Chuyen de LTDH 2011

Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ TRƯỜNG THPT THẠNH AN ––––––– [™\ ––––––− Tài liệu ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Năm học: 2010-2011 Giáo viên: Phạm Bắc Tiến Kiến thức ôn thi Đại học 2011 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ PHẦN I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG I/ HÀM BẬC BA: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 1/ Khảo sát hàm số: • TXĐ: D = R • y’ = 3ax2 + 2bx + c • y’ = ⇔ 3ax2 + 2bx + c = • lim y =?, lim y =? x →−∞ x →+∞ • Bảmg biến thiên kết luận • Đồ thị: 2/ Một số tính chất hàm bậc ba: { Tính chất 1: Hàm số đồng biến R ⇔ y’ ≥ ∀x∈R ⇔ a > Δ≤0 Tính chất 2: Hàm số nghịch biến R ⇔ y’ ≤ ∀x∈R ⇔ a < Δ≤0 Tính chất 3: Hàm số có CĐ CT (hoặc có cực trị) ⇔ y’ có nghiệm phân biệt ⇔ a ≠ Δ>0 Chú ý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp hai lân cận điểm x0 với f’(x0) = 0, f’'(x0) ≠ x0 điểm cực trị hàm số Hơn nữa: • Nếu f’'(x0) > x0 điểm cực tiểu hàm số • Nếu f’'(x0) < x0 điểm cực đại hàm số ⎧ f '(x ) = TÓM TẮT + f(x) đạt cực tiểu x0 ⇔ ⎨ ⎩f ''(x ) > { { ⎧ f '(x ) = + f(x) đạt cực đại x0 ⇔ ⎨ ⎩f ''(x ) < ⎧ f '(x ) = + f(x) đạt cực trị x0 ⇔ ⎨ ⎩f ''(x ) ≠ Tính chất 4: Hàm số cực trị ⇔ y’ không đổi dấu ⇔ { {Δa ≠≤ 00 Tính chất 5: Đ.thị h.số tiếp xúc với trục hoành ⇔hệ pt ff '(( xx)) == 00 có nghiệm Tính chất 6: Tiếp tuyến đồ thị hàm bậc ba có hệ số góc nhỏ a>0 có hệ số góc lớn a < Kiến thức ôn thi Đại học 2011 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ b ⎞ b2 b2 ⎛ ≥ c − #CHÚ Ý: y’ =f’(x) = 3ax + 2bx + c = 3a ⎜ x + ⎟ + c − 3a ⎠ 9a 9a ⎝ b b2 b2 ⇒ Nếu a> f’(x) ≥ c − ⇒ minf’(x) = c − đạt ⇔ x = − 2 9a 9a 3a 2 b b b ⇒ maxf’(x) = c − Nếu a < f’(x) ≤ c − đạt ⇔ x = − 2 9a 9a 3a II/ HÀM TRÙNG PHƯƠNG: y = ax + bx + c (a ≠ 0) 1/ Khảo sát hàm số: • TXĐ: D = R • y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) x=0 • y’ = ⇔ ⎡⎢ +b=0 ax ⎣ • lim y =? x →±∞ • Bảmg biến thiên kết luận • Đồ thị: # CHÚ Ý: Đồ thị hàm trùng phương nhận trục tung Oy làm trục đối xứng 2/ Một số tính chất hàm trùng phương: Tính chất 1: Hàm số có cực trị ∀a≠ # CHÚ Ý: Điều kiện để hàm số dạng y = ax4 + bx2 + c có cực trị ⎡ a = 0, b ≠ là: ⎢ a ≠ ⎢⎣ ab ≥ Tính chất 2: Hàm số có CĐ CT (hoặc có cực trị) ⇔ y’ có nghiệm phân biệt ⇔ ab0 + Hàm số có CĐ CT ⇔ a > b ⎪ Bước 2: Yêu cầu toán ⇔ (2) có nghiệm dương phân biệt ⇔ ⎨ S > ⎪P > ⎩ { { { Kiến thức ôn thi Đại học 2011 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ a b c d + + + 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyz 10 (Học viện BCVT 2001) Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = thì: a a lim y = lim y = x →−∞ x →+∞ c c ad − bc > a +b+ c a+b+ c a +b+ c + + ≥9 a b c Cho số dương a, b, c Ch minh rằng: d d Kết luận: Hàm số đồng biến (hay nghịch biến) (−∞; − ), ( − ;+∞) c c d • Tiệm cận đứng: x = − lim − y = ? , lim + y = ? c ⎛ d⎞ ⎛ d⎞ x→ − x→ − ⎜ ⎟ ⎝ c⎠ ⎛ Chứng minh x > (x + 1)2 ⎜⎝ x2 + x + 1⎟⎠ ≥ 16 c 2 a +b ≥ 3 12 Cho ΔABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng: d − c 1 ⎛ 1 1⎞ + + ≥ 2⎜ + + ⎟ p−a p−b p−c ⎝a b c⎠ +∞ − 13 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: x −∞ x +y + y y + z2 + z z3 + x2 ≤ x2 + y2 + z2 a a −∞ −∞ c c • Đồ thị: # CHÚ Ý: Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 2/ Một số tính chất hàm biến: Tính chất 1: Hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng xác định ⇔ y’ > (y’ < 0) ∀x∈D ax + b nhận giao điểm hai đường tiệm cận Tính chất 2: Đồ thị hsố y = cx + d làm tâm đối xứng ax + b Tính chất 3: M điểm tùy ý thuộc đồ thị (C): y = Tiếp tuyến cx + d (C) M cắt đường tiệm cận A B Khi đó: 14 Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b − + b a − ≤ ab (*) 15 (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c số thực dương thoả điều kiện: ab + Kiến thức ôn thi Đại học 2011 Kiến thức ôn thi Đại học 2011 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 bc + ca = abc Chứng minh rằng: b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + ≥ ab bc ca 16 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ Chứng minh rằng: a3 + b3 ⎛ a + b ⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 17 Cho số dương a, b, c thoả điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= bc 2 a b+ a c + ca 2 b c+b a + ab c a + c2b 18 Cmr với số dương a, b, c ta có: (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ (1+ abc ) 19 Cho số a, b, c khác Chứng minh: 84 a2 b + b2 c + c2 a ≥ a b c + + b c a GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ ⎧ f ( x ) ≤ M ∀x ∈ (a, b) Số M gọi GTLN f(x) (a, b) nếu: ⎨ ⎩∃x0 ∈ (a, b) : f ( x0 ) = M Kí hiệu: max f ( x ) = M ( a ,b ) ⎧ f ( x ) ≥ m ∀x ∈ (a, b) Số m gọi GTLN f(x) (a, b) nếu: ⎨ ⎩ ∃x ∈ ( a , b ) : f ( x ) = m Kí hiệu: f ( x ) = m ( a ,b ) Phương pháp 1: Khảo sát trực tiếp 1/ Nếu hàm số y = f(x) có TXĐ D = (a, b) ta thực bước: Bước 1: Tính y’ giải phương trình y’ = (a, b) Bước 2: Lập bảng biến thiên Bước 3: Kết luận 2/ Nếu hàm số y = f(x) có TXĐ D = [a, b] ta thực bước: Tính f’(x) giải pt f’(x) = [a, b] Giả sử tìm nghiệm x1, x2, …, xn∈[a,b] Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) ⇒ max f ( x ) = max { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} a/ M trung điểm AB b/ ΔIAB có diện tích không đổi (với I = TCĐ ∩ TCX) c/ Tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận số không đổi Hướng dẫn chứng minh: ⎛ ax + b ax + b ⎞ ⇒ M ⎜ x , y0 = Bước 1: Ta có M(x0, y0)∈(C) ⇔ y = ⎟ cx + d ⎠ cx + d ⎝ ⇒ Pt tiếp tuyến (C) M d: y = y’(x0)(x − x0) + y0 d Bước 2: (C) có tiệm cận đứng Δ1: x + = 0, tiệm cận ngang Δ2: y − c Tìm A = d ∩ Δ1, B = d ∩ Δ2 Bước 3: a/ Nhận xét xA + xB = 2xM ⇒ M trung điểm AB b/ Diện tích ΔIAB S = IA.IB = const a d cx + d c/ Tính d(M, Δ1) = x + = , d(M, Δ2) = y − = c c c a =0 c bc − ad cx + d ⇒ d(M, Δ1).d(M, Δ2) = const [ a ,b ] f ( x ) = { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} IV/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ: [ a ,b ] Phương pháp 2: Khảo sát gián tiếp Bước 1: Biến đổi hàm số dạng đặt ẩn phụ dạng y = F[ϕ(x)] Bước 2: Đặt t = ϕ(x), điều kiện ẩn t Dt Bước 3: Tìm GTLN, GTNN F(t) Dt BÀI TẬP Cho số x, y, z CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ≥ y2 + yz+z2 Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + z + 1 + + x y z (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y >0 thoả x + y = biểu thức: A = + x 4y Tìm GTNN Dạng 1: Từ đồ thị (C ) : y = f ( x) → (C1 ) : y = f ( x) (CĐKTKT Cần Thơ 2006) Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bđt: Kiến thức ôn thi Đại học 2011 Bài toán 1: Tìm điều kiện để đồ thị (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) cắt k điểm phân biệt Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm (C1) (C2) f(x) = g(x) (1) Bước 2: (C1) (C2) cắt k điểm phân biệt ⇔ (1) có k nghiệm phân biệt Từ suy kết luận toán Bài toán 2: Biện luận số nghiệm pt F(x, m) = đồ thị Bước 1: Biến đổi pt F(x, m) = dạng f(x) = h(m) (1); đồ thị (C): y = f(x) vẽ câu trước Bước 2: Số nghiệm pt (1) số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d: y = h(m) Bước 3: Từ đồ thị (C) suy kết biện luận ‰CHÚ Ý: Trong toán ta thường gặp dạng biến đổi đồ thị sau đây: Bài toán tổng quát: Từ đồ thị (C):y=f(x), suy đồ thị hàm số sau: (C2): y = f( x ); (C3): y = f(x) (C1): y = f ( x) ; 83 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 ⎧ f ( x) neáu f(x) ≥ Cách giải: B1: Ta có: (C1 ) : y = f ( x) = ⎨ ⎩− f ( x) neáu f(x) < Kiến thức ôn thi Đại học 2011 (1) (2) GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ B2: Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C1) sau: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox (do (1)) Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox (do (2)) Dạng 2: Từ đồ thị (C) : y = f(x) → (C2 ) : y = f( x ) (đây hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung) { neáu x ≥ (1) Cách giải: B1: Ta có : (C2 ) : y = f( x ) = f(x) f(−x) neáu x < (2) B2: Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C2) sau: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy (do (1)) Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy Dạng 3: Từ đồ thị (C ) : y = f ( x) → (C ) : y = f ( x) Cách giải: Nếu M(x;y)∈(C3) M’(x;−y)∈(C3) ⇒ đồ thị (C3) đối xứng qua trục hoành Nếu y ≥ (C3): y = f(x) ⇒ Cách vẽ (C3) sau: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox y f(x)=x^3-3*x+2 y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2) y = x3-3x+2 (C1) 4 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x -9 -2 -8 -7 (C) -4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 (C): y = x3-3x+2 -4 -6 -6 -8 -8 y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2 y f(x)=-(x^3-3*x+2) f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2 (C2) (C3) 6 4 2 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 (C): y = x3-3x+2 -2 -1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 9 (C): y = x3-3x+2 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 n ⎛S⎞ c Nếu tổng a1+a2+…+an = S tích a1 a2…an đạt GTLN ⎜ ⎟ ⎝n⎠ S a1=a2=…=an= n d Nếu tích a1 a2…an= P tổng a1+a2+…+an đạt GTNN n n P a1=a2=…=an= n P n Hệ 2: (BĐT Côsi) Với a1, a2, …, an dương ≤ n a1a2 an 1 + + + a1 a2 an 1 1 Hệ 3: (BĐT Côsi) Cho a, b, c > ⇒ + ≥ , + + ≥ a b a+b a b c a+b+c B/ CÁC DẠNG TOÁN: I/ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: Dạng 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương Cách 1: Xuất phát từ BĐT cần chứng minh, dùng phép biến đổi tương đương đến BĐT hiển nhiên Cách 2: Xuất phát từ BĐT biết đúng, dùng phép biến đổi tương đương đến BĐT cần chứng minh Để chứng minh a > b ta chứng minh a − b > 0, để chứng minh a ≥ b ta chứng minh a − b ≥ Dạng 2: Dùng BĐT Côsi, B.C.S + BĐT Côsi cho số không âm a, b, c: a + b ≥ ab , đẳng thức xảy ⇔ a=b; a+b+c ≥ 3 abc , đẳng thức xảy ⇔ a=b=c + BĐT B.C.S cho cặp số thực (a1, a2), (b1, b2) là: a a a1b1 + a2 b2 ≤ a12 + a22 b12 + b22 Đẳng thức xảy ⇔ = b1 b2 ‰CHÚ Ý: Khi sử dụng BĐT Côsi cần lưu ý đ.kiện số hạng tham gia BĐT phải không âm Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu hàm số Giả sử ta cần chứng minh BĐT f(x) > g(x) ∀x∈(a,b) Xét hàm số h(x) = f(x) − g(x) [a, b] + Nếu h(x) tăng [a, b] h(x) > h(a) ∀x∈(a, b) + Nếu h(x) giảm [a, b] h(x) > h(b) ∀x∈(a, b) ( )( ) II/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) Kiến thức ôn thi Đại học 2011 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Kiến thức ôn thi Đại học 2011 82 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ 2/ Các tính chất: a > b⎫ c d a > b ⇔ a ± c > b ± c, ⎬⇒ a >c, b > c⎭ a > b⎫ ⎡ ac > bc neáu c > e f a>b⇔⎢ ⎬⇒ a+c > b+d c > d⎭ ⎣ ac < bc neáu c < a > b > 0⎫ 1 g ha>b>0⇒ < ⎬ ⇒ ac > bd a b c > d > 0⎭ 2n 2n * 2n+1 i a > b ≥ ⇒ a > b (n ∈ N ) ja>b⇒a > b2n+1 k a ≥ b ≥ ⇒ n a ≥ n b (n ∈ N*) 3/ Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối: ⎧ ab c a b⇔⎢ e a − b ≤ a + b ∀a, b ⎩a > −b ⎣ a < −b f a + b ≤ a + b Đẳng thức xảy ⇔ ab≥0 g a − b ≤ a − b Đẳng thức xảy ⇔ ab≥0 4/ Các bất đẳng thức thường sử dụng: a/ Bất đẳng thức Côsi (Cauchy): Cho n số không âm a1, a2, …, an Ta có: a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an hay a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an n Đẳng thức xảy ⇔ a1 = a2 = … = an Cho a,b,c ≥ Bất đẳng thức Côsi cho số a + b ≥ ab , a+b+c≥3 abc b/ Bất đẳng thức Bunhiacovsky (B.C.S): Cho 2n số thực a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn Ta có: (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 ≤ a12 + a22 + + an2 b12 + b22 + + bn2 ( Hay a1b1 + a2 b2 + + an bn ≤ (a )( ) )( + a22 + + an2 b12 + b22 + + bn2 ) (BĐT Schwartz) a a1 a2 = = = n với b1, b2, …, bn khác b1 b2 bn Bất đẳng thức B.C.S cho số số: (a1b1 + a2b2)2 ≤ a12 + a22 b12 + b22 , Đẳng thức xảy ⇔ ( ( )( ) )( (a1b1 + a2b2 + a3b3) ≤ a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 ) c/ Các hệ quả: Hệ 1: (BĐT Côsi) Cho n số không âm a1, a2, …, an Kiến thức ôn thi Đại học 2011 81 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Bài toán 3: Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C): y = f(x) điểm M(x0, y0) Bước 1: Tính y’ = f’(x) ⇒ f’(x0) = ? Bước 2: Pt tiếp tuyến (C) điểm M là: y = f’(x0)(x - x0) + y0 Chú ý: + Nếu biết x0 y0 = f(x0) + Nếu biết y0 x0 nghiệm pt f(x0) = y0 Bài toán 4: Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C): y = f(x) biết hệ số góc k Cách 1: Bước 1: Tính y’ = f’(x) Bước 2: Gọi M(x0, y0) tọa độ tiếp điểm, ta có f’(x0) = k Giải pt ta tìm x0 ⇒ y0 ⇒ Pt tiếp tuyến cần tìm y = k(x − x0) + y0 Cách 2: Bước 1: Gọi d tiếp tuyến cần tìm ⇒ d: y = kx + b ⎧ f (x) = kx + b (1) Bước 2: d tiếp tuyến (C) ⇔ hệ pt sau có nghiệm ⎨ (2) ⎩f '(x) = k Bước 3: Giải (2) tìm x, vào (1) ⇒ b ⇒ pttt ‰ CHÚ Ý: + Nếu biết tiếp tuyến d// Δ: y = kx + m ⇒ d: y = kx + b, b ≠ m + Nếu biết tiếp tuyến d⊥Δ: y = kx + m ⇒ d: y = − x + b k BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số: y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m +5)x + m +1 Tìm m để hàm số: ; b) m ≤ ; a/ đồng biến R b/ đồng biến (2; +∞ ) ĐS:a) m ≤ 12 Bài 2: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 6mx + Tìm m để hàm số nghịch biến 1 (0; ) ĐS: m ≤ − x+m Bài 3: Cho y = Tìm m để hàm số: x−m a/ nghịch biến khoảng xác định b/ nghịch biến ( −∞;1 ) ĐS: a) m > ; b) m ≥ Bài 4: Cho hàm số : y = x2(m – x) – m a/ Tìm m để hàm số đồng biến (1;2) ĐS: m ≥ b/ Khảo sát hàm số m = Bài 5: Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1)x − m + a/ Với giá trị m hàm số nghịch biến khoảng (−2;0) (m≤−1/2) b/ Khảo sát hàm số m = Bài 6: Tìm m để hàm số sau có cực đại, cực tiểu: Kiến thức ôn thi Đại học 2011 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ x + mx + m x+2 Bài 7: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + – m2 a/ Tìm m để hàm số có CĐ, CT với hoành độ điểm cực trị nhỏ b/ Khảo sát hàm số m = Bài 8: Cho hàm số y = x3 – (m + 2)x2 + ( – m)x + 3m – a/ Tìm m để hàm số đạt cực trị x1; x2 thỏa điều kiện: x1 − x2 = b) y = a) y = x3 + 3mx2 + 2mx + m – ĐS: 1/ m = – V m = – b/ Khảo sát hàm số m = Bài 9: Cho hàm số y = x – 2mx + 2m + m4 a/ Với giá trị m hàm số có cực đại cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số lập thành tam giác ĐS: m = 3 b/ Khảo sát hàm số m = Bài 10: Cho y = x3 – 3x2 + 3mx + – 3m a/ Khảo sát hàm số m = b/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt ĐS: m < Bài 11: Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + a/ CMR hàm số có cực đại cực tiểu ∀ m.Viết pt đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thị ĐS: y = – x + (m2 + m)(2m + 1) + b/ Khảo sát hàm số m = Bài 12: Cho hàm số y = 2x3 + (m − 2)x2 – 12x – 13 a/ Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu điểm cách trục tung b/ Khảo sát hàm số m = Bài 13: Cho hàm số y = x3 – (m + 3)x2 + mx + a/ Khảo sát hàm số m = b/ Tìm m để hàm số đạt cực đại x = −1 Bài 14: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 a/ Tìm m để hàm số có CĐ CT điểm cực đại, cực tiểu đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = x b/ Khảo sát hàm số m = Bài 15: Cho hàm số y = mx4 + (m – 9)x2 + 10 a/ Khảo sát hàm số m = b/ Tìm m để hàm số có ba cực trị Bài 16: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m – 3)x + a/ Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ CT nằm hai phía trục tung b/ Khảo sát hàm số m = Bài 17: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + – m2 có đồ thị (Cm) a/ Khảo sát hàm số m = −1 b/ Tìm điều kiện m để (Cm) chứa điểm phân biệt, đối xứng qua O Bài 18: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m a/ Tìm m để đồ thị h.số có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ Kiến thức ôn thi Đại học 2011 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ (B–05) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0), B(6; 4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành A khoảng cách từ tâm (C ) đến điểm B Cho đường tròn (C): x2 + y2 +6x – 8y −1 = đường thẳng d: x–5y–6=0 Tìm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến d đạt giá trị lớn (D–06) Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2y + = đường thẳng d có pt: x – y + = Tìm điểm M thuộc d cho đường tròn tâm M, bán kính gấp đôi bán kính (C), tiếp xúc với (C) ( Đs: M(1; 4), M(−2; 1) (A–07) Cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2) C(4; −2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B, M N trung điểm AB BC Lập phương trình đường tròn qua H, M, N ( Đs: x2 + y2 – x + y – = 0) (B–09) Cho đường tròn(C): ( x − ) + y = hai đường thẳng d1:x–y = 0, d2: x – 7y = Xác định tọa độ tâm K tính bán kính đường tròn (C1), biết (C1) tiếp xúc với đường thẳng d1, d2 có tâm K thuộc (C) Cho đường tròn (C): x2 + y2 = điểm M(2; 4) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1; MT2 với (C) T1, T2 tiếp điểm a) Viết phương trình đường thẳng T2T1 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với T1T2 Cho điểm M(6; 2) đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y = Lập phương trình d qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = 10 Cho(C): (x-1)2 + (y -2)2 = Viết phương trình đường thẳng qua M(2; 1) cắt (C) hai điểm A, B cho M trung điểm AB 10 (D-07) Cho đường tròn (C): (x−1)2 + (y +2)2 = đường thẳng d có phương trình: 3x – 4y + m = Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ tiếp tuyến PA, PB đến (C) cho ΔPAB ( Đs: m=19 ∨ m=−41) 11 (A–10) Trong mpOxy, cho đường thẳng d1 : x + y = 0; d : x − y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 B, C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích A có hoành độ dương PHẦN X: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1/ Định nghĩa: Cho a, b∈R Ta có a > b ⇔ a − b > Kiến thức ôn thi Đại học 2011 80 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ 13.Cho điểm A(1; 0), B(2; 3) Viết phương trình đường thẳng d cách AB khoảng 10 (Đs: 3x – y + = , 3x – y – 13 = 0) 14.Cho đường thẳng d: x – y + = 0, d’ : 2x + y – = M(−1; 4) Viết pt đường thẳng cắt d, d’ A, B cho M trung điểm AB ( Đs: x + = 0) 15 Viết phương trình đường thẳng qua M(4; 3) tạo với trục Ox, Oy tam giác có diện tích ( Đs: 3x – 8y + 12 =0, 3x – 2y – = 0) 16.Cho I(-2; 0), d; 2x – y + = d’: x + y – = Viết phương trình đường thẳng d qua I cắt d, d’ A, B cho IA = IB (Đs: 7x – 3y + 14 = 0) 17 (B–07) Cho điểm A(2; 2) đường thẳng d1: x + y–2=0; d2: x + y–8=0 Tìm điểm B, C thuộc d1; d2 cho tam giác ABC vuông cân A (Đs: B(-1; 3), C(3; 5) B(3; -1), C(5; 3)) 18 (D-09) Cho tam giác ABC có M(2; 0) trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 0; 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC (Đs: 3x – 4y + = 0) 19.(B-09) Cho ΔABC cân A(−1; 4), hai điểm B, C thuộc d: x – y – = Tìm tọa độ B, C biết diện tích tam giác ABC 18 20 Tìm A trục hoành, B trục tung cho A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – 2y + = 21.(B–08) Hãy xác định tọa độ điểm C tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng AB H(−1;−1), đường phân giác góc A có phương trình x – y + = đường cao kẻ từ B có pt 4x + 3y – = 22.(A-09)Trong mp(Oxy), cho hình chữ nhật ABCD có I(6; 2) giao điểm đường chéoAC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng Δ : x + y – = Viết pt đường thẳng AB 23 (B–10) Trong mpOxy, cho tam giác ABC vuông A, C(−4; 1), đường phân giác góc A có phương trình: x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 A có hoành độ dương 24.(D–10) Trong mpOxy, cho ΔABC có A(3;−7), trực tâm H(3;−1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(−2; 0) Xác định tọa độ C, biết C có hoành độ dương 25.(D–10NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(0; 2), đường thẳng Δ qua O, H hình chiếu A lên Δ Viết phương trình Δ biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH 26 (A–10NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân đỉnh A(6; 6) Đường thẳng qua trung điểm AB, AC có phương trình: x + y – = Tìm tọa độ B, C biết E(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho ( D–03) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x– y – = đường tròn (C) : (x -1)2 + (y -2)2 = Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng (C ) qua đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C ) (C’) Kiến thức ôn thi Đại học 2011 79 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ b/ Khảo sát hàm số m = −2 −2 x − (C) x +1 b/ Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai điểm M, N phân biệt Bài 20: Cho hàm số : y = x3 – 3x2 – 9x + m có đồ thị (Cm) a/ Xác định m để ( Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt b/ Khảo sát hàm số m = Bài 21: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 +2m + có đồ thị (Cm) a/ Tìm m để (Cm): y = x4 – 2(m + 1)x2 +2m + cắt Ox điểm phân biệt b/ Khảo sát hàm số m = Bài 19: a/ Khảo sát hàm số y = Bài 22: Gọi Cm) đồ thị hàm số : y = x − m x + 3 a/ Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ –1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng 5x – y = ĐS : m = b/ Khảo sát hàm số m = Bài 23: a/ Khảo sát hàm số y = −x3 + 3x (C) b/ Viết pttt (C) song song với d: y = −9x + x −1 Bài 24: a/ Khảo sát hàm số : y = (C) x −1 b/ Gọi M điểm thuộc (C) có hoành độ m, tiếp tuyến M với (C) cắt hai đường tiệm cận A, B Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận CMR M trung điểm AB tam giác IAB có diện tích không đổi m thay đổi Bài 25: Trong tất tiếp tuyến với đồ thị (Cm): y = x − mx − x + m + , tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài 26: a/ Khảo sát hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – (C) b/ Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M qua gốc tọa độ 3x + Bài 27: a/ Khảo sát hàm số y = (C) x+2 b/ Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x − y + 2011=0 Bài 28: a) Khảo sát hàm số: y = (x + 1)2(x – 1)2 2m − có nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình (x2 – 1)2 = m Bài 29: a) Khảo sát hàm số: y = x3 – 3x2 + b) Tìm m để pt x3 – 3x2 − m = có nghiệm phân biệt có hai nghiệm lớn Bài 30: a) Khảo sát hàm số: y = x3 + 3x2 + Kiến thức ôn thi Đại học 2011 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − + x − + = m Bài 31: a) Khảo sát hàm số: y = x3 – 3x + b) Tìm m để pt sau có nghiệm phân biệt: x − x + m = Bài 32: a) Khảo sát hàm số: y = x4 – 2x2 – b) Tìm m để pt sau có nghiệm phân biệt: x − 2x − = log2 m Bài 33: Tìm tất đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: x2 x −1 x +1 a/ y = x − x + b/ y = c/ y = d) y = 2 x − x +10 x −1 x −2 Bài 34: Tìm m để TCX ( Cm): y = x + mx −1 tạo với trục toạ độ tam x −1 giác có diện tích Bài 35: a/ Khảo sát hàm số y = x + (C) x +1 b/ Tìm điểm đồ thị (C) có tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận nhỏ Bài 36: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m số thực Khảo st biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: x12 + x 22 + x 32 < 2x + Bài 37: 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C): y = x +1 2/ Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Bài 38: 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C): y = − x − x + 2/ Viết ptt đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng y = x − Bài 39: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: x − x +1 b/ y = x − x c/ y = a/ y = x4 – 2x2 + [ -2;2 ] x + x +1 x +1 d) : y = đoạn [−1; 2] e/ y = x + 3x − 72 x + 90 [-5,5] x +1 f) y y = ln x đoạn [1; e3] g/ y = 2sinx − sin3x [ ; π ] x h/ y = x −1 + − x l/ y = x + − x Kiến thức ôn thi Đại học 2011 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 x y2 + = Viết pt tắc hypebol (H) có đỉnh trùng với tiêu điểm (E) có tiêu điểm trùng với đỉnh (E) trục chứa tiêu điểm Tìm giao điểm (E) (H) Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y2 = 2x Gọi A(xA; −4 ) điểm nằm (P) Hãy tìm cung OA( O gốc tọa độ) parabol (P) điểm M cho ΔOMA có diện tích lớn Một số trích đề thi TSĐH Cho tam giác ABCcó A(1; 0), đường cao BH: x – 2y + = đường cao CH: 3x + y – = Tính diện tích tam giác ABC ( Đs: 14) (B−04) Cho A(1;1), B(4; -3) Tìm C đường thẳng x – 2y – = cho ⎛ −43 −27 ⎞ ; khoảng cách từ C đến cạnh AB ( Đs: C(7; 3), C ⎜ ⎟ ⎝ 11 11 ⎠ (D–04) Cho A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m), m ≠ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G (A–05) Cho đường thẳng d: x – y = d’: 2x + y – = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A thuộc d, C thuộc d’ B, D thuộc trục hoành ⎛ 1⎞ Cho ΔABC cân A, biết trọng tâm G ⎜ ; ⎟ , BC: x – 2y – = 0, BG: 7x – ⎝ 3⎠ 4y – = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C ( Đs: B(0; -2), C(4; 0), A(0; 3)) (A-04) Trong mpOxy cho hai điểm A(0; 2) B(− ; −1) Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOAB (A-06) Cho d1: x + y + = 0, d2: x – y – = 0, d3: x – 2y =0 Tìm tọa độ điểm M thuộc d3 cho khoảng cách từ M đến hai đường thẳng d1 gấp đôi khoảng cách từ M đến d2 ( Đs: M(-22; -11) M(2; 1)) Cho ΔABC có A nằm đường thẳng d: x – 4y – = 0, đường thẳng BC song song với d, pt đường cao BH: x + y + = 0, trung điểm cạnh AC ⎛8 8⎞ ⎛ −2 −2 ⎞ M(1; 1) Tìm tọa độ A, B, C ( Đs: A ⎜ ; ⎟ , C ⎜ ; ⎟ , B(-4; 1) ⎝3 3⎠ ⎝ 3 ⎠ Cho ΔABC cân B, A(1; −1), C(3; 5) Đỉnh B nằm d: 2x – y = Viết pt đường thẳng AB, BC (AB: 23x – y – 24 = 0, BC: 19x – 13y + = 0) 10 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2; 0), pt cạnh AB: x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ A, B, C, D biết A có hoành độ âm 11 (CĐ–05) Cho hình thoi có đường chéo có pt: x + 2y – = 0, cạnh pt là: x + 3y – = 0, đỉnh (0; 1) Tìm pt cạnh lại 12 Cho tam giác ABC có A(1; 2), đường trung tuyến BM: 2x + y + = 0, đường phân giác CD: x + y – = Hãy viết pt cạnh BC (Đs: 4x + 3y + = 0) Bài 10: Cho (E): Kiến thức ôn thi Đại học 2011 78 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ PHẦN V: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ 1: Lập phường trình mặt cầu Dạng 1: Lập pt mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R Giải: Pt mặt cầu (S) là: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 Dạng 2: Lập pt mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) qua điểm M Giải: Bán kính mắt cầu (S) R = IM ⇒ pt mặt cầu là: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = IM2 Dạng 3: Viết pt mặt cầu (S) biết đường kính AB với A(xA, yA, zA); B(xB, yB, zB) A PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Định nghĩa: Pt bậc hai ẩn pt có dạng ax2 + bx + c = (1) (a ≠ 0) Công thức nghiệm: Cho pt: ax2 + bx + c = (1) co Δ = b2 − 4ac Ta co: * Nếu Δ < (1) vô nghiệm b * Nếu Δ = (1) có nghiệm kép x1 = x2 = 2a −b± Δ * Nếu Δ > (1) nghiệm phân biệt x1,2 = 2a Định lí Viet: a) Nếu pt ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2 b c S = x1 + x2 = − ;P= x1x2 = a a −b + Δ −b − Δ Δ Δ' − = = CHÚ Ý: x1 − x2 = 2a 2a a a b) Đảo lại, số x1, x2 có x1 + x2 = S; x1x2 = P thỏa điều kiện S2 − 4P≥0 x1, x2 nghiệm pt: X2 − SX + P = Các ứng dụng: Cho pt ax2 + bx + c = (1) với a≠ Khi đó: ⎧a = ⎧ a ≠ ∨⎨ ; a/ (1) có nghiệm ⇔ ⎨ ⎩b ≠ ⎩ Δ = ⎧a ≠ b/ (1) có nghiệm ⇔ ⎨ ⎩Δ ≥ c/ (1) có nghiệm trái dấu ⇔ P < 0; ⎧Δ ≥ d/ (1) có nghiệm dấu ⇔ ⎨ ⎩P > ⎧Δ ≥ ⎪ e/ (1) có nghiệm dương ⇔ ⎨ S > ⎪P > ⎩ x A + x B yA + yB zA + z B ⎞ ; ; ⎟ 2 ⎠ ⎝ Giải: Mặt cầu (S) có tâm I trung điểm AB ⇒ I ⎛⎜ AB ⇒ pt mặt cầu (S) Dạng 4: Lập pt mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) tiếp xúc với mp(α): Ax + By + Cz + D = Giải: Mặt cầu (S) có bán kính R = d(I, (α)) ⇒ pt mặt cầu (S) " CHÚ Ý: Để xác định tọa độ tiếp điểm ta thực bước: Bước 1: Gọi d đường qua I d ⊥ (α) ⇒ pt d Bước 2: Gọi H tiếp điểm (S) (α) ⇒ H = d ∩ (α) ⇒ H Dạng 5: Lập pt mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) tiếp xúc với đường thẳng Δ ⎧⎪ qua A Bước 1: Ta có Δ: ⎨ ⎪⎩VTCP a bán kính R = Bước 2: Tính AI ; [ a ; AI ] ⇒ Bán kính mặt cầu (S) R = d(I, Δ) = ⎡ a; AI ⎤ ⎣ ⎦ a ⇒ pt mặt cầu (S) " CHÚ Ý: Để xác định tọa độ tiếp điểm ta thực bước: Bước 1: Gọi (α) mặt phẳng qua I (α) ⊥ Δ ⇒ pt (α) Bước 2: Gọi H tiếp điểm (S) Δ ⇒ H = Δ ∩ (α) ⇒ H Dạng 6: Lập pt mặt cầu (S) có tâm I cắt mp(α) theo giao tuyến đường tròn có bán kính r Giải: Mặt cầu (S) có bán kính R = r + [ d(I;(α))] ⇒ pt mặt cầu (S) " CHÚ Ý: Để xác định tọa độ tâm đường tròn giao tuyến ta thực hiện: Bước 1: Gọi d đường qua I d ⊥ (α) ⇒ pt d Bước 2: Gọi H tâm đường tròn giao tuyến (C) ⇒ H = d ∩ (α) ⇒ H Dạng 7: Lập pt mặt cầu (S) có tâm I cắt đường thẳng Δ điểm A, B cho AB = k ⎧Δ > ⎪ f/ (1) có nghiệm âm phân biệt ⇔ ⎨ S < ⎪P > ⎩ II TAM THỨC BẬC HAI VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN: Kiến thức ôn thi Đại học 2011 29 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Kiến thức ôn thi Đại học 2011 58 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ • Xác định VTCP a d1, VTCP b d2 tính MN • MN đường vuông góc chung d1 d2 ⎧⎪ MN ⊥ a ⎧⎪ MN.a = ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩MN ⊥ b ⎪⎩MN.b = • Giải hệ pt ta tìm t u ⇒ tọa độ điểm M N • d đường thẳng MN VẤN ĐỀ 6: Hình chiếu Khoảng cách Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu điểm M mp(α) qua M ⇒ Pt d Bước 1: Gọi d đ.thẳng qua M d ⊥ (α)⇒d: VTCP a = n α { Bước 2: Gọi H hình chiếu M (α) ⇒ H = d ∩ (α) ⇒ tọa độ điểm H ‰ CHÚ Ý: Để tìm điểm M’ đối xứng với M qua mp(α) ta tìm hình chiếu H ⎧ x M ' = 2x H − x M ⎪ M (α), suy H trung diểm MM’ ⇒ ⎨ y M ' = 2y H − y M ⎪ z = 2z − z H M ⎩ M' Bài toán 2: Tìm tọa độ hình chiếu điểm M đường thẳng Δ Cách 1: Bước 1: Gọi (α) mp qua M (α) ⊥ Δ qua M ⇒ (α): ⇒ Pt mp(α) VTPT n = a Δ { Bước 2: Gọi H hình chiếu M Δ ⇒ H = Δ ∩ (α) ⇒ H ⎧ x = x + a1t ⎪ Cách 2: Bước 1: Chuyển pt Δ dạng tham số: ⎨ y = y + a t ⎪z = z + a t ⎩ Bước 2: Xác định VTCP Δ a = (a1; a2; a3) Bước 3: Lấy H∈Δ ⇒ H(x0 + a1t; y0 + a2t; z0 + a3t) Tính MH Bước 4: H hình chiếu M Δ ⇔ MH ⊥ a ⇔ MH a = 0⇒t ⇒ H ‰ CHÚ Ý: Để tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ ta tìm hình chiếu ⎧ x M ' = 2x H − x M ⎪ H M Δ, suy H trung diểm MM’ ⇒ ⎨ y M ' = 2y H − y M ⎪ z = 2z − z H M ⎩ M' Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ 1/ Định lí dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có Δ = b2 − 4ac b + Nếu Δ ≤ af(x) ≥ ∀x f(− )=0 2a + Nếu Δ > f(x) có nghiệm phân biệt x1 < x2 và: af(x) > x < x1 x > x2 af(x) < x1 < x < x2 Chú ý: Nếu tam thức f(x) có nghiệm x1, x2 ta viết f(x)=a(x−x1)(x−x2) Dấu tam thức miền: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ⎧a > ⎧a > & f(x) ≥ ∀x ⇔ ⎨ ; ⎩Δ < ⎩Δ ≤ ⎧a < ⎧a < b/ f(x) < ∀x ⇔ ⎨ & f(x) ≤ ∀x ⇔ ⎨ ⎩Δ ≤ ⎩Δ < Khi đó: a/ f(x) > ∀x ⇔ ⎨ III/ BÀI TẬP 2x − x + 1/ Với giá trị m pt sau có nghiệm phân biệt: = m−x x −1 2/ Tìm m để pt sau có nghiệm phân biệt: ( x + 1)( x + 2mx + m + 2) = 3/ Cho pt: x − x + m − = (1) Với giá trị m pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa măn x12 + x 22 = 4/ Cho pt: x − 2mx + 3m − = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa măn x1 + x = 5/ Cho pt: (3m − 1)x + 2(m + 1)x − m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa măn x1 − x = 6/ Tìm m để đường thẳng d: y = mx + − 2m cắt đồ thị (C): y = x − 2x + x−2 điểm phân biệt (m>1) mx + x + m cắt trục hoành điểm phân biệt có 7/ Tìm m để đồ thị (Cm): y = x −1 (− < m < 0) hoành độ dương 2 8/ Tìm m để để đồ thị (Cm): y = x − mx + m − cắt trục hoành điểm phân biệt (m > ∧ m ≠ 2) II/ MẶT CẦU Kiến thức ôn thi Đại học 2011 57 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Kiến thức ôn thi Đại học 2011 30 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ 9/ Tìm m để đồ thị (Cm): y = x3 + (m − 1)x2 − m cắt trục hoành điểm phân biệt (m < ∨ m > ∧ m ≠ − ) 10/ Với giá trị m pt mx + (m − 1) x + 3(m − 1) = có hai nghiệm phân 1 biệt x1, x2 thỏa + = (m = ) x1 x 11/ Với giá trị m pt x + 2(m + 1) x + m + 4m + = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho A= x1x − 2x1 − 2x đạt GTLN (m = −4) 12/ Tìm m để pt mx + x + m − = có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa măn 1 − > (0 < m < ∧ m ≠ 1) x1 x x − mx2 − x + m + cắt trục hoành 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa x12 + x 22 + x32 > 15 (m < −1 ∨ m > 1) 14/ Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số x2 −1 điểm phân biệt A, B cho AB = (B−09) y= x x2 + x − 15/ Tìm giá trị m để d: y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y = x hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung 13/ Tìm m để để đồ thị (Cm): y = B HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Hệ phương trình đối xứng loại 1: a Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ mà ta thay x y y x phương trình hệ không thay đổi b Cách giải: + Ta biến đổi hệ dạng phụ thuộc vào: S = x + y P = xy, đk S2 ≥ 4P + Giải hệ ta tìm S P + Sau x y (nếu có) nghiệm phương trình X2 − SX + P = " CHÚ Ý: Nếu (x; y) nghiệm hệ (y; x) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x = y Hệ phương trình đối xứng loại 2: a Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ mà ta thay x y y x phương trình trở thành phương trình va ngược lại b Cách giải: + Trừ vế với vế phương trình hệ ta phương trình Kiến thức ôn thi Đại học 2011 31 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ ⎧⎪ qua A ⇒ mp(α) ⎨VTPT n = ⎡a , n ⎤ ⇒ pt mp(α) α ⎣ P⎦ ⎩⎪ Bước 3: Gọi I = (α) ∩ d2 ⇒ tọa độ điểm I ⎧qua I ⇒ d: ⎨ ⇒ pt đường thẳng d ⎩ VTCP a = n P Dạng 10: Lập pt đường thẳng d qua điểm M, d//mp(P) d cắt đường thẳng Δ qua A , (P) có VTPT nP Bước 1: Ta có Δ: VTCP a { Bước 2: Gọi (α) mp qua M song song với (P) ⇒ Pt mp(α) Bước 3: Gọi I = (α) ∩ Δ ⇒ tọa độ điểm I ⇒ d đường thẳng IM Dạng 11: Lập pt đ.thẳng d qua điểm M, d vuông góc cắt đường thẳng Δ qua A Bước 1: Ta có Δ: VTCP a { Bước 2: Gọi (α) mp qua M vuông góc với Δ ⎧ qua A ⇒ (α): ⎨ ⇒ Pt mp(α) ⎩VTPT n = a Bước 3: Gọi I = (α) ∩ Δ ⇒ tọa độ điểm I ⇒ d đường thẳng IM Dạng 12: Lập pt đường thẳng d qua điểm M∈(α), d ⊂ (α) d ⊥ Δ Bước 1: Xác định VTPT n mp(α) VTCP a Δ Δ ⎧⎪ qua M Bước 2: ⇒ d: ⎨VTCP a = ⎡ n, a ⎤ ⎪⎩ ⎣ Δ⎦ Dạng 13: Lập pt đường hình chiếu vuông góc đường thẳng d mp(α) qua A , mp(α) có VTPT n α Bước 1: Ta có d: VTCP a { ⎧ qua A Bước 2: Gọi (β) mp chứa d (β)⊥(α) ⇒ (β): ⎨VTPT n = ⎡ a; n ⎤ ⇒ Pt mp(β) ⎣ α⎦ ⎩ Bước 3: Gọi d’ hình chiếu d (α) ⇒ d’ = (α) ∩ (β) ⇒ Pt d’ Dạng 14: Lập pt đường vuông góc chung hai đ.thẳng chéo d1 d2 ⎧ x = f (t) ⎧ x = f (u) ⎪ ⎪ Cách 2: Viết pt d1 d2 cho pt tham số d1: ⎨ y = g(t) ; d2: ⎨ y = g(u) : ⎪ z = h(t) ⎪ z = h(u) ⎩ ⎩ • Lấy M∈d1 ⇒ M(f(t); g(t); h(t)), N∈d2 ⇒ N(f(u); g(u); h(u)) Kiến thức ôn thi Đại học 2011 56 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Dạng 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm M; d//(P) d ⊥ Δ Bước 1: Xác định VTCP a Δ Δ VTPT n P mp(P) Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ { qua M Bước 2: Do d//(P) d ⊥ Δ ⇒ d có VTCP a = ⎡a Δ , n P ⎤ ⇒ d: ⎣ ⎦ VTCP a ⇒ pt d Dạng 6: Lập pt đường thẳng d qua điểm M, d ⊥ d1 d cắt d2 ⎧ x = x + a1 t ⎪ Chuyển pt d2 dạng tham số: ⎨ y = y + a t ⎪z = z + a t ⎩ Bước 1: Lấy A∈d2 ⇒ A(x0 + a1t; y0 + a2t; z0 + a3t) Bước 2: Tính AM VTCP a d1 Bước 3: AM ⊥ d1 ⇔ AM ⊥ a ⇔ AM a = ⇒ A ⇒ d qua A, M Dạng 7: Lập pt đường thẳng d qua điểm M cắt đường thẳng d1 d2 qua A ⎧ qua B Bước 1: Ta có d1: ,d : VTCP a ⎨⎩VTCP b Bước 2: Gọi (α) mp chứa M d1 ⇒ Pt mp(α) Bước 3: Gọi I = (α) ∩ d2 ⇒ tọa độ điểm I ⎧ qua M Bước 4: ⇒ Đường thẳng d cần tìm qua I, M ⇒ d: ⎨ ⎩VTCP IM Dạng 8: Lập pt đường thẳng d song song với đường thẳng Δ cắt đường thẳng d1 d2 qua A ⎧ qua B Bước 1: Ta có d1: , d2: ⎨ , Δ có VTCP aΔ VTCP a ⎩VTCP b Bước 2: Gọi (α) mp chứa d1 (α) // Δ ⇒ Pt mp(α) Bước 3: Gọi I = (α) ∩ d2 ⇒ tọa độ điểm I Bước 4: ⇒ Đường thẳng d cần tìm qua I d // Δ ⎧ qua I ⇒ d: ⎨ ⇒ pt d ⎩VTCP a = a Δ { { Dạng 9: Lập pt đường thẳng d ⊥ mp(P) cắt đường thẳng d1 d2 qua A ⎧ qua B Bước 1: Ta có d1: ,d : , (P) có VTPT nP VTCP a ⎨⎩VTCP b Bước 2: Gọi (α) mp chứa d1 (α) ⊥ (P) { Kiến thức ôn thi Đại học 2011 55 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 + Ta biến đổi phương trình dạng tích, có thừa số (x − y) "CHÚ Ý: a/ Hệ đối xứng loại có nghiệm x = y Ngoài ra, hệ có nghiệm khác b/ Nếu (x; y) nghiệm hệ (y; x) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x = y Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: ⎧ a1 x + b1 xy + c1 y = d1 a Định nghĩa: Là hệ có dạng: ⎨ 2 ⎩ a2 x + b2 xy + c2 y = d2 b Cách giải: + Trước tiên ta xét xem x = (hay y = 0) có nghiệm hệ hay không Nếu phải, ta ghi nhận nghiệm + Với x ≠ (hoặ y ≠ 0), ta đặt y = kx (hoặc x = ky) thay vào hệ biến đổi ta pt bậc theo k Giải pt ta tìm k, từ tìm x y BÀI TẬP ⎧x + y =1 3 2 ⎩x + y = x + y ⎧ x y + xy =6 ⎩ xy + x + y = Bài 1: Giải hệ phương trình: 1/ ⎨ ⎧ x2 + y2 = ⎧ x y + xy = 30 4/ ⎨ 2 ⎩ x − x y + y = 13 ⎩ x + y = 35 1 ⎧ ⎧ ⎪x + y + x + y = ⎪ x+y+ ⎪ ⎪ 6/ ⎨ 7/ ⎨ ⎪x2 + y + + = ⎪x2 + y + 2 ⎪⎩ x y ⎩⎪ 3/ ⎨ ⎧⎪ x y + y x = 30 8/ ⎨ ⎪⎩ x x + y y = 35 ⎧ x y + xy =30 ⎩ xy + x + y = 11 9/ ⎨ 2/ ⎨ ⎧ x + y + xy = 4 2 ⎩ x + y + x y = 21 5/ ⎨ 1 + =5 x y 1 + =9 x y ⎧ x + y +3(x+y) = 28 ⎩ xy + x + y = 11 10/ ⎨ ⎧ x + xy + y = 2m + có nghiệm ⎩ xy(x + y) = m + m Bài 2: Xác định m để hệ pt ⎨ ⎧⎪ y + Bài 3: Tìm m để pt ⎨ x =1 có nghiệm (ĐHKD 2004) ⎪⎩ x x + y y = − 3m ⎧ x = 3x + 8y Bài 4: Giải hệ phương trình: 1/ ⎨ ⎩ y = 3y + 8x ⎧log x (3x + 2y) = 3/ ⎨ ⎩log y (3y + 2x) = ⎧ x = 3x − y ⎩ y = 3y − x 2/ ⎨ 1 ⎧ ⎪⎧ x-y = x − y ⎪x - = y − y (A−03) 3/ ⎨ 4/ ⎨ x ⎪⎩ x + y = x + y + ⎪ 2y = x + ⎩ Kiến thức ôn thi Đại học 2011 32 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ ⎧ y +2 ⎧23x = 5y − 4y ⎪3y = x ⎪ ⎪ Bài 5: Giải hệ pt: 1/ ⎨ 2/ ⎨ x + 2x +1 (KD 2002) y = ⎪ ⎪3x = x + ⎩ 2x + ⎪⎩ y2 ⎧ x + y = 25 ⎧⎪ x + y − = ⎧ x + y =1 ⎪ 3/ ⎨ 4/ ⎨ 5/ ⎨ x y ⎩2 − = ⎪⎩ x − y + = 2y − ⎪ log (y − x) − log y = ⎩ ⎧⎪logy xy = logy x ⎧⎪ x −1 + − y = 6/ ⎨ (KB 2005) 7/ ⎨ ⎪⎩3 log (9x ) − log y = ⎪⎩ 2x + 2y = ⎧⎪ x(x + y + 1) − = ⎧ xy + x + = 7y 8/ ⎨ (x, y∈R) (D−09) 9/ ⎨ 2 (B−09) (x + y) − + = x y + xy + = 13y ⎩ ⎪⎩ x ⎧⎪ x − − y = − x ⎧⎪ x + 2x y + x y = 2x + 10/ ⎨ (pphs) (B−08); 11/ ⎨ ⎪⎩( x − 1) = y ⎪⎩ x + 2xy = 6x + 2 ⎧⎪(4 x + 1) x + ( y − 3) − y = ⎪⎧x − x y + x y = 12/ ⎨ (A2−07) (A−10); 13/ ⎨ 2 x y x 4 + + − = ⎪⎩ ⎪⎩x y − x + xy = 2 ⎪⎧ xy + x + y = x − 2y ⎪⎧2 2x + y = − 2x − y 11/ ⎨ (D−08); 13/ ⎨ (CĐ−09); 2 ⎪⎩ x 2y − y x − = 2x − 2y ⎪⎩ x − 2xy − y = ⎧⎪2x − y − m = có nghiệm (D2−07) 15/ Tìm m để hệ phương trình : ⎨ ⎪⎩x + xy = C PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC HAI I/ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Dạng bản: 1/ A = A ⇔ A ≥ 0; 2/ A = − A ⇔ A ≤ 0; ⎡ ⎧A≥ ⎧ B≥0 ⎢⎨ ⎡ A=B ⎪ ⎩A = B ⎢ ; 4/ A = B ⇔ ⎨ ⎡ A = B (I) Hoặc 3/ A = B ⇔ ⎢ (II) ⎢⎧ A ≤ ⎣ A = −B ⎪⎢ A = −B ⎢⎨ ⎩⎣ ⎢⎣ ⎩− A = B Lưu ý: Nếu bậc A > bậc B ta chọn (II) 5/ A < B ⇔ A2 < B ⇔ (A + B)(A − B) < Kiến thức ôn thi Đại học 2011 33 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Dạng 5: Viết pt mp(α) qua điểm M vuông góc với đường thẳng Δ qua M ⇒ pt mp(α) Giải: Xác định VTCP Δ a ⇒ (α): VTPT n = a { Dạng 6: Viết pt mp(α) qua điểm M chứa đường thẳng d qua A Bước 1: d: Tính AM VTCP a { qua M ⎧ Bước 2: Ta có (α): ⎨VTPT n = ⎡a; AM ⎤ ⇒ pt mp(α) ⎣ ⎦ ⎩ Dạng 7: Viết pt mp(α) chứa đường thẳng d vuông góc với mp(β) qua A Bước 1: Ta có d: , (β) có VTPT n β VTCP a { qua A ⎧ Bước 2: ⇒ (α): ⎨VTPT n = ⎡ a; n ⎤ ⇒ pt mp(α) ⎣ β⎦ ⎩ VẤN ĐỀ 5: Các dạng toán viết phương trình đường thẳng → Dạng 1: Viết pt đường thẳng qua điềm M(x0, y0, z0) có vtcp a = (a1, a2, a3) ⎧⎪ x = x + a1t ⎧ qua M( x ; y ; z ) ⇔ d: ⎨ y = y + a t Cách 1: Pt tham số: Ta có d: ⎨ ⎩VTCP a = (a1; a ; a ) ⎪⎩z = z + a t x − x y − y0 z − z ⎧ qua M( x ; y ; z ) = = ⇔ d: Cách 2: Pt tắc: d: ⎨ ( ; ; ) = VTCP a a a a a1 a2 a3 ⎩ Dạng 2: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(x0, y0, z0) song song với đường thẳng Δ ⎧qua M( x ; y ; z ) ⇒ pt đường thẳng d Cách giải: Ta có d: ⎨ ⎩ VTCP a = a Δ Dạng 3: Viết pt đường thẳng d qua M(x0, y0, z0) d⊥(α): Ax+By+Cz+D= ⎧ qua M( x ; y ; z ) ⇒ pt đường thẳng d Cách giải: Ta có d: ⎨ ⎩VTCP a = n α = (A, B, C) Dạng 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm M vaì vuông góc với đường thẳng d1 d2 qua A ⎧ qua B Bước 1: Ta có d1: , d2: ⎨ VTCP a ⎩VTCP b ⎧⎪ qua M Bước 2: d qua M d ⊥ d1, d ⊥ d2 ⇒ d: ⎨VTCP c = ⎡a , b ⎤ ⇒ pt đt d ⎪⎩ ⎣ ⎦ { Kiến thức ôn thi Đại học 2011 54 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Cách 2: Lập hệ pt tạo d mp(α) Khi đó: • Nếu hệ có nghiệm d cắt (α) • Nếu hệ vô nghiệm d // (α) • Nếu hệ có vô số nghiệm d ⊂ (α) VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α1): A1x + B1y + C1z + D1 = (α2): A2x + B2y + C2z + D2 = 1/ (α1) cắt (α2) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2; A B C D 2/ (α1) // (α2) ⇔ = = ≠ A B2 C D A B C D 3/ (α1) ≡ (α2) ⇔ = = = A B2 C D 4/ Gọi ϕ góc (α1) (α2) thì: cosϕ = n1.n2 n1 n2 5/ (α1) ⊥ (α2) ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = VẤN ĐỀ 4: Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết pt mp(α) qua M(x0,y0,z0) có VTPT n = (A,B,C) qua M( x , y , z ) Cách 1: Ta có (α): ⇔(α): A(x−x0) + B(y−y0) + C(z−z0)= VTPT n = (A, B, C) { Cách 2: Pt mp(α) có dạng Ax + By + Cz + m = M(x0,y0,z0)∈(α) ⇒ Ax0 + By0 + Cz0 + m = ⇔ m = − (Ax0 + By0 + Cz0) ⇒ pt mp(α) Dạng 2: Viết pt mp(α) qua điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (với a,b,c ≠ 0) x y z Giải: Pt mp(α) là: + + = ⇔ (α): bcx + acy + abz − abc = a b c Dạng 3: Viết pt mp(α) qua M(x0,y0,z0) (α) // mp(β):Ax + By + Cz + D = ⎧ qua M(x , y , z ) Cách 1: (α): ⎨ ⇔(α):A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 ⎩VTPT n = n β = (A, B, C) Cách 2: Ta có (α)// (β): Ax + By + Cz + D = ⇒ (α):Ax + By + Cz + m = M(x0,y0,z0)∈(α) ⇒ Ax0 + By0 + Cz0 + m = ⇔ m = − (Ax0 + By0 + Cz0) ⇒ pt mp(α) Dạng 4: Viết pt mp(α) qua điểm A, B, C qua A ⎪⎧ Giải: Tính AB , AC ⇒ (α) ⎨VTPT n = ⎡ AB, AC ⎤ ⇒ pt mp(α) ⎪⎩ ⎣ ⎦ Kiến thức ôn thi Đại học 2011 53 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ ⎧ A −B ⎡ A>B 7/ A > B ⇔ ⎢ ⎣ A < −B 7/ Các BĐT thường gặp: a + b ≤ a + b ; a − b ≥ a − b Dấu “=” xảy ⇔ ab≥ ‰CHÚ Ý: Nếu phương trình, bất phương trình chứa nhiều biểu thức chứa giá trị tuyệt đối ta lập bảng xét dấu dùng phương pháp chia khoảng để giải BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình sau: 1/ x − 4x − = 4x − 17 2/ x − 5x + = x + 3/ − 2x = − 3x + x + 4/ x2 – x − – = 6/ x − x + 2x − = Bài 2: Tìm giá trị tham số m để pt: −2x + 10x − = x − 5x + m Bài 3: Giải pt, bpt sau: 1/ − x ≥ x + ; 2/ 4/ x − x − = ; 7/ 3− x + x x−2 ≥0; x+2 −x 2x − + > ; 3/ ≥2 x x−3 5/ x + + x − = ; 6/ x − − x + < 8/ x − x + = x + 9/ x − x + = x − 10/ x − x − − = ; 11/ − x = + x + x3 ; 12/ x − − x < 13/ x − 3x + + x > x 14/ x + > − x ; 15/ x2 − 5x + ≤1 x2 − x2 − x + x2 − x + x−2 ; 17/ 18/ ≥ ≥ ≥1 x2 − 5x + x2 + x − x2 + x − II/ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC: Các phương pháp thường sử dụng: Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Dạng bản: 1/ n +1 A = n +1 B ⇔ A = B 2/ n A = n B ⇔ A = B ≥ 16/ 3/ ⎧ B≥0 A=B⇔⎨ ; ⎩A = B Kiến thức ôn thi Đại học 2011 4/ 34 ⎧ B>0 ⎪ A < B ⇔ ⎨ A≥0 ⎪A < B2 ⎩ GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ 5/ ⎡ B=0 ⎧B < ⎧ B ≥ ⎢ ∨⎨ A>B⇔⎨ ; 6/ A B ≥ ⇔ ⎢ ⎧ B > ⎩A ≥ ⎩A > B ⎢⎣ ⎨⎩ A ≥ 7/ ⎧ A ≥ 0, B ≥ A+ B = C ⇔⎨ ⎩ A + B + AB = C 8/ n +1 A < n +1 B ⇔ A < B 9/ 2n ⎧ A≥0 A< B ⇔⎨ 11/ ⎩A < B Phương pháp 2: Phương pháp dùng ẩn phụ 10/ Dạng 1: A.f(x) + B f(x) = C → Đặt t = Dạng 2: Pt chứa → Đặt t = f(x) > ⇒ Dạng 3: Pt chứa → Đặt t = f(x) ⎧A ≥ A < 2n B ⇔ ⎨ ⎩A < B A > B ⇔ A > B2 f(x) g(x) = k > • f(x).g(x) , f(x) + g(x) = k ≥ −−→ → → → −−→ Bước 3: Nếu: 1/ [ a , b ] AB ≠ ⇒ d1 d2 chéo ⎧⎡ ⎤ ⎪⎣a, b ⎦ AB = ⇒ d1 d2 cắt 2/ ⎨ ⎡ ⎤ ⎪⎩ ⎣a, b ⎦ ≠ ⎧ ⎡a, b ⎤ = ⎪ ⎣ ⎦ ⇒ d1 // d2 3/ ⎨ ⎡ ⎤ ⎪⎩ ⎣ a, AB⎦ ≠ ⎧ ⎡a, b ⎤ = ⎪ ⎣ ⎦ ⇒ d1 ≡ d2 4/ ⎨ ⎡ ⎤ ⎪⎩ ⎣ a, AB⎦ = a + b ≤ a + b ≤ 2(a + b) n a + b = 2(a + b) ⇔ a = b ≥ • f(x) m ⎡ f ( x ) + g( x ) = k g(x) , ⎢ ⎣ f ( x ) − g( x ) = k → Đặt u = n f(x) ⇒ un = f(x), v = m g(x) ⇒ vm = g(x) Phương pháp 3: Phương pháp đánh giá Phương pháp 4: Phương pháp hàm số BÀI TẬP 2/ x + − 2x − = 3x − Bài 1: Giải pt: 1/ x − x + = 2 3/ x + x − + x + x − = Kiến thức ôn thi Đại học 2011 → → → 2/ Nếu d1 // d2 mp(α) chứa d1 d2 có VTPT là: n = [ a , AB ] ⎡ a, AB ⎤ ⎣ ⎦ Khoảng cách d1 d2 d(d1, d2) = d(B, d1) = a → ⎡a = a+b = a + b ⇔ ⎢ ; ⎣b = Dạng 4: (Đưa hệ) Pt chứa → → f(x) ± g(x) ⇒ t2 = f(x) + g(x) ± f(x).g(x) = k ± f(x).g(x) t2 − k ‰ CHÚ Ý: Nếu a, b ≥ −−→ Bước 2: Tính [ a , b ]; AB ⇒ [ a , b ] AB ‰CHÚ Ý:1/ mp(α) chứa đường thẳng cắt d1 d2 có vtpt là: n =[ a , b ] f(x).g(x) = ± ⇒ → { → k g(x) = t f(x) ± g(x) { → f(x) ≥ g(x) , Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ PHẦN VIII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I/ CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VẤN ĐỀ 1: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 d2 qua A qua B Bước 1: Ta có d1: ; d2: VTCP a VTCP b 4/ ( x + 4)( x + 1) − x2 + 5x + = 35 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 → → 3/ Nếu d1 d2 chéo mp(α) chứa d1 (α)//d2 có vtpt là: n = [ a , b ] ⎧⎪qua I Nếu (P) mp song song cách d1 d2 (P): ⎨ , với ⎡ ⎤ ⎪⎩VTPT n = ⎣ a, b ⎦ I trung điểm AB ⎡ a, b ⎤ AB ⎣ ⎦ Khoảng cách d1 d2 d(d1, d2) = ⎡ a, b ⎤ ⎣ ⎦ VẤN ĐỀ 2: Xét vị trí tương đối đường thẳng d mp(α) → → → qua A Cách 1: Bước 1: Ta có d: ; mp(α) có VTPT n Tính a n VTCP a { → → Bước 2: Nếu: 1/ a n ≠ ⇒ d cắt mp(α) → → ⎧⎪→ → ⎪⎧ 2/ ⎨ n a = ⇒ d//(α) 3/ ⎨ n a = ⇒ d ⊂ (α) ⎪⎩ A ∉ (α) ⎪⎩ A ∈ (α) Kiến thức ôn thi Đại học 2011 52 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ a Câu 37 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC = , SA = a , SAB = SAC = 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu 38 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a Đáy tam giác ABC cân BAC = 1200 , cạnh BC=2a Tính thể tích khối chóp S.ABC Gọi M trung điểm SA Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Câu 39 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác SB = a Gọi E, F trung điểm AD AB Gọi H giao điểm FC EB a) Chứng minh rằng: SE ⊥ EB CH ⊥ SB b) Tính thể tích khối chóp C.SEB Câu 40 Cho hình chóp S.ABC, ΔABC vuông B có AB = a, BC = a , SA vuông góc với mp(ABC), SA = 2a Gọi M, N hình chiếu vuông góc điểm A cạnh SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Câu 41 Cho hình chóp S.ABC có góc hai mp(SBC) (ACB) 600, ABC SBC tam giác cạnh a Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC) Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi với A = 1200 , BD = a Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) đáy 600 Một mặt phẳng (α) qua BD vuông góc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp mặt phẳng (α) tạo cắt hình chóp Câu 43 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật có độ dài AB = a , BC = a Gọi M trung điểm đoạn CD Góc hai mặt phẳng (ABCD) (SBM) α = 600 a) Chứng minh mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC) b) Tính thể tích tứ diện SABM theo a Câu 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, AB = 4a, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I đoạn thẳng OA Biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB) SI Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu 45 Cho hình chóp S.ABC, ΔABC vuông B có AB=a, BC = a , SA vuông góc với mp(ABC), SA=2a Gọi M, N hình chiếu vuông góc điểm A cạnh SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM 5/ − x + x − + x − x = 7/ x3 + = 2x − 51 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 x + 1− x 8/ 3x − + x − = x − + 3x − x + 9/ 57 − x + x + 40 = ; 10/ 2x + + x + = 3x + 2x + x + − 16 11/ x ( x − 1) + x ( x + 2) = x 12/ 3x + − 2x + = x + Bài 2: Giải phương trình: 1/ x − + − x = x − x + 11 2/ x + 15 = 3x − + x + 4/ 3/ x + + x + − x + = − x = 1− x −1 Bài 3: Tìm m để pt: 5/ (x + 5)(2 − x) = x + 3x + x + − x − (3 + x )(6 − x ) = m có nghiệm Bài 4: Tìm m để phương trình: x + − x = − x + 9x + m có nghiệm Bài 5: Tìm a để pt: + x + − x = a (1 + x )(8 − x ) có nghiệm Bài 6: Giải bất pt: 1/ 7x + − 3x − 18 ≤ 2x + ; 2/ 3/ − x + 4x − ≥2 x 5/ x+3 ≥ 4/ 2(x − 16) + x−3 x−3 > 51 − 2x − x 2x − 8/ (x − 3) x + ≤ x − Bài 6: Giải pt, bất pt: 1/ 3x − + − 5x − = ( x ∈ R ) (A−09) 2/ x− x − 2(x − x + 1) ≥ (A−10) 3/ x + − − x + 3x − 14 x − = (B−10) 4/ x + 12 ≥ x − + 2x + (3≤x≤4); 5/(A–05) x − − x − > x − (2≤ x< 10) 6/ (B1-08) 10 x + + x − = x + + x − (x=3) 7/ (D–02) (x2–3x) x − x − ≥ ( x ≤ – ; x =2 ; x≥ 3) 8/ (B2–05) x − x + − x + ≤ (x 9/ (A2-08) 3x +1 > 1− x − x2 3x − x + ≤1 10/ (A3–05) 3x − Kiến thức ôn thi Đại học 2011 x − x2 = 6/ + Kiến thức ôn thi Đại học 2011 = (−1; (x ≤ ; x≥ )∪( ) 2 ;1) ; ≤ x< ; x≥ 3) 3 36 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ 11/ (B3–05) −2 x + x − 2 ≥ 3x − 2 ( 2) (x=1 ; x= 2– ) 2 13/ D1-08) (x+1)(x-3) -x +2x+3[...]... (x)dx = 0 −a 3/ Các biểu thức biến đổi vi phân thường sử dụng: c x n dx = 1 dx n +1 ; n +1 dexdx = dex; e 1 dx = dlnx x 1 1 dsinax g sinxdx = −dcosx; sinaxdx = − dcosax a a 1 h sin2xdx = dsin2x; sin2xdx = −dcos2x i dx = (1 + tan2x)dx = dtanx cos 2 x fcosxdx = dsinx; cosaxdx = − Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 17 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Bài tốn 4: Viết pt đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng... x ∫ (sin x + cos x + 2) 3 dx 0 π ln 2 2 π x 2 −x ∫ xe dx ; 3/ ∫ x.sin x.dx 0 0 π 2 5/ ∫ x ln( x + 1).dx ; 1 π 2 3 4 ln x x dx ; 8/ ∫ ln( x 2 − x).dx 6/ ∫ 2 dx ; 7/ ∫ x + 1 cos 2 x 2 0 1 π 1 cos 2011 x dx 2011 2011 ∫ x x sin + cos 0 0 0 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường sau: a/ Trục hồnh, đồ thị hàm số y = x2 + 1 và hai đường thẳng x = 0 và x = 1 b/ y = −x và y = 2 – x2 ; c/ y=... CHÚ Ý: Nếu d có VTPT n = (A, B) thì một VTCP của nó là a = (B, −A) → → Nếu d có VTCP a = (a1, a2) thì một VTPT của nó là a = (a2;− a1) Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 21 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 66 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ PHẦN IX: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CƠ BẢN: I VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ: 1 Tọa... THẲNG Bài 6: Giải các pt sau: 1/ logx(2x2 – 5x + 4) = 2 1) Định m để 3 điểm M(9;m+1), N(2;−3) và P (5;2) thẳng hàng Kq:m= Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 13 2/ logx2 – log4x + 7 =0 6 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 BÀI TẬP Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 74 23 3 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ c M(x,y) ∈ (H) F2M = ε(−a + x) = ε(−a + ex) a Với ε2 = 1; ε = 1... 5/ Cơng thức hạ bậc: cos2a = ; sin2a = 2 2 2 tan x 1 − tan 2 x ; ; cos2x = 6/ Cơng thức tính theo tanx: sin2x = 1 + tan 2 x 1 + tan 2 x Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 23 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 64 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3) , B(1;... tại 2 điểm A, B sao cho AB = k ⎧Δ > 0 ⎪ f/ (1) có 2 nghiệm âm phân biệt ⇔ ⎨ S < 0 ⎪P > 0 ⎩ II TAM THỨC BẬC HAI VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN: Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 29 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 58 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ • Xác định VTCP a của d1, VTCP b của d2 và tính MN • MN là đường vng góc chung của d1... < 0) hồnh độ dương 4 2 2 8/ Tìm m để để đồ thị (Cm): y = x − mx + m − 1 cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt (m > 1 ∧ m ≠ 2) II/ MẶT CẦU Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 57 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 30 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ 9/ Tìm m để đồ thị (Cm): y = x3 + (m − 1)x2 − m cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt 1 (m... lần bán kính qua tiêu điểm phải của điểm M Bài 9: Tìm M∈(H): 9x2 – 16y2 = 144 sao cho các bán kính qua tiêu điểm của điểm M vng góc với nhau Bài 7: Tìm các điểm M∈(H): Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 77 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA 1 Các định nghĩa: •... là y = ± x a Dạng 3: Lập pt chính tắc của parabol Bước 1: Pt chính tắc của parabol (P) có dạng y2 = 2px (p > 0) Bước 2: Từ giả thiết ta xác định p ⇒ pt của parabol (P) Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 73 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ 4/ log2(x2 – 1) = log 1 (x − 1) 3/ log24x + log 2 2 = 3 ß x 4 2 2 2 3 2 5/ lg (x – 1) + lg (x – 1) = 25; 6/ log3(x+2) + log3... x + 14 ) log 22 x − log 2 x − 2 ≥0 x log 2 ( 2 − x ) log 2 2 ⎧ x + log 2 y = 4 ⎧x + y = 6 Bài 9: Giải hệ pt sau: 1/ ⎨ 2/ ⎨ ⎩log 2 x + log 2 y = 3 ⎩2 x − log 2 y = 2 26/ Kiến thức cơ bản ơn thi Đại học 2011 27/ 14 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 ( Trường THPT Thạnh An−Vĩnh Thạnh−Tp Cần Thơ ) ⎧⎪log x + y + 6 = 4 2 3/ ⎨ 4/ ⎪⎩log3 x + log3 y = 1 ⎧⎪3.x log 2 y + 2 y log 2 x = 10 6/ ⎨ ⎪⎩log 4 x 2 + log 2 y = ... + C2010 = 22009 32011 − b/ C + C + C + + C = n 6/ Tìm hệ số x khai triển (2−3x) n thoả mãn hệ thức sau C 21n +1 + C 23n +1 + + C 22nn++11 = 1024 2011 2 2011 4 2011 2011 2011 2011 7/ Giải phương... n +1 n +1 3 14 2/ Tính tổng: a/ S = C14 − 2C14 + 3C14 + − 14C14 n b/ S = C2011 + 2C 12011 + 3C 22011 + + 2012C2011 2011 n −1 2 n − 1 1 C n + C n + C n + + C 2n = 2n 2n + 4/ Tìm n ngun dương... π 5/ ∫ x ln( x + 1).dx ; π ln x x dx ; 8/ ∫ ln( x − x).dx 6/ ∫ dx ; 7/ ∫ x + cos x π cos 2011 x dx 2011 2011 ∫ x x sin + cos 0 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đường sau: a/ Trục