Nguyn Vn Ton 0982 782 990 Trng THPT Lng Giang s BI TP A PHNG PHP CHNG MINH QUI NP TON HC 1.Chng minh rng : n(n + 1)(2n + 1) n(2n 1)(2n + 1) c) + + + + (2n 1) = n2 d) 12 + 32 + 52 + + (2n 1)2 = 2 n (n + 1) 1 1 n e) 13 + 23 + 33 + + n3 = f) + + + + = 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n + 1 1 1 1 n+1 g) + + 22 + + 2n = 2n h) (1 )(1 )(1 n2 ) = 2n n(n + 1)(n + 2) i) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) = j) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n 1) = n2(n + 1) nN 1 1 n k) 1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2n 1)(2n + 1) = 2n + l) 1.2 + 2.5 + 3.7 + + n(3n 1) = n2(n + 1) 3n2 + 5n + 2 m) 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n(3n + 1) = n(n + 1) n) + + + + (3n + 1) = n n(3n + 1) 1 1 o) + + + + (3n 1) = p) + 32 + 33 + + 3n = 2.3n 2 n 2n + n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) q) + 32 + 33 + + 3n = 4.3n t) + + + 10 + + = 1 n(n + 3) u) 1.2.3 + + n(n + 1)(n + 2) = 4(n + 1)(n + 2) 2.Chng minh rng : a) n3 n chia ht cho n b) n3 + 11n chia ht cho n c) 42n +2 chia ht cho 15 n d) 2n+2 > 2n + e) n3 + 3n2 + 5n chia ht cho f) 4n + 15n chia ht cho g) 3n > n n > h) 3n > 3n + i) 2n n > i)11n +1 + 122n chia ht cho 133 j) 5.23n + 33n chia ht cho 19 k) 3n > n2 + 4n + 1 1 13 l) 2n3 3n2 + n chia ht cho m) n + + n + + n + + + 2n > 24 n >1 1 1 2n + 1 n) n + + n + + n + + + 3n + > n o) 2n + < 3n + 1 1 1 p) + + + + > n n q) + + + + < n n 2 n n 1 k) + + + + 2n < n Chng minh rng + + + = 2cos2n + ( n du cn) Chng minh rng nx (n +1)x nx (n +1)x sin sin cos sin a) sinx + sin2x + + sinnx = b) + cosx + cos2x + + cosnx = x x sin2 sin2 n sinnx.cos(n + 1)x c) cos2x + cos22x + cos23x + + cos2nx = + 2sinx Cho n s thc dng x1,x2,,xn tha iu kin x1.x2.xn = Chng minh rng: x1 + x2 + + xn n Cho n s thc x1,x2,,xn (0;1) n Cmr: (1 x1)(1 x2)(1 xn) > x1 x2 xn B DY S Vit s hng u tiờn ca cỏc dóy s sau : 3n + 1 + ( 2)n a) un = 2n b) un = n2 + c) un = n + d) un = n+1 n n 2n 1 n n+1 e) un = 2n b) un = 2n + c) un = (1 + n ) d) un = n +1 a) + + + + n = n(n + 1) b) 12 + 22 + 32 + + n2 = Nguyn Vn Ton 0982 782 990 Trng THPT Lng Giang s 3n Cho dóy s un = 2n + 17 32 b) s 15 l s hng th my ca dóy c) s l s hng th my ca dóy Cho dóy s (un) vi un = 5.4n + Chng minh rng: un + = 4un n1 Tỡm s hng th n ca cỏc dóy s sau: a) u1 = ; un +1 = un + b) u1 = ; un +1 = 3un + c) u1 = ; u n +1 = un d) u1 = ; un +1 = + un un + un + 1 e) u1 = ; un +1 = u f) u1 = ; un +1 = u g) u1 = 1; u n +1 = un + h) u1 = 1; un +1 = un+(2 )n n n a) Xỏc nh s hng u i) u1 1, un1 2un j) u1 3, un un2 k) u1 3, un1 2un l) u1 1, un1 2un m) u1 1, un1 un n) u1 Cho dóy s (un) xỏc nh bi : u1 = ; u2 = ; un + = a) Chng minh rng: un + = un + u , u n1 n un+1 + un b) Xỏc nh cụng thc tớnh un T ú tớnh limun un1 + un 2 a)Chng minh rng: 2un + un1 = v un un = 3( )n b) Tớnh limun Tỡm s hng th 2015 ca dóy s: a) u1 = ; u2 = ; un = 3un 2un b) u1 = ; u2 = ; un = 4un 3un Cho dóy s (un) xỏc nh bi u1 = v un + 1= un + n a) Tớnh u2, u4 v u6 b) Chng minh rng: un = 7n n Cho dóy s (un) xỏc nh bi u1 = v un + 1= un2 + un + n a) Tớnh u2, u3 v u4 b) Chng minh rng: un = un + n 10 Cho dóy s (un) xỏc nh bi u1 = v un + 1= 5un n a) Tớnh u2, u4 v u6 b) Chng minh rng: un = 2.5n n 11 Cho dóy s (un) xỏc nh bi u1 = v un + 1= 3un + 2n n Chng minh: un = 3n n n un2 + 12 Cho dóy s (un) xỏc nh bi u1 = v un + 1= n Chng minh: (un) l mt dóy khụng i 13 Cho dóy s (un) xỏc nh bi u1 = v un + 1= 4un + n 22n + a) Tớnh u2, u3 v u4 b) Chng minh rng: un = n 14 Xột tớnh tng gim ca cỏc dóy s sau: 3n2 2n +1 n2 + n +1 n +1 2n a) un = b) u c) u d) u e) un n= n=n n n= n +1 2n +1 n 3n Cho dóy s (un) xỏc nh bi : u1 = ; u2 = ; un = n2 n 2n (1)n h) un j) un n cos2 n j) un n2 4n n2 n 15 Xột tớnh tng gim ca cỏc dóy s sau: n+1 n1 3n ( 1)n.n a) un = b) un = n2 c) un = d) un = ( 1)n.n e) un = 2n f) un = n g) un = n 2n n+1 n 2n n h) un = i) un = n + cos2n k) un = n + l) un = 2n + 5n m) un = 3n n 16 Xột tớnh tng gim ca cỏc dóy s sau : n2 + n n a) un = n2 b) un = c) un = 4n d) un = n + n e) un = + + + + n du cn 1 n1 2n + f) un = 2n + cosn g) un = n h) un = n + i) un = ( 1)n(2n + 1) k) un = 5n + f) un 4n g) un Nguyn Vn Ton 0982 782 990 Trng THPT Lng Giang s an2 + 17 Cho dóy s (un) xỏc nh bi un = 2n2 + a l mt s thc.Hóy xỏc nh a : a) (un) l dóy s gim b) (un) l dóy s tng 18 Xột tớnh b chn ca cỏc dóy s sau: n+1 2n n1 n2 2n2 a) un = n b) un = 3n + c) un = d) un = n2 + e) un = n2 + n +1 g) un = k) un 6+ n2 2n h) un + + n du cn n n l) un 2n n2 n n2 2n n bj un n(n 1) 2n2 + 2n + f) un = n2 + n + j) un n2 m) un (1)n cos 2n 1 19 Chng minh rng dóy s sau tng v b chn trờn: un = 1.2 + 2.3 + + n(n +1) n+3 20 Chng minh rng dóy s sau gim v b chn : un = n + 1 21.Cho dóy s (un) xỏc nh bi cụng thc: u1 = v un +1 = un + a) Chng minh rng un < n b)Chng minh rng dóy (un) tng v b chn un + 22 Cho dóy s (un) xỏc nh bi cụng thc u1 = v un +1 = u + n a) Tỡm s hng u tiờn ca dóy s b)Chng minh rng (un) b chn di bi s v b chn trờn bi s 3/2 23 Cho dóy s (un) xỏc nh bi cụng thc u1 = v un +1= + un Chng minh rng un < n n + ( 1)n 24 Cho dóy s (un) xỏc nh bi un = 2n + a) Tỡm s hng u tiờn b) Chng minh rng (un) b chn un2 + 25 Chng minh rng dóy s xỏc nh bi : u1 = ; un +1= tng v b chn trờn 26 Chng minh rng:cỏc dóy s sau 1 a) un = n + + n + + + n + n (un) l dóy tng v b chn trờn bi 1 1 b) un = + 22 + 32 + + n2 tng v b chn trờn bi c) u1 = ;un + = + un tng v b chn trờn bi un + d) u1 = 1;un + = u + tng v b chn trờn bi n n1 27 Tỡm s hng ln nht ca dóy s (un) vi un = n2 n + C BI TP NNG CAO Hãy tìm công thức số hạng tổng quát Un dãy số (Un) xác định nh- sau: u u1 2; u u1 1; u a b c u n 5u n 6u n ; n 1,2,3, u n u n u n ; n 1,2,3, u n 3u n 8u n , n 0,1,2,3 u1 2; u d u n 3u n 2u n1 ; n 2,3, u1 1; u e f u n 2u n u n ; n 2,3, u1 Cho dãy số (un) xác định nh- sau: u u n n 1 ( 2)u n u1 1; u u u n u n n ; n 2,3, Tìm U1998 , n 2,3,4, Nguyn Vn Ton 0982 782 990 Trng THPT Lng Giang s 1 u1 Cho dãy số (un) đ-ợc xác định: u 2n u n n 2n , n 2,3,4, Cmr: n N : u1 u2 un Hai dãy số u0, u1, u2, , un , v0, v1, v2, , vn, đ-ợc xác định nh- sau: 2 u0 ; u n u n2 2 n 0,1,2,3, Chứng minh rằng: n u n n v0 1; vn1 vn2 n 0,1,2,3, n 0,1,2,3, u1 Cho dãy số (un) cú , n 1, 2,3, gọi p số lẻ q số chẵn Chứng minh: up > uq un u n u1 Cho dãy số (un): Cmr số hạng dãy số nguyên u u 24 u 1, n 1, 2, n n n u1 u2 Cho dãy số (un): Chứng minh số hạng dãy số số nguyên un21 u , n 3, 4, n un un un , n 1, n N 2un Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s un xỏc nh bi : u u1 u1 Xỏc nh s hng tng quỏt ca cỏc dóy s: a b un un un 2u ; n un u ; n n n n u1 10 Cho dóy s (un) xỏc nh bi : Tỡnh tng S ui i un1 3un , n u un n 2, n 1, n N 11 Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s un xỏc nh bi : n1 u1 u1 12 Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy (un) c xỏc nh : n un1 un 3.4 5un ;n un un 13 Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy s (un) xỏc nh bi : u 14 Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy s (un) xỏc nh bi u1 1, u2 u1 2, u2 u1 2, u2 a) b) c) un 9un 18un ; n un 3un 2un ; n un 5un 6un ; n u1 2, u2 d) un 3un 2un ; n u1 0, u2 e) un 4un 3un ; n A - NVT -1 ...Nguyn Vn Ton 0982 782 990 Trng THPT Lng Giang s 3n Cho dóy s un = 2n + 17 32 b) s 15 l s hng th my ca dóy c) s l s hng th my ca dóy... un = n + i) un = ( 1)n(2n + 1) k) un = 5n + f) un 4n g) un Nguyn Vn Ton 0982 782 990 Trng THPT Lng Giang s an2 + 17 Cho dóy s (un) xỏc nh bi un = 2n2 + a l mt s thc.Hóy xỏc nh a : a) (un) l... 1; u u u n u n n ; n 2,3, Tìm U1998 , n 2,3,4, Nguyn Vn Ton 0982 782 990 Trng THPT Lng Giang s 1 u1 Cho dãy số (un) đ-ợc xác định: u 2n u n n 2n , n 2,3,4, Cmr: n N : u1