Mô đun biểu diễn được

LI M U B GIO DC V O TO ^O^AI HC ChoTRNG R l vnhI giao hoỏnScúPHM n vTP.Hề v M CH l R-mụ un Vi mi phn aaỏl HC MINH t X thuc R, ta gi (p x M l t ng cu ca M xỏc nh bi phộp nhõn BAlW phn t X vi M Mụ un M c gi l coprimary nu M v vi mi X thuc R thỡ (px M l n cu hoc ly linh Khi ú, 9ft(M) = p l iờan nguyờn t ca R v M c gi l M l p-coprimary Mụ un TRN MINH v N ca M c gi l mụ un p-nguyờn s nu mụ un thng ^/]\ l /9-coprimary Mt s phõn tớch nguyờn s ca N M l s biu din ca N nh l giao hu hn cỏc mụ un nguyờn s ca M: N = Qi n Q2 n n Q n S phõn tớch nguyờn s c gi l ti tiu nu cỏc mụ un nguyờn s Qi ỡ Q2,Qn tha cỏc iu kin : Mễ UN BIU DIN C (1) Cỏc iờan nguyờn t 9? {^Q) phõn bit (2) Khụng cú Qi no nm giao cỏc mụ un cũn li T ú, cỏc nh toỏn hc ó nờu khỏi nim v mụ un th cp v mụ un biu din c Mt R-mụ un M c gi l th cp nu M 7^ v vi mi X thuc R thỡ M' ằ M > M" l mt dóy khp cỏc R-mụ un thỡ Ass (M) c Ass (M r ) u Ass (M") T b trờn, ta thy, nu M = M đ M2 thỡ ta cú dóy khp > M\ Ơ M ằ M2 v ú, Ass (M) c ss (M) u Ass (M2) Mnh 1.2.6 Cho M l R-mụ un hu hn sinh Khi ú, Ass (M) l hu hn nh lý 1.2.7 Cho R l vnh N te, cỏc iu sau tng ng vi M l R-mụ un: () M l coprimary (2) M ch cú mt iờan nguyờn t liờn kt 1.3Iờan nguyờn t liờn kt yu Cho vnh giao hoỏn cú n v R Mt iờan nguyờn t p ca R c gi l iờan nguyờn t liờn kt yu ca M nu tn ti phn t X E M p l ti tiu trờn Ann(x) Tp tt c cỏc iờan nguyờn t liờn kt yu ca M kớ hiu l W.Ass(M) Cho M l mt R-mụ un Khi ú, ta cú: (1) Ass (M) c W.Ass (M) (2) Ass (M) = W.Ass (M)nu R l vnh N te (3) W.Ass n ^ u M () Nu > M A > L ằ / dy khp thỡ VP.A.S5 (M) c VP.Ass (N) c tP.Ass (M) u VP.Ass (L) Mnh 1.3.2 Cho M l R-mụ un tha iu kin mụ un khụng ca M cú phõn tớch nguyờn s Gi = N n A^2 n n N n l phõn tớch nguyờn s ti tiu ca 0, ú N l mụ un P-nguyờn s ca M Khi {P h P , ,P n } ú, W.A ss(M) = H qu 1.3.3 Cho R l vnh N te, M l R-mụ un hu hn sinh thỡ mi mụ un ca M u cú mt phõn tớch nguyờn s 1.4 Iờan nguyờn s Mnh 1.4.1 (1) Cho Q1, , Qn l cỏc iờan nguyn t ca vnh R v p l mt n Q Khi ú, tn ti mt ch s 20 p c Qi i=l (2) Cho P , P n l cỏc iờan ca vnh R v Q l mt iờan nguyờn rớ Pl P Khi ú, tn ti mt ch s i P c Q c bit, i= f) P thỡ cú i Q = P i=l iờan ca R nm J Cho ca R p v Q l hai iờan ca vnh R thỡ Q Ta cũn nh ngha iờan (Q : P) = {x u p cng l mt iờan Rx.p c Q} gi l iờan thng ca Q cho p Cho p l iờan ca vnh R Cn ca nh nh sau: r (P) = {x R I 3n > : x n Ê p} Cho p l mt iờan ca vnh R Khi ú: p, kớ hiu r (P), l iờan xỏc ng nhiờn l iờan nguyờn s nhng iu ngc li khụng ỳng, iờan p c gi l Q-nguyờn s nu p l iờan nguyờn s v r(P)=Q Mnh 1.4.3 Nu Q l iờan nguyờn s thỡ r(Q) l iờan nguyờn t ti tiu ca R cha Q Mnh 1.4.4 Nu r(P) l iờan ti i thỡ p l iờan nguyờn s c bit, nu p l iờan ti i ca R thỡ vi mi n>0, p n l iờan P-nguyờn s Mt s phõn tớch nguyờn s ca iờan p vnh R l s biu din p nh l giao ca mt s hu hn cỏc iờan nguyờn s ca R S phõn 'n = fỡ Qi ca iờan p vnh R c gi l ti tiu i=l n nu vi mi i, fỡ Qj L Qi T mt s phõn tớch nguyờn s bt kỡ, ta =1 Ni luụn cú c mt phõn tớch nguyờn s ti tiu, iờan p ca R c gi l phõn tớch c nu p cú mt s phõn tớch nguyờn s R Cho p l iờan phõn tớch c ca vnh R v p = n Qi l phõn tớch nguyờn s ti tiu ca p Khi ú, vi mi i, t Mt mụ un thc s N ca M c gi l mụ un nguyờn t ca 1.5Mụ unr E R v m Ê M tha rm N thỡ hoc l m E AMioc M nu, vi mi l r G (N : M) Ta thy, nu N l mụ un nguyờn t ca M thỡ p = (N : M) l iờan nguyờn t ca R Do ú, ta cũn gi N l P-mụ un nguyờn t Cho R l vnh v M l R-mụ un Vi mi phn t X thuc R, ta gi Px M l t ng cu ca M xỏc nh bi phộp nhõn phn t X vi M Khi ú, nilradical ca M, kớ hiu thuc R cho (p X M l tt c cỏc phn t X ly linh Nú l mt iờan ca R, c gi l cn ly linh ca M N l mụ un nguyờn t ca M v ch vi mi r thuục R, ng cu ip ]\yf : /du - ^/jv hoc l n cu, hoc r,/N Ta núi mụ un M l nguyờn t nu mụ un ca M l mụ un nguyờn t Do ú, Mụ un N l mụ un nguyờn t v ch l mụ un nguyờn t Mt R-mụ un M c gi l coprimary nu M khỏc khụng v vi mi X thuc R thỡ (f X 'M l n cu hoc ly linh Khi ú, 3ft(M) = p l iờan nguyờn t ca R Do ú, ta núi M l P-coprimary Cho M l R-mụ un v p l iờan nguyờn t ca R Mụ un N ca M c gi l mụ un P-nguyờn s nu mụ un thng ^Yjy l P-i nguyờn s Mt s phõn tớch nguyờn s ca N M l s biu din ca N nh l giao hu hn cỏc mụ un nguyờn s ca M: N = Qi n Q2 n n Q n S phõn tớch nguyờn s c gi l ti tiu nu cỏc mụ un nguyờn s Qi, Q2,Qn tha cỏc iu kin : (1) Cỏc iờan nguyờn t P = ^Q-) phõn bit (2) Khụng cú Qi no nm giao cỏc mụ un cũn li Cho M l R-mụ un cú mụ un cú s phõn tớch nguyờn ti tiu Khi ú: Mnh 1.5.2 Tp cỏc iờan nguyờn t P = ^/Q è khụng ph thuc vo s phõn tớch ca mụ un Hn na, nu p l mt iờan 37 n t s n = r r Ê n pi , ta cú s n M = M n v s n p n i= Bng cỏch tng t, ta cú cỏc phn t s 1,Sn-1 Si pi , SM = M Khi ú, ta cú M = ^ S?;M v Sj Ê fỡ Ann (Mi) *=1 Gi s N l mụ un khỏc ca M Ly a thuc N khỏc Khi ú, a thuc M nờn a = Sb + + s n b n vi cỏc bi thuc M Do R l vnh chớnh quy nờn tn ti t, ,t n Ê R Si = St Vỡ a khỏc nờn phi cú ch s i no ú e Sb 7^ v Sb = Stb = StOL 0- Do ú, SN 0- Bng cỏch b bt cỏc ch s i m SN = v ỏnh ch s li nu cn, ta gi s rng SN 0; ; s k N V(3i k < n Vi mi a thuc N, ta cú: n n = ti = 53 53 Sib i n s * tib i = k k 53 53 53 Sit a = Sit a e SiN i= i= i= i= i= Do ú, vi mi i, Sa = Sb Ê M v SN l mụ un ca M Do R chớnh quy v M l pi-th cp nờn theo mnh 2.2.6, SN cng l pi -th cp Vy, N l mụ un biu din c Cho R l vnh giao hoỏn v N l mụ un nguyờn t ca R- mụ un th cp M Khi ú, N l (N : M) -th cp Gi s M l R-mụ un p-th cp Ly r Ê R Nu r Ê p thỡ cú s nguyờn n r n N c r n M = Nu rp thỡ rM = M Khi ú, rM = M Ê N v r (N : M) Gi s n Ê N thỡ cú phn t m Ê M e n=rm Vỡ N l mụ un nguyờn 38 xm N Do ca N, ta cú yM yxm c = xym Ê N nờn t tớnh cht nguyờn t N Tc l y Ê (N : M) Nu X Ê p thỡ x n M =0c N vi mt n no ú Do ú, x n Ê (N : M) Vỡ (V : M) l iờan nguyờn t nờn X Ê (V : M) Do ú, p c (N : M) Nu X p thỡ M = xM Vỡ N l mụ un thc s ca M nờn N xM Vỡ th nờn xM L N DO ú, X (N : M) Suy ra, (N : M) c p Cho R l vnh giao hoỏn t K v N l cỏc mụ un ca M cho N nguyờn t v K l p-th cp Khi ú, N n K l p- th cp Ly r Ê R Nu r Ê p thỡ cú s nguyờn n cho r n (N n K) c r n K = Nu r p v ly t Ê N n K Vỡ t Ê K v K l /9-th cp nờn t = rs vi s Ê K Vỡ N l nguyờn t v t Ê N nờn s Ê N hoc Nu r Ê (N : M) thỡ K = rK c rM c N v r Ê (N : M) Ê N Túm li, ta cú s Ê N v t Ê r (N n K) Do ú, N n K = r (N n K) Vy, phộp nhõn N n K bi r l ly linh r Ê p v l ton cu rp nờn N n K l p- th cp nh lý 2.2.10 Cho M l mụ un biu din c trờn vnh giao hoỏn R v N l mụ dun nguyờn t ca M vi (N : M) = p Khi ú, N biu din c v ^/j\ l P-th cp Gi s M = Mi l biu din th cp ti tiu ca M vi ( M ) = pi =1 39 M E khỏc ng cu Chn Q E W.A SSR (M)) Khi ú, Q E W.A SSR (E) Do ú, tn ti phn t X E M Q = Ann (/ (x)) Khi ú, ta thy rng Ann (x) c - (Q) Chn p l iờan nguyờn t ti tiu ca R tha iu kin: Ann (x) c p c ~ l (Q) Khi ú, p VE.Asss (M) tha iu kin: p c )-1 (Q) Do ú, Pc c Q B 2.4.2 /i s l vnh giao hoỏn ( n v khc 0) v : R > s l ng cu vnh t M l S-mụ un khụng tm thng v E l R-mụ un ni x tha W.A SSR (E)=A SSR (E) Khi ú, ta cú: HomR (M, E) v ch tn ti p E W.Asss (M) cho cú Q E W.A S SR (E) p c c Q Nu M l P-coprimary S-mụ un v HomR (M, E) 7^ thỡ HomR (M, E) l mt S-mụ un P-th cp (a) Do mnh 2.4.1, ta ch cn chng minh chiu ngc li Ly p E W.Asss (M) tha yờu cu cú Q W.A SSR (E) p c c Q Khi ú, tn ti X E M Ann(x) c p Do ú, vi ton cu Sx - s /p (.s.x) Sx > s +p S/p l mt dóy khp Do tớnh ni x ca E, ta cú dóy khp > HomR (^/p, E^j > HomR (Sx, E) Q nờn ta cú0ton cu: 44 Vỡ Q e W.A SS R (E) = A S S R ( E ) nờn tn ti X thuc E Q=Ann(x) Do ú , ng cu R-mụ un (r + Q) I rx l n cu T ú ta cú dóy khp > R/ Q > E Do ú, Hom R R/Q, E \ Do tớnh khp ca dóy (2) trờn nờn HorriR (R/pc, E^j Bõy gi, t n cu R-mụ un h : R/pc ằ sp (r + p c ) I> ((r) + P) ta cú dóy khp ^/pc > S/p Vỡ th, ta cú dóy khp Hom R (S/p, E^j -> HorriR (R/pc, E^j Do ú, ta cú HorriR (^/P E^j 0- Do tớnh khp ca dóy (1), ta cú HorriR (Sx E) 7^ Mt khỏc, ta cú dóy khp * Sx > M nờn ta cú dóy khp HorriR (M, E) > H O èR ( S X , E) > Bi vỡ Hom R ( S X , E) 7^ nờn HorriR (M, E) 7^ (b) Ly s e Nu s Ê p thỡ : M > M ly linh, tc l tn ti n sn.M = Do ú, vi mi / E Hom R (M, Ê), ta cú: [^M (/)] (AO = [WM7 (or1 (/) (AO) = [^777 (/)]n_1 (/. (M)) = [wừ7 (/)]"_1 (/ (s-Af)) = [^777 (/)]n_1 (s.f (AO) = s [777 (/)]"_1 (/ (AO) = s2 [^777 (/)f-2 (/ (AO) = = s n r (A0 = Suy ra, [^777] (/) = Vy, ^777 : Hom (M, -* Hom ly 45 Horrii (M, E) 7^ v ch tn ti p E V.Ass# (M) cho cú Q Ê kK.Ass# (iV) p c Q Nu M l P-coprimary R-mụ un v HomR (M, E) thỡ HomR (M, E1) / mt P-th cp R-mụ un p dng mnh trờn cho trng hp s trựng vi R (p = Idn v p c = p = Q ta s cú iu cn chng minh Cho M l R-mụ un cú mụ un cú mt phõn tớch nguyờn s v E l R-mụ un ni x tha W.Ass(E)=Ass(E) Khi ú, Att (Hom (M, E)) = {p e (M) 13Q e Ass (E) : p c Q} n y , t = n M l phõn tớch nguyờn s ti tiờu ca mụ un ca M, ú M l cỏc mụ un Pj-nguyờn s Vi mi = .,n, t ) : M > ^Mi l ng cu nhỳng, T = Hom(,E) v S = Khi ú, t dóy khp M > ^/ M - ^ , ta Cể dóy khp chớnh l nh n cu ca Hom ( lờn T (M) nờn l mụ un ca T (M) v ng cu vi T ( " / M ) Vỡ th, theo mnh 2.4.3, S i hoc l mụ un 0, hoc l P-th cp Theo mnh 1.3.2, ta cú W.Ass (M) = {P, p 2, , p n } Gi s rng vi cỏc i=l, ,r thỡ tn ti Qi E Ass (E) cho P c Qi v vi cỏc i=r+l, ,n thỡ khụng nh th Khi ú, tỏc ng T vo dóy khp 46 Do ú, ta cú ton cu : Hom â -> E) Ker9 = / e Hom ( M Hom (M, E) s Hom ( â M s o Eỡ = â Hom / (/) = o = M/Mi, E ) = jr s, T (M) = Hom (M, E) = s i i= Bi vỡ cỏc Si l P-th cp nờn T (M) l biu din c Att (Hom (M, E)) = {Pe tD.Ass (N) \3Q e Ass (E) : p c Q} ta ch cn chng t T (M) = Hom (M, E) = Si l biu din ti tiu i=l ca T (M) = Pom (M, P) Gi s rng cú ch s j tha < j < r Hom (M, E) = ^2 Si t Kj = fỡ Mi vYj = đ ^I M - Khi ú, ta cú -H* ATi -> M - y,T ú, ta cú dóy sau khp > Hom (Yj : E) * Hom (M, E) > Hom (Kj, E) > Ta cú M i/om (U, Ê) = Hom â Hom k) = v / /M E ip] Do ú, Hom(M,E) Hom (Yj, E) Khi ú, ta cú Hom(Kj,E) = Nhng â r 47 Tỏc ng T lờn dóy khp trờn ta c 0W.Ass Hom (K) c W.A E\SS * (VMj) =Hom {Pj} (Rx, E ) Do mnh 2.4.3, ta cú Hom ớ^/p ỡ 7^ T ú, ta cú i/om (Rx) Nhng bi vỡ Kj ờn W.Ass (Kj) 0- Vỡ th cho nờn W.Ass (Kj) = Mt khỏc, t dóy khp > Rx > Kj ta cú dóy khp {Pj}' Do ú, tn ti phn t X Ê Kj Ann(x) c Pj Ta cú n cu Hom (i?x, * ' : Rx > R/p bin rx (Kj, I>E) r +> Pj v dóy sauE)khp Hom (Kj, E) Rx > ^/p > Cho R l vnh N te v E l R-mụ un ni x Gi s N l l R-mụ un tha iu kin : mụ un khụng ca M cú phõn tớch nguyờn s Khi ú, Hom(M,E) biu din c v Att (Hom (M, E)) = {p e Ass (M) 13Q e Ass (E) : p c Q} Vỡ R l mụ un N te nờn W.Ass (M) = Ass (M) v W.Ass (E) = TLSS ( E ) p dng nh lý 2.4.4, ta cú kt qu Cho E l R-mụ un ni x vi W.Ass (E) = Ass ( E ) Gi s mụ un khụng ca R cú mt phõn tớch nguyờn s Khi ú E biu din c v Att (E) = {P e Vk.Tss (R) 13Q e Ass (E) : p c Q} 48 Chng minh: Ap dng nh lý 2.4.4 cho trng hp M = R, ta cú Hom(R,E) l R-mụ un biu din c v Att ( H o m ( R , E ) ) = { p Ê W.Ass (R) 13Q Ê Ass (E) : p c Q} Xột ỏnh x p : Hom (R, E) > E bin mi / Ê Hom (R, E) thnh /(1) Ê E Ta thy: Tp (/ + g) = + g) (1) = / (1) + (1) = (/) + i> (g) (rf) = ( r f ) (1) = r f (1) = r.p (/) Do ú, ỡp l R-ng cu Ly / Ê K e r f ( p ) , ú, ý (/) = /(1) = Suy ra, vi mi r Ê R f ( r ) = f ( r 1) = r f (1) = Do ú, f=0, tc l K e r f ( p ) = Vy, p l n cu Vi mi X Ê E , ta cú ỏnh x / : R E bin mi phn t r ca R thnh phn t rx ca E Ta thy / Ê Hom (R, E ) v p (/) = / (1) = l x = X Vy, ỡp l ton cu Do ú, ý l ng cu v Hom(R,E) ng cu E Vỡ Hom(R,E) l R-mụ un biu din c nờn E biu din c Do h qu 2.4.6, mi mụ un ni x trờn vnh N te u l mụ un biu bin c H qu 2.4.7 Cho R l vnh N te Khi ú, cỏc iu sau tng ng: () R l vnh Artin (2) Mi mụ un ca mt R- mụ un biu din c bt kỡ l biu din c 49 cu vi mụ un ca mt mụ un ni x no ú nờn t tớnh cht ( 2), ta suy : mi R-mụ un khỏc u biu din c Do ú, theo nh lý 2.2.12, ta suy R l vnh Artin Gi s R l vnh N te v M l R-mụ un hu hn sinh Khi ú, mnh 1.3.3, M cú mụ un khụng phõn tớch c Do ú, vi M l R-mụ un hu hn sinh v E l R-mụ un ni x thỡ Hom(M,E) biu din c 50 KT LUN Trong lun ny, tụi ó trỡnh by nh ngha mụ un biu din c, cỏc tớnh cht ca mụ un biu din c trng hp vnh R l vnh N te giao hoỏn cú n v Sau ú, bi vit cũn nờu mt s vớ d v mụ un biu din c: mụ un Artin l mụ un biu din c, Hom(M,E) l mụ un biu din c trng hp E l R- mụ un ni x v mụ un khụng ca M cú phõn tớch nguyờn s Dự ó cú nhiu c gng nhng lun cũn nhiu cha hon thnh, rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca thy cụ v cỏc bn 51 Ti liu tham kho [1] I.G Macdonald, Secondary representation of modules over commutative ring, Sympos.Math.IX(1973), 23-43 [2] Leif Melkerson Cohomologycal properties of modules with secondary represetations, Math Scand,77(1995), 197-208 [3] M Maani-Shirazi and P.F Smith, Uniqueness of Coprimary Decompositions, Turk J Math, 31(2007), 53-64 [4] Ebrahimi Atani, Submodules of secondary modules, Int.J Math Math Sci 31(6)(2002), 321-327 [5] Siamak Yassemi, Coassociated Primes of modules over a commutative ring, Math Scand, 80(1997), 175-187 [6] H Ansari-Toroghy, Secondary representation of some modules over a commutative ring, Acta Math Hungar 100(3) (2003), 257-262 [7] H Matsumara, Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1986 [8] R Y Sharp, Secondary representations for injective modules over commutative Noetherian 20(2) (1976), 143-151 rings, Proc Edinburgh Math Soc.(2), [...]... M là R -mô đun p-thứ cấp Mệnh đề 2.1.3 Mô đun thương khác không của mô đun p-thứ cấp là mô đun p-thứ cấp Giả sử M là R -mô đun p-thứ cấp và ^/]y là một mô đun thương khác 0 bất kì của M Nếu r E p thì đồng cấu M M là lũy linh Khi đó, tồn tại số n để thế coi Giảnhư sử Mi, là mô AÍ2, , đun thương M r là các củaR-R -mô mô đun đuncon M =của ® M Mị.Ta Dothấy đó, Mị nếucó i= 1 14 R -mô đun biểu diễn được Do... n Cho M là R -mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn i= 1 thứ cấp của M Do mệnh đề 2.1.4, ta có thể giả sử các iđêan nguyên tố ^R-(Nị) = Pi là khác nhau Bằng cách bỏ các phần dư trong tổng trên, ta coi biểu diễn trên là tối tiểu Vậy, từ một biểu diễn thứ cấp bất kì, ta luôn có thể tìm được một biểu diễn thứ cấp tối tiểu n Cho M là R -mô đun biểu diễn được và M = Nị là một biểu diễn i= 1 thứ... kết Cho N là mô đun con biểu diễn được của M Khi đó: Att c Att (M) c Att (N) u Att Bao hàm đầu được suy ra từ mệnh đề 2.1.8 Lấy bất kì p G Att (M) Do định lý 2.1.9, ta có thể đặt ^/ Q là mô đun thương p-thứ cấp của M Xét mô đun T=Q+N Nếu T=M thì M /Q = Q + N / Q 5Ế N / N n Q Do đó, N / N n Q là p-thứ 31 2.1.31 Cho Mị, ,M r là các R -mô đun biểu diễn được Khi đó, Mị ® ® M r cũng biểu diễn được và Att... R -mô đun E được gọi là R -mô đun xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu ơ : B —> c, mỗi đồng cấu / : E —y c, tồn tại đồng cấu / : E —*■ B sao cho / = ơf Nếu R -mô đun E là xạ ảnh thì với mọi dãy khớp ngắn ta có dãy khớp sau: 0 -> Hom (E, L) í 12 Chương 2 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 2. 1Mô đun biểu biễn được 2.1.1 Cho R là vành Các định nghĩa giao hoán có đơn vị Một cấp nếu M khác không và với mọi R -mô X đun M được gọi là... R -mô đun E được gọi là R -mô đun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu X : A —> B, mỗi đồng cấu / : A —»• E, tồn tại đồng cấu / : B —> E sao cho / = fỵ Định lý 1.8.3 Mọi mô đun đều có thể nhúng vào một mô đun nội xạ nào đó, xem nhu là mô đun con của mô đun nội xạ đó Nếu R -mô đun E là nội xạ thì với mọi dãy khớp ngắn ta có dãy khớp sau: 0 -> Hom (N, E) h Hom (M, E) ĩ* Hom (L, E) -> 0 Định nghĩa: Cho E là R -mô đun. .. Nếu M là R -mô đun biểu diễn được thì IM là R -mô đun biểu diễn được Đặt M = ^2 Ni là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với Att (M) = i= 1 Khi đó, ta có IM = X] IN ii= 1 23 Nếu X 6 Ọ thì x h M = 0 Do đó, đồng cấu M ^ M lũy linh Nếu X ị p, ta đặt N = con thực sự của M thỏa (fx,M X e (N (M) Giả sử N £ M thì N là mô đun : M) c p Điều này trái giả thiết Vì thế, N=M và VxM là toàn cấu Vậy, M là R -mô đun /5-thứ... của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô đun con thứ cấp: M — N\ + N2 + + N n Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp Ni, v2, , N n thỏa các điều kiện : 13 V ^/ N = ^/ N nên ^/]y ^ỈN t°nn cấu (1) Các iđêan nguyên tố ^ (Nị) phân biệt Vậy, M/ Ị \ Ị là R -mô đun /9-thứ (2) Không có Nị nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại cấp 7 m Nếu M có một biểu diễn thứ cấp,... các mô đun 0, Q là mô đun biểu diễn được Hơn nữa, Att(Q) c Att(M) Định lý 2.1.9 Cho M là R -mô đun biểu diễn được có tập các iđêan nguyên tố gắn kết Att(M)={pi, P2, ,pn} Khi đó, tập các iđêan nguyên tố gắn kết Att(M) chỉ phụ thuộc vào M và không phụ thuộc vào sự biểu diễn thứ cấp tối tiểu Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương đối với một iđêan nguyên tố p : (1) p là một trong các pị (2) M có một mô. .. s £ S~ 1 M Ì ( 4 ) n - = ^ = 0 Do đó, S~ l M Ằ S~ l M là lũy linh 16 2.1.2Tính chất của mô đun biểu diễn được Trong phần này, ta xem R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không Mệnh đề 2.1.7 Cho M là R -mô đun biểu diễn được Khi c Ann(M) là iđêan phân tích được của R Và Ass đó, a = Att (M) Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = J2 Nị với Ni là pị-thứ 4=1 Ann(Ni) Từ 2.1.5, ta có Qi là p?;-nguyên... đó, Mị ® ® M r cũng biểu diễn được và Att (Mị ® ® M r ) = 1 4= 1 Ịj Vì mỗi Mj biểu diễn được nên ta có Mj = £ Nị với Nị là pị-thứ 4= 1 = cấp Do đó, ta có : Mị ® ® M r = ® ( £ Nt 1 X) (© N/ ) Do đó, Mị ® ® M r biểu diễn được và Att (Mị ® ® M r) = ỊJ Att (Mị) i= 1 Cho M là R -mô đun biểu diễn được và M = Ni là 4=1 biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với (Ni) = pị Khi đó, với mọi i=l, ,n ta có Att = Att ... 2: Mô đun biểu diễn Chương trình bày vấn đề mô đun biểu diễn được: định nghĩa mô đun thứ cấp mô đun biểu biễn được, tính chất mô đun thứ cấp mô đun biểu diễn được, mô đun mô đun biểu diễn được, ... từ tính biểu diễn mô đun nội xạ, ta rằng: Mọi mô đun R- mô đun biểu diễn biểu diễn R vành Artin Hơn nữa, M R -mô đun cho yAnn (M vành Artin M R -mô đun biểu diễn 2.3Tính biểu diễn mô đun Artin... cấp Do đó, F mô đun biểu diễn đuợc Nhung R -mô đun đẳng cấu với mô đun thuơng mô đun tự Vì mô đun thuơng khác mô đun biểu diễn đuợc biểu diễn đuợc nên R -mô đun khác không biểu diễn đuợc (2) =>(3)