A/ LÝ THUYẾT: Gọi A= an an −1 a aa 210 Tacó :
27.37 M37; (+ deg) 37; M: deg 3 7M
Do abc abc Vậy abc
Bài 12: Ta coự: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 1M 19 nẽn 10k(10k – 1) + (10k – 1) M 19 Vãy 102k – 1 M 19
Bài 13: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chaỹn => n = 2k (k ∈N).
Ta coự: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia heỏt cho 2.Khi n leừ => n = 2k + 1 (k ∈N).
Ta coự: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia heỏt cho 2.
Vãy (n + 10)(n + 15) Chia heỏt cho 2. b/ ẹaờt. A = n (n + 1)(n + 2)
+ Trong hai soỏ tửù nhiẽn liẽn tieỏp coự moọt soỏ chaỳn vaứ moọt soỏ leừ, soỏ chaỳn chia heỏt cho 2 nẽn A chia heỏt cho 2.
+ Trửụứng hụùp: n = 3k (k ∈N) thỡ n chia heỏt cho 3 nẽn A chia heỏt cho 3. (1) Trửụứng hụùp: n khõng chia heỏt cho 3 thỡ n = 3k + 1 hoaởc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia heỏt cho 3
nẽn A chia heỏt cho 3. (2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia heỏt cho 3
nẽn A chia heỏt cho 3. (3)
Tửứ (1), (2) vaứ (3) suy ra: A chia heỏt cho 3. Vaọy A chia heỏt cho caỷ 2 vaứ 3.
Bài 14: Ta coự abcd =100ab cd+ Maứ: ab =2cd
Suy ra: abcd =2cdcd =200cd cd+ =201cd=3.67cdM67 Vaọy: abcd M67
Bài 15: a) Một số chia hết cho 5 thỡ số đĩ tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy cĩ ba số cĩ chữ số chia hết cho 5 là: 950 ; 590 ; 905.
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thỡ số đĩ tận cùng bằng 0 . vậy cĩ hai số cĩ chữ số chia hết cho 2 và cho 5 là: 950 ; 590 ;
Bài 16: Số 123x43y M 5 nờn y = 0 hoặc y = 5.
•Với y = 0 , ta cú số 123x430 . số này phải chia hết cho 3 , nờn 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 M 3 hay 12 + (x+ 1) M 3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nờn x + 1 = 3 ; 6 ; 9.
- Nếu x + 1 = 3 thỡ x = 2 ,ta được 1232430 - Nếu x + 1 = 6 thỡ x = 5 ,ta được 1235430 - Nếu x + 1 = 3 thỡ x = ,ta được 1238430
Với y = 5 , ta cú số 123x435 . số này phải chia hết cho 3 , nờn 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5 M 3 hay 18 + x M 3 ,nờn x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta cú cỏc số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và
Các phương pháp chứng minh chia hết
Phương pháp 1: để chứng minh A bM (b≠0). Ta biểu diễn A b k= . trong đĩ k N∈
Bài 1: Cho n N∈ . Chứng minh rằng: (5 )n 100M125
Bài 2: Cho A= + +2 22 ... 2+ 2004. Chứng minh rằng: a) AM6 b) AM7 c) AM30
Bài 3: Cho S = + + +3 32 ... 31998. Chứng minh rằng : a) SM12 b) sM39
Bài 4: Cho B= + + +3 32 ... 3100 Chứng minh rằng: BM120
Bài 5: Chứng minh rằng
a) 3636−9 4510M b) 810− −89 8 558M c) 55− +54 5 73M d) 76+ −7 7 115 4M e) 54 24 10 63 54 24 10 63
24 .54 .2 72M
g) 817−279−9 4513M h) 3n+3+3n+1+2n+3+2n+2M6∀ ∈n N i) (210+211+2 ) : 712 là một số tự nhiên.
Phương pháp 2: Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng Nếu a b m± M và a mM ⇒b mM
Phương pháp 3: Để chứng minh một biểu thức chứ chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b (
0
b≠ )Ta cĩ thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho b
Bài 6: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. c) Chứng minh rằng: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 d) Chứng minh rằng: Tích của 5 số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120
(Chú ý: Các bài tốn trên đây được sử dụng trong chứng minh chia hết, khơng cần CM lại)
Bài 7: Chứng minh rằng: a) (5n+7)(4n+6) 2M∀ ∈n N
b) (8n+1)(6n+5) khơng chia hết cho 2 ∀∈N
Bài 8: Chứng minh rằng: A n n= ( +1)(2n+1) 6M∀ ∈n N
Bài 9: a) Cho n N∈ . Chứng minh rằng: n2M3 hoặc n2 chia 3 dư 1 b) CMR: Khơng tồn tại n N∈ để n2+ =1 300...0
Bài 10: Chứng minh rằng: ∀m n N, ∈ ta luơn cĩ m n m. ( 2−n2) 3M
Bài 12: CMR khơng tồn tại n N∈ để 2
15 sè 2004
1 20042004...2004
n + =1 4 44 2 4 4 43
Phương pháp 4: Để chứng minh A bM . Ta biểu diễn b dưới dạng b m n= . . Khi đĩ
+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh A mM và A nM ⇒ A m nM . hay A bM
+ Nếu ( ; ) 1m n ≠ ta biểu diễn A a a= 1. 2 rồi tìm cách C.minh a m a n1M ; 2M thì tích a a m n1. 2M . tức A bM
Bài 13: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. c) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
Bài 14 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ khơng chia hết cho 3 thì a2−1 6M
Bài 15: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8 b) Chứng minh rằng: Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48 c) Chứng minh rằng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384
Bài 16 : Chứng minh rằng: B=10n +18n−1 27M
Bài 16: Chứng minh rằng: