Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Mt s cõu HHKG thi i hc 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) x y + z = = Tìm toạ độ điểm M cho: MA2 + MB = 28 đờng thẳng : 1 x = t ptts : y = + t M (1 t ; + t ; 2t ) z = 2t Ta có: MA2 + MB = 28 12t 48t + 48 = t = Từ suy : M (-1 ;0 ;4) 2) Vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai ng thng sau: x = + 2t d : y = + t z = Gi M d1 M ( 2t;1 t; + t ) , N d N ( + 2t ';1 + t ';3 ) uuuur MN ( 2t + 2t ' 1; t + t '; t + ) uuuur uur MN.u1 = ( 2t + 2t ' 1) ( t + t ' ) + ( t + ) = uuuur uur ( 2t + 2t ' 1) + ( t + t ' ) = MN.u1 = x y z + d1 : = = ; 1 6t + 3t '+ = t = t' =1 3t + 5t ' = uuuur M ( 2;0; 1) , N ( 1;2;3 ) , MN ( 1;2;4 ) PT MN : x y z +1 = = 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng: d1 : x y z + x2 y+3 z = = d2 : = = 3 Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c hai ng thng d1 v d2 Gi s mt mt cu S(I, R) tip xỳc vi hai ng thng d1, d2 ti hai im A v B ú ta luụn cú IA + IB AB v AB d ( d1 , d ) du bng xy I l trung im AB v AB l on vuụng gúc chung ca hai ng thng d1, d2 Ta tỡm A, B : uuur r AB u uuur ur Ad1, Bd2 nờn: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t; -3 + 3t; t) AB u ' uuur AB (.) A(1; 2; -3) v B(3; 0; 1) I(2; 1; -1) Mt cu (S) cú tõm I(2; 1; -1) v bỏn kớnh R= Nờn cú phng trỡnh l: ( x ) + ( y 1) + ( z + 1) = 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d d lần lợt có phơng trình : d : y2 x2 z+5 x= = z d : = y 3= Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với Viết phơng trình mặt phẳng ( ) qua d vuông góc với d Đờng thẳng d qua điểm M (0;2;0) có vectơ phơng u (1;1;1) Đờng thẳng d qua điểm M ' (2;3;5) có vectơ phơng u '(2;1;1) [ ] [ ] Ta có MM = (2;1;5) , u ; u ' = (0; 3; 3) , u; u ' MM ' = 12 d d chéo Trang - - Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Mt s cõu HHKG thi i hc Mặt phẳng ( ) qua điểm M (0;2;0) có vectơ pháp tuyến u '(2;1;1) nên có phơng trình: x + ( y 2) z = hay x +y z =0 x = 2t x y z 2) Trong khụng gian oxyz cho hai ng thng d1 : = = ; d2 y = t 1 z = 1+ t v im M(1;2;3) a.Vit phng trỡnh mt phng cha M v d1 ; Tỡm M i xng vi M qua d2 b.Tỡm A d1 ; B d cho AB ngn nht x = 2t x y z Trong khụng gian oxyz cho hai ng thng d1 : = = ; d2 y = t 1 z = 1+ t v im M(1;2;3) a Vit phng trỡnh mt phng cha M v d1 ; Tỡm M i xng vi M qua d2 + Phng trỡnh mt phng cha M v d1 L (P) x + y z = + Mp(Q) qua M v vuụng gúc vi d2 cú pt 2x y - z + = + Tỡm c giao ca d2 vi mp(Q) l H(-1 ;0 ;1) im i xng M ca M qua d2 l M(-3 ;-2 ;-1) b Tỡm A d1 ; B d cho AB ngn nht Gi A(t;t;2t) v B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngn nht nú l on vuụng gúc chung ca hai ng thng d1 v d2 uuur ur AB.v1 = ta ca A ; ; v B ; 17 ; 18 uuur uur ữ ữ 35 35 35 35 35 35 AB.v2 = 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, Cho ba im A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Vit phng trỡnh mtuuu phng (ABC) vuuu tỡm r r im M thuc mt r phng 2x + 2y + z = cho MA = MB = MC Ta cú AB = (2; 3; 1), AC = (2; 1; 1) n = (2; 4; 8) l vtpt ca (ABC) Suy pt (ABC) l (x 0) + 2(y 1) 4(z 2) = hay x + 2y 4z + = M(x; y; z) MA = MB = MC M thuc mp: 2x + 2y + z = nờn ta cú h, gii h c x = 2, y = 3, z = -7 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng: (d1 ) : x y z x +1 y z = = = = v (d ) : 1 2 1 Tỡm ta cỏc im M thuc (d1 ) v N thuc (d ) cho ng thng MN song song vi mt phng ( P ) : x y + z + 2010 = di on MN bng uuuur + M , N ( d1 ), (d ) nờn ta gi s M (t1 ; t1 ; 2t1 ), N ( 2t2 ; t2 ;1 + t2 ) NM = (t1 + 2t2 + 1; t1 t2 ; 2t1 t2 1) uur uuuur + MN song song mp(P) nờn: nP NM = 1.(t1 + 2t2 + 1) 1.(t1 t2 ) + 1(2t1 t2 1) = uuuur t2 = t1 NM = (t1 + 1; 2t1 ;3t1 1) t1 = + Ta cú: MN = (t1 + 1) + (2t1 ) + (3t1 1) = 7t 4t1 = t1 = 4 + Suy ra: M (0; 0; 0), N (1; 0;1) hoc M ( ; ; ), N ( ; ; ) 7 7 7 + Kim tra li thy c hai trng hp trờn khụng cú trng hp no M ( P ) KL: Vy cú hai cp M, N nh trờn tho 2 Trang - - Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Mt s cõu HHKG thi i hc x y z x5 y z +5 = = , d2 : = = Tỡm im M thuc d1, N thuc d2 cho MN song song vi (P) v ng thng MN cỏch (P) mt khong bng 2) Cho mt phng ( P ) : x y + z = v cỏc ng thng d1 : Gi M ( + 2t ;3 3t; 2t ) , N ( + 6t '; 4t '; 5t ' ) d ( M ; ( P ) ) = 2t = t = 0; t = uuuur Trng hp 1: t = M ( 1;3;0 ) , MN = ( 6t '+ 4; 4t ' 3; 5t ' ) uuuur uur uuuur uur MN nP MN nP = t ' = N ( 5;0; ) Trng hp 2: t = M ( 3;0; ) , N ( 1; 4;0 ) 2) Trong khụng gian to Oxyz, cho mt phng (P): 2x y 5z + = v hai ng thng x +1 y z x2 y+2 z = = = = d1: , d2: 1 Vit phng trỡnh ng thng d vuụng gúc vi (P) ng thi ct hai ng thng d1 v d2 x = + 2t x = + m Phng trỡnh tham s ca d1 v d2 l: d1 : y = + 3t ; d : y = + 5m z = + t z = m Giuuuu srd ct d1 ti M(-1 + 2t ; + 3t ; + t) v ct d2 ti N(2 + m ; - + 5m ; - 2m) MN (3 + m - 2t ; - + 5m - 3t ; - - 2m - t) + m 2t = 2k uuuur uur uur Do d (P) cú VTPT nP (2; 1; 5) nờn k : MN = k n p + 5m 3t = k cú nghim 2m t = 5k m = Gii h tỡm c t = x = + 2t Khi ú im M(1; 4; 3) Phng trỡnh d: y = t tho bi toỏn z = 5t 2) Trong khụng gian vi h ta ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho mp(P) : x 2y + z = v hai ng thng : x = + 2t x +1 y z + = = (d) v (d) y = + t 1 z = + t Vit phng trỡnh tham s ca ng thng ( ) nm mt phng (P) v ct c hai ng thng (d) v (d) CMR (d) v (d) chộo v tớnh khong cỏch gia chỳng Mt phng (P) ct (d) ti im A(10 ; 14 ; 20) v ct (d) ti im B(9 ; ; 5) ng thng cn tỡm i qua A, B nờn cú phng trỡnh : x = t y = 8t z = 15t v + ng thng (d) i qua M(-1;3 ;-2) v cú VTCP u ( 1;1; ) uur + ng thng (d) i qua M(1 ;2 ;1) v cú VTCP u ' ( 2;1;1) Ta cú : uuuuur MM ' = ( 2; 1;3 ) Trang - - Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc uuuuur r uur MM ' u, u ' = ( 2; 1;3) Mt s cõu HHKG thi i hc ( 1 ; 12 ; 1 ) = Do ú (d) v (d) chộo (pcm) uuuuur r uur MM ' u, u ' = Khi ú : d ( ( d ) , ( d ' ) ) = r uur 11 u, u ' 2) Cho hai ng thng cú phng trỡnh: x = + t d : y = 2t z = t x2 z +3 d1 : = y +1 = Vit phng trỡnh ng thng ct d v d2 ng thi i qua im M(3;10;1) Gi ng thng cn tỡm l d v ng thng d ct hai ng thng d1uuu vr d2 ln uuurlt ti im A(2+3a;-1+a;-3+2a) v B(3+b;7-2b;1-b) Do ng thng d i qua M(3;10;1)=> MA = k MB uuur uuur MA = ( 3a 1; a 11; + 2a ) , MB = ( b; 2b 3; b ) 3a = kb 3a kb = a = a 11 = 2kb 3k a + 3k + 2kb = 11 k = + 2a = kb 2a + kb = b = uuur => MA = ( 2; 10; ) x = + 2t Phng trỡnh ng thng AB l: y = 10 10t z = 2t 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc ng thng: x = ( d1 ) : y = + 2t z = + t v x = 3u ( d ) : y = + 2u z = a Chng minh rng (d1) v (d2) chộo b Vit phng trỡnh mt cu (S) cú ng kớnh l on vuụng gúc chung ca (d1) v (d2) uur uur uur uuuuuur Đờng thẳng (d1) qua M1( 1; -4; 3) có VTCP u1 = ( 0; 2;1) Suy u1 , u M1M = 49 Vậy uur Đờng thẳng (d2) qua M2( 0; 3;-2) có VTCP u = ( 3; 2;0 ) (d1) (d2) chéo uur uur uuuuuur Do : M1M = ( 1;7; ) u1 , u = ( 2; 3;6 ) Lấy A( 1; -4 + 2t; + t) thuộc (d1) B(-3u; + 2u; -2) thuộc (d2) Ta có : uuur AB = ( 3u 1;7 + 2u 2t; t ) A,B giao điểm đờng vuông góc chung (d1) (d2) với hai đờng uuur uur AB.u1 = 14 + 4u 4t t = u = uuur uur 9u + + 14 + 4u 4u = t = AB.u = uuur Suy : A( 1; -2; 4) B(3; 1; -2) AB = ( 2;3; ) AB = Trung điểm I AB có tọa độ : ( 2; - ; 1) Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I bán kính AB/2 có PT : 49 ( x ) + y + ữ + ( z 1) = 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz Cho mt cu (S) : ( x 1) + y + ( z + 2) = Trang - - Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Mt s cõu HHKG thi i hc Lp phng trỡnh mt phng (P) vuụng gúc vi ng thng a : ng trũn cú bỏn kớnh bng x y z = = v ct mt cu (S) theo 2 (S) cú tõm J (1,0 ,2) bỏn kớnh R = KL : Cú mt phng : (P1) : + t a cú vtcp u (1, , ) , (P) vuụng gúc vi t a nờn (P) nhn u lm vtpt x + y z + = v (P2) : x + y z = Pt mp (P) cú dng : x + y z + D = + (P) ct (S) theo ng trũn cú bk r = nờn d( J , (P) ) = nờn ta cú : + 2.0 2.(2) + D = R2 r2 = D = + D = 2) Trong khụng gian vi hờ toa ụ Oxyz, cho ba mt phng: (P): 2x y + z + = 0, (Q): x y + 2z + = 0, (R): x + 2y 3z + = x2 y +1 z v ng thng : = = Gi l giao tuyn ca (P) v (Q) Vit phng trỡnh ng thng (d) vuụng gúc vi (R) v ct c hai ng thng , x = 2t * cú phng trỡnh tham s y = + t z = 3t x = + s * cú phng trỡnh tham s y = + 3s z = s *Gi s d = A ;d = B A (2 2t ; + t ;3t ) B(2+s;5+3s;s) uuuur ur * A B = (s + 2t ;3s t + 6;s 3t ) , mf(R) cú vtpt n = (1; 2; 3) uuuur ur * d (R ) A B & n cựng phng s + 2t 3s t + s 3t = = 23 t = 24 ur 1 23 *d i qua A ( ; ; ) v cú vtcp n = (1; 2; 3) 12 12 23 1 z x y => d cú phng trỡnh 12 = 12 = 2) Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho ( P ) : x + y z + = v ng thng x+3 (d ) : = y + = z , im A( -2; 3; 4) Gi l ng thng nm trờn (P) i qua giao im ca ( d) v (P) ng thi vuụng gúc vi d Tỡm trờn im M cho khong cỏch AM ngn nht x = 2t Chuyn phng trỡnh d v dng tham s ta c: y = t z = t + Gi I l giao im ca (d) v (P) I ( 2t 3; t 1; t + 3) Do I ( P ) 2t + 2(t 1) (t 3) + = t = I ( 1;0;4 ) * (d) cú vect ch phng l a (2;1;1) , mp( P) cú vect phỏp tuyn l n(1;2;1) Trang - - Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Mt s cõu HHKG thi i hc [ ] a, n = ( 3;3;3) Gi u l vect ch phng ca u( 1;1;1) x = u : y = u Vỡ M M ( u; u;4 + u ) , AM(1 u; u 3; u ) z = + u AM ngn nht AM AM u AM.u = 1(1 u) + 1(u 3) + 1.u = 16 ; ; u = Vy M 3 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;2; -1), B(7; -2; 3) v ng thng d cú phng trỡnh x = + 3t y = 2t (t R) z = + 2t Tỡm trờn d nhng im M cho tng khong cỏch t M n A v B l nh nht M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d , AB//d Gi A i xng vi A qua d => MA= MA => MA+ MB = MA + MB AB (MA+ MB)min = AB, A, M, B thng hng => MA = MA = MB MA=MB M(2 ; ; 4) x +1 y z = = 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d1: ; 1 x y z +1 = = d2: v mt phng (P): x - y - 2z + = Vit phng trỡnh chớnh tc ca ng 1 thng , bit nm trờn mt phng (P) v ct hai ng thng d1 , d2 Gi A = d1(P) suy A(1; ; 2) ; B = d2 (P) suy B(2; 3; 1) ng thng tha bi toỏn i qua A vr B Mt vect ch phng ca ng thng l u = (1; 3; 1) x y z = = Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng l: 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình (d) x = + 2t Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn y = t z = + 3t Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) H hình chiếu A d nên AH d AH u = (u = (2;1;3) véc tơ phơng d) H (3;1;4) AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = 2) Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho im A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) v mt phng (Q): x + 2y + 3z + = Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B v vuụng gúc vi (Q) uuur uur uuur uur Ta cú AB(1;1;1), nQ (1; 2;3), AB; nQ = (1; 2;1) uuur uur r uuur uur Vỡ AB; nQ nờn mt phng (P) nhn AB; nQ lm vộc t phỏp tuyn Vy (P) cú phng trỡnh x - 2y + z - = 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz cho mt cu ( S ) : x + y + z x + y z = r Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi giỏ ca vộc t v(1;6; 2) , vuụng gúc vi mt phng ( ) : x + y + z 11 = v tip xỳc vi (S) Trang - - Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Mt s cõu HHKG thi i hc 2) Trong khụng gian vi h ta 0xyz cho ng thng d x y z +1 = = v hai im A(1;- 1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tỡm im I trờn ng thng d ur cho IA +IB tugiỏ ur tr nh nht ur uur Vộc t ch phng ca hai ng thng ln lt l: u1 (4; - 6; - 8) u2 ( - 6; 9; 12) u1 v u2 cựng phng M( 2; 0; - 1) d1; M( 2; 0; - 1) d2 r Vy d1 // d2 Vộc t phỏp tuyn ca mp (P) l n = ( 5; - 22; 19) => (P): 5x 22y + 19z + = uuur AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1 Gi A1 l im i xng ca A qua d1 Ta cú: IA + IB = IA1 + IB A1B IA + IB t giỏ tr nh nht bng A1B A Khi A1, I, B thng hng I l giao im ca A1B v d B Do AB // d1 nờn I l trung im ca A1B 36 33 15 H *) Gi H l hỡnh chiu ca A lờn d1 Tỡm c H ; ; ữ d 29 29 29 I 43 95 28 A i xng vi A qua H nờn A ; ; ữ 29 29 29 A1 65 21 43 ; I l trung im ca AB suy I ; ữ 29 58 29 Trang - - ... Nguyn Vit Bc Mt s cõu HHKG thi i hc Mặt phẳng ( ) qua điểm M (0;2;0) có vectơ pháp tuyến u '(2;1;1) nên có phơng trình: x + ( y 2) z = hay x +y z =0 x = 2t x y z 2) Trong khụng gian oxyz... : 49 ( x ) + y + ữ + ( z 1) = 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz Cho mt cu (S) : ( x 1) + y + ( z + 2) = Trang - - Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Mt s cõu HHKG thi i hc Lp phng trỡnh mt phng (P)... ng thng l: 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình (d) x = + 2t Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P)