Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị

Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Định nghĩa đồ thị Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Chúng ta phân biệt loại đồ thị khác kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị Để hình dung lại cần đến loại đồ thị khác nhau, nêu ví dụ sử dụng chúng để mô tả mạng máy tính Giả sử ta có mạng gồm máy tính kênh điện thoại (gọi tắt kênh thoại) nối máy tính Chúng ta biểu diễn vị trí đặt náy tính điểm kênh thoại nối chúng đoạn nối, xem hình Hình 1Sơ đồ mạng máy tính Nhận thấy mạng hình 1, hai máy có nhiều kênh thoại nối chúng, kênh thoại naỳ cho phép liên lạc hai chiều máy tính lại nối với Sơ đồ mạng máy cho hình gọi đơn đồ thị vô hướng Ta đến định nghĩa sau 1/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Định nghĩa Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Trong trường hợp hai máy tính thường xuyên phải truyền tải nhiều thông tin người ta phải nối hai máy nàu nhiều kênh thoại Mạng với đa kênh thoại máy cho hình Hình Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại Định nghĩa Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e e gọi cạnh lặp chúng tương ứng với cặp đỉnh Hình Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thông báo Rõ ràng đơn đồ thị đa đồ thị, đa đồ thị đơn đồ thị, đa đồ thị có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối cặp đỉnh 2/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Trong mạng máy tính có kênh thoại nối náy với (chẳng hạn vời mục đính thông báo) Mạng cho hình Khi đa đồ thị mô tả mạng vậy, có khuyên (cạnh nối đỉnh với nó) Trong trường hợp nàychúng ta cần sử dụng đến khái niệm giả đồ thị vô hướng, định nghĩa sau: Định nghĩa Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh Cạnh e gọi khuyên có dạng e = (u, u) Hình Mạng máy tính với kênh thoại chiều Các kênh thoại mạng máy tính cho phép truyền tin theo chiều Chẳng hạn, hình máy chủ Hà Nội nhận tin từ máy địa phương, có số máy gửi tin đi, kênh thoại cho phép truyền tin theo hai chiều thay hai cạnh có hướng ngược chiều Ta đến định nghĩa sau Định nghĩa Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Nếu mạng có đa kênh thoại chiều, ta phải sử dụng đến khái niệm đa đồ thị có hướng: Định nghĩa 3/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Hai cung e , e tương ứng với cặp đỉnh gọi cung lặp Trong phần chủ yếu làm việc v?i đơn đồ thị vô hướng đơn đồ thị có hướng Vì vậy, ngắn gọn, ta bỏ qua tính từ đơn nhắc đến chúng Đường chu trình Đồ thị liên thông Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị vô hướng G = (V, E) dãy x , x ,…, x n-1 , x n u = x , v = x n , (x i , x i+1 ) ∈ E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói biểu diễn dạng dãy cạnh: (x , x ), (x , x ), …, (x n-1 , x n ) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn cạnh bị lặp lại Ví dụ Trên đồ thị vô hướng cho hình 5: a, d, c, f, e đường đơn độ dài Còn d, e, c, a không đường đi, (c,e) cạnh đồ thị Dãy b, c, f, e, b chu trình độ dài Đường a, b, e, d, a, b có độ dài là đường đơn, cạnh (a, b) có mặt lần Hình Đường đồ thị Khái niệm đường chu trình đồ thị có hướng định nghĩa hoàn toàn tương tự trường hợp đồ thị vô hướng, khác ta có ý đến hướng cung Định nghĩa 4/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, đó, n số nguyên dương, đồ thị có hướng G = (V, A) dãy x , x ,…, x n-1 , x n u = x , v = x n , (xi, x i+1 ) ∈ E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói biểu diễn dạng dãy cung: (x , x ), (x , x ), …, (x n-1 , x n ) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn cạnh bị lặp lại Ví dụ Trên đồ thị có hướng cho hình 1.6: a, d, c, f, e đường đơn độ dài Còn d, e, c, a không đường đi, (c,e) cạnh đồ thị Dãy b, c, f, e, b chu trình độ dài Đường a, b, e, d, a, b có độ dài là đường đơn, cạnh (a, b) có mặt lần Xét mạng máy tính Một câu hỏi đặt hai máy tính mạng trao đổi thông tin với trực tiếp qua kênh nối chúng thông qua vài máy tính trung gian mạng? Nếu sử dụng đồ thị để biểu diễn mạng máy tính (trong đỉnh đồ thị tương ứng với máy tính, cạnh tương ứng với kênh nối) câu hỏi phát biểu ngôn ngữ đồ thị sau: Tồn hay không đường cặp đỉnh đồ thị Định nghĩa Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi liên thông tìm đường hai đỉnh Như hai máy tính mạng trao đổi thông tin với đồ thị tương ứng với mạng đồ thị liên thông Ví dụ Trong hình 6: Đồ thị G liên thông, đồ thị H không liên thông 5/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Hình Đồ thị G H Định nghĩa Ta gọi đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị H = (W, F), W ⊆ V F ⊆ E Trong trường hợp đồ thị không liên thông, rã thành số đồ thị liên thông đôi đỉnh chung Những đồ thị liên thông ta gọi thành phần liên thông đồ thị Ví dụ Đồ thị H hình gồm thành phần liên thông H1, H2, H3 Trong mạng máy tính có máy (Những kênh nối) mà hỏng hóc ảnh hưởng đến việc trao đổi thông tin mạng Các khái niệm tương ứng với tình đưa định nghĩa sau Định nghĩa 10 Đỉnh v gọi đỉnh rẽ nhánh việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Ví dụ Trong đồ thị G hình2, đỉnh d e đỉnh rẽ nhánh, cạnh (d, g) (e, f) cầu Đối với đồ thị có hướng có hai khái niệm liên thông phụ thuộc vào việc ta có xét đến hướng cung hay không Định nghĩa 11 Đồ thị có hướng G = (V, A) gọi liên thông mạnh tìm đường hai đỉnh 6/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 12 Đồ thị có hướng G = (V, A) gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng với vô hướng liên thông Rõ ràng đồ thị liên thông mạnh liên thông yếu, điều ngược lại không đúng, ví dụn Ví dụ Trong hình đồ thị G liên thông mạnh, H liên thông yếu không liên thông mạnh Hình Đồ thị liên thông mạnh G đồ thị liên thông yếu H Một câu hỏi đặt định hướng cạnh đồ thị vô hướng liên thông để thu đồ thị có hướng liên thông mạnh? Ta gọi đồ thị đồ thị định hướng Định lý cho ta tiêu chuẩn nhận biết đồ thị có định hướng hay không Định lý Đồ thị vô hướng liên thông định hướng cạnh nằm chu trình Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (u,v) cạnh đồ thị Từ tồn đường có hướng từ u đến v ngược lại suy (u, v) phải nằm chu trình Điều kiện đủ Thủ tục sau cho phép định hướng cạnh đồ thị để thu đồ thị có hướng liên thông mạnh Giả sử C chu trình đồ thị Định hướng cạnh chu trình theo hướng vòng theo Nếu tất cạnh đồ thị định hướng kết thúc thủ tục Ngược lại, chọn e cạnh chưa định hướng có chung đỉnh với số cạnh định hướng Theo giả thiết tìm chu trình C’ chứa cạnh e Định hướng cạnh chưa định hướng C’ theo hướng dọc theo chu trình (không định hướng lại cạnh có định hướng) 7/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Thủ tục lặp lại tất cạnh đồ thị định hướng Khi ta thu đồ thị có hướng liên thông mạnh Đồ thị vô hướng liên thông Trong mục trình bày số thuật ngữ lý thuyết đồ thị Trước tiên, ta xét thuật ngữ mô tả đỉnh cạnh đồ thị vô hướng Định nghĩa 13 Hai đỉnh u v đồ thị vô hướng G gọi kề (u,v) cạnh đồ thị G Nếu e = (u, v) cạnh đồ thị ta nói cạnh liên thuộc với hai đỉnh u v, nói nối đỉnh u đỉnh v, đồng thời đỉnh u v gọi đỉnh đầu cạnh (u, v) Để biết có vao nhiêu cạnh liên thuộc với đỉnh, ta đưa vào định nghĩa sau Định nghĩa 14 Ta gọi bậc đỉnh v đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với ký hiệu deg(v) Hình Đồ thị vô hướng Ví dụ Xét đồ thị cho hình 8, ta có deg(a) = 1, deg(b) = 4, deg(c) = 4, deg(f) = 3, deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(g) = Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Đỉnh bậc gọi đỉnh treo Trong ví dụ đỉnh g đỉnh cô lập, a d đỉnh treo Bậc đỉnh có tính chất sau: Định lý Giả sử G = (V, E) đồ thị vô hướng với m cạnh Khi tổng bậc tất đỉnh hai lần số cung 8/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Chứng minh Rõ ràng cạnh e = (u, v) tính lần deg(u) lần deg(v) Từ suy tổng tất bậc đỉnh hai lần số cạnh Ví dụ Đồ thị với n đỉnh có bậc có cạnh? Giải: Theo định lý ta có 2m = 6n Từ suy tổng cạnh đồ thị 3n Hệ Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghĩa có bậc số lẻ) số chẵn Chứng minh Thực vậy, gọi O U tương ứng tập đỉnh bậc lẻ tập đỉnh bậc chẵn đồ thị Ta có 2m = ∑v ∈ U deg(v) + ∑v ∈ O deg(v) Do deg(v) chẵn với v đỉnh U nên tổng thứ số chẵn Từ suy tổng thứ hai (chính tổng bậc đỉnh bậc lẻ) phải số chẵn, tất số hạng số lẻ, nên tổng phải gồm số chẵn số hạng Vì vậy, số đỉnh bậc lẻ phải số chẵn Ta xét thuật ngữ tương tự cho đồ thị vô hướng Đồ thị có hướng liên thông Định nghĩa 15 Nếu e = (u, v) cung đồ thị có hướng G ta nói hai đỉnh u v kề nhau, nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v nói cung khỏi đỉnh u vào đỉnh v Đỉnh u(v) gị đỉnh đầu (cuối) cung (u,v) Tương tự khái niệm bậc, đồ thị có hướng ta có khái niệm bán bậc bán bậc vào đỉnh Định nghĩa 16 Ta gọi bán bậc (bán bậc vào) đỉnh v đồ thị có hướng số cung đồ thị khỏi (đi vào nó) ký hiệu deg + (v) (deg - (v)) 9/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Hình Đồ thị có hướng Ví dụ Xét đồ thị cho hình Ta có deg - (a)=1, deg - (b)=2, deg - (c)=2, deg - (d)=2, deg - (e) = deg + (a)=3, deg + (b)=1, deg + (c)=1, deg + (d)=2, deg + (e)=2 Do cung (u, v) tính lần bán bậc vào đỉnh v lần bán bậc đỉnh u nên ta có: Định lý Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng Khi 2m = Rất nhiều tính chất đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng cung Vì vậy, nhiều trường hợp thuận tiện ta bỏ qua hướng cung đồ thị Đồ thị vô hướng thu cách bỏ qua hướng cung gọi đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị có hướng cho 10/10 ... Hình Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thông báo Rõ ràng đơn đồ thị đa đồ thị, đa đồ thị đơn đồ thị, đa đồ thị có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối cặp đỉnh 2/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Trong... liên thông, đồ thị H không liên thông 5/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Hình Đồ thị G H Định nghĩa Ta gọi đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị H = (W, F), W ⊆ V F ⊆ E Trong trường hợp đồ thị không... 7/10 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Thủ tục lặp lại tất cạnh đồ thị định hướng Khi ta thu đồ thị có hướng liên thông mạnh Đồ thị vô hướng liên thông Trong mục trình bày số thuật ngữ lý thuyết đồ