BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx (1), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) m = −1 b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò A B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin 5x + cos2 x = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình Câu (1,0 điểm) Tính tích phân 2x2 + y − 3xy + 3x − 2y + = (x, y ∈ R) √ √ 4x2 − y + x + = 2x + y + x + 4y √ x − x2 dx I= Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trò lớn biểu thức P =√ − a + b + c2 + (a + b) (a + 2c)(b + 2c) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y − = tam giác ABD có trực tâm H(−3; 2) Tìm tọa độ đỉnh C D Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) mặt phẳng (P ) : 2x + 3y − z − = Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với (P ) Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua (P ) Câu 9.a (1,0 điểm) Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, tính xác suất để viên bi lấy có màu B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ 17 từ đỉnh A H ; − , chân đường phân giác góc A D(5; 3) trung điểm cạnh 5 AB M(0; 1) Tìm tọa độ đỉnh C Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; −1; 1), B(−1; 2; 3) x+1 y−2 z −3 đường thẳng ∆ : = = Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với −2 hai đường thẳng AB ∆ Câu 9.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x2 + 2y = 4x − log (x − 1) − log√3(y + 1) = −−−−−−Hết−−−−−− Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Đáp án Điểm a (1,0 điểm) Khi m = −1 ta có y = x3 − x • Tập xác định: D = \ 0,25 • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = x − 6; y ' = ⇔ x = ±1 Các khoảng đồng biến: (−∞; − 1) (1; + ∞); khoảng nghịch biến: (−1; 1) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT = −4; đạt cực đại x = −1, yCĐ = 0,25 - Giới hạn: lim y = − ∞; lim y = + ∞ x→−∞ x→+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ −1 y' + +∞ − + +∞ y 0,25 −4 −∞ • Đồ thị: y 0,25 −1 O x −4 b (1,0 điểm) Ta có y ' = x − 6(m + 1) x + 6m; y ' = ⇔ x = x = m 0,25 Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m ≠ 0,25 Ta có A(1;3m −1), B(m; −m3 + 3m2 ) Hệ số góc đường thẳng AB k = −(m −1)2 Đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y = x + k = −1 0,25 ⇔ m = m = Vậy giá trị m cần tìm m = m = Trang 1/4 0,25 Câu (1,0 điểm) (1,0 điểm) Đáp án Điểm Phương trình cho tương đương với sin x + cos x = 0,25 π ⇔ cos ⎛⎜ x + ⎞⎟ = cos x 2⎠ ⎝ π ⇔ x + = ± x + k 2π (k ∈ ]) ⎡ x = − π + k 2π ⎢ ⇔⎢ (k ∈ ]) π ⎢ x = − + k 2π ⎢⎣ 14 0,25 0,25 0,25 ⎧⎪ x + y − xy + x − y + = ⎨ ⎪⎩ x − y + x + = x + y + x + y (1) 0,25 (2) Điều kiện: x + y ≥ 0, x + y ≥ Từ (1) ta y = x + y = x + • Với y = x + 1, thay vào (2) ta 3x − x + = 3x +1 + x + ⇔ 3( x − x) + ( x +1− 3x +1) + ( x + − x + 4) = 0,25 1 ⎛ ⎞ ⇔ ( x − x) ⎜ + + ⎟=0 x +1+ 3x +1 x + + x + ⎠ ⎝ ⇔ x − x = ⇔ x = x = Khi ta nghiệm ( x; y ) (0;1) (1;2) 0,25 • Với y = x + 1, thay vào (2) ta − 3x = x +1 + x + ⇔ 3x + ( x +1 −1) + ( x + − 2) = ⎞ ⎛ ⇔ x ⎜ 3+ + ⎟ = ⇔ x = Khi ta nghiệm ( x; y ) (0; 1) x + + x + + ⎝ ⎠ 0,25 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm ( x; y ) hệ cho (0;1) (1;2) (1,0 điểm) Đặt t = − x ⇒ tdt = − xdx Khi x = t = 2, x = t = Suy I = ∫ 0,25 t dt 0,25 t3 = = (1,0 điểm) 0,25 2 −1 0,25 S I A D K H B a Mà (SAB) vng góc với (ABCD) theo giao tuyến AB, nên SH ⊥ (ABCD) 0,25 a3 Do VS ABCD = SH S ABCD = 0,25 Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥ AB SH = C Do AB || CD H∈AB nên d ( A,( SCD )) = d ( H ,( SCD)) Gọi K trung điểm CD I hình chiếu vng góc H SK Ta có HK⊥CD Mà SH⊥CD ⇒ CD⊥(SHK) ⇒ CD ⊥ HI Do HI ⊥(SCD) Suy d ( A,( SCD)) = HI = Trang 2/4 SH HK SH + HK = a 21 0,25 0,25 Câu Đáp án (1,0 điểm) Ta có: (a + b) (a + 2c)(b + 2c) ≤ (a + b) a + b + 4c = a + b + 2ab + 4ac + 4bc ≤ 2(a + b + c ) 2 Đặt t = a + b + c + 4, suy t > P ≤ − t 2(t − 4) Điểm Xét f (t ) = 9t −(t − 4)(4t + 7t − 4t − 16) − , với t > Ta có f '(t ) = − + = t 2(t − 4) t (t − 4) t (t − 4)2 0,25 0,25 Với t > ta có 4t + 7t − 4t − 16 = 4(t − 4) + t (7t − 4) > Do f '(t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên: t +∞ f '(t ) + f (t ) −∞ − 0,25 Từ bảng biến thiên ta P ≤ 5 Khi a = b = c = ta có P = Vậy giá trị lớn P 8 7.a (1,0 điểm) B 0,25 Gọi I giao điểm AC BD ⇒ IB = IC C n = 45o Mà IB ⊥ IC nên ΔIBC vng cân I ⇒ ICB BH ⊥ AD ⇒ BH ⊥ BC⇒ ΔHBC vng cân B I 0,25 ⇒ I trung điểm đoạn thẳng HC H A D Do CH ⊥ BD trung điểm I CH thuộc BD nên tọa ⎧2( x + 3) − ( y − 2) = ⎪ độ điểm C thỏa mãn hệ ⎨ x − ⎛ y + ⎞ ⎪⎩ + ⎜⎝ ⎟⎠ − = Do C (−1;6) CH 10 IC IB BC = = = ⇒ ID = 3IC ⇒ CD = IC + ID = IC 10 = = ID ID AD ⎡t = Ta có D (6 − 2t ; t ) CD = suy (7 − 2t )2 + (t − 6)2 = 50 ⇔ ⎢ ⎣t = Do D (4;1) D(−8;7) JG (P) có véctơ pháp tuyến n = (2;3; −1) JG Đường thẳng Δ qua A vng góc với (P) nhận n làm véctơ phương, nên có phương trình Ta có 8.a (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 x−3 y −5 z = = −1 9.a (1,0 điểm) 0,25 Gọi B điểm đối xứng A qua (P), suy B thuộc Δ Do B (3 + 2t ;5 + 3t ; −t ) 0,25 ⎛ 10 + 3t ⎞ ⎛ −t ⎞ Trung điểm đoạn thẳng AB thuộc (P) nên 2(3 + t ) + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − = ⇔ t = −2 ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ Do B (−1; −1; 2) 0,25 Số cách chọn viên bi, viên từ hộp là: 7.6 = 42 0,25 Số cách chọn viên bi đỏ, viên từ hộp là: 4.2 = 0,25 Số cách chọn viên bi trắng, viên từ hộp là: 3.4 = 12 0,25 Xác suất để viên bi lấy có màu là: p = Trang 3/4 +12 10 = 42 21 0,25 Câu 7.b (1,0 điểm) 8.b (1,0 điểm) Đáp án Điểm Ta có H ∈ AH AH ⊥ HD nên AH có phương trình: 0,25 x + y − = Do A(3 − 2a; a ) Do M trung điểm AB nên MA = MH A Suy (3 − 2a)2 + (a −1)2 = 13 ⇔ a = a = − 0,25 N Do A khác H nên A(−3;3) M Phương trình đường thẳng AD y − = Gọi N điểm đối xứng M qua AD Suy N ∈ AC tọa độ điểm N thỏa mãn hệ 0,25 ⎧1 + y − = ⎪ B H D C ⇒ N (0;5) ⎨ ⎩⎪1.x + 0.( y −1) = Đường thẳng AC có phương trình: x − y + 15 = Đường thẳng BC có phương trình: x − y − = 0,25 ⎧2 x − y − = Suy tọa độ điểm C thỏa mãn hệ: ⎨ ⎩ x − y + 15 = Do C (9;11) JJJG JG 0,25 Ta có AB = ( −2;3;2 ) , vectơ phương Δ u = (−2;1;3) JG JJJG JG Đường thẳng vng góc với AB Δ, có vectơ phương v = ⎡⎣ AB, u ⎤⎦ 0,25 JG 0,25 Suy v = ( 7; 2; ) x − y + z −1 = = ⎧ x + y = x −1 Điều kiện: x > 1; y > −1 Hệ cho tương đương với ⎨ ⎩log3 ( x −1) = log3 ( y +1) Đường thẳng qua A, vng góc với AB Δ có phương trình là: 9.b (1,0 điểm) ⎧ x2 − 2x − = ⇔⎨ ⎩y = x−2 ⎡ x = −1, y = −3 ⇔⎢ ⎣ x = 3, y = Đối chiếu điều kiện ta nghiệm ( x; y ) hệ cho (3;1) - Hết - Trang 4/4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ...ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Đáp án Điểm... S I A D K H B a Mà (SAB) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AB, nên SH ⊥ (ABCD) 0,25 a3 Do VS ABCD = SH S ABCD = 0,25 Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥ AB SH = C Do AB || CD H∈AB nên d ( A,(... ) = ⇔ t = B ng biến thi n: t +∞ f '(t ) + f (t ) −∞ − 0,25 Từ b ng biến thi n ta P ≤ 5 Khi a = b = c = ta có P = Vậy giá trị lớn P 8 7.a (1,0 điểm) B 0,25 Gọi I giao điểm AC BD ⇒ IB = IC C