tích phân riemanm

1 mục lục Trang Đ1 Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức sở độ đo 1.2 Một số kiến thức sở xác suất Đ2 Tích phân ngẫu nhiên Ito 11 2.1 Tích phân Wiener 11 2.2 Tích phân Ito 15 2.3 Mở rộng tích phân Ito 20 2.4 Vi phân ngẫu nhiên định lý Ito 22 Phần 2: Bài tập 27 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Phần 1: Lý thuyết mở đầu Có thể nói giải tích toán học lĩnh vực nghiên cứu phép tính vi phân tích phân Từ cuối kỷ 17, Newton Leibniz xây dựng phép tính vi phân tích phân cổ điển Tới nửa đầu kỷ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu xây dựng Người có công lớn việc sáng tạo tích phân ngẫu nhiên K.Ito, nhà toán học kiệt xuất người Nhật Nếu tích phân Riemann - Lebesgue xây dựng theo độ đo tích phân Ito xây dựng theo trình Wiener Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên phép tính tích phân ngẫu nhiên trở thành công cụ quan trọng cho nhiều vấn đề vật lí, sinh học kinh tế Khoá luận trình bày số hiểu biết tác giả khái niệm tích phân Ito, đặc biệt công thức Ito ứng dụng vào việc giải số tập liên quan Khoá luận gồm chương: Phần Lí thuyết Đ1 Kiến thức sở 1.1 Cơ sở lý thuyết độ đo 1.2 Cơ sở lý thuyết xác suất Trong trình bày số kiến thức sở có liên quan dùng làm chuẩn bị cho nội dung khoá luận Đ2 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.2 Tích phân Wiener 2.2 Tích phân Ito Đây nội dung phần lý thuyết mà tác giả tìm hiểu trình bày trình ngẫu nhiên Ito Phần Bài tập áp dụng Trong chương này, tác giả vân dụng lý thuyết để giải số tập điển hình trình ngẫu nhiên Ito Khoá luận thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn tận tình, chu đáo cô giáo ThS.Nguyễn Thị Thế góp ý, giúp đỡ thầy cô giáo tổ Xác suất thống kê Toán ứng dụng khoa Toán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Giáo sư, phó Giáo sư, Tiến sĩ, Thạc sĩ, , khoa Toán Đại hoc Vinh, thầy cô tham gia quản lý, giảng dạy, cung cấp tài liệu, hướng dẫn, giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo ThS Nguyễn Thị Thế, thầy cô tổ Xác suất thống kê Toán ứng dụng, thầy cô khoa Toán bạn bè giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận Mặc dù có nhiều cố gắng lực thời gian hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót nội dung hình thức Vì vậy, tác giả mong lời bảo quý thầy cô góp ý giúp đỡ bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng năm 2008 Tác giả phần lýthuyết Đ1 kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức độ đo 1.1.1 Định nghĩa Cho = , họ F tập gọi - trường nếu: (i) , F (ii) Nếu A F A F , A F (iii) Nếu An F, n An F n=1 1.1.2 Định nghĩa Giả sử F - trường tập Khi đó, hàm : F R gọi độ đo - trường F thoả mãn tiên đề sau: (i) à() = (ii) à(A) (iii) Nếu {An } Ai Aj = , i = j , à( An ) = n=1 à(An ) n=1 gọi - hữu hạn tồn {Xn } phần tử F với n N cho à(Xn) < , X= Xn n=1 Nếu độ đo - hữu hạn - trường F cho độ đo khoảng trùng với thể tích không gian gọi độ đo Lebegue 1.1.3 Hàm đo Giả sử A, B - đại số, (X, A), (Y, B) không gian đo được, ánh xạ f : X Y gọi đo B B f 1(B) B, tức nghịch ảnh tập đo tập đo Hàm f : X R gọi đo ( hay à- đo được) a R tập {x X : f (x) < a} A Nếu X = Rn đo Lebesgue hàm f đo Lebesgue 1.1.4 Tích phân Rimann - Stieltjes Giả sử f g hai hàm số thực xác định đoạn [0,1] Xét phân hoạch đoạn [0,1]: n : = t0 < t1 < ã ã ã < tn = họ giá trị trung gian n : ti1 yi ti , i = 1, , n Ta định nghĩa i (g) = g(ti ) g(ti1 ), i x = ti ti1 , i = 1, , n i = 1, , n Tổng Riemann- Stieltjes (R S) tương ứng với n n định nghĩa công thức n Sn = Sn (n , n ) = n f (yi )i (g) = i=1 f (yi )(g(ti ) g(ti1 )) i=1 Nhận xét g(t) = t tổng (R S) tổng Riemann f Nếu tồn giới hạn S = lim Sn n ix S không phụ thuộc vào lựa chọn n n, S gọi tích phân (R S) f g [0, 1], ta ký hiệu S= f (t)dg(t) 1.1.5 Tích phân Lebesgue - Stieltjes Giả sử B - trường tập Borel đường thẳng, độ đo hữu hạn B lấy giá trị hữu hạn các khoảng hữu hạn Ta ký hiệu (R, Bà, à) không gian có độ đo tương ứng Độ đo Bà gọi độ đo Lebesgue-Stieltjes Hệ thức F (b) F (a) = à(a, b] xác định đơn trị hàm F đơn điệu không giảm, liên tục bên trái Người ta gọi F hàm phân phối tương ứng với độ đo Định nghĩa Giả sử f hàm thực Bà - đo được, f khả tích theo độ đo tích phân f dà gọi tích phân Lebesgue - Stieltjes Nếu F hàm phân phối tương ứng với độ đo tích phân ký hiệu f dà = f dF Tích phân đoạn [a; b] ký hiệu b b f dà = a f dF a Đặc biệt, với độ đo tương ứng F (x) = x gọi độ đo Lebesgue tích phân tương ứng gọi Lebesgue 1.1.6 Qua giới hạn dấu tích phân Cho dãy hàm {fn} - đo cho fn f theo độ đo Nếu tồn hàm khả tích g cho với n N, ta có |fn| g f khả tích f dà = lim n fn dà 1.2 Kiến thức xác suất 1.2.1 Không gian xác suất 1.2.1.1 Định nghĩa Cho tập = F -trường tập Một ánh xạ P : F R gọi độ đo xác suất thoã mãn điều kiện: (i) P(A) (ii) P() = (iii) Nếu Ai F , i AiAj = , i P( i=1 Ai ) = P(Ai ) i=1 1.2.1.2 Tính chất độ đo xác suất Giả sử F - trường tập P : F R độ đo xác suất Khi đó, độ đo xác suất có đầy đủ tính chất độ đo hữu hạn 1.2.1.3 Định nghĩa Giả sử tập = , F -trường tập , P : F R độ đo xác suất Khi đó, ba (, F, P) gọi không gian xác suất 1.2.2 Biến ngẫu nhiên 1.2.2.1 Định nghĩa Giả sử (, F, P) không gian xác suất Một ánh xạ X : R gọi biến ngẫu nhiên nếu: X1 (B) F , B B với B -trường tập Borel R 1.2.2.2 Định nghĩa Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (, F, P) Khi đó, - trường (X) = {X1 (B) : B B} gọi -trường sinh X 1.2.3 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2.3.1 Kỳ vọng Cho X biến ngẫu nhiên, kỳ vọng X ký hiệu EX định nghĩa bởi: EX = dP (nếu tồn tại) 1.2.3.2 Phương sai Cho X biến ngẫu nhiên,phương sai X ký hiệu DX định nghĩa bởi: D(X) = E(X EX)2 (nếu tồn tại) 1.2.4 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên 1.2.4.1 Hội tụ hầu chắn Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n 1) xác định không gian xác suất(, F, P) gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X tồn tập A F, P(A) = cho A Xn() X() Ký hiệu :Xn X h.c.c 1.2.4.2 Hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n 1) xác định không gian xác suất (, F, P) gọi hội tụ theo xác suất biến ngẫu nhiên X > lim P{|Xn X| > } = n P Ký hiệu: Xn X 1.2.4.3 Định nghĩa Cho p > 0, X biến ngẫu nhiên, ta ký hiệu: Lp = {X : E |X|p < } Với X Lp, ta ký hiệu: X đó, Lp với chuẩn p p = (E |X|p ) p không gian metric với khoảng cách d(X, Y) = X Y p Đặc biệt, với p Lp không gian Banach, p = Lp không gian Hilbert 1.2.4.4 Hội tụ theo trung bình cấp p Với p 0, dãy biến ngẫu nhiên Xn xác định không gian xác suất (, F, P) gọi hội tụ theo trung bình cấp p biến ngẫu nhiên X , lim E | Xn X |p = n Ký hiệu: Xn L X Đặc biệt, với p = gọi hội tụ theo bình phương trung bình p 1.2.5 Kỳ vọng có điều kiện Giả sử (, F, P) không gian xác suất, X : R đại lượng ngẫu nhiên, G -trường F Khi đó, đại lượng ngẫu nhiên Y : R gọi kỳ vọng có điều kiện X G nếu: (i)Y đo G : Y1 (B) G, B B(R) (ii)E(YIA ) = E(XIA ), A G Ký hiệu: Y = E(X | G) 1.2.6 Martingale Cho không gian xác suất (, F, P) Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên, Fn dãy tăng -trường F, (n = 0, 1, ) Khi (Xn , Fn , n N), dãy gọi Martingale nếu: 10 (i) (Xn , Fn ) dãy phù hợp (hay Xn Fn đo được) (ii) E | Xn |< , n N hầu chắn, n N - Martingale có (i), (ii) và: (iii)2 E(Xn+1 |Fn ) Xn h.c.c, n N - Martingale có (i), (ii) : (iii)3 E(Xn+1 |Fn ) Xn h.c.c, n N (iii)1 E(Xn+1 | F ) = Xn 1.2.7 Một số bất đẳng thức 1.2.7.1 Bất đẳng thức Markov Cho X đại lượng ngẫu nhiên nằm không gian Lp Khi đó, > 0, ta có P(|X|) ) E |X|p p 1.2.7.2 Bất đẳng thức Doob Giả sử p > (Xn, Fn) Martingale khả tích cấp p không âm Khi đó, biến ngẫu nhiên sup |X|ncũng khả tích cấp p Cụ thể, ta có bất đẳng thức: sup |Xn | p p sup X p1 p 24 Khi đó, Yt trình Ito ta có g g g g dYt = +a + b dt + b dWt t x x2 x tức là, t g g s, Xs () +a(s, ) s, Xs () t x Yt = Yt0 + + t + b(s, ) (2.9) t 2g b (s, ) s, Xs () x ds ds g s, Xs () dWs x (2.10) 2.4.2 Công thức Ito nhiều chiều Giả sử Mt, At, t [0; T ]} trình Wiener n-chiều, tức thành phần độc lập với nhau, thành phần nó: {Wi(t), At, t [0; T ]} lập thành martingale, i = 1, n 2.4.2.1 Định nghĩa Tích phân ngẫu nhiên hay trình Ito n-chiều trình ngẫu nhiên véc tơ liên tục Xt = (X1(t), , Xn(t)) không gian xác suất (, A, P) cho tích phân trình Ito t Xi (t) = Xi (0) + t n bij (s, )dWi (s), t [0; T ] (s, )ds + 0 j=1 Trong {ai(t)}; {bj (t)}; i, j = 1, n trình ngẫu nhiên tương thích At -đo cho T P |a(t, )| dt < = 25 T |b(t, )|2 dt < = P đó, ta nói Xt có vi phân ngẫu nhiên Ito (hay trình Ito) viết dXt = adt + bdWt đặt Bây giả sử g(t, x) hàm hai biến liên tục, khả vi tới cấp hai [0; T ]ìR, Yt = g(t, Xt ) 2.4.2.2 Định lý (công thức Ito nhiều chiều) Giả sử Xt trình Ito dạng dXt = adt + bdWt Khi đó, Yt = g(t, Xt ) trình Ito g dYt = + t n n n g 2g + xi i,j=1 xi xj i=1 n bik bjk dt + bij i,j=1 k=1 g dWi xi tức là, t Yt = Yt0 + + t g s, Xs () + s n n (s, ) i=1 2g s, Xs ( x x i j i,j=1 n + t bij (s, ) i,j=1 g s, Xs ( xi n bik (s, )bjk (s, )ds k=1 g s, Xs () dWi (s) xi ds 26 2.4.3 Công thức tích phân phần Giả sử g(t, ) = f (t) hàm thực biến t có biến phân bị chặn [0, t] Khi t t f (t)dWs = f (t)Wt Ws df (s) Chú ý Nếu Xt có phân phối chuẩn hay a(t, ), b(t, ) độc lập với trình ngẫu nhiên định nghĩa 2.4.1.1 có phân phối chuẩn với số gia độc lập Ngược lại, trình Gauss với số gia độc lập biểu diễn dạng 27 phần tập áp dụng Bài tập 1: Tính tích phân I = t Ws dWs Giải: Chọn Xt = Wt suy dXt = 0dt + dWt g(t, x) = x2 áp dụng công thức Ito Yt = g(t, Xt) = Wt2 Ta có: g g 2g g dYt = [ (t, Xt ) + a (t, Xt ) + b (t, Xt )]dt + b (t, Xt )dWt t x t x Suy dYt = dt + 2Wt dWt Tích phân hai vế với ý đến Y0 = W02 = Ta có t t Yt = ds + Suy ra: Ws dWs = Bài tập 2: t I= Tính tích phân I = Wt t 2 t sdWs Ws 28 Giải: Xét Xt = Wt g(t, x) = tx áp dụng công thức Itô cho Yt = g(t, Xt) = tWt Ta có dYt = Wt dt + tdWt Tích phân hai vế với Y0 = ta có t Yt = t Ws ds + Suy sdWs t t sdWs = tWt Ws ds Bài tập 3: Giả sử Wt trình Wiener Chứng minh rằng: t t a) Ws dWs = Ws Wsds b) đặt Yt = eW , chứng minh dYt = 12 Ytdt + YtdWt Yt t , chứng minh dYt = dt + dWt c) đặt Yt = t W +1 t+1 t+1 t Giải: a) Xét Xt = Wt Ta có Yt = g(t, Wt ) = Wt3 dYt = 3Wt dt + 3Wt2 dWt 29 Tích phân hai vế biểu thức với Yt t = 0, ta có Ws2 dWs = Ws3 t Ws ds b) Ta xét g(t, x) = ex Khi Yt = g(t, Wt) Theo công thức Itô ta có dYt = eWt dt + eWt dWt Hay dYt = Yt dt + Yt dWt x c) Ta xét Xt = Wt g(t, x) = 1+t Yt = g(t, Xt ) = Wt 1+t áp dụng công thức Ito, ta có dYt = 1 Wt dt + + + dWt (1 + t)2 1+t 1+t Wt = dt + dWt (1 + t)2 1+t hay dYt = Yt dt + dWt 1+t 1+t Bài tập 4: Xét trình sau có phải Martingale không? a)Yt = Wt + 4t 30 b)Yt = Wt2 c) Yt = W1(t)W2(t) với Wt = (W1(t), W2(t)) chuyển động Brown hai chiều Giải: a) Dùng công thức Itô với hàm g(t, x) = x + 4t, dễ thấy dYt = 4dt + dWt Tích phân hai vế với Yt = 0, ta có t Yt = t 4ds + dWt hay t Yt 4t = dWt Vậy Yt martingale b) Tương tự xét hàm g(t, x) = x2 Ta tính dYt = dt + 2Wt dWt Do t Yt = t + Wt dWt hay Yt t = 2 Vậy Yt Martingale c) Ta xét g(t, x) = x1x2 với x = (x1, x2) t Wt dWt 31 Khi ta có dYt = W1 (t)dW2 (t) + W2 (t)dW1 (t) Do t Yt = Vậy Yt martingale t W1 (t)dW2 (t) + W2 (t)dW1 (t) Bài tập 5: Chứng minh Nt = Wt3 3tWt martingale Giải: Xét hàm g(t, x) = x3 3tx Dễ thấy Nt = g(t, Wt ) Từ tính dNt = (3Wt2 3t)dWt Tích phân hai vế biểu thức với Nt = 0, ta có t t Ws2 dWs Nt = sWs Do vế phải martingale nên có điều phải chứng minh Bài tập 6: Dùng công thức vi phân Itô để viết vi phân trình ngẫu nhiên Yt dạng dYt = h(t, )dt + f (t, )dWt 32 Với trình h, f thích hợp, h R, f Rnìm a) Yt = Wt2, Wt chuyển động Brown 1-chiều b) Yt = + t + eWt ,Wt chuyển động Brown 1-chiều c) Yt = W1(t)2 + W2(t)2, (W1(t), W2(t)) chuyển động Brown 2-chiều d) Yt = (t0 + t, Wt), Wt 1- chiều e) Yt = (W1(t)+W2(t)+W3(t), W2(t)2W1(t)W2(t)), W (t) = (W1(t), W2(t), W3(t)) 3-chiều Giải a) Xét Xt = Wt g(t, x) = x2 g 2g g (t, Wt ) + (t, Wt ) + (t, Wt )]dt + (t, W (t))dWt Ta có dYt = [ g t x t x Vậy dYt = dt + 2Wt dWt b)Ta xét g(t, x) = + t + ex Khi Yt = g(t, Wt ) g g g Ta có dYt = [ g (t, Wt ) + (t, Wt ) + (t, Wt )]dt + (t, Wt )dWt t x t x dYt = (1 + eWt )dt + eWt dWt c) Với Yt = W1(t)2 + W1(t)2, Wt = (W1(t), W2(t)) 2-chiều Ta xét g(x1, x2) = x21 + x22 Khi Yt = g(t, Wt ) 33 áp dụng công thức Itô, ta có: g dYt = dt + t Do ta có 2 i=1 g 2g dXi + dXi dXj xi i,j=1 xi xj dYt = 2W1 (t)dW1 (t) + 2W2 (t)dW2 (t) + 2dt d) Xét g(t, x) = (t + t0, x) Khi Yt = g(t, Wt) trình Itô 2-chiều Theo công thức Itô, ta có: dY1 = dt + 0dWt dY2 = 0dt + dWt Hay viết dạng ma trận: dY = dt + dWt e)Xét Xt = (W1(t), W2(t), W3(t)) g(t, x) = (x1 + x2 + x3 , X22 x1 x3 ) Khi Yt = g(t, Xt) trình Itô 2-chiều gk dYk = + t Ta có: 3 i=1 gk gk dXi + dXi dXj , k = 1, xi i,j=1 xi xj dY1 = dW1 (t) + dW2 (t) + dW3 (t) dY = dt W (t)dW (t) + 2W (t) W (t) dW (t) 2 2 Vậy dYt = dt + 1 W1 (t) 2W2 (t) W1 (t) dWt 34 Bài tập 7: a) Cho Wt chuyển động Brown 2-chiều xuất phát từ x0 = Chứng minh Yt = ln(|Wt |2 ) martingale b) Điều không Wt chuyển động Brown - chiều c) Nếu Wt chiều, chứng minh Yt := |W1 | Martingale t d) Tổng quát hóa câu c) cho trường hợp n Giải: a) Do Wt 2-chiều nên Wt = (W1(t), W2(t)) Vì |Wt | = W12 (t) + W22 (t) Do Yt = ln(|Wt |2 ) = ln(W12 (t) + W22 (t)) Xét Xt = Wt = (W1 (t), W2 (t)) dXt = (dW1 (t), dW2 (t)) Xét g(t, x) = ln(x21 + x22 ) Yt = g(t, Xt ) Theo công thức Itô ta có: g dt + dYt = t Mặt khác ta có i=1 g 2g dXi + dXi dXj xi i,j=1 xi xj g 2x1 g 2x2 2g 2g 4x1 g = 0, = , = , = = t x1 x1 + x22 x2 x21 + x22 x1 x x2 x1 (x21 + x22 )2 35 2g 2g 2(x21 x22 )2 = = x21 x2 (x21 + x22 ) Do dYt = Hay dYt = Tích phân hai vế ta có 2X1 2X2 dX + dX2 X12 + X22 X12 + X22 2W1 2W2 dW + dW2 W12 + W22 W12 + W22 t Yt = Yt0 + t 2W1 dW1 + W12 + W22 2W2 dW2 W12 + W22 Vậy Yt Martingale b) Với Wt 3-chiều Wt = (W1(t), W2(t), W3(t)) Do xét hàm g(t, x) = ln(x21 + x22 + x23 ) áp dụng công thức Itô, tương tự ta có dYt = 2W2 2W3 2W1 dW + dW + dW3 1 W12 + W22 + W32 W12 + W22 + W32 W12 + W22 + W32 Tích phân hai vế ý đến Y0 = x0 = ta có Yt Martingale c) Với Wt 3-chiều Yt = |W1 | = W + W1 + W t Ta xét g(t, x) = áp dụng công thức Itô ta có g dYt = dt + t i=1 x21 + x22 + x23 g 2g dXi + dXi dXj xi i,j=1 xi xj Wi dYt = i=1 W12 + W22 + W32 dWi 36 Từ ta thấy Yt Martingale d) Bằng cách tương tự ta dễ dàng chứng minh Yt = |W1 | martingale nt chiều Bài tập 8: Cho Yt = ect+W , c, số, Wt trình Wiener chiều (ta viết Wt R ) Hãy chứng minh: t dYt = (c + )Yt dt + Yt dWt Giải: Chọn Xt = Wt dXt = 0dt + dWt chọn g(t, x) = ect+x áp dụng công thức Ito ta có : g g 2g g dYt = [ (t, Xt ) + a (t, Xt ) + b (t, Xt )]dt + b (t, Xt )dWt t x t x Vậy ta có dYt = [cect+Xt + ect+Xt ] + ect+Xt dYt dYt = (c + )ect+Xt ) + ect+Xt dYt dYt = (c + )Yt dt + Yt dWt 37 kết luận Khóa luận thu nội dung sau: -Trình bày cách có hệ thống kiến thức tích phân Wiener, tích phân Itô, công thức Itô chiều nhiều chiều -Từ kiến thức đó, tác giả áp dụng giải số tập về tích phân Itô Sau nghiên cứu, tìm hiểu tích phân ngẫu nhiên Itô hướng nghiên cứu là: - Nghiên cứu phương trình vi phân Itô, nghiên cứu tính chất nghiệm ( nghiệm trình Markov, trình tán xạ ) - Nghiên cứu tích chất định tính nghiệm 38 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999 [2] Nguyễn Văn Quảng, Giáo trình xác suất, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [3] Nguyễn Viêt Phú-Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyêt xác suất, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [4] Trần Hùng Thao, Tích phân ngẫu nhiên phưng trình vi phân ngẫu nhiên, Nxb khoa học kỹ thuật, 2000 [5] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội ,2000 [6] Nguyễn Duy Tiến-Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục 2006 [...]... 19 Ta định nghĩa tích phân (ngẫu nhiên) Ito theo công thức sau : T I(f ) = T f (t, )dWt := lim n dWt n 0 (2.8) 0 Tích phân này có một tính chất rất quan trọng : T E T 2 f (t, )dWt |f (t, )|2 dt =E 0 0 Tính chất này có tên là : " Đẳng cự Ito " 2.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito của các hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT (1) Tích phân Ito I : NT L2 () là hàm tuyến tính (2) Tích phân Ito thoả mãn... Ws s 2.1.2.2 Các tích chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản sai (1) Với f S, I(f ) là biến ngẫu nhiên Gauss có trung bình bằng 0 và phương f 2 L2([0;T]) , tức là: T f (t)dWt = 0 E 0 và T E T 2 f (t)dWt = f 2 L2 ([0;T]) 0 |f (t)|2 dt := 0 (2) Tích phân I : S L2 () là ánh xạ tuyến tính, tức là: T T (af + bg)dWt = a 0 T f dWt + b 0 gdWt 0 14 Tích phân I : S L2() bảo toàn tích vô hướng của... I(f ) là biến ngẫu nhiên Gauss có trung bình bằng 0 và phương sai bằng T f 2 |f (t)|2 dt = 0 I(f ) là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng giữa hai không gian Hilbert L2 ([0; T]), L2 () 2.2 Tích phân Ito 2.2.1 Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT Ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên f : [0; T] ì R, với các giả thiết là: At = t là - trường tự nhiên sinh bởi quá trình Wiener... trình có số gia độc lập (iii)Biến ngẫu nhiên Wt Ws , (t s 0) có phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai (t s) (iv)W là quá trình ngẫu nhiên liên tục (ii)W 2.1.2 Tích phân Wiener 2.1.2.1 Tích phân Wiener của hàm đơn giản Giả sử (, F, P) là không gian xác suất Ký hiệu L2() là không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, tức là L2 () = |X()|2 dP < X:R Giả sử T là số thực dương hữu... chứng minh 2.3 Mở rộng tích phân Ito Ta luôn sử dụng ký hiệu: (, A, P) là không gian xác suất cơ sở {At , t [0; T ]} là họ giảm các - trường con của A sao cho mỗi -trường At là đầy đủ với P, tức là: Nếu B A At; P(A) = 0 thì B At Với {Wt, t [0; T ]} là quá trình Wiener sao cho {Wt, At, t [0; T ]} là martingale Lặp lại cách xây dựng tích phân Ito của hàm f NT , ta xây dựng tích phân Ito cho khoảng... [0; T ], ft là đo được với At và T |f (t, )|2 dt < E s 21 Tích phân Ito loại này có tính chất cơ bản đã được trình bày ở trên 2.3.1 Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp MT Giả sử T > 0, ta ký hiệu MT là lớp các hàm ngẫu nhiên f (t, ) sao cho với mỗi t [0; T ], ft là đo được với At và T |f (t, )|2 dt < = 1 P : 0 Ta xây dựng tích phân Ito cho lớp MT khi sử dụng phép lấy giới hạn theo xác suất... Bài tập 1: Tính tích phân I = t Ws dWs 0 Giải: Chọn Xt = Wt suy ra dXt = 0dt + dWt và g(t, x) = x2 áp dụng công thức Ito đối với Yt = g(t, Xt) = Wt2 Ta có: g g 1 2 2g g dYt = [ (t, Xt ) + a (t, Xt ) + b 2 (t, Xt )]dt + b (t, Xt )dWt t x 2 t x Suy ra dYt = dt + 2Wt dWt Tích phân hai vế với chú ý đến Y0 = W02 = 0 Ta có t t Yt = ds + 2 0 Suy ra: Ws dWs = 0 Bài tập 2: 0 t I= Tính tích phân I = Wt t ... do S là không gian tuyến tính (3) Từ (1) và đẳng thức hình bình hành a, b = 1 4 f 2 (t)dt 0 a + b, a b a b, a b Ta suy ra được điều phải chứng minh 2.1.2.3 Tích phân Wiener của hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích Bây giờ ta xây dựng tích phân Wiener cho hàm f L2([0; T]) Với hàm f như thế tồn tại dãy hàm {fn} S sao cho fn f L2 ([0;T]) 0 Đặc biệt, {fn} là dãy Cauchy trong L2([0; T]), tức là khi... = fn1 f12 fnm 2.4 Vi phân ngẫu nhiên và định lý Ito Trong vi phân thường giả sử Xt là hàm khả vi sao cho dXt = adt 23 Giả sử g(t, x) là hàm hai biến khả vi cấp hai Khi đó, công thức tính vi phân của hàm hợp Yt = g(t, Xt) có dạng: g g (t, Xt )dt + (t, Xt )dt t x dYt = = g g (t, Xt ) + a (t, Xt ) dt t x 2.4.1 Công thức Ito 1 - chiều 2.4.1.1 Định nghĩa Tích phân ngẫu nhiên hay quá trình Ito... bik (s, )bjk (s, )ds k=1 g s, Xs () dWi (s) xi ds 26 2.4.3 Công thức tích phân từng phần Giả sử g(t, ) = f (t) là hàm thực biến t và có biến phân bị chặn trên [0, t] Khi đó t t f (t)dWs = f (t)Wt 0 Ws df (s) 0 Chú ý Nếu Xt có phân phối chuẩn hay hằng và a(t, ), b(t, ) độc lập với thì quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa ở 2.4.1.1 có phân phối chuẩn với số gia độc lập Ngược lại, mọi quá trình Gauss