Chương 5 CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

Chương CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN Biến đổi Laplace Biến đổi Laplace (Laplace transform) nội dung tảng điều khiển Trong chương này, khái niệm biến đổi Laplace diễn giải để người đọc không chuyên ngành điều khiển hiểu Đây kiến thức cần thiết để tiếp tục nghiên cứu nội dung kỹ thuật điều khiển Biến đổi hàm số làm cho hàm số chuyển từ dạng sang dạng khác Ví dụ, thực phép biến đổi hàm số 𝑓 (𝑥) = 𝑥 cách nhân hàm số cho 2, ta hàm số 𝑔(𝑥) = 2𝑥 Ta lập bảng giá trị sau: Bảng 1: Mô tả giá trị hàm số x f(x) 16 25 g(x) 18 32 50 Ta biến đổi hàm số g(x) thành f(x) cách chia g(x) cho Đây gọi phép biến đổi ngược Đạo hàm phép biến đổi, ví dụ, 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑 ℎ (𝑥 ) = = 𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Tích phân phép biến đổi ngược đạo hàm, ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 Cho c = 0, hàm f(x) Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân đặc biệt, định nghĩa sau: Trong t biến thời gian Kết phép biến đổi hàm theo s Chúng ta thường dùng chữ in hoa để ký hiệu hàm theo s kết phép biến đổi Laplace Ví dụ, F(s) = {f(t)} Ví dụ 1: Tính {𝑒 −3𝑡 } Giải: Theo định nghĩa biến đổi Laplace, ta có: MATLAB Tập câu lệnh sau dùng để tìm đáp án Ví dụ syms t f=exp(-3*t) laplace(f) Kết quả: ans = 1/(s + 3) Thực tương tự phép tích phân, ta thu bảng biến đổi Laplace số hàm sau: Bảng 2: Biến đổi Laplace số hàm Nếu F(s) biến đổi Laplace hàm f(t)} f(t)} biến đổi Laplace ngược hàm F(s), ta viết f(t)}= -1{F(s)} Bảng biến đổi Laplace ngược số hàm cho sau: Bảng 2: Biến đổi Laplace ngược số hàm Ví dụ 2: Tính: Giải: Tồn giá trị số A, B cho: 5𝑠 + 𝐴 𝐵 𝐴(𝑠 + 4) + 𝐵(𝑠 − 1) (𝐴 + 𝐵)𝑠 + 4𝐴 − 𝐵 = + = = (𝑠 − 1)(𝑠 + 4) (𝑠 − 1) (𝑠 + 4) (𝑠 − 1)(𝑠 + 4) (𝑠 − 1)(𝑠 + 4) Đồng tử số ta có: A + B = 5; 4A – B = Giải ta được: 14 11 𝐴= ;𝐵= 5 Biểu thức ban đầu phân tích thành: 5𝑠 + 14 11 = + (𝑠 − 1)(𝑠 + 4) 5(𝑠 − 1) 5(𝑠 + 4) Vì vậy: = 14 𝑡 11 −4𝑡 𝑒 + 𝑒 5 MATLAB Tập câu lệnh sau dùng để tìm đáp án Ví dụ syms s F=(5*s+9)/((s-1)*(s+4)) ilaplace(F) Kết quả: ans = (11*exp(-4*t))/5 + (14*exp(t))/5 Trong kỹ thuật điều khiển, thường biến đổi Laplace phương trình vi phân biểu diễn đặc tính động học động lực học hệ thống Biểu thức biến đổi Laplace đạo hàm bậc bậc cho sau: {𝑓 ′ (𝑡)} = 𝑠𝐹 (𝑠) − 𝑓(0) {𝑓 ′′ (𝑡)} = 𝑠 𝐹 (𝑠) − 𝑠𝑓 (0) − 𝑓 ′ (0) Để chứng minh kết trên, người đọc xem tài liệu tham khảo [1] Trong biểu thức này, F(s) = {f(t)} f(0) f’(0) điều kiện ban đầu, giá trị hàm f(t) đạo hàm hàm f(t) thời điểm t = Hàm truyền Hàm truyền (transfer function) hệ thống định nghĩa tỉ số biến đổi Laplace biến đầu biến đổi Lablace biến đầu vào với tất điều kiện ban đầu giả định không Để làm rõ khái niệm này, thiết lập hàm truyền hệ gồm vật nặng, lò xo giảm chấn cho hình vẽ Vật chịu tác động lực F(t) thay đổi theo thời gian, chuyển động theo hướng trục x Hình 1: Hệ thống vật nặng – lò xo – giảm chấn Ta vẽ sơ đồ vật thể tự hình bên Lực lò xo tỉ lệ thuận với khoảng cách dịch chuyển vật, x lực giảm chấn nhớt tỉ lệ thuận với vận tốc vật, 𝑣 = 𝑥̇ Cả hai lực trái chiều chuyển động đặt theo hướng chiều âm trục x Hình 2: Sơ đồ vật thể tự Ứng dụng Định luật II Newton, ta có: 𝐹 (𝑡 ) − 𝑘𝑥 − 𝑏𝑥̇ = 𝑚𝑥̈ Đây phương trình chủ đạo (governing equation) hệ, đặc trưng cho động lực hệ Giải phương trình vi phân giúp phân tích tính chất hoạt động hệ tác động lực F(t) Trong phương trình này, F(t) lực tác động bên ngoài, xem đầu vào x(t) dịch chuyển vật, kết tác động F(t), xem đầu Biến đổi Laplace hai vế phương trình, ta được: 𝐹 (𝑠) − 𝑘𝑋(𝑠) − 𝑏(𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0)) = 𝑚(𝑠 𝑋(𝑠) − 𝑠𝑥 (0) − 𝑥̇ (0)) Giả định rằng, thời điểm ban đầu t = 0, vật vị trí cân x(0) = đứng yên 𝑥̇ (0) = 0, ta thu được: 𝐹 (𝑠) − 𝑘𝑋(𝑠) − 𝑏𝑠𝑋 (𝑠) = 𝑚𝑠 𝑋(𝑠) Sắp xếp lại phương trình, ta có: 𝑋(𝑠) = 𝐹(𝑠) 𝑚𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝑘 Đây hàm truyền hệ vật – lò xo – giảm chấn theo định nghĩa 𝐺 (𝑠 ) = 𝑚𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝑘 Để biểu diễn hệ thống điều khiển, người ta thường dùng sơ đồ khối (block diagram) Sơ đồ khối hệ vật – lò xo – giảm chấn biểu diễn hình bên F(s) G(s) X(s) Hình 3: Sơ đồ khối Sơ đồ khối thể trình tự thông tin theo chiều định Nếu thông tin qua hai hệ thống, biểu diễn Hình 4(a) Thực hiệp phép biến đổi sơ đồ khối, sơ đồ Hình 4(a) đơn giản thành sơ đồ Hình 4(b) (a) (b) F(s) G(s) F(s) G(s)H(s) X(s) H(s) Y(s) Y(s) Hình 4: Sơ đồ khối nối tiếp Nếu thông tin đầu dùng làm phần tín hiệu điều khiển, ta có hệ thống điều khiển kín (closed – loop control system) Trên ô tô, liên hệ đến hệ thống điều khiển chạy tự động (cruise control system) Cảm biến tốc độ xe gửi tín hiệu điều khiển, tốc độ thực tế xe Bộ điều khiển so sánh tốc độ cài đặt trước với tốc độ thực tế để điều chỉnh cần thiết Sơ đồ hệ thống cho Hình 5(a) Thực phép biến đổi sơ đồ khối Sơ đồ đơn giản sơ đồ tương đương Hình 5(b) Để giải thích biến đổi vậy, người đọc xem tài liệu tham khảo [2] (a) X(s) + e(s) G(s) - (b) X(s) 𝐺(𝑠) + 𝐺(𝑠) Y(s) Hình 5: Sơ đồ điều khiển kín Ví dụ 3: Cho hàm truyền sau: Y(s) 𝑠 + 0.5𝑠 + 0.1𝑠 + 10 𝐻 (𝑠 ) = 𝑠 a) Tính hàm truyền tương đương chúng mắc nối tiếp Hình b) Tính hàm truyền tương đương G(s) điều khiển kín Hình Giải: a) Khi mắc nối tiếp G(s) H(s) ta hàm tương đương hệ thống: 0.1𝑠 + 10 0.1𝑠 + 10 𝑃 (𝑠 ) = 𝐺 (𝑠 ) 𝐻 (𝑠 ) = = 𝑠 + 0.5𝑠 + 𝑠 𝑠(𝑠 + 0.5𝑠 + 3) 𝐺 (𝑠 ) = = 𝑠3 0.1𝑠 + 10 + 0.5𝑠 + 3𝑠 b) Hàm truyền tương đương hệ thống điều khiển kín là: 𝐺(𝑠) 𝑃 (𝑠 ) = = 𝑠 + 0.5𝑠 + = 1 + 𝐺(𝑠) + 𝑠 + 0.5𝑠 + 𝑠 + 0.5𝑠 + MATLAB Các tập câu lệnh sau dùng để tìm đáp án Ví dụ Khai báo hàm truyền G(s) G=tf(1,[1 0.5 3]) Kết quả: G = s^2 + 0.5 s + a) Mắc nối tiếp H=tf([0.1 10],[1 0]) P=G*H Kết quả: H = 0.1 s + 10 -s P = 0.1 s + 10 s^3 + 0.5 s^2 + s b) Hệ thống điều khiển kín P=feedback(G,1) Kết quả: P = s^2 + 0.5 s + Tính ổn định hệ thống Ổn định đặc tính quan trọng thiết kế hệ thống điều khiển Hình mô tả trạng thái ổn định không ổn định Viên bi tròn đặt bình bán cầu hình (a) xem ổn định Khi ta xê dịch viên bi khỏi vị trí cân bằng, có xu hướng lấy lại vị trí cân Ngược lại hình (b), viên bi khó đứng yên vị trí cao Viên bi có xu hướng lăn khỏi vị trí rơi xuống (a) (b) Hình 6: Ổn định không ổn định Trong điều khiển, hệ thống ổn định có đáp ứng bị giới hạn chịu tác động bên giới hạn Hay nói cách khác, có tín hiệu đầu vào đo được, đáp ứng hệ thống không tăng dần đến kiểm soát cuối hư hỏng Trên ô tô, hệ thống chạy tự động (CCS) trì tốc độ xe không đổi Khi có tác động bên gió thổi chiều chuyển động xe, xe bị tăng tốc độ sau khoảng thời xe lấy lái giá trị cài đặt trước Hệ thống CCS xem không đạt để tốc độ xe tăng đến kiểm soát Để minh họa tính ổn định hệ thống, khảo sát hệ vật – lò xo – giảm chấn có hàm truyền: 𝐺 (𝑠 ) = 𝑚𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝑘 Hệ chịu tác động xung lực (impulse) Nó dạng hàm Dirac delta, hay δ(t), có giá trị không trục x ngoại trừ vị trí Hình 7: Hàm δ(t) Chúng ta liên tưởng xung lực tương tự dùng tay đập mạnh vào mặt bàn nhấc tay lên nhanh, thực động tác nhanh Khi thời gian lực tác động ngắn, xem không Chúng ta khảo sát hệ vật – lò xo – giảm chấn tác động xung lực với giá trị giảm chấn khác Biến đổi Laplace hàm δ(t) là: ℒ-1{δ(t)} = Sơ đồ khối biểu diễn hệ vật – lò xo – giảm chấn Hình 3, đó, F(s) = 1 𝐺 (𝑠 ) = 𝑚𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝑘 Khi đó, 𝑋 (𝑠 ) = 𝐹 (𝑠 ) 𝐺 (𝑠 ) = = 𝐺(𝑠) 𝑚𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝑘 Vì vậy, trường hợp hệ chịu tác động xung lực δ(t), khảo sát đáp ứng hệ thống khảo sát hàm truyền G(s) Trường hợp 1: m = kg; k = N.m; b = Ns/m Giải phương trình đặc trưng: 𝑠 + 3𝑠 + = Ta nghiệm: s1 = -0.38; s2 = -2.62 MATLAB Dùng tập câu lệnh sau để giải phương trình Nghiem=solve('s^2+3*s+1=0') Kết quả: Nghiem = 5^(1/2)/2 - 3/2 - 5^(1/2)/2 - 3/2 vpa(Nghiem) Kết quả: ans = -0.38196601125010515179541316563436 -2.6180339887498948482045868343656 Hàm truyền G(s) phân tích thành: 1 𝐺 (𝑠 ) = = + 𝑠 + 3𝑠 + 𝑠 + 0.38 𝑠 + 2.62 Biến đổi Laplace ngược hàm G(s): 1 } = 𝑒 −0.38𝑡 + 𝑒 −2.62𝑡 ℒ −1 {𝐺(𝑠)} = ℒ −1 { + 𝑠 + 0.38 𝑠 + 2.62 Độ lớn 1.5 0.5 0 10 15 20 Thời gian [s] Hình 7: Đồ thị dịch chuyển vật vật trường hợp MATLAB Dùng tập câu lệnh sau để vẽ đồ thị t=0:0.01:20 yt=exp(-0.38*t)+exp(-2.62*t) plot(t,yt) Trường hợp 2: m = kg; k = N.m; b = 0.2 Ns/m Giải phương trình đặc trưng: 𝑠 + 0.2𝑠 + = Ta nghiệm phức: s1 = -0.1 – i; s2 = -0.1 + i Để thực phép biến đổi Laplace ngược cho G(s) trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm phức, ta áp dụng công thức: 𝜔𝑛2 𝜔𝑛 −1 } ℒ { = 𝑒 −𝜁𝜔𝑛 𝑡 sin 𝜔𝑛 √1 − 𝜁 𝑡 𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 √1 − 𝜁 Từ phương trình đặc trưng, ta xác định tham số: ωn = 1; ζ ωn = 0.2, suy ζ = 0.1 𝑦 (𝑡 ) = 𝑒 −0.1𝑡 sin √1 − 0.12 𝑡 √1 − 0.1 Độ lớn 0.5 -0.5 -1 10 15 20 Thời gian [s] Hình 8: Đồ thị dịch chuyển vật trường hợp MATLAB Dùng tập câu lệnh sau để vẽ đồ thị t=0:0.01:20 yt=1/sqrt(1-0.1^2)*exp(-0.1*t).*sin(sqrt(1-0.1^2)*t) plot(t,yt) Trường hợp 3: m = kg; k = N.m; b = -3 Ns/m Giải phương trình đặc trưng: 𝑠 − 3𝑠 + = Ta nghiệm: s1 = 0.38; s2 = 2.62 3000 2500 Độ lớn 2000 1500 1000 500 0 0.5 1.5 2.5 Thời gian [s] Hình 9: Sự dịch chuyển vật trường hợp Trường hợp 4: 10 m = kg; k = N.m; b = - 0.2 Ns/m Giải phương trình đặc trưng: 𝑠 − 0.2𝑠 + = Ta nghiệm phức: s1 = 0.1 – i; s2 = 0.1 + i 10 Độ lớn -5 -10 10 15 20 Thời gian [s] Hình 10: Sự dịch chuyển vật trường hợp Trường hợp 1, hệ thống ổn định, ngược lại trường hợp 3, hệ thống không ổn định Quan sát nghiệm s1, s2 trường hợp ta thấy, hệ thống ổn định nghiệm thực phần thực nghiệm phức âm Ngược lại nghiệm thực phần thực nghiệm phức dương, biến đổi Laplace ngược làm cho phần mũ hàm e dương Đáp ứng hệ có xu hướng tăng dần theo thời gian, kết làm cho hệ thống không ổn định Trong trường hợp 4, giá trị hệ số giảm chấn b giả định để khảo sát hoạt động hệ thống b không lấy giá trị nhỏ không Trong thực tế, hệ vật – lò xo – giảm chấn đáp ứng giống trường hợp Hay nói cách khác hệ thống ổn định Trong điều khiển, thường xuyên phải đối mặt hệ thống không ổn định trường hợp Nhiệm vụ phải thiết kế cấu điều khiển để đưa hệ thống không ổn định hệ thống ổn định với số hoạt động tốt Xét phương trình đặc trưng 𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 = Trong trường hợp phương trình có nghiệm phức: 𝑠1 = −𝜁𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 √1 − 𝜁 𝑖 𝑠2 = −𝜁𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 √1 − 𝜁 𝑖 ζ gọi hệ số giảm chấn 11 [...]... xo – giảm chấn không có đáp ứng giống như trường hợp 3 và 4 Hay nói cách khác hệ thống luôn ổn định Trong điều khiển, chúng ta thường xuyên phải đối mặt những hệ thống không ổn định như trường hợp 3 và 4 Nhiệm vụ của chúng ta là phải thiết kế các cơ cấu điều khiển để đưa các hệ thống không ổn định về hệ thống ổn định với các chỉ số hoạt động tốt nhất có thể Xét phương trình đặc trưng 𝑠 2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2...m = 1 kg; k = 1 N.m; b = - 0.2 Ns/m Giải phương trình đặc trưng: 𝑠 2 − 0.2𝑠 + 1 = 0 Ta được 2 nghiệm phức: s1 = 0.1 – i; s2 = 0.1 + i 10 Độ lớn 5 0 -5 -10 0 5 10 15 20 Thời gian [s] Hình 10: Sự dịch chuyển của vật trường hợp 4 Trường hợp 1, 2 hệ thống ổn định, ngược lại trường hợp 3, 4 hệ thống không ổn định Quan sát nghiệm s1, s2 trong các trường hợp ... Nghiem=solve('s^2+3*s+1=0') Kết quả: Nghiem = 5^ (1/2)/2 - 3/2 - 5^ (1/2)/2 - 3/2 vpa(Nghiem) Kết quả: ans = -0.381966011 250 1 051 517 954 131 656 3436 -2.61803398874989484820 458 68343 656 Hàm truyền G(s) phân tích thành:... = =