CÂY và một số ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 11 CÂY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG NỘI DUNG  Khái niệm  Cây bao trùm  Cây bao trùm nhỏ  Cây bao trùm lớn  Cây phân cấp  Cây nhị phân  Cây biểu thức  Cây mã tối ưu 11.1 KHÁI NIỆM CÂY Khái niệm Cayley đưa vào năm 1857 Định nghĩa: Giả sử T = (V, E) đồ thị vô hướng T thỏa mãn hai tính chất sau: - liên thông, - chu trình VÍ DỤ 11.1 Đồ thị b a e d f c g Hình 11.1 Cây đỉnh 11.1 KHÁI NIỆM CÂY (tiếp) Định lý 11.1: Cho T đồ thị vô hướng có số đỉnh không Khi khẳng định sau tương đương: T T chu trình có n - cạnh T liên thông có n - cạnh T chu trình thêm cạnh nối hai đỉnh không kề có chu trình T liên thông bớt cạnh tính liên thông Chỉ có đường nối hai đỉnh 11.1 KHÁI NIỆM CÂY (tiếp) Chứng minh: Chú ý đồ thị T chu trình chu số 0, nghĩa là: m = n - p 1) ⇒ 2) : Vì p = m = n - p suy ra: m = n - 2) ⇒ 3) : m = n - p, m = n - p = 3) ⇒ 4) : p = 1, m = n - suy ra: m = n - p Vậy c(T) = 0, đồ thị T chu trình Thêm cạnh vào m tăng thêm n, p không đổi Khi chu số c(T) = m - n + p = Đồ thị có chu trình 11.1 KHÁI NIỆM CÂY (tiếp) Chứng minh: 4) ⇒ 5) : c(T) = nên m = n - p Phản chứng: đồ thị T không liên thông, có hai đỉnh a, b không liên thông Thêm cạnh (a, b) vào đồ thị chu trình Mâu thuẫn với điều 4) Vậy đồ thị phải liên thông, nghiã p = Suy ra: m = n - Khi bớt cạnh bất kỳ, đồ thị chu trình Do m - = n - p' Suy p' = đồ thị tính liên thông 11.1 KHÁI NIỆM CÂY (tiếp) Chứng minh: 5) ⇒ 6) : Đồ thị T liên thông nên có đường đơn nối cặp đỉnh Giả sử cặp đỉnh a, b nối hai đường đơn khác Khi có cạnh e thuộc đường không thuộc đường Ta bỏ cạnh e đi, đồ thị liên thông Trái với điều 5) 11.1 KHÁI NIỆM CÂY (tiếp) Chứng minh: 6) ⇒ 1) : Suy đồ thị T liên thông Phản chứng: T có chu trình Vậy hai đỉnh chu trình nối hai đường đơn khác Mâu thuẫn với điều 6) 11.2 CÂY BAO TRÙM  Định nghĩa 11.2 Giả sử G đồ thị vô hướng Cây T gọi bao trùm đồ thị G T đồ thị riêng G 10 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Định lý 11.2: Đồ thị vô hướng G có bao trùm ⇔ G liên thông Chứng minh: ⇒: Hiển nhiên, bao trùm liên thông suy G liên thông ⇐: Chọn a đỉnh đồ thị G Ký hiệu: d(x) khoảng cách a đỉnh x Xây dựng tập đỉnh: D0 = {a}, Di = { x  d(x) = i } với i ≥ 12 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp) a D0 D1 D2 Hình 11.4 Cách xây dựng bao trùm 13 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp) Chú ý: Mỗi đỉnh x thuộc Di (i ≥ 1) có đỉnh y thuộc Di-1 cho (x, y) cạnh, < a, , y, x > đường ngắn nối a với x < a, , y > đường ngắn nối a với y y ∈ Di-1 14 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp) Chứng minh: Lập tập cạnh T sau: Với đỉnh x đồ thị G, x ∈ Di với i ≥ 1, ta lấy cạnh nối x với đỉnh Di-1 Tập cạnh tạo nên đồ thị riêng G với n đỉnh n - cạnh Đồ thị riêng liên thông đỉnh nối với đỉnh a Theo tính chất 3) T Do vậy, T bao trùm đồ thị G 15 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp) Định lý 11.3 (Borchardt): Số bao trùm đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh nn –  Một số thuật toán tìm bao trùm: - Thuật toán sử dụng phương pháp duyệt theo chiều sâu - Thuật toán sử dụng phương pháp duyệt theo chiều rộng 16 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM  Thuật toán 11.1 (Tìm bao trùm phương pháp duyệt theo chiều sâu) Dữ liệu: Biểu diễn mảng DK danh sách kề đồ thị vô hướng G Kết quả: Cây bao trùm (V, T) đồ thị G 17 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp) Thuật toán procedure CBT_S (v) ; begin Duyet [v] := true ; for u ∈ DK[v] if ! Duyet [u] then begin T := T ∪ {(v, u)} ; CBT_S (u) end end ; 18 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp) BEGIN { Chương trình } for u ∈ V Duyet [u] := false ; 10 T := ∅ ; 11 CBT_S (z) ; { z đỉnh tuỳ ý đồ thị, trở thành gốc } 12 END 19 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Tính đắn thuật toán: : Khi ta thêm cạnh (v, u) vào tập cạnh T đồ thị (V, T) có đường từ z tới v Vậy thuật toán xây dựng lên đồ thị liên thông Mỗi cạnh (v, u) thêm vào tập T có đỉnh v duyệt đỉnh u duyệt Vậy đồ thị xây dựng chu trình Theo tính chất phép duyệt theo chiều sâu, thủ tục CBT_S thăm tất đỉnh đồ thị liên thông G 20 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Do vậy, đồ thị thuật toán xây dựng bao trùm đồ thị cho  Độ phức tạp thật toán là: O(n+m) 21 VÍ DỤ 11.3 Áp dụng thuật toán cho đồ thị (nét mảnh) ta nhận bao trùm (nét đậm) sau: Hình 11.5 Cây bao trùm đồ thị tìm theo phương pháp duyệt theo chiều sâu 22 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Thuật toán 11.2 (Tìm bao trùm phương pháp duyệt theo chiều rộng) Dữ liệu: Biểu diễn mảng DK danh sách kề đồ thị vô hướng G Kết quả: Cây bao trùm (V, T) đồ thị G 23 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp) Thuật toán BEGIN for u ∈ V Duyet [u] := false ; T := ∅ ; Q := ∅ ; enqueue z into Q ; { z đỉnh tuỳ ý đồ thị gốc } Duyet [z] := true ; 24 11.3.THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp) 10 11 12 13 14 15 while Q ≠ ∅ begin deqưeue v from Q ; for u ∈ DK[v] if ! Duyet [u] then begin enqueue u into Q ; Duyet [u] := true ; T := T ∪ {(v, u)} end end END 25 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Độ phức tạp thuật toán: O(m+n) Ví dụ: Áp dụng thuật toán cho đồ thị (nét mảnh) ta nhận bao trùm (nét đậm) sau: Hình 11.6 Cây bao trùm đồ thị tìm theo phương pháp duyệt theo chiều rộng 26 [...]... nối x với một đỉnh trong Di-1 Tập cạnh này sẽ tạo nên một đồ thị riêng của G với n đỉnh và n - 1 cạnh Đồ thị riêng này liên thông vì mỗi đỉnh đều được nối với đỉnh a Theo tính chất 3) của cây thì T là một cây Do vậy, T là cây bao trùm của đồ thị G 15 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp) Định lý 11.3 (Borchardt): Số cây bao trùm của một đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh là nn – 2  Một số thuật toán tìm cây bao trùm:... b c d e Hình 11.2 Đồ thị có cây bao trùm Một số cây bao trùm của G: a b a b c d e c d e Hình 11.3 Hai cây bao trùm của đồ thị G 11 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Định lý 11.2: Đồ thị vô hướng G có cây bao trùm ⇔ G liên thông Chứng minh: ⇒: Hiển nhiên, vì cây bao trùm liên thông suy ra G liên thông ⇐: Chọn a là một đỉnh bất kỳ trong đồ thị G Ký hiệu: d(x) là khoảng cách giữa a và đỉnh x Xây dựng các tập... { x  d(x) = i } với i ≥ 1 12 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp) a D0 D1 D2 Hình 11.4 Cách xây dựng cây bao trùm 13 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp) Chú ý: Mỗi đỉnh x thuộc Di (i ≥ 1) đều có đỉnh y thuộc Di-1 sao cho (x, y) là một cạnh, vì nếu < a, , y, x > là đường đi ngắn nhất nối a với x thì < a, , y > là đường đi ngắn nhất nối a với y và y ∈ Di-1 14 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp) Chứng minh: Lập tập cạnh T như sau:... tìm cây bao trùm: - Thuật toán sử dụng phương pháp duyệt theo chiều sâu - Thuật toán sử dụng phương pháp duyệt theo chiều rộng 16 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM  Thuật toán 11.1 (Tìm cây bao trùm bằng phương pháp duyệt theo chiều sâu) Dữ liệu: Biểu diễn mảng DK các danh sách kề của đồ thị vô hướng G Kết quả: Cây bao trùm (V, T) của đồ thị G 17 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp) Thuật toán 1... được thêm vào tập T có đỉnh v đã được duyệt và đỉnh u đang duyệt Vậy đồ thị đang được xây dựng không có chu trình 3 Theo tính chất của phép duyệt theo chiều sâu, thủ tục CBT_S thăm tất cả các đỉnh của đồ thị liên thông G 20 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Do vậy, đồ thị do thuật toán xây dựng là một cây bao trùm của đồ thị đã cho  Độ phức tạp của thật toán là: O(n+m) 21 VÍ DỤ 11.3 Áp dụng thuật... ta nhận được cây bao trùm (nét đậm) như sau: 2 1 5 6 3 4 8 9 7 Hình 11.5 Cây bao trùm của đồ thị tìm theo phương pháp duyệt theo chiều sâu 22 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Thuật toán 11.2 (Tìm cây bao trùm bằng phương pháp duyệt theo chiều rộng) Dữ liệu: Biểu diễn mảng DK các danh sách kề của đồ thị vô hướng G Kết quả: Cây bao trùm (V, T) của đồ thị G 23 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM... là đỉnh tuỳ ý của đồ thị và là gốc của cây } 6 Duyet [z] := true ; 24 11.3.THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 while Q ≠ ∅ do begin deqưeue v from Q ; for u ∈ DK[v] do if ! Duyet [u] then begin enqueue u into Q ; Duyet [u] := true ; T := T ∪ {(v, u)} end end END 25 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Độ phức tạp của thuật toán: O(m+n) Ví dụ: Áp dụng thuật toán trên cho... T ∪ {(v, u)} ; CBT_S (u) end 7 end ; 18 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp) 8 BEGIN 9 { Chương trình chính } for u ∈ V do Duyet [u] := false ; 10 T := ∅ ; 11 CBT_S (z) ; { z là đỉnh tuỳ ý của đồ thị, sẽ trở thành gốc của cây } 12 END 19 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Tính đúng đắn của thuật toán: : 1 Khi ta thêm cạnh (v, u) vào tập cạnh T thì trong đồ thị (V, T) đã có đường đi từ z tới... T ∪ {(v, u)} end end END 25 11.3 THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM (tiếp)  Độ phức tạp của thuật toán: O(m+n) Ví dụ: Áp dụng thuật toán trên cho đồ thị (nét mảnh) ta nhận được cây bao trùm (nét đậm) như sau: 2 1 5 6 3 4 9 7 Hình 11.6 Cây bao trùm của đồ thị tìm theo phương pháp duyệt theo chiều rộng 26 ... DUNG  Khái niệm  Cây bao trùm  Cây bao trùm nhỏ  Cây bao trùm lớn  Cây phân cấp  Cây nhị phân  Cây biểu thức  Cây mã tối ưu 11.1 KHÁI NIỆM CÂY Khái niệm Cayley đưa vào năm 1857 Định nghĩa:... chu trình Thêm cạnh vào m tăng thêm n, p không đổi Khi chu số c(T) = m - n + p = Đồ thị có chu trình 11.1 KHÁI NIỆM CÂY (tiếp) Chứng minh: 4) ⇒ 5) : c(T) = nên m = n - p Phản chứng: đồ thị T không... bao trùm đồ thị G 15 11.2 CÂY BAO TRÙM (tiếp) Định lý 11.3 (Borchardt): Số bao trùm đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh nn –  Một số thuật toán tìm bao trùm: - Thuật toán sử dụng phương pháp duyệt theo