PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI ĐỀ CHÍNH THỊ XÃ THỨC CẤP THCS NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3.5 điểm): Anh (chị) trình bày hoạt động trình tự phương pháp chung để tìm lời giải toán Lấy ví dụ minh họa Câu (4,0 điểm): Anh (chị) giải toán sau: a) Tìm x, y biết: 2x + y − 2x + y −1 = = 6x b) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 2013 Tính giá trị biểu thức sau: P= 2013 x y z + + xy + 2013 x + 2013 yz + y + 2013 xz + z + Câu (2.0 điểm): Cho nửa đường tròn đường kính AB Ax, By hai tia vuông góc với AB nằm phía với nửa đường tròn I điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến I cắt Ax, By M, N Chứng minh tam giác MON vuông Anh (chị) giải toán cho biết toán giúp học sinh rèn luyện hoạt động toán học nào? Câu (4,5 điểm): Cho x, y số dương thỏa mãn: x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y Một học sinh có lời giải sau: Áp dụng BĐT Côsy cho hai số dương 4 x+ y = = (2) (1) xy ≤ x y 2 xy Từ (1) (2) suy A ≥ xy ≥ Vậy minA = x y Ta có: A = + ≥ a) Anh (chị) sai lầm học sinh lời giải toán b) Anh (chị) trình bày lời giải toán Câu (6,0 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh a M điểm cạnh CD ( M khác C D) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AM H BH cắt AC K a) Chứng minh rằng: Tứ giác ABCH nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AD, MK, CH đồng qui c) Tia AM cắt tia BC E.Tia vuông góc với tia AM A cắt tia CD F Xác định vị trí M cạnh CD cho diện tích tứ giác ACEF gấp lần diện tích hình vuông ABCD - Anh (chị) giải toán - Anh (chị) hướng dẫn để học sinh giải câu b -Hết Họ tên giáo viên dự thi SBD: (Cán coi thi không giải thích thêm, giáo viên dự thi không sử dụng tài liệu) PHÒNG GDĐT HOÀNG MAI HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THỊ XÃ CẤP THCS NĂM HỌC 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Nội dung Câu Phương pháp chung tìm lời giải toán (3,5đ) - Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán: + Giả thiết gì? Kết luận? Hình vẽ sao… + Phát biểu toán nhiều dạng khác để hiểu rõ toán + Bài toán thuộc dạng toán nào? + Các kiến thức liên quan - Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Chỉ rõ bước cần tiến hành theo trình tự thích hợp - Bước 3: Thực chương trình giải: Trình bày theo bước - Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải: + Xem có sai lầm không + Có thể giải toán theo cách khác không + Có thể khai thác toán không Ví dụ (Gợi ý): Dạy giải tập: Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí 21,6 810 112 − 52 Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán - Yêu cầu tính giá trị biểu thức hợp lí nên thực phép khai phương thức Do phải biến đổi thành thức mà biểu thức dấu khai phương Bước 2: Xác định hướng giải thiết lập chương trình giải - Đưa thừa số dấu - Thực phép nhân thức Bước 3: Thực chương trình giải 21,6 810 112 − 52 = 21,6 81.10 ( 11 + ) ( 11 − ) = 21,6.10.4 = 36 216.6 = 36 63.6 = 36.6 = 1296 Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải: - Các phép toán thực xác, kết - Các khâu suy luận hợp lí, phép biến đổi hợp lí - Tìm thêm cách giải khác: 21,6 810 112 − 52 = 21,6.810.(121 − 25) = 216.81.96 = 63.9 2.6.42 (Ví dụ hợp lí 1,5 điểm) Câu (4,0 đ) Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1,5 2x + y − 2x + y −1 a = = Theo ta có: (1) 6x (2,0 đ) Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta có: 2x + y − 2x +1 + y − 2x + y −1 = = = (2) 5+7 12 −1 x = 2 x + = ⇒ +) x + y − = (*) từ (2) ⇒ (TM (*)) 3 y − = y = +) Nếu x + y − ≠ Từ (1) (2) ⇒ x = 12 ⇔ x = ⇒ y = −1 x = x = Vậy ; thỏa mãn toán y = y = b Vì xyz = 2013 nên 2013 x (2,0 đ) P = + xy + 2013 x + 2013 0,5 0,5 0,5 0,5 y z + yz + y + 2013 xz + z + xyzx y z xyzx y z + + = + + xy + xyzx + xyz yz + y + xyz xz + z + xy (1 + xz + z ) y ( z + + xz ) xz + z + xz z xz z = + + = + + + xz + z z + + xz xz + z + xz + z + xz + z + xz + z + xz + z + = =1 xz + z + = 1,0 1,0 Câu (2,0 đ) Vì Ax, By hai tia vuông góc với đường kính AB (O) nên Ax, By hai tiếp tuyến (O) Ta có OM, ON hai tia phân giác hai góc AOI BOI kề bù (Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) · ⇒ OM ⊥ ON ⇒ MON = 900 hay tam giác MON vuông O Bài toán giúp học sinh rèn luyện hoạt động toán học “nhận dạng” “thể hiện” tính chất tiếp tuyến áp dụng tính chất tiếp tuyến Câu (4,5 đ) a Lời giải em HS sai điều kiện xảy dấu (1,5 đ) Theo lời giải dấu “=” đồng thời xãy 0,5 0,5 0,5 0,5 1 y = 4x = ⇔ x y ⇔ ⇔ x = y = Khi A không tồn x = y x = y b (3,0đ) 1,5 Lời giải Vì x + y = 1.Ta có: A= x + y 4( x + y ) y 4.x y 4.x + = + = + +5≥ + = 9(côsi) ⇒ A ≥ x y x y x y x y 1 x + y = x = x= 3 dấu “=” xãy y = x ⇔ Vậy A = ⇔ x y = y = y 3 1,5 1,5 Câu (6,0đ ) · 1- a Tứ giác ABCH có: ·ABC + CHA = 900 + 900 = 1800 (2,0 đ) Suy Tứ giác ABCH nội tiếp đường tròn 1- b Vì Tứ giác ABCH nội tiếp đường tròn ⇒ ·ACB = ·AHB mà (2,0 đ) ·ACB = ·ACD = 450 ⇒ ·ACD = ·AHB = 450 ⇒ KCM · · = KHM = 450 ⇒ Tứ giác MKCH nội tiếp 2,0 Khi tam giác AMC có AD, MK, CH ba đường cao nên ba đường thẳng AD, MK, CH đồng qui 1- c Ta có: ∆ADF = ∆ABE ( g.c.g ) ⇒ AE = AF ⇒ ∆AEF vuông cân (1,0 đ) Đặt DM = x ( < x < a ) 0,5 · · · · ⇒ MKC + MHC = 1800 ⇒ MKC = 1800 − MHC = 1800 − 900 = 900 ⇒ MK ⊥ AC 1,0 0,5 CE MC CE a−x a (a − x) = ⇒ = ⇒ CE = EB AB CE + a a x a4 2 2 2 AE = AB + BE = a + (a + CE) = a + x Ta có: Khi đó: S ACEF = S ACE + S AEF = 1 a(a − x) a a3 ( x + a) AB.CF + AE = a + a2 + = 2 2 x x 2x2 0,5 Theo ta có: S ACEF = 3.S ABCD ⇒ (1 đ) 0,5 a ( x + a) a = 3a ⇔ x − ax − a = ⇔ x = 2x Vậy để thỏa mãn toán M trung điểm CD - Nêu phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy - Quan sát hình vẽ ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính chất đường đồng quy tam giác - Mà AD ⊥ MC CH ⊥ AM nên ta dự đoán AD, MK, CH đường cao tam giác AMC - Ta phải chứng minh MK ⊥ AC ⇔ ∠ MKC = 900 Mà ∠ MHC = 900 nên phải chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp Lưu ý: Thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa 1,0 ... Họ tên giáo viên dự thi SBD: (Cán coi thi không giải thích thêm, giáo viên dự thi không sử dụng tài liệu) PHÒNG GDĐT HOÀNG MAI HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THỊ XÃ... hành theo trình tự thích hợp - Bước 3: Thực chương trình giải: Trình bày theo bước - Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải: + Xem có sai lầm không + Có thể giải toán theo cách khác không + Có... 112 − 52 = 21,6 81.10 ( 11 + ) ( 11 − ) = 21,6.10.4 = 36 216.6 = 36 63.6 = 36.6 = 1296 Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải: - Các phép toán thực xác, kết - Các khâu suy luận hợp lí, phép biến