16 ; ; Vậy M 3 3 0,25 Giải hệ phương trình: điểm 23x +1 + y − = 3.2 y + 3x (1) 3x + + xy = x + (2) x + ≥ x ≥ −1 ⇔ x(3 x + y − 1) = 3 x + + xy = x + x ≥ −1 x = ⇔ x = ⇔ x ≥ −1 3 x + y − = y = − x Phương trình (2) ⇔ 0,25 y −2 = 3.2 y ⇔ + y = 12.2 y ⇔ y = * Với x = thay vào (1) + 8 ⇔ y = log 11 11 x ≥ −1 thay y = – 3x vào (1) ta được: x +1 + −3 x −1 = 3.2 y = − x Đặt t = x +1 Vì x ≥ −1 nên t ≥ t = − ( lo¹ i ) x = log + − (3) ⇔ t + = ⇔ t − 6t + = ⇔ ⇔ t y = − log (3 + ) t = + 0,25 * Với [ ( [ ( ) ] ) ] x = x = log + − Vậy hệ phương trình cho có nghiệm y = log 11 y = − log (3 + ) Diemthi.24h.com.vn 0,25 0,25 Diemthi.24h.com.vn ... trung điểm SA , hai tam giác SAB SAC hai tam giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA Suy SA ⊥ (MBC) Ta có VS ABC = VS MBC + VA MBC = 1 MA.S MBC + SA.S MBC = SA.S MBC 3 Hai tam giác SAB SAC có ba cặp cạnh... ≥3 áp d ng (*) ta có P = 3 a + 3b b + 3c c + 3a a + 3b + b + 3c + c + 3a áp d ng B t đẳng thức Côsi cho ba số d ơng ta có a + 3b + + 1 ( a + 3b ) 1.1 ≤ = ( a + 3b + ) 3 b + 3c + + 1 ( b + 3c... d tạo với d ( d2 ) góc 450 ⇔ 2A − B A2 + B2 A = 3B = cos 45 ⇔ 3A − 8AB − 3B = ⇔ 2 + ( −1)2 B = − 3A 0,2 5 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x + y − = 0,2 5 * Nếu B = - 3A ta có đường thẳng d