Mặt kẻ khả triển trong e3

Lời mở đầu Trong hình học vi phân, đề cập đến mặt E mặt kẻ mà đặc biệt mặt kẻ khả triển (mặt nón, mặt trụ, mặt tiếp tuyến) đợc đề cập đến nhiều Mục đích luận văn nghiên cứu vấn đề cách có hệ thống để tìm hiểu sâu định nghĩa nh tính chất mặt kẻ khả triển sâu vào dạng riêng mặt kẻ khả triển (mặt nón, mặt trụ, mặt tiếp tuyến) Luận văn bổ sung phép chứng minh cần thiết cho số nhận định mà số tài liệu khác cha trình bày đa số chứng minh khác cho số mệnh đề Luận văn phân làm mục: Mục 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị Mục 2: Nghiên cức tính chất chung mặt kẻ Mục 3: Nghiên cứu tính chất chung mặt kẻ khả triển -Mệnh đề 3.3 khẳng định: Mặt kẻ E3 mặt khả triển có độ cong Gauss -Mệnh đề 3.7 khẳng định: Mặt song song với mặt khả triển mặt khả triển -Mệnh đề 3.9 khẳng định: Mặt kẻ tạo pháp tuyến mặt dọc cung quy mặt kẻ khả triển cung đờng khúc Mục 4: Nghiên cứu tính chất mặt trụ (là loại mặt kẻ khả triển) Phần tác giả tìm đợc số tính chất: -Mặt song song với mặt trụ mặt trụ -Mặt kẻ tạo pháp tuyến mặt phẳng dọc theo đờng mặt trụ ngơc lại nh mặt S đờng đờng khúc mặt kẻ tạo pháp tuyến dọc theo đờng mặt trụ S mặt phẳng Mục 5: Nghiên cứu tính chất mặt nón (là loại mặt kẻ khả triển) Cũng nh phần tác giả tìm đợc: -Mặt song song với mặt nón mặt nón -Mặt kẻ tạo pháp tuyến mặt cầu dọc theo đờng mặt nón ngơc lại nh mặt S đờng đờng khúc mặt kẻ tạo pháp tuyến dọc theo đờng mặt nón S mặt cầu Mục 6: Nghiên cứu tính chất mặt tiếp tuyến (là mặt khả triển) Tác giả tìm đợc mặt song song với mặt tiếp tuyến mặt tiếp tuyến với điều kiện cho trớc Ngoài nghiên cứu số tính chất riêng mặt tiếp tuyến Mục 7: Trình bày vấn đề quan trọng mặt khả triển mặt khả triển trải địa phơng lên mặt phẳng Thông qua tính chất thông qua tính bất biến cung trắc địa qua vi phôi đẳng cự để xây dựng cung trắc địa mặt trụ, mặt nón, mặt tiếp tuyến Luận văn đợc hoàn thành Trờng Đại học Vinh vào tháng năm 2003 dới hớng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời tận tình giúp đỡ tác giả trình hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo môn hình học nói riêng thầy cô giáo giảng dạy khoa toán nói chung bảo giúp đỡ tác giả trình tác giả học tập trờng Xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè Vinh, tháng năm 2003 Đ1 Các kiến thức liên quan 1.1: Các định nghĩa 1.1.1: ánh xạ r từ tập mở U R2 vào không gian E3 r : U E3 (u,v) r (u,v) Gọi mảnh tham số E3 1.1.2: Với điểm (u0,v0) U + Xác định cung tham số u r (u,v0) E3 (Trong u thay đổi khoảng J R, u0 J) đợc gọi đờng toạ độ v = v0 + Tơng tự xác định cung tham số v r(u0,v) E3 (Trong v thay đổi khoảng J R, v0 J) đợc gọi đờng toạ độ u = u0 1.1.3 Điểm quy- điểm kỳ dị: Điểm (u0,v0) đợc gọi điểm quy mảnh tham số r r dìm (u0,v0) tức hai vectơ ru(u0,v0) , rv (u0,v0) (hai vectơ thuộc không gian tiếp xúc với E3 r(u0 , v0 ) ) độc lập tuyến tính Điểm không quy gọi điểm kì dị Mảnh tham số r gọi quy điểm điểm quy 1.1.4- Mặt phẳng tiếp xúc, pháp tuyến Từ điểm quy r(u0,v0) mảnh tham số r, gọi 2-phẳng E qua r(u0,v0) với không gian véctơ phơng < ru (u o , v o ) , rv (u o , vo ) > gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện r (u ,v0) (cũng có nói r(uo , vo) Đờng thẳng qua r(u0,v0) thẳng góc với tiếp diện (u , v0) gọi pháp tuyến r (u0 , v0) 1.1.5- Mảnh Trong E3 cho mảnh r : U E3 ~ r : U E3 Đợc gọi tơng đơng có vi phôi : U Sao cho ~ U r = r0 Ký hiệu : r r Rõ ràng lập thành quan hệ tơng đơng Mỗi lớp tơng đơng gọi mảnh E3 r gọi tham số hoá mảnh gọi phép đổi tham số Nếu phép đổi tham số vi phôi bảo tồn hớng ta nói đến mảnh định hớng Mảnh quy định hớng véctơ đơn vị ru, rv, ru, rv, Tại điểm (u,v) hoàn toàn xác định (không phụ thuộc vào tham số hoá chọn) phơng phơng pháp tuyến mảnh điểm 1.2-Định nghĩa mặt (đa tạp hai chiều) E3 1.2.1 Mảnh hình học Tập S E3 đợc gọi mảnh hình học E3 ảnh dìm, đồng phôi lên ảnh r : U E3 (trong U khoảng R2) r gọi tham số hoá mảnh hình học S 1.2.2 Đa tạp hai chiều E3 S tập E3 Tập không rỗng S E3 đợc gọi đa tạp hai chiều (hay đơn giản-một mặt) E3 với P S có lân cận mở củaP S mảnh hình học Mỗi tham số hoá mảnh hình học đợc gọi tham số hoá địa phơng S 1.2.3 ánh xạ khả vi mặt Giả sử S1, S2 đa tạp hai chiều E3 f : S S2 Một ánh xạ Đợc gọi khả vi thoả mãn điều kiện sau : - f - liên tục - Với tham số hoá địa phơng r1 : U1 S1 r2 : U2 S2 f ( r1 (U1 ) ) r2 (U ) ánh xạ r21ofor1 : U1 U2 khả vi 1.2.4 ánh xạ tiếp xúc S1 , S2 đa tạp hai chiều E3 f : S1 S2 ánh xạ khả vi với P S1 Ta xác định ánh xạ -ký hiệu TPf : TPS1 Tf (p)S2 đợc xác định nh sau: Một p TPS1 , p= (p, ) Giả sử : J S1 mà (to) = p '(t ) = Thì Tpf ( p) = (fo )(to) 1.3- ánh xạ Weingarten dạng 1.3.1 Định nghĩa ánh xạ Weingarten S mặt E3 có hớng xác định trờng véc tơ pháp tuyến đơn vị n S TpS n2 =1 nên D n.n = D n TpS Do ta xây dựng đợc ánh xạ hp: TpS TpS : hp () = - D n Gọi ánh xạ Weingarten P S Cụ thể ta lấy : J S (to) = Thì hp() véctơ buộc p Và h p ( ) = (no )' (to) Rõ ràng hp t đồng cấu (tuyến tính TpS ) Mỗi giá trị riêng hp gọi độ cong p S Mỗi véctơ riêng hp gọi phơng S p Định thức từ đồng cấu hp gọi độ cong Gauss p S Vet (h p ) gọi độ cong trung bình p S 1.3.2 Các dạng I II Với p S Đặt Ip : TpS x TpS R (, ) . IIp : TpS x TpS R (, ) hp(). Là dạng song tuyến tính đối xứng T pS chúng theo thứ tự gọi dạng thứ , thứ hai S p Ngời ta ký hiệu : Ip(, ) =Ip() IIp(, ) =IIp() Trong tham số hoá địa phơng (u,v) r (u,v) S Xét hàm số sau II E = ru r 'u F = r 'u r ' v G = r ' v r ' v L = n0 r.r ' 'uu = (n0 r )'u r 'u M = n0 r.r ' 'uv = (n0 r )'u r ' v = (n0 r )' v r 'u N = n0 r.r ' ' vv = (n0 r )'v r ' v Chú ý tham số hoá r tơng thích với hớng S : E,F,G gọi hệ số biểu thức toạ độ dạng I L,M,N gọi hệ số biểu thức toạ độ dạng II 1.3.3 Những đờng đáng ý mặt *Độ cong pháp dạng Giả sử véctơ khác TpS Đặt II ( ) ~ K ( ) = I ( ) số không đổi nhân với số khác 0, gọi độ cong pháp dạng S theo phơng xác định bới *Đờng mặt S mà phơng tiếp xúc điểm phơng S điểm gọi đờng khúc S Cụ thể : J S t (t) xác định đờng khúc S D ( n0 ) dt song song với - Cung tham số : JS, cung trắc địa S Tức D ' dt t (t ) mặt S E3 gọi no song song dọc D ' ( n0 ) = dt Đ2 Mặt kẻ 2.1 Định nghĩa : Trong E3 cho cung quy : J E3 Trong J khoảng IR Hàm véctơ thoả mãn A : J E3 A(u ) với u J Umở IR2 cho (u,v) U u J I = { v IR (u,v) U } khoảng IR Xác định mảnh E3 tham số r : U E3 (u,v) r (u,v) = (u) + v A(u ) đợc gọi mặt kẻ + Cung gọi đờng chuẩn +Các đờng toạ độ u = u0 đợc gọi đờng thẳng sinh 2.2 Ví dụ : Mảnh E3 xác định r : U E3 r (u,v) = (u) + v A(u ) Trong : : J E3 (J khoảng IR) u (1, sinu, cosu) A : J E3 u (u, cosu, sinu) Là mặt kẻ quy ( (u ) o u J ) u J A(u ) Nhng : (0, ) E3 u (1, sinu,cos2u) Thì (/ 2) = ( 0, cos (/2), - 2sin (2 / 2) = Do mặt r : U E3 (u,v) (u) +v A(u ) Với đợc xác định nh mặt kẻ 2.3 Mệnh đề : Giả sử r : U E3 (u,v) (u) +v A(u ) Xác định tham số hoá mặt kẻ Lúc (u0, v0) điểm kì dị mặt kẻ hai hàm Véctơ ' (u o ) + v o A' (u ) A(u o ) phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Trong E3 lấy điểm cố định Viết r (u, v) = 0r (u, v) (u ) = (u ) r (u, v) = (u ) + v A(u ) Nh : + r ' u (u, v ) = ' (u ) + v A' (u ) + ru ' (u , v) = A(u ) Nh điểm (u0 ,vo) điểm kỳ dị mặt kẻ cho { } r 'u (u 0, v0 ), r ' v (u , v0 ) phụ thuộc vào tuyến tính ' (u o ) + vo A' (u ), A(u ) phụ thuộc tuyến tính 2.4 Mệnh đề Cho r : U E3 (u,v) (u) +v A(u ) Xác định tham số hoá mặt kẻ, r điểm kỳ dị tiếp diện điểm đờng thẳng sinh u = uo trùng véctơ ' (uo ), A(uo ), A' (u0 ) phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Dọc theo đờng toạ độ u = u0 pháp tuyến mặt tiếp diện (uo,v) n(u o , v) = r 'u (u , v) r ' v (u , v) ( ) = ' (u ) + v A' (u ) A(u o ) = ' (u ) A(u ) + v A' (u ) A(u ) Đặt = ' (u ) A(u ) = A' (u ) A(u ) Nh vậy: , véctơ không đổi n(u , v) = + v +Nếu , không công tuyến n(u o v) thay đổi phụ thuộc vào v Nh tiếp diện mặt 1đờng toạ độ không trùng +Nều , cộng tuyến hiển nhiên n(u o v) có phơng trùng với phơng Do tiếp điểm mảnh không thay đổi đờng thẳng toạ độ Vậy Điều kiện để tiếp diện mảnh cho đờng thẳng sinh trùng , công tuyến Ta có , công tuyến = ( ' (u ) A(u )) ( A' (u o ) A(u )) (1) áp dụng công thức : (ab)c = (a.c)b (c.b).a (1) [ ' (u ) ( A' (u ) A(u ) )] A(u ) [( A' (u ) A(u ) ) A(u ) ]. ' (u ) = [ ' (u ) ( A' (u ) A(u ) )] A(u ) = (2) o o o o o o [ o 0 o (uo) J Ta có A(u o ) Do : o ( )] () ' (u o ) A' (u o ) A(u o ) = ' (uo ), A(uo ), A' (u0 ) phụ thuộc tuyến tính Bổ đề 1: Cho hàm véctơ khả vi : A : J E3 (J IR ) A(t ) Chứng minh : t J A(t ) có phơng không phụ thuộc vào t 10 o Coi (u) đờng chuẩn mà r (u,v) = (u) + (v - (u)) ràng A(u ) A(u ) Rõ cộng tuyến với ' (u ) Nh đờng sinh tiếp tuyến đờng chuẩn Vậy ánh mảnh mặt tiếp tuyến với đờng cong -ánh xạ đẳng cự mặt trụ Mặt nón mặt tiếp tuyến với mặt phẳng 7.1-Định nghĩa ánh xạ đẳng c S1, S2 đa tạp hai chiều E3 f: S1 S2 ánh xạ khả vi f đợc gọi ánh xạ đẳng cự p S1 : Tpf :Tp S1 TpS1 bảo tồn tích vô hớng Tức , TpS1 Ta có : Tpf () Tpf () = gọi vi phôi đẳng cự, vi phôi ánh xạ đẳng c 7.2.Mệnh đề (Cách nhận biết ánh xạ ánh xạ đẳng cự) ánh xạ (khả vi) f : S1 S2 đa tạp hai chiều E ánh xạ đẳng cự ánh xạ f bảo tốn dạng thứ Chứng minh: p S1 giả sử r tham số hoá địa phơng S1 r U S1 r (U) p mà for : U S2 tham số hoá địa phơng S2 Lúc việc chứng bảo tồn dạng thứ Chứng minh hệ số biểu thức toạ độ dạng I S tham số hoá r S2 Trong tham số hoá for trùng Điều kiện cần: f ánh xạ đẳng cự f bảo tồn dạng thứ Ta có hệ số biểu thức toạ độ dạng I S1 tham số hoá r 35 E = ru ru F= ru rv G = rv rv Các hệ số biểu thức toạ độ dạng II S2 tham số hoá for ~ E = ( for)u ( for)u ~ F = ( for)u ( for)v ~ G = ( for)v ( for)v Do f ánh xạ đẳng c f bảo tồn tích vô hớng ( for)u ( for)u = ru ru ( for)u ( for)v = ru rv ( for)v ( for)v = rv rv Nh : E = E~ ; F= F~ ; G = G~ Tức f bảo tốn dạng thứ Điều kiện đủ: f bảo tồn dạng thứ f ánh xạ đẳng cự với , TpS1 = 1ru + rv = 1ru + 2rv Tpf() = Tpf (1ru + rv ) = Tpf (ru) + Tpf (ru) = Tpf (ru) + Tpf (rv) Tpf() Vậy = (1ru + rv ) (1ru + 2rv ) = 1 ru ru +1 ru rv + ru rv + 2 rv rv Tơng tự: Tpf().Tpf() = 1(f0r)u (f0r)u +1 2(f0r)u (f0r)v +2 1(f0r)v (f0r)u + 2(f0r)v (f0r)v Do f bảo tồn dạng thứ nên (f0r)u (f0r)u = ru ru 36 ( for)u ( for)v = ru rv ( for)v ( for)v = rv rv Tpf().Tpf() = TpS1 Có nghĩa f ánh xạ đẳng cự 7.3 Mệnh đề Giả sử mặt trụ, mặt nón, hay mặt tiếp tuyến E với p S có lân cận Vcủa S cho V P có vi phối đẳng cự f : V f (V) f (V) tập mở V mặt phẳng E3 Chứng minh: 1-Đối với mặt trụ Trớc hết ta chứng minh Bổ đề : mặt trụ E3 Khi tồn tham số hoá địa phơng có dạng : Trong : ~ ( u~ , v~ ) r ( u~ , v~ ) = ( u~ ) + v~ K ~ ' =1 ~ ' K = Chứng minh: r (u,v) = (u) + v K Giả sử mặt trụ S có tham số hoá : Hoàn toàn giả thiết K =1 ~ ~ Xác định cung : (u) = (u) ( (u ) ) K định E3 ) ~(u ) = (u ) - ( (u ) K ) K ~' (u ) = ' (u ) -( ' (u ) K ) K ~' (u ) K = ' (u ) K - ' (u ) K = Khi : r (u,v) = (u) + v K = ~ (u) + ( (u ) K ) K + v K = ~ (u) + ( (u ) K ) + v) K Chọn u~ tham số hoá tự nhiên ~ có nghĩa ~' (u~) =1 Đặt v~ = (u ) K + v 37 (0 điểm cố Nh lúc với phép đổi tham số (u,v) ( u~ , v~ ) Cho ta mặt S đợc xác định tham số hoá : r( u~ , v~ ) = ~ ( u~ ) + v~ K ~ ' (u~ ) =1 ~ K = Trong Trở lại toán : Xét ánh xạ: f : S E2 r( u~ , v~ ) f (r( u~ , v~ )) = ( u~ , v~ ) Hay nói cách khác f = r Ta chứng minh f ảnh xạ đẳng cự Thật : Các hệ số biểu thức toạ độ dạng S tham số hoá r : E = r ' u~ r 'u~ = ~' (u ) ~' (u ) =1 F = r ' u~ r ' v~ ~ ' (u ) K = = G = r ' v~ r ' v~ = K K = Các hệ số biểu thức dạng f (S) tham số hoá f0r E = ( f r )'u~ ( f r )'u~ =(1,0).(1,0) =1 F = ( f r )'u~ ( f r )' v~ =(1,0).(1,0) =0 G = ( f r )'u~ ( f r )' v~ = (1,0).(1,0) =1 Nh f ánh xạ đẳng cự r dim đồng phôi lên ảnh 38 p S có lân cận V p S có vi phôi đẳng cự f :V f (V) f(V) tập hợp mở E2 -Mặt nón Trớc hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề : Giả sử S mặt nón E S có tham số hoá tự nhiên có dạng ~ ~ ( u~ , v~ ) r( u~ , v~ ) = + v~ ~ (u~) o (u ) =1 Và ~ ' (u~ ) =1 Thật giả sử mặt nón có tham số hoá : r (u,v) = (u)+v (u ) Vậy ta viết r (u,v) = + (u ) +v (u ) = +(v+1) (u ) = + (v+1) (u ) (u ) (u ) Đặt v~ =(v+1) (u ) ~ (u ) = (u ) (u ) ~ r (u,v) = + v~ ~(u ) (u ) =1 Giả sử u~ tham số hoá địa phơng ~ (u ) tức ~ ' (u~ ) =1 Vậy với phép đổi tham số (u,v) ( u~ , v~ ) ~ ~ Ta cho : r (u , v ) = + v~ ~(u~) = Trong o~ (u~ ) ~ ' (u~ ) =1 =1 39 Trở lại toán : Xét f : S E2 r (u~, v~ ) ( v~ Cos u~ , Sin u~ ) Ta chứng minh f ánh xạ đẳng cự Thật Các hệ số biểu thức toạ độ dạng I S tham số hoá r là: E = r 'u~ r 'u~ ~ ' (u~ ) v~ ~ ' (u~ ) = v~ = v~ F = r 'u~ r 'v~ ~ ' (u~ ) ~ (u~ ) = v~ ~ ~ ' (u~) ~ (u~ ) = (do (u~) =1 G =0) = r 'v~ r '~v ~ (u~ ) ~ (u~ ) = = f ánh xạ dẳng cự Lý luận nh phần mặt trụ cho ta điều phải chứng minh -Mặt tiếp tuyến Ta giả sử mặt tiếp tuyến S E3 Ta có phơng trình tham số : r (u,v) = (u) + v ' (u ) ' (u ) =1 Và hàm độ cong u k(u) u (u) khác không điểm Giả sử cung E2 cho '1 = hàm độ cong u k(u) Xét ánh xạ f : SE2 r(u,v ) (u) + v '1 (u ) Các hệ số r dạng I S với tham số hoá r 40 E = ru' ru' = ( ' (u ) + v ' ' (u ) )2 = ' (u ) ' (u ) + v2 ' ' (u ) = 1+ v2 ' ' (u ) (do '1 = 1) ' (u ) " (u ) Ta lại có K (u) = ' (u ) = ' (u ) " (u ) = ( ' (u ) ' ' (u ) ).( ' (u ) ' ' (u ) ) K2(u) ' (u ) ' (u ) ' (u ) ' ' (u ) ' (u ) ' ' (u ) ' ' (u ) ' ' (u ) = = ' ' (u ) = E = F = ' ' (u ) + v2k2(u) ru' ru' = ( ' (u ) + v ' ' (u ) ) ' (u ) = ' (u ) = G = rv' rv' = ' (u ) = 41 Các hệ f(S) dạng với tham số hoá f0r ~ E = ' ' ( f r)u ( f r )u ( 1' (u ) + v 1'' (u ) )2 = 1+v2k2(u) (tơng tự nh = ' Có cung độ cong =1) ~ F ' ' = ( f r) ( f0r) u v = ( 1' (u ) + v 1'' (u ) ) 1' (u ) = 1' (u ) = ~ G ' ' = ( f r) ( f0r) u v 1' ( u ) = = Vậy f ánh xạ đẳn cự Cũng lý luận nh phần mặt trụ cho ta điều phải chứng minh Đến ta có kết luận : Mặt kẻ khả triển trải lên mặt phẳng 7.4.Định nghĩa Độ cong trắc địa Giả sử đờng cong định hớng mặt S E3 S có trờng pháp Véctơ n t (t) tham số hoá Khi Kg (t) = ( ' (t ) " (t ))n( (t )) ' (t ) Gọi độ cong trắc địa 42 7.5 Mệnh đề đờng cong trắc địa độ cong trắc địa bị triệt tiêu Chứng minh : đờng cong trắc địa no Song song ( ' (t ) ' ' (t ) ) n( (t )) = Ngợc lại ( ' (t ) ' ' (t ) ) n( (t )) = mà n0 ' vuông góc với '' n0 song song đờng cong trắc địa 7.6 Mệnh đề Qua vi phôi đẳng cự độ cong trắc địa đợc bảo toàn Chứng minh: f : S1 S2 (S1, S2 đa tạp hai chiều) tham số hoá đờng cong S1 ~ = f0 tham số hoá đờng cong ~ S2 ứng với qua f ~ Ta cần chứng minh độ cong trắc địa độ cong trắc địa Thật vậy: Trớc hết giả sử n tờng Véctơ pháp tuyến đơn vị S1 ta chứng minh: T f(n ) trờng véctơ pháp tuyến đơn vị S2 Hiển nhiên Tf(n) Tf(n ) = n.n =1 p S1 giả sử r tham số hoá địa phơng S1 p f0r tham số hoá địa phơng S2 Trờng pháp tuyến S2 phơng với (f0r)u (f0r)v = Tpf (ru) Tpf (rv)= Tpf(ru ru) mà n = ru' rv' ru' rv' T f(n) trờng véc tơ pháp tuyến đơn vị S2 43 giả sử : ' (t ) = f1(t) r' u + f2(t) r'v ~ (t ) lại có : = ( f )'(t ) = Tpf ( ' (t ) ) = Tpf (f1(t) r' u + f2(t) r'v ) = f1(t) Tpf ( r'u ) + f2(t) Tpf ( r'v ) ~" (t ) = f1(t) Tpf ( r' u ) + f2(t) pf ( r'v ) = Tpf(f1(t) r'u + f2(t) r'v ) = Tpf ( "(t ) ) Tpf ( '(t ) ).Tpf ( '(t ) ) = ' (t ) ' (t ) ' (t ) = TP f ( ' (t )) Vậy độ cong trắc địa cung ~ ~ ' (t ) ~" (t ) ~ ~ ~ n ( (t )) K g (t ) = ~ (t ) Tpf ( '(t ) ) Tpf ( "(t ) ) = Tpf( n( (t )) ) T p f ( ' (t )) = = TP f ( ' (t ) " (t )) ' (t ) TP f (n( (t ))) ( ' (t ) " (t )).n( (t )) ' (t ) = kg(t) Vậy độ cong trắc địa bất biến qua ánh xạ đẳng cự 44 7.7 Mệnh đề Từ mệnh đề 7.5 , mệnh đề 7.6 suy qua ánh xạ đẳng cự cung trắc địa biến thành cung trắc địa Từ ta xây dựng đợc cung trắc địa mặt trụ, mặt nón, mặt tiếp tuyến thông qua cung trắc địa mặt phẳng Trớc hết ta xác định cung trắc địa mặt phẳng Trong mặt phẳng E2 đờng trắc địa E2 xác định tham số hoá Theo tính chất cung trắc địa D ' // n0 dt mặt khác đa tạp mặt phẳng Suy D ' thẳng góc n0 dt D ' =0 dt '(t ) = ( hàng số) (t) = p +t xác định đờng thẳng E2 Ngợc lại đờng thẳng E2 (t) = p+ ' '(t ) = công tuyến với no Cung trắc địa mặt trụ S mặt trụ có tham số hoá địa phơng (u,v) r(u,v) = (u)+ v K Trong : ' =1 ' K = K véctơ đơn vị Xét hệ toạ độ đềcác vuông góc E2 xét ánh xạ r(u,v) f (u,v) Theo nh làm phần mệnh đề 15 cho ta f vi phối đẳng cự lại có phơng trình cung trắc địa mặt phẳng : au+bv = c (giả thiết b 0) v= c au b 45 Vậy PT cung trắc địa mặt trụ : f(u) =r(u,v) = (u) + c au K b Nhận xét : Khi v cố định , u thay đổi cung trắc địa đờng song song với đờng chuẩn v thay đổi, u cố định cung trắc địa đờng sinh *Cung trắc địa mặt nón S mặt nón có tham số hoá (u,v) r(u,v) + v (u ) (u ) =1 ' =1 Xét: r(u,v) f (vCosu, vSinu) E2 vi phối đẳng c Phơng trình đờng thẳng hay cung trắc địa E qua (vCosu , vSinu) là: avCosu + bvSinu = c V= C aCosu + bSinu Phơng trình cung trắc địa mặt nón f (u) = + C (u ) aCosu + bSinu Các cung trắc địa mặt tiếp tuyến lấy tham số hoá địa phơng mặt tiếp tuyến S có dạng ' (u ) =1 r(u,v) = (u)+ v ' (u ) Độ cong u k(u) cung điểm E2 xác định cung cho '1 (u ) =1 hàm độ cong k1 trùng với k xét r(u,v) f 1(u) +v '1 (u ) E2 vi phối đẳng c Còn cung thảng qua điểm ảnh S Giả sử cung thẳng qua I có véctơ pháp e 46 ( I E2) If o r e = hay ( I1 (u ) ) + v '1 (u ) ) e = v= - I1 (u ).e (u ).e Nh cung trắc địa xác định mặt tiếp tuyến : l(u) = r(u,v) = (u) - I1 (u ).e (u ).e ' (u ) / 47 48 49 [...]... nghĩa Mặt kẻ khả triển là mặt kẻ mà các tiếp diện dọc theo một đờng thẳng sinh bất kỳ trùng nhau 3.2 Mệnh đề Mặt kẻ đợc xác định bởi tham số hoá r : U E3 (u,v) (u) + v A(u ) Là mặt khả triển ' (u ) , A(u ) , A' (u ) phụ thuộc tuyến tính với (u) J 3.3 Mệnh đề Chứng minh rằng mặt kẻ trong E3 có độ cong Gauss k triệt tiêu Nó là mặt khả triển Chứng minh: Giả sử mặt kẻ có tham số : r : U E3 (u,v)... Chứng minh một mặt song song với mặt khả triển cũng là mặt khả triển Trớc hết chứng minh bổ đề sau : Bổ đề 3: Cho mặt khả triển S xác định bởi tham số hoá r : U E3 (u,v) r(u,v) = (u) + v A(u ) S*Là mặt song song của mặt kẻ S.thỉ S* sẽ là một mặt kẻ Thật vậy Do S là mặt khả triển nên các tiếp diện tại mọi điểm của đờng sinh bất kỳ u= u0 trùng nhau Do đó pháp véctơ đơn vị tại mọi điểm của mặt trên cùng... v) )+ v A(u ) Xác định * : JE3 u ((u) + a n0 r (u , v) ) Vậy : r*(u,v) = *(u) + v A(u ) xác định một mặt kẻ Chứng minh bài toán : S là mặt kẻ khả triển Theo bổ đề 3 S* là một mặt kẻ Theo bài toán 1 : S có độ cong Gauss K= 0 18 Theo 2 của mệnh đề 3 5 S* là độ cong Gauss K*= 0 Theo bài toán 1 S* là mặt kẻ khả triển 3.8 Mệnh đề Hai mặt phẳng tiếp xúc của hai mặt kẻ khả triển song song tại hai điểm... rằng cung chính quy trên mặt S trong E3 là một đờng chính khúc của S Mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến của mặt dọc cung đó là một mặt khả triển Chứng minh điều kiện cần: Giả sử S là 1 mặt trong E3 có tham số hoá r : U E3 là 1 cung chính quy trên S n là trờng pháp Véctơ đơn vị của S Vậy ta xác định mặt kẻ S~ tạo bởi các pháp tuyến của mặt dọc cung đó có phơng trình tham số là: r* : UE3 (u,v) (u) + v n0 (u... cố định thuộc E3 Lúc này ta đợc r (u,v) = I + (v - (u)) A(u ) Các đờng sinh luôn đi qua I 29 Do đó ảnh là mặt nón đỉnh I 5.6 Mệnh đề Mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến của mặt cầu dọc theo một đờng cong bất kỳ trên nó là mặt nón Hiển nhiên do một đờng cong bất kỳ trên mặt cầu luôn là đờng chính khúc , suy ra mặt kẻ tạo đợc là mặt kẻ khả triển Lại do các đờng sinh của mặt kẻ đó là pháp của mặt cầu nên luôn... Gauss ' (u ) = 0 K= LN M 2 EG F 2 =0 Tức là mặt nón là mặt kẻ khả triển 5.4 Mệnh đề Giả sử S* là mặt kẻ khả triển song song với mặt nón S đính 0 thì ứng với đỉnh 0 trên S là đờng cong 1 trên S* mà 1 thuộc một mặt cầu tâm 0 nào đó Chứng minh: Do S là mặt nón đỉnh 0 nên 0 thuộc tất cả các đờng sinh của mặt nón suy ra 0 thuộc tất cả các tiếp diện của mặt nón S Vậy 0 cho tơng ứng đờng cong 1 : J S*... : J E3 u (tgu , Sinu, u) Rõ ràng ' (u ) 0 u J do đó chính quy lúc này r (u.v) = (u)+ v là phơng trình của mặt trụ trong E3 Nh vậy ảnh của mảnh tham số đã cho là mặt trụ 22 4.3 Mệnh đề Mặt trụ là một mặt kẻ khả triển Điều này có đợc là do hiển nhiên 3 véctơ { ' (u ) , , ( )' = 0 } luôn phụ thuộc tuyến tính 4.4 Mệnh đề Cho mặt kẻ xác định bởi tham số hoá r : u E3 (u,v) (u) + v A(u ) Trong. .. đi qua tâm của mặt cầu, nên mặt kẻ tìm đợc là một mặt nón Ngợc lại nếu S là một mặt mà tất cả các đờng cong trên nó đều là đờng chính khúc và mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến của mặt dọc mỗi đờng bất kỳ trên nó đều là mặt nón thì mặt đã cho là mặt cầu Điều này có đợc là do trớc hết tất cả các mặt nón nhận đợc sẽ nhận một điểm 0 duy nhất làm đỉnh, lúc này dễ dàng chứng minh S là mặt cầu 6 Mặt tiếp tuyến... ta pháp tuyến của mặt phẳng mặt tiếp với cạnh lùi và mặt phẳng tiếp xúc của mặt tiếp tuyến là trùng nhau Chúng cùng đi qua điểm (uo).Do đó mặt phẳng mặt tiếp với cạnh lùi và mặt phẳng tiếp xúc của mặt tiếp tuyến là trùng nhau 6.6 Mệnh đề ở nhận xét 3 của phần mặt kẻ Chứng minh rằng nếu f g không triệt tiêu tại u thì mặt kẻ đã cho là mặt tiếp tuyến Chứng minh: Xét =-g Đặt 1 : J E3 u (u) + (u) A(u... thuẩn (n0 )(u ) 0 u Vậy ta đợc điều cần chứng minh 4 Mặt trụ 4.1 Định nghĩa Mặt kẻ có các đờng sinh có phơng không đổi thì mặt kẻ đó đợc gọi là mặt trụ Phơng trình của mặt trụ trong E3 r : u E3 (u,v) (u) +v ( = Const ) Trong đó S là chính quy 4.2 Ví dụ: Xác định ảnh của mảnh tham số r(u,v) = (x= v+tgu, y=v+Sinu, z = u+v ) Giải : Trong E3 chọn hệ trục toạ độ đề các vuông góc {0, , J , K } Thế ... gian hai chiều cố định v E3 tất đờng thẳng sinh mặt kẻ song song với mặt phẳng cố định Mặt kẻ cho mặt cactăng -Mặt kẻ khả triển 14 3.1- Định nghĩa Mặt kẻ khả triển mặt kẻ mà tiếp diện dọc theo... , suy mặt kẻ tạo đợc mặt kẻ khả triển Lại đờng sinh mặt kẻ pháp mặt cầu nên qua tâm mặt cầu, nên mặt kẻ tìm đợc mặt nón Ngợc lại S mặt mà tất đờng cong đờng khúc mặt kẻ tạo pháp tuyến mặt dọc... minh mặt song song với mặt khả triển mặt khả triển Trớc hết chứng minh bổ đề sau : Bổ đề 3: Cho mặt khả triển S xác định tham số hoá r : U E3 (u,v) r(u,v) = (u) + v A(u ) S*Là mặt song song mặt kẻ