Chiến lược chứng minh proof strategies

Module #11 – Proof Strategies University of Florida Dept of Computer & Information Science & Engineering COT 3100 Applications of Discrete Structures Dr Michael P Frank Slides for a Course Based on the Text Discrete Mathematics & Its Applications (5th Edition) by Kenneth H Rosen 12/30/15 (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Module #11: Chiến lược chứng minh Proof Strategies Rosen 5th ed., §3.1 ~21 slides, ~1 lecture 12/30/15 (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Tổng quan Bài #11 • Trong #2, ta thấy: – Một số kiểu chứng minh phép kéo theo p→q: • Ngây thơ, Hiển nhiên, Trực tiếp, Gián tiếp – Các kiểu chứng minh tồn tại: • Xây dựng không xây dựng – Một số phương pháp chứng minh mệnh đề tổng quan: • Chứng minh phân trường hợp, chứng minh phản chứng • Trong này, xét ví dụ về: – – – – 12/30/15 Suy luận tới lui Chứng minh phân trường hợp Chứng minh tồn thích hợp Qui giả thuyết chứng minh (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Suy luận tới • Ta có giả thiết p, muốn chứng minh q – Tìm s1 cho p→s1 • Khi đó, luật suy diễn modus ponens cho s1 – Tiếp tục tìm s2 ∋ (sao cho) s1→s2 • Khi đó, luật suy diễn modus ponens cho s2 – Và hy vọng nhận sn ∋ sn→q • Vấn đề với phương pháp là… – Phải bền bỉ để nhìn thấy đường từ p 12/30/15 (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Suy luận lui Backward Reasoning • Thông thường dễ dàng để thấy đường tương tự bạn kết luận q … – – – Như vậy, tìm s−1 cho s−1→q Sau đó, tìm s−2 ∋ s−2→s−1, tiếp tục… Cho đến s−n ∋ p→s−n • Lưu ý ta sử dụng luật suy diễn modus ponens để triển khai tính đắn từ p đến s−n đến … s-1 đến q! – Chúng ta tìm dãy lui áp dụng tiến tới – Đây hoàn toàn chứng minh gián tiếp … • Ở ta dùng modus tollens ¬q để chứng minh ¬s−1, … – Tuy nhiên, gần tương tự 12/30/15 (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Ví dụ suy luận lui Backward Reasoning Example Example • Theorem: ∀a>0,b>0,a≠b: (a+b)/2 > (ab)1/2 • Proof: – Notice it is not obvious how to go from the premises a>0, b>0, a≠b directly forward to the conclusion (a+b)/2 > (ab)1/2 – So, let’s work backwards from the conclusion, (a+b)/2 > (ab)1/2 ! 12/30/15 (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Steps of Example • (a+b)/2 > (ab)1/2 ⇔ (squaring both sides) • • • • • • – This preserves the “>” since both sides are positive (a+b)2/4 > ab ⇔ (multiplying through by 4) (a+b)2 > 4ab ⇔ (squaring a+b) a2+2ab+b2 > 4ab ⇔ (subtracting out 4ab) a2−2ab+b2 > ⇔ (factoring left side) (a−b)2 > Now, since a≠b, (a−b)≠0, thus (a−b)2>0, and we can work our way back along the chain of steps… 12/30/15 (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Phương án chuyển thành tiến “Forwardized” version of Example • Theorem: ∀a>0,b>0,a≠b: (a+b)/2 > (ab)1/2 – Proof If Since a≠b, (a−b)≠0 Thus, (a−b)2>0, i.e., a2−2ab+b2 > Adding 4ab to both sides, a2+2ab+b2 > 4ab Factoring the left side, we have (a+b)2 > 4ab, so (a+b)2/4 > ab Since ab is positive, we can take the square root of both sides and get (a+b)/2 > (ab)1/2 ■ • Đây ví dụ đơn giản để từ giả thiết đến kết luận, bạn tưởng tượng nhậnnhư nào, trông “thần bí.” – Phản ứng chung sinh viên: “Nhưng bạn nghĩ việc bổ sung 4ab vào hai vế?” • Trả lời: Bằng cách suy luận lui từ kết luận! 12/30/15 (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Example Ví dụ trò chơi sỏi Stone Game Example • Game rules: – Có 15 sỏi đống Hai người chơi lấy khỏi đống 1, 2, Ai lấy sỏi cuối người thắng • Định lý: Có chiến lược để đảm bảo người đâu thắng • Nó chứng minh nào? Chứng minh có xây dựng không… – Nhìn phức tạp… Chúng ta chọn chiến lược chiến thắng số chiến lược có thể? • Suy luận quay lui từ cuối trò chơi! 12/30/15 (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Working Backwards in the Game • Player wins if it is player 2’s turn and there are no stones… Player Player • P1 can arrange this if it is his turn, and there 1, 2, are 1, 2, or stones… • This will be true as 5, 6, long as player had stones on his turn… 9, 10, 11 • And so on… 12 13, 14, 15 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 10 Module #11 – Proof Strategies Phương án chuyển thành tới “Forwardized” version • Theorem Người trước người có cách để thắng – Proof Player can remove stones, leaving 12 After player moves, there will then be either 11, 10, or stones left In any of these cases, player can then reduce the number of stones to Then, player will reduce the number to 7, 6, or Then, player can reduce the number to Then, player must reduce them to 3, 2, or Player then removes the remaining stones and wins 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 11 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh phân trường hợp Proof by Cases Example Example • Định lý: ∀n∈Z ¬(2|n ∨ 3|n) → 24|(n2−1) – Proof: Since 2·3=6, the value of n mod is sufficient to tell us whether 2|n or 3|n If (n mod 6)∈{0,3} then 3|n; if it is in {0,2,4} then 2|n Thus (n mod 6)∈{1,5} • Case #1: If n mod = 1, then (∃k) n=6k+1 n2=36k2+12k+1, so n2−1=36k2+12k = 12(3k+1)k Note 2|(3k+1)k since either k or 3k+1 is even Thus 24|(n2−1) • Case #2: If n mod = 5, then n=6k+5 n2−1 = (n−1)·(n+1) = (6k+4)·(6k+6) = 12·(3k+2)·(k+1) Either k+1 or 3k+2 is even Thus, 24|(n2−1) 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 12 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh ví dụ Proof by Examples? • Mệnh đề với không chứng minh ví dụ, trừ đưa hữu hạn ví dụ bạn cần phải chứng minh tất ví dụ • Theorem: ¬∃x,y∈Z: x2+3y2 = Example – Proof: If |x|≥3 or |y|≥2 then x2+3y2 >8 This leaves x2∈{0,1,4} and 3y2∈{0,3} The largest pair sum to 4+3 = < 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 13 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh tồn xây dựng A Constructive Existence Proof Example • Định lý: Với số nguyên n>0, tồn dãy gồm n số liên tiêp số nguyên tố • Khẳng định viết dạng logic vị từ: ∀n>0 ∃x ∀i (1≤i≤n)→(x+i is composite) • Chứng minh trang sau… 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 14 Module #11 – Proof Strategies The proof • • • • • Given n>0, let x = (n + 1)! + Let i ≥ and i ≤ n, and consider x+i Note x+i = (n + 1)! + (i + 1) Note (i+1)|(n+1)!, since ≤ i+1 ≤ n+1 Also (i+1)|(i+1) So, (i+1)|(x+i) ∀ ∴ x+i is composite ∀ ∴ ∀n ∃x ∀1≤i≤n : x+i is composite Q.E.D 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 15 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh tồn không xây dựng Nonconstructive Existence Proof • Định lý: Có vô số số nguyên tố – Mọi tập hữu hạn số chứa số lớn nhất, ta chứng minh Định lý số nguyên tố lớn – Tức là., với số nguyên tố tồn số lớn mà nguyên tố generally: For any number, ∃ a larger prime – Formally: Show ∀n ∃p>n : p is prime 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 16 Module #11 – Proof Strategies The proof, using proof by cases • Given n>0, prove there is a prime p>n • Consider x = n!+1 Since x>1, we know that (x is prime)∨(x is composite) • Case 1: Suppose x is prime Obviously x>n, so let p=x and we’re done • Case 2: x has a prime factor p But if p≤n, then p mod x = So p>n, and we’re done 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 17 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh tồn thích hợp Adapting Existing Proofs Example • Theorem: There are infinitely many primes of the form 4k+3, where k∈N – Recall we proved there are infinitely many primes because if p1,…,pn were all the primes, then (∏pi)+1 must be prime or have a prime factor greater than pn, ⇒ contradiction! – Proof: Similarly, suppose q1,…,qn lists all primes of the form 4k+3, • and analogously consider Q = 4(∏qi)+3 – Unfortunately, since q1 = is possible, 3|Q and so Q does have a prime factor among the qi, so this doesn’t work! 12/30/15 • So instead, consider Q = 4(∏qi)−1 = 4(∏qi−1)+3 This has the right form, and has no qi as a factor since ∀i: Q ≡ −1 (mod qi) (c)2001-2003, Michae 18 Module #11 – Proof Strategies Example Giả thuyết chứng minh Conjecture and Proof • We know that some numbers of the form 2p−1 are prime when p is prime – These are called the Mersenne primes • Can we prove the inverse, that an−1 is composite whenever either a>2, or (a=2 but n is composite)? – All we need is to find a factor greater than • Note an−1 factors into (a−1)(an−1+…+a+1) – When a>2, (a−1)>1, and so we have a factor – When n is composite, ∃r,s>1: n=rs Thus, given a=2, an = 2n = 2rs = (2r)s, and since r>1, 2r > so 2n − = bs−1 with b = 2r > 2, which now fits the first case 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 19 Module #11 – Proof Strategies Giả thuyết phản ví dụ Conjecture & Counterexamples Example • Giả thuyết: ∀ số nguyên n>0, n2−n+41 nguyên tố – Hm, let’s see if we can find any counter-examples: • 12−1+41 = 41 (prime) • 22−2+41 = 4−2+41 = 43 (prime) • 32−3+41 = 9−3+41 = 47 (prime) Looking good so far!! – Chúng ta kết luận sau 20 30 trường hợp giả thuyết không? • KHÔNG BAO GIỜ NEVER NEVER NEVER! – Of course, 412−41+41 is divisible by 41!! 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 20 Module #11 – Proof Strategies Ngay nhà Bác học vĩ đại đưa giả thuyết sai lầm! Example • Euler conjectured that for n>2, the sum of n−1 nth powers of positive integers is not an nth power – Remained true for all cases checked for 200 years, but no proof was found • Finally, in 1966, someone noticed that 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 – Larger counter-examples have also been found for n=4, but none for n>5 yet 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 21 Module #11 – Proof Strategies Fermat’s “Last Theorem” • Theorem: xn+yn=zn has no solutions in integers xyz ≠ with integer n>2 Theorem – In the 1600s, Fermat famously claimed in a marginal note that he had a “wondrous proof” of the theorem • But unfortunately, if he had one, he never published it! – The theorem remained a publicly unproven conjecture for the next ~400 years! – Finally, a proof that requires hundreds of pages of advanced mathematics was found by Wiles at Princeton in 1990 • It took him 10 years of work to find it! • Challenge: Find a short, simple proof of Fermat’s last theorem, and you will become instantly famous! 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 22 Module #11 – Proof Strategies Some Open Conjectures • Conjecture: There are infinitely many primes of the form n2+1, where n∈Z Example 11 • Conjecture: (Twin Prime Conjecture) There are infinitely pairs of primes of the form (p, p+2) Example 12 • Conjecture: (The Hailstone Problem) If h(x) = x/2 when x is even, and 3x+1 when x is odd, then ∀x∈N ∃n∈N hn(x) = (where the superscript denotes composition of h with itself n times) Example 13 Prove any of these, and you can probably have a lifetime career sitting around doing pure mathematics… 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 23 [...]... k+1 or 3k+2 is even Thus, 24|(n2−1) 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 12 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh bằng ví dụ Proof by Examples? • Mệnh đề với mọi không bao giờ có thể chứng minh bằng ví dụ, trừ khi nó đưa được về hữu hạn ví dụ và bạn cần phải chứng minh tất cả ví dụ đó • Theorem: ¬∃x,y∈Z: x2+3y2 = 8 Example 4 – Proof: If |x|≥3 or |y|≥2 then x2+3y2 >8 This leaves x2∈{0,1,4} and 3y2∈{0,3} The... (c)2001-2003, Michae 13 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh tồn tại xây dựng A Constructive Existence Proof Example 7 • Định lý: Với mọi số nguyên n>0, tồn tại dãy gồm n số liên tiêp đều không phải là số nguyên tố • Khẳng định trên viết dạng logic vị từ: ∀n>0 ∃x ∀i (1≤i≤n)→(x+i is composite) • Chứng minh trang sau… 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 14 Module #11 – Proof Strategies The proof • • • • • Given n>0,... #11 – Proof Strategies The proof, using proof by cases • Given n>0, prove there is a prime p>n • Consider x = n!+1 Since x>1, we know that (x is prime)∨(x is composite) • Case 1: Suppose x is prime Obviously x>n, so let p=x and we’re done • Case 2: x has a prime factor p But if p≤n, then p mod x = 1 So p>n, and we’re done 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 17 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh tồn... ∴ x+i is composite ∀ ∴ ∀n ∃x ∀1≤i≤n : x+i is composite Q.E.D 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 15 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh tồn tại không xây dựng Nonconstructive Existence Proof • Định lý: Có vô số các số nguyên tố – Mọi tập hữu hạn các số luôn chứa số lớn nhất, vậy ta có thể chứng minh Định lý nếu chỉ ra rằng không có số nguyên tố lớn nhất – Tức là., chỉ ra rằng với mọi số nguyên tố luôn... Then, player 2 must reduce them to 3, 2, or 1 Player 1 then removes the remaining stones and wins 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 11 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh phân trường hợp Proof by Cases Example Example 3 • Định lý: ∀n∈Z ¬(2|n ∨ 3|n) → 24|(n2−1) – Proof: Since 2·3=6, the value of n mod 6 is sufficient to tell us whether 2|n or 3|n If (n mod 6)∈{0,3} then 3|n; if it is in {0,2,4} then 2|n... 12/30/15 • So instead, consider Q = 4(∏qi)−1 = 4(∏qi−1)+3 This has the right form, and has no qi as a factor since ∀i: Q ≡ −1 (mod qi) (c)2001-2003, Michae 18 Module #11 – Proof Strategies Example 6 Giả thuyết và chứng minh Conjecture and Proof • We know that some numbers of the form 2p−1 are prime when p is prime – These are called the Mersenne primes • Can we prove the inverse, that an−1 is composite... Module #11 – Proof Strategies Fermat’s “Last Theorem” • Theorem: xn+yn=zn has no solutions in integers xyz ≠ 0 with integer n>2 Theorem 2 – In the 1600s, Fermat famously claimed in a marginal note that he had a “wondrous proof of the theorem • But unfortunately, if he had one, he never published it! – The theorem remained a publicly unproven conjecture for the next ~400 years! – Finally, a proof that... 412−41+41 is divisible by 41!! 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 20 Module #11 – Proof Strategies Ngay cả các nhà Bác học vĩ đại cũng có thể đưa ra giả thuyết sai lầm! Example 9 • Euler conjectured that for n>2, the sum of n−1 nth powers of positive integers is not an nth power – Remained true for all cases checked for 200 years, but no proof was found • Finally, in 1966, someone noticed that 275 + 845 + 1105...Module #11 – Proof Strategies Phương án chuyển thành tới “Forwardized” version • Theorem Người nào đi trước người đó luôn có cách để thắng – Proof Player 1 can remove 3 stones, leaving 12 After player 2 moves, there will then be either 11, 10, or 9 stones left In any of these cases,... of advanced mathematics was found by Wiles at Princeton in 1990 • It took him 10 years of work to find it! • Challenge: Find a short, simple proof of Fermat’s last theorem, and you will become instantly famous! 12/30/15 (c)2001-2003, Michae 22 Module #11 – Proof Strategies Some Open Conjectures • Conjecture: There are infinitely many primes of the form n2+1, where n∈Z Example 11 • Conjecture: (Twin Prime ...Module #11 – Proof Strategies Module #11: Chiến lược chứng minh Proof Strategies Rosen 5th ed., §3.1 ~21 slides, ~1 lecture 12/30/15 (c)2001-2003, Michae Module #11 – Proof Strategies Tổng... Chứng minh phân trường hợp, chứng minh phản chứng • Trong này, xét ví dụ về: – – – – 12/30/15 Suy luận tới lui Chứng minh phân trường hợp Chứng minh tồn thích hợp Qui giả thuyết chứng minh (c)2001-2003,... – Proof Strategies Chứng minh ví dụ Proof by Examples? • Mệnh đề với không chứng minh ví dụ, trừ đưa hữu hạn ví dụ bạn cần phải chứng minh tất ví dụ • Theorem: ¬∃x,y∈Z: x2+3y2 = Example – Proof: