ôn thi học sinh giỏi toán 6 học kì 1

ƠN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TỐN LIÊN QUAN * Dạng 1: Rèn kĩ viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu Bài 1: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9} a/ Viết tập hợp C phần tử thuộc A khơng thuộc B b/ Viết tập hợp D phần tử thuộc B khơng thuộc A c/ Viết tập hợp E phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B d/ Viết tập hợp F phần tử thuộc A thuộc B Bài 2: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b} a/ Hãy rõ tập hợp A có phần tử b/ Hãy rõ tập hợp A có phần tử c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải tập hợp A khơng? Bài 3: Cho tập hợp B = {x, y, z} Hỏi tập hợp B có tất tập hợp con? * Dạng 2: Các tập xác định số phần tử tập hợp Bài 1: Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số Hỏi tập hợp A có phần tử? Bài 2: Hãy tính số phần tử tập hợp sau: a/ Tập hợp A số tự nhiên lẻ có chữ số b/ Tập hợp B số 2, 5, 8, 11, …, 296 c/ Tập hợp C số 7, 11, 15, 19, …, 283 Bài 3: Cha mua cho em số tay dày 256 trang Để tiện theo dõi em đánh số trang từ đến 256 Hỏi em phải viết chữ số để đánh hết sổ tay? BàI TậP Tự LUYệN Bài 1.Hãy xác định tập hợp sau cách liệt kê phần tử tập hợp a, A tập hợp chữ số số 2002 b, B tập hợp chữ cụm từ “ cách mạng tháng tám” c, C tập hợp số tự nhiên có chữ số d, D tập hợp số tự nhiên có hai chữ khác và có chữ số tận Bài Điền kí hiệu thích hợp vào vng {1,2,3,4} N 0,25 N N* N N* Φ N* N* Bài Hãy xác định tập hợp sau cách tính chất đặc trưng phần tử thuộc tập hợp A = {1; 3; 5; ….;49} B ={11;22;33; ; 99} C ={3;6;9;…;99} D ={0;5;10;15; …;100} Bài Hãy viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trưng phần tử thuộc tập hợp A = {1;4;9;16;25;36;49} B = {1;7;13;19;25;31;37} C = { 1;4;9;16; 25; ;81;100} D = { 2;6;12; 20;30;42;56;72;90} Bài 5: Cho A = {x ∈ N x M2; x M3; x < 100} C = {x ∈ N x = ab; a = 3.b } B = {x ∈ N x M6; x < 100} D = {x ∈ N 20Mx } Hãy viết tập hợp A, B cách liệt kê phần tử Bài Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp a Tập hợp A số tự nhiên x mà 8: x = b Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < c Tập hợp C số tự nhiên x mà x–2= x+2 d Tập hợp D số tự nhiên x mà x : = x : e Tập hợp E số tự nhiên x mà x + = x Bài Cho A = {1 ; ;3} Tìm tất tập hợp tập hợp A Bài Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e } a/ Viết tập A có phần tử b/ Viết tập A có hai phần tử c/ Viết tập A có ba phần tử d/ Viết tập A có bốn phần tử Bài Tìm tập hợp tập hợp sau a A = { 9;5;3;1;7} b B tập hợp số tự nhiên x mà x = c C tập hợp số lẻ nhỏ 10 d D tập hợp số tự nhiên x mà x : 3=0 Bài 10 Trong lớp học , học sinh học tiếng Anh tiếng Pháp Có 25 người học tiếng Anh , 27 người học tiếng Pháp, 18 người học hai thứ tiếng Hỏi lớp học có học sinh Bài 11: Kết điều tra lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá bơi;13 học sinh thích bơi bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền; 10 học sinh thích ba mơn ; 12 học sinh khơng thích mơn nào.Tìm xem lớp học có học sinh Bài 12 Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích tốn , 60 học sinh thích văn a Nếu có học sinh khơng thích tốn văn có học sinh thích hai mơn văn tốn b Có nhiều học sinh thích hai mơn văn tốn c Có học sinh thích hai mơn văn tốn Bài 13: Cho tập hợp A = { a, b, c, d , e} a) Viết tập hợp A có phần tử b) Viết tập hợp A có phần tử Bài 14: Xét xem tập hợp A có tập hợp tập hợp B khơng trường hợp sau a) A = { 1;3;5} ; B = { 1;3;7} b) A = { x, y} ; B = { x , y , z} c) A tập hợp số tự nhiên có tận 0, B tập hợp số tự nhiên chẵn Bài 15: Ta gọi A tập thực B A ⊂ B; A ≠ B Hãy viết tập thực tập hợp B = { 1; 2;3} Bài 16: Cho tập hợp A = { 1; 2;3; 4} ; B = { 3; 4;5} Viết tập hợp vừa tập hợp A, vừa tập hợp B Bài 17: Cho tập hợp A = { 1; 2;3; 4} a) Viết tập hợp A mà phần tử số chẵn b) Viết tất tập hợp tập hợp A Bài 18: Cho tập hợp A = { 1;3;6;8;9;12} B = { x ∈ N * / ≤ x ≤ 12} a) Tìm tập hợp C phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B b) Tìm tập hợp D phần tử thuộc hai tập hợp A Hoặc tập hợp B Bài 19: Cho tập hợp M = { 30; 4; 2005; 2;9} Hãy nêu tập hợp tập M gồm số: a) Có chữ số b) có hai chữ số Bài 20: Cho A = { x ∈ N x M2; x M4; x < 100} c) Là số chẵn ; B = { x ∈ N x M8; x < 100} a) Hãy liệt kê phần tử tập hợp A ; tập hợp B b) Hai tập hợp A, B có nahu khơng ? Vì ? Bài 21: Cho A tập hợp số tự nhiên đầu tiên, B tập hợp số chẵn a) CMR: B ⊂ A b) Viết tập hợp M cho B ⊂ M , M ⊂ A Có tập hợp M Bài 22: Cho A = { x ∈ N x = 7.q + 3; q ∈ N ; x ≤ 150} a) Xác định A cách liệt kê phần tử ? b) Tính tổng phần tử tập hợp A Bài 23: Cho M = { 1;13; 21; 29;52} Tìm x; y ∈ M biết 30 < x − y < 40 Bài 24: Cho a) A = { 1; 2} ; B = { 1;3;5} b) A = { x, y} ; B = { x, y , z , t } Hãy viết tập hợp gồm phần tử phần tử thuộc A, phần tử thuộc B Các phép tốn N Dạng 1: Các tốn tính nhanh Bài 1: Tính tổng sau cách hợp lý a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 e/ 997 + 86 f/ 37 38 + 62 37 c/ 17 125 g/ 43 11; d/ 37 25 h/ 67 101; i/ 423 1001 k/ 67 99; Bài 2: Tính nhanh phép tính: a/ 37581 – 9999 b/ 7345 – 1998 c/ 485321 – 99999 d/ 7593 – 1997 Bài 3: Tính nhanh: a) 15 18 b) 25 24 c) 125 72 d) 55 14 e) 125.18 f) 25 12 g) 34 11 h) 47 101 i) 15.302 k) 123 1001 Bài 5: Thực phép tính cách hợp lí nhất: a) 463 + 318 + 137 + 22 b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 c) (321 +27)+ 79 f) 347 + 418 + 123 + 12 Bài 8: Tính cách hợp lí nhất: a) 125 41 b) 25 10 c) 12 125 e) 25 + 37 + 38 12 d) 36 25 50 f) 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 Bài 9: Tính cách hợp lí nhất: a) 38 63 + 37 38 b) 12.53 + 53 172– 53 84 c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d) 39.8 + 60.2 + 21.8 * Chỳ ý: Muốn nhân số có chữ số với 11 ta cộng chữ số ghi kết váo chữ số Nếu tổng lớn thỡ ghi hàng đơn vị váo cộng vào chữ số hàng chục Vd : 34 11 =374 ; 69.11 =759 * Chỳ ý:: muốn nhõn số cú chữ số với 101 thỡ kết chớnh số cú cách viết chữ số lần khít Vd: 84 101 =8484 ; 63 101 =6363 ; * Chỳ ý: muốn nhõn số cú chữ số với 1001 thỡ kết chớnh số cú cách viết chữ số lần khít Ví dụ:123.1001 = 123123 Dạng 2: Các tốn có liên quan đến dãy số, tập hợp 1, Dãy số cách đều: Bài 1:Tính tổng sau: a) A = + + + + + 100 Số số hạng dóy là: (100-1):1+1 = 100 A= (100 + 1) 100 : = 5050 b) B = + + + + + 100 số số hạng dóy là: (100-2):2+1 = 49 B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499 Bài 2: Tính tổng: a) A = + + 11 + 14 + + 302 b) B = + 11 + 15 + 19 + .+ 203 c) C = + 11 + 16 + 21 + + 301 d) D =8 + 15 + 22 + 29 + + 351 Bài 3: Cho tổng S = + + 11 + 14 + a) Tìm số hạng thứ 100 tổng b) Tính tổng 100 số hạng Bài 4: Cho tổng S = + 12 + 17 + 22 + a) Tìm số hạng tứ 50 tổng b) Tính tổng 50 số hạng dóy trờn Bài 5: Tính tổng tất số tự nhiên x, biết x số có hai chữ số 12 < x < 91 Bài 6: Tính tổng số tự nhiên a , biết a có ba chữ số 119 < a < 501 Bài 7: Tính + + + + 1998 + 1999 Bài 8: Tính tổng của: a/ Tất số tự nhiên có chữ số b/ Tất số lẻ có chữ số c/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999 Bài 9Tính tổng a/ Tất số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất số: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bài 10: Cho dãy số: a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19 b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, Hãy tìm cơng thức biểu diễn dãy số Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ số khơng chia hết cho 2, biểu diễn 2k + , k ∈ N Các số tự nhiên chẵn số chia hết cho 2, cơng thức biểu diễn 2k , k ∈ N) * Dạng 3: Tìm x Bài 1:Tỡm x ∈ N biết : a) (x –15) 15 = b) 32 (x –10) = 32 c) (x – 15) –75 = d) 575- (6x +70) = 445 e) 315+(125-x) = 435 f) x –105 :21 =15 g) (x- 105) :21 =15 Bài 2: Tỡm số tự nhiờn x biết a( x – 5)(x – 7) = d/ (x – 47) – 115 = b/ 541 + (218 – x) = 735 e/ (x – 36):18 = 12 c/ 96 – 3(x + 1) = 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: a) Tính tổng sống tự nhiên từ đến 999; b) Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng chữ số số 1.Tỡm số cú hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số thỡ số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu Bài 2: a)Hóy viết liờn tiếp 20 chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 b) Hóy viết liên tiếp tám chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 Bài 3: Chia số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn lớp số lẻ.hỏi lớp có tổng chữ số lớn lớn bao nhiêu? Bài 4: Điền chữ số thích hợp vào chữ để phép tính : a) 1ab + 36 = ab1 ; b) abc + acc + dbc = bcc Bài 5: Kớ hiệu n! tớch số tự nhiên từ đến n: n! = 1.2.3…n Tớnh : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! Bài 6: Trong tờ giấy kẻ vng kích thước 50.50 vuụng người ta viết số tự nhiên biết bốn tạo thành hỡnh hỡnh vẽ thỡ tổng số bốn hóy chứng tỏ số Bài 7: Một số có bảy chữ số ,cộng với số viets bảy chữ số theo thứ tự ngược lại thỡ tổng số có bảy chữ số.hóy chứng tổ tổng tỡm có chữ số chẵn Bài 8: Cho dóy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dóy số phi bụ na xi) số (bắt đầu từ số thứ ba) tổng hai số đứng liền trước nó.chọn dóy số số liên tiếp tùy ý.chứng minh tổng số khụng phải số dóy cho Bài 9: Một số chắn có bốn chữ số, số hàng trăm số hang chục lập thành số gấp ba lần chữ số hàng nghỡn gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tỡm số Bài 10: Tỡm cỏc số a,b,c,d phếp tớnh sau: abcd + abc + ab + a = 4321 Bài 11: Hai người chơi trũ chơi bốc viên bi từ hai hộp ngồi Mỗi người đến lượt mỡnh bốc số viờn bi tựy ý, người bốc viên bi cuối hộp người thắng Biết hộp thứ cú 190 viờn bi, hộp thứ hai cú 201 viờn bi Hóy tỡm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi người thắng BÀI TẬP CỦNG CỐ Bài 1: Tớnh giỏ trị biểu thức cỏch hợp lớ: A = 100 + 98 + 96 + ….+ – 97 – 95 – …– ; B = + – – + + – – + + 10 – 11 – 12 + …– 299 – 330 + 301 + 302; Bài 2: Tớnh nhanh a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42 Bài 3: Tỡm x biết: a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 Bài 4: Tổng hai số 78293.số lớn hai số co chữ số hàng dơn vị ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm 2.nếu ta gạch bỏ chữ số thỡ ta số số nhỏ tỡm hai số Bài 5: Một phếp chia có thương dư tổng số bị chia ,số chia số dư 195.tỡm số bị chia số chia Bài 6: Tổng hai số cú a chữ số 836 Chữ số hàng trăm số thứ 5, số thứ hai Nếu gạch bỏ cỏc chữ số thỡ hai số có hai chữ số mà số gấp lần số kia.tỡm hai số Bài 7: Một học sinh giải tốn phải chia số cho cộng thương tỡm với nhâm lẫn em đó nhõn số với sau lấy tích tỡm trừ kết hỏi số cần phải chia cho số nào? Bài 8: Tỡm số cú ba chữ số biết chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thỡ thương dư 2.tích số phải tỡm với số cú chữ số tận cựng Bài 9: Tỡm số tự nhiờn a ≤ 200 biết chia a cho số tự nhiờn b thỡ thương dư 35 Bài 10: Viết số A bất kỡ cú chữ số ,viết tiếp chữ số lần ta số B có chữ số.chia số B cho 13 ta số C chia C cho 11 ta số D.lại chia số D cho 7.tỡm thưởng phép chia Bài 11: Khi chia số M gồm chữ số giống cho số N gồm chữ số giống thỡ thương 233 số dư số r sau bỏ chữ số số M chữ số số N thỡ thương khơng đổi số dư giảm 1000.tỡm số M N? * Các tốn dãy số viết theo quy luật Bài 1: Tính tổng sau a) + + + + + n c) + + + + (2.n + 1) b) + + + + + 2.n d) + + + 10 + + 2005 e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001 Bài 2: Tính nhanh tổng sau: A = + + + + 16 + + 8192 Bài 3: a) Tính tổng số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng số chẵn có hai chữ số Bài 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có số hạng để kết tổng 190 b) Có hay khơng số tự nhiên n cho + + + + n = 2004 c) Chứng minh rằng: [ (1 + + + + n) − ] khơng chia hết cho 10 ∀n ∈ N Bài 5: a) Tính nhanh 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 1999.2000 b) áp dụng kết phần a tính nhanh B = 1.1 + 2.2 + 3.3 + + 1999.1999 c) Tính nhanh : C = 1.2.3 + 2.3.4 + + 48.49.50 Hãy xây dựng cơng thức tính tổng a) c) trường hợp tổng qt Bài 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n dãy số sau: a) 3;8;15; 24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17; 26; e) 6;14; 24;36;50; g) 4; 28;;70;130; Bài 7: Cho dãy số 1;1 + 2;1 + + 3;1 + + + 4; Hỏi dãy số có số có chữ số tận khơng ? Tại ? Bài 8: Cho S1 = + 2; S2 = + + 5; S3 = + + + 9; S4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14; Tính S100 Bài 9: Tính cách hợp lý a) A = 41.66 + 34.41 + + 11 + + 79 b) B = + + + + 200 + + 10 + + 34 c) C = 5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45 Bài 10 Hãy chứng tỏ hiệu sau viết thành tích hai thừa số giống : 11111111 – 2222 Bài 11 Tìm kết phép nhân sau { { a) A = 33 3.99 2005 c s 2005 c s { { b) B = 33 3.33 2005 c s 2005c s Bài 12 Chứng tỏ số sau viết thành tích hai số tự nhiên liên tiếp a 111222 b 444222 { 123 c A= 11 122 n c.s1 n c.s2 Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nên 111222 = 111.1002 = 111 334 = 333.334 Bài 13: Cho ba chữ số a, b, c Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm ba chữ số a) Viết tập hợp A b) Tính tổng phần tử tập hợp A Bài 14: Cho ba chữ số a, b, c cho < a < b < c a) Viết tập A số tự nhiên có ba chữ số gồm ba chữ số b) Biết tổng hai số nhỏ tập A 448 Tìm ba chữ số a, b, c nói Bài 15: Người ta viết liền dãy số tự nhiên 1: 1,2,3,4,5,…Hỏi chữ số thứ 659 chữ số ? Bài 16: Cho S = + 10 + 13 + + 100 a) Tính số số hạng tổng b) Tìm số hạng thứ 22 tổng c) Tính tổng S { 123 tích hai số tự nhiên liên tiếp Bài 17: Chứng tỏ số A= 11 122 n c.s1 n c.s2 Bài 18: Trong hệ thập phân số A viết 100 chữ số 3, số B viết 100 chữ số Hãy tính tích A.B Bài 12 Chứng tỏ số sau viết thành tích hai số tự nhiên liên tiếp a 111222 b 444222 { 22 12 c A= 11 n ch÷ sè n ch÷ sè Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nên 111222 = 111.1002 = 111 334 = 333.334 MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Tính nhanh a) 417 + 235 + 583 + 765 b) 13 250 d) +8 +11+ + 38 + 41 c) 16 25 e) (1999 + 313) – 1999 g) 2023 - (34 + 1560) f) (1435 + 213) – 13 h) 1972 – (368 + 972) i) 364 – (364 – 111) Bài Tính nhanh tổng sau a) 1+2+3+4+5+ +n b) 2+5+11+ +47+65 c)1+3+5+7+ + (2n – 1) d) 3+12+48+ +3072+12288 e)2+4+6+8+ +2n f) 2+5+7+12+ +81+131 g) 1+6+11+16+ +46+51 Bài a Tính nhẩm 204 36 h) 49 - 51+53-55+57-59+61- 63+65 499.12 601.42 199.41 b Tính nhẩm cách nhân thừa số này, chia thừa số cho số 66.50 72.125 38.5 15.16.125 c Tính nhẩm cách nhân số bị chia số chia với số khác khơng 2000 : 25 7300 : 50 4970 : 81000 : 125 d Tính nhẩm cách áp dụng tính chất ( a ± b ) : c = a : c ± b : c 169 : 13 660 : 15 119 : 204 : 12 Bài Tìm x 1/ (158 - x) :7 = 20 2/ 2x – 138 = 23 32 3/ 231 - (x – 6) =1339 :13 4/ 10 + 2x = 45 : 43 5/ 70 - 5.(2x - 3)= 45 6/ 156 – (x + 61)= 82 7/ 6.(5x + 35)= 330 8/ 936- (4x + 24)= 72 9/ 5.(3 x + 34) = 515 10/ (158 - x) : = 20 12/ 218 + (97 - x)= 11/ (7x - 28) 13= 313 13/ (2x – 39).7 + 3= 80 14/ [(3x + 1)3 ]5= 150 15/ 2436.(5x + 103) = 12 16/ 294 - (7x - 217) = 38 311 : 316 + 62 17/ x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); 18/ [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 20/ [ ( x + 32) − 17] = 42 19/ 420 + 65 = ( x + 175) : + 30 21/ (32.15):2 = (x + 70) :14 – 40 10 22/ [ 61 + (53 − x)] 17 = 1785 Các phương pháp chứng minh chia hết Phương pháp 1: để chứng minh AMb ( b ≠ ) Ta biểu diễn A = b.k k ∈ N Bài 1: Cho n ∈ N Chứng minh rằng: (5n)100 M125 Bài 2: Cho A = + 22 + + 22004 Chứng minh rằng: a) AM6 b) AM7 Bài 3: Cho S = + 32 + + 31998 Chứng minh : a) S M12 Bài 4: Cho B = + 32 + + 3100 c) AM30 b) sM39 Chứng minh rằng: BM120 Bài 5: Chứng minh a) 3636 − 910 M45 b) 810 − 89 − 88 M55 c) 55 − 54 + 53 M7 d) 76 + −7 M11 e) 2454.5424.210 M7263 g) 817 − 279 − 913 M45 h) 3n +3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+ M6∀n ∈ N i) (210 + 211 + 212 ) : số tự nhiên Phương pháp 2: Sử dụng hệ tính chất chia hết tổng Nếu a ± bMm a Mm ⇒ bMm Phương pháp 3: Để chứng minh biểu thức chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b ( b ≠ )Ta xét trường hợp số dư chia n cho b Bài 6: a) Chứng minh rằng: Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh rằng: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho c) Chứng minh rằng: Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 d) Chứng minh rằng: Tích số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120 (Chú ý: Các tốn sử dụng chứng minh chia hết, khơng cần CM lại) Bài 7: Chứng minh rằng: a) (5n + 7)(4n + 6)M2∀n ∈ N b) (8n + 1)(6n + 5) khơng chia hết cho ∀∈ N Bài 8: Chứng minh rằng: A = n(n + 1)(2n + 1)M6∀n ∈ N Bài 9: a) Cho n ∈ N Chứng minh rằng: n M3 n chia dư b) CMR: Khơng tồn n ∈ N để n + = 300 Bài 10: Chứng minh rằng: ∀m, n ∈ N ta ln có m.n(m − n ) M3 Bài 11: Chứng minh rằng: (n + 20052006 )(n + 20062005 )M2∀n ∈ N 30 44 4 43 Bài 12: CMR khơng tồn n ∈ N để n + = 20042004 2004 15 sè 2004 Phương pháp 4: Để chứng minh AMb Ta biểu diễn b dạng b = m.n Khi + Nếu (m, n)=1 tìm cách chứng minh AMm AMn ⇒ AMm.n hay AMb + Nếu (m; n) ≠ ta biểu diễn A = a1.a2 tìm cách C.minh a1 Mm; a2 Mn tích a1.a2 Mm.n tức AMb Bài 13: a) Chứng minh rằng: Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh rằng: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho c) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 d) Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120 Bài 14 : Chứng minh rằng: a số lẻ khơng chia hết cho a − 1M6 Bài 15: a) Chứng minh rằng: Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh rằng: Tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 c) Chứng minh rằng: Tích bốn số chẵn liên tiếp chia hết cho 384 Bài 16 : Chứng minh rằng: B = 10n + 18n − 1M27 Bài 16: Chứng minh rằng: 14 43 M27 b) số 11 27 ch÷ sè a) 10n − 36n − 1M27∀n ∈ N ; n ≥ Phương pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết Bài 17: Bài 18: Chứng minh rằng: 1020006 + 8M72 khơng chia hết cho 125; Chứng minh rằng: a) Số 55 n ch÷ sè b) 10n + 23 M9 ; c) 3737 − 2323 M10 Bài 19: CMR: a) 1033 + 8M2 b) 1010 + 14M2 c)1050 + 5M3 d) 1025 + 26M2 Bài 20: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số biết số chia hết cho 125, số chia hết cho Bài 21: Chứng minh ∀n ∈ N a) 24 n+1 + 3M5 b) 24 n+ + 1M5 c) 92 n+1 + 1M10 d) n − 1M5 e) 34 n+1 + 2M5 Bài 22 : Chứng minh (210 + 1)10 M25 Bài 23: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số a) Chứng minh rằng: bMa b) Giả sử b=k.a Chứng minh k ước 10 c) Tìm số ab nói Phương pháp 6: Để chứng minh AMb ta biểu diễn A = A1 + A2 + + An chứng minh Ai (i = 1, n)Mb 31 14 43 M3 a) ∀n ∈ N A = 2.n + 11 .1 n ch÷ sè1 Bài 1: CMR: 14 43 − + n M9 c) 88 n ch÷ sè n − n).b M9 b) ∀a, b, n ∈ N B = (10 − 1).a + (11 n ch÷ sè1 Bài 24: Hai số tự nhiên a 2a có tổng chữ số k Chứng minh aM9 Bài 25: Tìm chữ số x, y để 1994 xyM72 Các tốn tổng hợp: Bài 1: Tìm n ∈ N để : a) n + 6Mn b) 4.n + 5Mn d) n + 5Mn + c) 38 − 3nMn e) 3n + 4Mn − g) 2n + 1M16 − 3n Bài 2: Tìm n ∈ N để: a) 3n + 2Mn − b) n + 2n + 7Mn + g) 4n − 5M2n − h) 12 − nM8 − n d) n + 8Mn + c) n + 1Mn − k) 28Mn − i) 20Mn e) n + 6Mn − l) 113 + nM7 m) 113 + nM13 Bài 3: Tìm n ∈ N để phân số sau có giá trị số tự nhiên a) n+2 b) Bài 4: Tìm n ∈ N để: n −1 c) a) 4n − 5M13 n +1 n −1 d) b) 5n + 1M7 2n + n − 5 c) 25n + 3M53 d) 18n + 3M7 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho phân số sau có giá trị số tự nhiên a) 3n + n +1 b) n + 13 n +1 c) 3n + 15 n +1 2n + 13 n −1 d) e) 3n + n−2 g) 6n + 2n + Bài 6: Tìm số tự nhiên n cho a) n + 11Mn − b) nMn − c) n + 2n + 6Mn + d) n + n + 1Mn + Bài 7: Chứng minh rằng: 88 + 220 M17 Bài 8: Chứng minh rằng: m + 4nM13 ⇔ 10m + n M13 ∀m, n ∈ N Bài 9: Có hay khơng hai số tự nhiên x, y cho ( x + y )( x − y ) = 2002 Bài 10 : Chứng minh ab + cd M11 abcd M11 Bài 11 : Cho hai số tự nhiên abc deg chia 11 dư Chứng minh số abc deg M11 Bài 12 : Cho abc − deg M13 Chứng minh rằng: abc deg M13 Bài 13:Cho biết số abcM7 Chứng minh rằng: 2a + 3b + c M7 Bài 14 : Cho số abcM4 a, b chữ số chẵn Chứng minh rằng: a) cM4 b) bacM4 32 Bài 15: Tìm chữ số a, b cho a − b = 4;7a5b1M3 Bài 16: Cho 3a + 2bM17(a, b ∈ N ) Chứng minh rằng: 10a + bM17 Bài 17:Cho a − 5bM17(a, b ∈ N ) Chứng minh rằng: 10a + bM17 Bài 18: Chứng minh rằng: 9.10n + 18M27 ∀n ∈ N Bài 19: Chứng minh rằng: abcd M99 ab + cd M99 ngược lại Bài 20: Biết a + bM7 Chứng minh rằng: abaM7 Bài 21: Biết a + b + c M7 Chứng minh rằng: abcM7 b=c Bài 22: Tìm số tự nhiên ab cho 567a9bM45 Bài 23: Tìm cặp số tự nhiên (a,b) cho a) 1 b = + a b) a − = b Bài 24: Cho số N = dcba Chứng minh rằng: a) N M4 ⇔ a + 2bM4 b) N M8 ⇔ a + 2b + 4c M8 c) N M16 ⇔ a + 2b + 4c + 8d M16 với b chẵn Bài 25: Chứng minh rằng: a) x + y M17 ⇔ x + y M17 Bài 26: Chứng minh rằng: b) a + 4bM13 ⇔ 10a + bM13 a) 10n + 72n − 1M81 ∀n ∈ N c) a + 2bM17 ⇔ 10a + bM17 14 43 M81 b) 11 .1 81 ch÷ sè1 Bài 27: Chứng minh số có hai chữ số chia hết cho tổng chữ số hàng chục lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho Bài 28: Với a, b chữ số khác Chứng minh rằng: a) abbaM11 Bài 29: b) aaabbbM37 c) abababM7 d) abab − baba M9 101 với a>b Cho số tự nhiên A, Người ta đổi chỗ chữ số số A để số B gấp ba lần số A Chứng minh B chia hết cho 27 33 SỐ NGUYÊN TỐ – HễẽP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THệỉA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Soỏ nguyẽn toỏ laứ soỏ tửù nhiẽn lụựn hụn vaứ chổ coự hai ửụực laứ vaứ chớnh noự + Hụùp soỏ laứ soỏ tửù nhiẽn lụựn hụn coự nhiều hụn hai ửụực + ẹeồ chửựng toỷ soỏ tửù nhiẽn a > laứ hụùp soỏ, chổ cần chổ moọt ửụực khaực vaứ a Chuự yự: 10n = 10….0 = 2n.5n n chửừ soỏ + Caựch xaực ủũnh soỏ lửụùng ửụực cuỷa moọt soỏ: Khi phãn tớch M thửứa soỏ nguyẽn toỏ, ta coự M = ax.by….cz thỡ caực ửụực cuỷa M laứ (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Neỏu ab MP vụựi P laứ soỏ nguyẽn toỏ thỡ hoaởc a MP hoaởc b MP ẹaởc bieọt: Neỏu an MP thỡ a MP B/ VÍ DUẽ: Dạng 1: Bài 1: Tổng (hiệu) sau số ngun tố hay hợp số: a/ 3150 + 2125 b/ 5163 + 2532 c/ 19 21 23 + 21 25 27 d/ 15 19 37 – 225 Bài 2: Chứng tỏ số sau hợp số: a/ 297; 39743; 987624 b/ 111…1 có 2001 chữ số 2007 chữ số c/ 8765 397 639 763 Hướng dẫn: a/ Các số chia hết cho 11 Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 đê nhận biết: Nếu số tự nhiên có tổng chữ số đứng vị trí hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ ( số thứ tự tính từ trái qua phải, số số lẻ) số chia hết cho 11 Chẳng hạn 561, 2574,… b/ Nếu số có 2001 chữ số tổng chữ số 2001 chia hết cho Vậy số chia hết cho Tương tự số có 2007 chữ số số chia hết cho c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 hợp số Bài 3: Chứng minh tổng sau hợp số a/ abcabc + b/ abcabc + 22 c/ abcabc + 39 Hướng dẫn: a/ abcabc + = a.105 + b.104 + c.103 + a 102 + b.10 + c + = 100100a + 10010b + 1001c + 7= 1001(100a + 101b + c) + 34 Vì 1001 M ⇒ 1001(100a + 101b + c) M 7M Do abcabc + M 7, abcabc + hợp số b/ abcabc + 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 1001M 11 ⇒ 1001(100a + 101b + c) M 11 22M 11 => abcabc + 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 M11 abcabc + 22 >11 nên abcabc + 22 hợp số c/ Tương tự abcabc + 39 chia hết cho 13 abcabc + 39 >13 nên abcabc + 39 hợp số Bài 4: a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k số ngun tố b/ Tại số ngun tố chẵn nhất? Hướng dẫn: a/ Với k = 23.k = khơng số ngun tố với k = 23.k = 23 số ngun tố Với k>1 23.k M 23 23.k > 23 nên 23.k hợp số b/ số ngun tố chẵn nhất, có số chẵn lớn số chia hết cho 2, nên ước số ngồi có ước nên số hợp số Bài 5: Tìm số ngun tố, biết số liền sau số ngun tố Hướng dẫn: Ta biết hai số tự nhiên liên tiếp có số chẵn số lẻ, muốn hai số ngun tố phải có số ngun tố chẵn số Vậy số ngun tố phải tìm Dạng 2: Dấu hiệu để nhận biết số ngun tố Ta dùng dấu hiệu sau để nhận biết số có số ngun tố hay khơng:“ Số tự nhiên a khơng chia hết cho số ngun tố p mà p2 < a a số ngun tố VD1: Ta biết 29 số ngun tố Ta nhận biết theo dấu hiệu sau: - Tìm số ngun tố p mà p2 < 29: số ngun tố 2, 3, (72 = 49 19 nên ta dừng lại số ngun tố 5) - Thử phép chia 29 cho số ngun tố Rõ ràng 29 khơng chia hết cho số ngun tố số 2, 3, Vậy 29 số ngun tố VD2: Hãy xét xem số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số số ngun tố? Hướng dẫn - Trước hết ta loại bỏ số chẵn: 1992, 1994, ., 2004 35 - Loại bỏ tiếp số chia hết cho 3: 1995, 2001 - Ta phải xét số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 ố ngun tố p mà p2 < 2005 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 - Số 1991 chia hết cho 11 nên ta loại - Các số lại 1993, 1997, 1999, 2003 khơng chia hết cho số ngun tố tên Vậy từ 1991 đến 2005 có số ngun tố 1993, 1997, 1999, 2003 C.HDVN: xem lại chữa,nắm vững dấu hiệu nhận biết số nguyờn tố,hợp số Bài tập Vớ dú 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Soỏ A laứ soỏ nguyẽn toỏ hay hụùp soỏ? b) Soỏ A coự phaỷi laứ soỏ chớnh phửụng khõng? Giaỷi: a) Coự A > 5; A M ( Vỡ mi soỏ háng ủều chia heỏt cho 5) nẽn A laứ hụùp soỏ b) Coự 52 M 25, 53 M 25;… ;5100 M 25, nhửng M 25 nẽn A M 25 Soỏ A M nhửng A M 25 nẽn A khõng laứ soỏ chớnh phửụng Vớ dú 2: Soỏ 54 coự bao nhiẽu ửụực Giaỷi: Coự: 54 = 33 Soỏ ửụực cuỷa 54 laứ: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ửụực Taọp hụùp caực ửụực cuỷa 54 laứ: ệ(54) = { 1; 2;3;6;9;18; 27;54} Vớ dú 3: Tỡm soỏ nguyẽn toỏ p cho p + , p + cuừng laứ soỏ nguyẽn toỏ Giaỷi: Vỡ p laứ soỏ nguyẽn toỏ nẽn p coự moọt ba dáng sau: 3k; 3k + 1; 3k + vụựi k laứ soỏ tửù nhiẽn Neỏu p = 3k thỡ p = (Vỡ p laứ soỏ nguyẽn toỏ) => p + = 5; p + = ủều laứ soỏ nguyẽn toỏ Neỏu p = 3k + thỡ p + = 3k + chia heỏt cho vaứ lụựn hụn nẽn p + laứ hụùp soỏ, traựi vụựi ủề baứi Neỏu p = 3k + thỡ p + = 3k + chia heỏt cho vaứ lụựn hụn nẽn p + laứ hụùp soỏ, traựi vụựi ủề baứi Vaọy p = laứ soỏ nguyẽn toỏ cần tỡm C/ BAỉI TẬP: 36 1) Toồng cuỷa soỏ nguyẽn toỏ baống 1012 Tỡm soỏ nhoỷ nhaỏt ba soỏ ủoự? 2) Toồng cuỷa hai soỏ nguyẽn toỏ coự theồ baống 2003 hay khõng? 3) Tỡm soỏ nguyẽn toỏ p, cho caực soỏ sau cuừng laứ soỏ nguyẽn toỏ a) p + vaứ p + 10 b) P + 10 vaứ p + 20 4) Cho p laứ soỏ nguyẽn toỏ lụựn hụn Bieỏt p + cuừng laứ soỏ nguyẽn toỏ Chửựng minh p + 1chia heỏt cho 5) Cho p vaứ p + laứ caực soỏ nguyẽn toỏ (p > 3).Chửựng minh p + laứ hụùp soỏ 6) Cho a, n ∈ N*, bieỏt an M Chửựng minh: a2 + 150 M 25 Giaỷi: 1) Toồng cuỷa soỏ nguyẽn toỏ baống 1012 laứ soỏ chaỳn nẽn moọt ba soỏ nguyẽn toỏ ủoự phaỷi coự moọt soỏ chaỳn ủoự laứ soỏ soỏ laứ soỏ nhoỷ nhaỏt ba soỏ nguyẽn toỏ ủaừ cho 2) Toồng cuỷa hai soỏ nguyẽn toỏ coự theồ baống 2003 laứ soỏ leừ nẽn moọt hai soỏ nguyẽn toỏ ủoự phaỷi laứ soỏ ủoự soỏ thửự hai laứ: 2003 – = 2001 chia heỏt cho nẽn laứ hụùp soỏ Vaọy khõng tồn tai hai soỏ nguyẽn toỏ coự toồng baống 2003 3) a/ Vỡ p laứ soỏ nguyẽn toỏ nẽn p coự moọt ba dáng sau: 3k; 3k + 1; 3k + vụựi k laứ soỏ tửù nhiẽn Neỏu p = 3k thỡ p = (Vỡ p laứ soỏ nguyẽn toỏ) => p + = 5; p + 10 = 13 ủều laứ soỏ nguyẽn toỏ Neỏu p = 3k + thỡ p + = 3k + chia heỏt cho vaứ lụựn hụn nẽn p + laứ hụùp soỏ, traựi vụựi ủề baứi Neỏu p = 3k + thỡ p + 10 = 3k + 12 chia heỏt cho vaứ lụựn hụn nẽn p + 10 laứ hụùp soỏ, traựi vụựi ủề baứi Vaọy p = laứ soỏ nguyẽn toỏ cần tỡm b/ Vỡ p laứ soỏ nguyẽn toỏ nẽn p coự moọt ba dáng sau: 3k; 3k + 1; 3k + vụựi k laứ soỏ tửù nhiẽn Neỏu p = 3k thỡ p = (Vỡ p laứ soỏ nguyẽn toỏ) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 ủều laứ soỏ nguyẽn toỏ Neỏu p = 3k + thỡ p + 20 = 3k + 21 chia heỏt cho vaứ lụựn hụn nẽn p + 20 laứ hụùp soỏ, traựi vụựi ủề baứi 37 Neỏu p = 3k + thỡ p + 10 = 3k + 12 chia heỏt cho vaứ lụựn hụn nẽn p + 10 laứ hụùp soỏ, traựi vụựi ủề baứi Vaọy p = laứ soỏ nguyẽn toỏ cần tỡm 4) Do p laứ soỏ nguyẽn toỏ lụựn hụn nẽn p leừ, => p + laứ soỏ chaỹn nẽn p + M (1) p laứ soỏ nguyẽn toỏ lụựn hụn nẽn coự dáng 3k + hoaởc 3k + (k ∈ N) Dáng p = 3k + khõng xaừy Dáng p = 3k + cho ta p + = 3k + M (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy p + M 5) p laứ soỏ nguyẽn toỏ lụựn hụn nẽn p coự dáng 3k + hoaởc 3k + (k ∈ N) Neỏu p = 3k + thỡ p + = 3k + chia heỏt cho nẽn laứ hụùp soỏ, traựi vụựi ủề baứi Vaọy p coự dáng 3k + ủoự p + = 3k + chia heỏt cho nẽn p + laứ hụùp soỏ 6) Coự an M maứ laứ soỏ nguyẽn toỏ nẽn a M => a2 M 25 Maởt khaực 150 M25 nẽn a2 + 150 M25 Bài 1: Tìm hai số ngun tố biết tổng chúng 2005 Bài 2: Tìm số ngun tố p để p + 11 số ngun tố nhỏ 30 Bài 3: Cho A = + 52 + + 5100 a) Số A số ngun tố hay hợp số b) Số A có số phương khơng ? Bài 4: Tổng hiệu sau số ngun tố hay hợp số a) A = 13.15.17 + 91 b) B = 2.3.5.7.11 + 13.17.19.21 c) C = 12.3 + 3.41 + 240 d) D = 45 + 36 + 72 + 81 e) E = 91.13 − 29.13 + 12.13 g) G = 4.19 − 5.4 h) H = 32 + 3.17 + 34.33 i) I = + + 73 + + 75 k) A = 1.3.5.7 13 + 20 l) B = 147.247.347 − 13 { { hợp số Bài 5: Cho n ∈ N * Chứng minh số A = 11 1211 nc / s1 nc / s1 Bài 6: a) Cho n số khơng chia hết cho Chứng minh rằng: n chia dư b) Cho p số ngun tổ lớn Hỏi p + 2003 số ngun tố hay hợp số ? Bài 7: Cho n ∈ N ; n > n khơng chia hết cho Chứng minh rằng: n − n + khơng thể đồng thời số ngun tố Bài 8: Cho p số ngun tố lớn 38 a) Chứng tỏ rằng: p có dạng 6k + 6k + với k ∈ N * b) Biết p + số ngun tố Chứng minh rằng: p + hợp số Bài 9: Cho p p + số ngun tố (p>3) Hỏi p+100 số ngun tố hay hợp số Bài 10: Cho n = 29k với k ∈ N Với giá trị k n: a) Là số ngun tố b) Là hợp số c) Khơng số ngun tố khơng hợp số Bài 11: Chứng minh rằng: 8p-1 p số ngun tố 8p+1 hợp số Bài 12: Tìm tất số ngun tố p, q cho p + q pq + 11 số ngun tố Bài 13: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số ngun tố Bài 14: Tìm số ngun tố p cho a) p + số ngun tố b) p+8 p+10 số ngun tố Bài 16: Cho n = 2.3.4.5.6.7 CMR: số tự nhiên liên tiếp sau hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7 Bài 17: Tìm số ngun tố p cho p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 số ngun tố Bài 18:Cho p số ngun tố lớn Chứng minh rằng: ( p − 1)( p + 1) chia hết cho 24 Bài 19:Cho p 2p+1 hai số ngun tố (p>3) Chứng minh rằng: 4p+1 hợp số Bài 20:Cho p 10p+1 hai số ngun tố (p>3) Chứng minh rằng: 5p+1 hợp số Bài 21:Chứng minh với số ngun tố p >3, ba số p, p+2, p+4 khơng thể đồng thời số ngun tố Bài 22: Hai số 2n − 2n + với n >2 đồng thời số ngun tố hay đồng thời hợp số khơng ? Bài 23: Tìm số ngun tố p để có a) p+10 p+14 số ngun tố b) p+2; p+6 p+8 số ngun tố c) p+6;p+12; p+24; p+38 số ngun tố d) p+2; p+4 số ngun tố Bài 24: Tìm số ngun tố a, b, c cho 2a + 3b + 6c = 78 Bài 25: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 hợp số Bài 26: Tìm số ngun tố p cho p + 44 số ngun tố Bài 27: CMR: Hai số 1994100 − 1994100 + khơng thể đồng thời số ngun tố Bài 28: Tìm số ngun tố p cho p + 94 p+1994 số ngun tố Bài 29: Tìm tất số ngun tố p để p + p số ngun tố Ước chung bội chung, ƯCLN, BCNN A/ Mục tiêu: 39 - Học sinh nắm vững định nghĩa tính chất ước chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vào giải tập - Vận dụng thành thạo tính chất chia hết vào tập - Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư lơ gic óc phân tích tổng hợp B/ Chuẩn bị: Nội dung chun đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chun đề I/ Kiến thức 1- Tính chất chia hết liên quan a;m   a Mn  ⇒ aMm.n ; (m; n) = 1 a.bMm   ⇒ bMm (a; m) = 1 Bài 1: Tìm ƯCLN a/ 12, 80 56 b/ 144, 120 135 c/ 150 50 d/ 1800 90 Hướng dẫn a/ 12 = 22.3 80 = 24 56 = 33.7 Vậy ƯCLN(12, 80, 56) = 22 = b/ 144 = 24 32 120 = 23 135 = 33 Vậy ƯCLN (144, 120, 135) = c/ ƯCLN(150,50) = 50 150 chia hết cho 50 d/ ƯCLN(1800,90) = 90 1800 chia hết cho 90 Bài 2: Tìm a/ BCNN (24, 10) b/ BCNN( 8, 12, 15) Hướng dẫn a/ 24 = 23 ; 10 = BCNN (24, 10) = 23 = 120 b/ = 23 ; 12 = 22 ; 15 = 3.5 BCNN( 8, 12, 15) = 23 = 120 5/ Tỡm số tự nhiờn a lớn biết 480 M a 600 M a Hướng dẫn : vỡ 480 M a 600 M a a lớn nờn a ∈ ƯC LN (480,600) Ta cú 480= 25.3.5 600 = 23.3.52 => ƯCLN (480,600) =23.3.5= 120 Vậy a =120 6/ Tỡm số tự nhiờn x biết 126 M x 210 M x 15 < x < 30 Hướng dẫn: Vỡ 126 M x 210 M x 15 < x < 30 nờn x ∈ Ư C (126,210) 15 < x Ư C (126,210) = 2.3.7 = 42 Do ƯC(126,210) =Ư(42) = { 1,2,3,6,7,14,21,42} Vỡ 15 < x < 30 nờn x =21 7/ Tỡm số tự nhiờn a nhỏ khỏc biết a M 15 a M 18 40 Hướng dẫn : Vỡ a M 15 a M 18 a nhỏ khỏc nờn a ∈ BCNN(15,18) Ta cú 15 =3.5 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90 Vậy a = 90 8/ Tỡm cỏc bội chung 15 25 mà nhỏ 400 Hướng dẫn: Ta cú : 15=3.5 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75 Nờn BCNN(15,25) = B(75) = { 0,75,150,225,300,375,450, } Các bội chung 15 25 mà nhỏ 400 0, 75, 150, 225,300, 375 Vớ dụ1 Tỡm số tự nhiờn a biết chia 39 cho a thỡ dư 4, cũn chia 48 cho a thỡ dư Giải Chia 39 cho a thỡ dư , nên a ước 39 – = 35 a > chia 48 cho a thỡ dư nên a ước 48 – = 42 a > a ước chung 35 42 dơng thồng a > Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42} ƯC(35,42) = { 1,7} Vậy a = Vớ dụ 2Tỡm số tự nhiờn a, biết chia 264 cho a thỡ dư 24 , cũn chia 363 cho a thỡ dư 43 Dạng 3: Các tốn thực tế Bài 1: Một lớp học có 24 HS nam 18 HS nữ Có cách chia tổ cho số nam số nữ chia vào tổ? Bài 2: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ (khơng có hàng thiếu, khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn vị chưa đến 1000? Hướng dẫnGọi số người đơn vị đội x (x ∈ N) x : 20 dư 15 ⇒ x – 15 M20; x : 25 dư 15 ⇒ x – 15 M25; x : 30 dư 15 ⇒ x – 15 M30 Suy x – 15 BC(20, 25, 35) Ta có 20 = 22 5; 25 = 52 ; 30 = 2.3.5; BCNN(20;25;30)= 22.52.3 = 300 => BC(20; 25;35) = 300k (k ∈ N) x – 15 = 300k ⇔ x = 300k + 15 mà x < 1000 nên 300k+15 100 – M a ; 90 – 18 M a 41 Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ 500 cho chia cho 15, cho 35 số dư 13 Giải Gọi số phải tìm a ta đặt a = 15p + a = 35q + 13 15 p + 8M15 15 p + 8+22M15 a + 22M15 ⇒ ⇒ ⇒ => a + 22∈BC(15;35) a < 500 35q + 13M35 35q + 13+22M35 a + 22M35 Ta có BCNN(15;35)=105 => a + 22 = 105k a < 500 => k∈{1;2;3;4}=> a∈{83;188;293;398} Bài 6: Tìm dạng chung số tự nhiên a cho chia 4; 5; có số dư 3; 4; chia hết cho 13 a + 1M60 a + − 300M60 a − 299M60 ⇒ ⇒ Giải: a + ∈ BC (4; 5; 6) ⇒  aM13 a − 299M13 a − 299M13 => a – 299 M BC(60; 13) = 780k Hay a – 299 M 780 => a = 780k + 299 (k∈ N) Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5; cho 7; dư 3; 4; Giải : Gọi số phải tìm a => 2a chia cho 5; 7; dư 2a – = BCNN (5; 7; 9) = 315 => 2a – = 315 => a = (315 – 1): = 158 Bài 8: Số HS trường khoảng từ 2500 đến 2600 Nếu tồn thể HS trường xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn Tính số HS trường ? Lờp giải: Gọi số HS trường x (x ∈ N, 2500 < x < 2600) Từ giả thiết suy a + số chia hết cho 3, 4, Mà BCNN(3,4,5,7) = 420 nên a + chia hết cho 420, 2503 chia cho 420 dư 403 2601 chia 420 dư 81 nên a + = 420.6 tức a = 2518 Vậy số HS trường 2518 em Bài 9: Số HS trường THCS số tự nhiên nhỏ có chữ số mà chia số cho cho 6, cho dư Gọi số HS trường x (x ∈ N) x : dư ⇒ x – M5; x : dư ⇒ x – M6; x : dư ⇒ x – M7 Suy x – BC(5, 6, 7) Ta có BCNN(5, 6, 7) = 210 => BC(5, 6, 7) = 210k (k ∈ N) x – = 210k ⇔ x = 210k + mà x số tự nhiên nhỏ có chữ số nên x ≥ 1000 suy 210k + ≥ 1000 ⇔ k ≥ 53 (k∈ N) nên k nhỏ k = 70 Vậy số HS trường x = 210k + = 210 + = 1051 (học sinh) Bài 10 Cú 100 90 bỳt bi Cụ giỏo chủ nhiểm muốn chia số bỳt thành số phần thưởng gơm bút để phát phần thuopwngr cho học sinh Như 42 thỡ cũn lại 18 bỳt bi khụng thể chia cho học sinh.tính sơ học sinh thưởng? Bài 11 Cú số sỏch giỏo khoa Nếu xếp thành chồng 10 thỡ vừa hết ,thàng chồng 12 thỡ thừa cuốn, thành chồng 18 thỡ thừa biết số sỏch khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tỡm số sỏch Bài 12 Một lớp học cú 28 nam 24 nữ.cú bao nhiờu cỏch chia số học sinh lớp thành cỏc tổ cho số nam nữ chia cho tổ Bài 13 Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chỡ 180 tập giấy thành số phần thưởng Hỏi chia nhiều phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bút bi , bút chỡ, tập giấy? Bài 14: Một số tự nhiên chia cho 2, cho , cho , cho , cho dư , chia cho thỡ khụng cũn dư a) Tỡm số nhỏ cú tớnh chất trờn b) Tỡm dạng chung cỏc số cú tớnh chất trờn Giải: Gọi x số phải tỡm thỡ x – M(2;3 ;4; 5; 6) nờn x – bội chung 2, 3, 4, 5, BCNN( 2;3;4;5;6) = 60 Vậy x – 1∈{60 ;120;180;240;… } x∈{61 ,121 ,181,241,301,…} Trong cỏc số trờn, số nhỏ chia hết cho số 301 b) Vỡ x – bội 60 nờn x –1= 60n hay x = 60n + (n ∈ N*) x M7 Ta cú : x = 60n + = 7.8n – + 4(n + 2) Vỡ 7.8n M7 ,do để x M7 thỡ phải cú 4(n + 2) M7 hay n + M7 Đặt n + = 7k thỡ n = 7k – (k ∈ N*) x = 60n + 1= 60(7k - 2) + = 420k – 119 để tỡm x ta việc cho k cỏc giỏ trị : k = 1, 2, 3, … Bài 15 Ba em An , Bảo , Ngọc học trường lớp khác An ngày trực nhật lần , Bảo 10 ngày trực nhật lần, cũn Ngọc trực nhật lần.lần đầu ba em trực nhật ngày hỏi ngày sau ba em lại trực nhật vào ngày? Đến ngày em trực nhật lần? Bài 16 Bạn Nam nghĩ số có ba chữ số bớt số thỡ số chia hết cho bớt thỡ số chia hết cho ,nếu bớt 10 thỡ số chia hết cho hỏi bạn Nam nghĩ số nào? Bài 17 Một vườn hỡnh chữ nhật cú chiều dài 105 m chiều rộng 60 m người ta muốn trồng xung quanh vườn cho góc vườn có khoảng cách hai liên tiếp 43 Tính khống cách lớn hai liên tiếp (Khoảng cách số tự nhiên với đơn vị mét ) Khi tổng số ? Hướng dẫn :Gọi khoảng cỏch cõy liờn tiếp a (một) vỡ gúc vườn có khoảng cách liên tiếp lớn nờn 105 M a ; 60 M a a lớn => a ∈ ƯCLN(105,60) Ta cú 105 = 3.5.7 60 = 22.3.5 => ƯCLN (105,60) = 3.5.=15 Vậy khoảng cỏch lớn cõy liờn tiếp 15 m Chu vi mónh vườn (105+60).2 =330 m Tổng số cõy 330 : 15 = 22 cõy Bài 18 Một khối học sinh xếp hàng hàng hàng hàng hàng thừa em xếp hàng thỡ vừa đủ Biết số học sinh chưa đến 300 Tính số học sinh Hướng dẫn: Gọi số hs cần tỡm a (0[...]... nhanh 1/ 16 8 . 16 8 − 16 8 .58 11 0 2/ (4 56. 11 + 912 ).37 13 .74 3/ 864 .48 − 432. 96 864 .48.432 4/ 45. 16 − 17 28 + 45 .15 5/ 72 56. 4375 − 725 365 0 + 4375.7255 8/ 27.45 + 27.55 2 + 4 + 6 + + 14 + 16 + 18 6/ ( 315 + 372).3 + (372 + 315 ).7 26. 13 + 74 .14 9/ 19 78 .19 79 + 19 80. 21 + 19 58 19 80 .19 79 − 19 78 .19 79 7/ 26. 10 8 − 26. 12 32 − 28 + 24 − 20 + 16 − 12 + 8 − 4 Bài 6 Tính giá trị biểu thức A = 12 7 36 + 64 12 7 – 27 10 0... 7 = 10 010 0a + 10 010 b + 10 01c + 7= 10 01( 100a + 10 1b + c) + 7 34 Vì 10 01 M 7 ⇒ 10 01( 100a + 10 1b + c) M 7 và 7M 7 Do đó abcabc + 7 M 7, vậy abcabc + 7 là hợp số b/ abcabc + 22 = 10 01( 100a + 10 1b + c) + 22 10 01M 11 ⇒ 10 01( 100a + 10 1b + c) M 11 và 22M 11 => abcabc + 22 = 10 01( 100a + 10 1b + c) + 22 M 11 và abcabc + 22 >11 nên abcabc + 22 là hợp số c/ Tương tự abcabc + 39 chia hết cho 13 và abcabc + 39 >13 ... chữ số 7 18 Bài giải: Bài 8: Muốn biết 210 0 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 210 0 với 10 30 v 10 31 * So sánh 210 0 với 10 30 Ta có: 210 0 = ( 210 )10 = 10 2 410 ; 10 30 = (10 3 )10 = 10 0 010 Vì 10 2 410 > 10 0 010 nên 210 0 > 10 30 (*) * So sánh 210 0 với 10 31 Ta có: 210 0 = 2 31 269 = 2 31. 263 26= 2 31 (29)7.(22)3 = 2 31. 512 7 43 (1) 10 31 = 2 31 5 31 = 2 31. 528.53 = 2 31 (54 )7 53 = 2 31 62 57 53... M37 Bài 12 : Ta coự: 10 2k – 1 = 10 2k – 10 k + 10 k -1 = 10 k (10 k – 1) + (10 k – 1) Do 10 k - 1M 19 nẽn 10 k (10 k – 1) + (10 k – 1) M 19 Vãy 10 2k – 1 M 19 Bài 13 : a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chaỹn => n = 2k (k ∈ N) Ta coự: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10 )( 2k + 15 ) = 2(k + 5)(2k + 15 ) Chia heỏt cho 2.Khi n leừ => n = 2k + 1 (k ∈ N) Ta coự: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10 )(2k +1 + 15 ) = (2k + 11 )(2k + 16 ) =... (1) và (2) ta có: 2 31 512 7 43 < 2 31 512 7 53 Hay 210 0 < 10 31 ( **) Từ (*),( **) ta có: 10 31 < 210 0 < Số có 31 chữ số nhỏ nhất 10 31 Số có 32 chữ số nhỏ nhất Nên 210 0 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân 19 30 + 5 Bài 9: a) A = 31 19 + 5 90 19 . (19 30 + 5) 19 31 + 95 Nên 19 A = = = 1 + 19 31 + 5 19 31 + 5 19 31 + 5 90 19 31 + 5 19 . (19 31 + 5) 19 32 + 95 B = 32 nên 19 B = = = 1 + 32 32 32 19 + 5 19 + 5 19 ... Ví dụ: So sánh 3 210 và 16 1 5, số nào lớn hơn Hướng dẫn: Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 3 210 và 16 1 5 về luỹ thừa cùng cơ số 2 3 210 = (25 )10 = 250 ; 16 1 5 = (24 )15 = 260 Vì 250 < 260 suy ra 3 210 < 16 1 5 Bài tập Bài 1: So sánh các số sau? a) 2 711 và 818 e) 523 và 6. 522 b) 62 55 và 12 57 f) 7. 213 và 2 16 c) 5 36 và 11 24 g) 211 5 và 275.498 và 11 21 Bài 2: So sánh... hơn a) 10 30 và 210 0 b) 333444 và 444333 c) 13 40 và 2 16 1 d) 5300 và 3453 Bài 9: So sánh các số sau a) 5 217 và 11 972 b) 210 0 và 10 249 c) 912 và 277 d) 12 580 và 2 511 8 e) 540 và 62 010 f) 2 711 và 818 Bài 10 : So sánh các số sau a) 5 36 và 11 24 c) 32 n và 23n (n ∈ N * ) b) 62 55 và 12 57 d) 523 và 6. 522 Bài 11 : So sánh các số sau a) 7. 213 và 2 16 b) 211 5 và 275.498 c) 19 920 và 200 315 d) 339 và 11 21 Bài 12 : So... 12 53 : 254 c) 16 6 : 42 d) 278 : 94 e) 12 55 : 253 f) 414 .528 g) 12 n : 22 n h) 64 4. 16 5 : 420 Tớnh giỏ trị biểu thức Bài 1: a, 38: 34 + 22 23 b, 3.42 – 2.32 i) (12 53 75 – 17 55:5) : 20 012 002 k 16 64 82: ( 43 25. 16 ) 46. 34.95 Bài 2: a) 61 2 e) 212 .14 .12 5 b) 35 36 72 3.54 2 10 84 f) 310 .3 + 310 .5 39.2 213 + 25 d) 10 2 2 +2 453.204 .18 2 c) 18 05 g) 210 .13 + 210 .65 28 .10 4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: a) Cho A = 5 415 ... Bài 1: a) 3 3 3 4 4 c) 16 6 : 42 b) a a a + b b b b d) 17 8: 94 e, 12 54 : 253 f) 414 528 g) 12 n: 22n h) 84 16 5 i) 540 12 52 62 53 k) 274 811 0 l) 10 3 10 05 10 004 p) 2550 .12 55 q) 64 3.48. 16 4 t) x.x 4 x 7 .x100 v) x 2 x5 x8 .x 2003 m) 410 .230 n) 925.274. 813 r) 5 x.5 x.5 x s) x1.x 2 .x 20 06 Bài 2: a) 38 : 36 ; 19 7 :19 3 210 : 83 ; 12 7 : 67 ; 275 : 813 b) 1 06 :10 ; 58 : 252 ; 49 : 64 2 ; 225 : 324 ; 18 3... 5.29 . 61 9- 7.229.2 76 Tính A : B b) C = 218 1.729 + 243. 81. 27 D = 32.92.243 + 18 .243.324 + 723 729 a) ( 217 + 17 2 ).( 915 − 315 ).(24 − 42 ) Bài 2: Tớnh: c) (12 + 23 + 34 + 45 ). (13 + 23 + 33 + 43 ).(38 − 812 ) Tính C : D b) ( 719 97 − 719 95 ) : ( 719 94.7) d) (28 + 83 ) : (25.23 ) e) (1 + 2 +…+ 10 0) (12 + 22 + … + 10 2) (65 11 1 – 13 15 37) Bài 3: Tớnh: A= 310 .11 + 310 .5 39.24 B= 210 .13 + 210 .65 28 .10 4 14 C= ... + 10 2) (65 11 1 – 13 15 37) Bài 3: Tớnh: A= 310 .11 + 310 .5 39.24 B= 210 .13 + 210 .65 28 .10 4 14 C= 49. 36 + 64 4 16 4 .10 0 D= 723.542 10 84 E= 46. 34.95 61 2 F= 213 + 25 210 + 22 G= 212 .14 .12 5 355 .6. .. có: 210 0 = ( 210 )10 = 10 2 410 ; 10 30 = (10 3 )10 = 10 0 010 Vì 10 2 410 > 10 0 010 nên 210 0 > 10 30 (*) * So sánh 210 0 với 10 31 Ta có: 210 0 = 2 31 269 = 2 31. 263 26= 2 31 (29)7.(22)3 = 2 31. 512 7 43 (1) 10 31 =... 70) :14 – 40 10 22/ [ 61 + (53 − x)] 17 = 17 85 Bài Tính nhanh 1/ 16 8 . 16 8 − 16 8 .58 11 0 2/ (4 56. 11 + 912 ).37 13 .74 3/ 864 .48 − 432. 96 864 .48.432 4/ 45. 16 − 17 28 + 45 .15 5/ 72 56. 4375 − 725 365 0