BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (1,0 điểm) Cho số phức z = + 2i Tìm phần thực phần ảo số phức w = z + z Cho log x = Tính giá trị biểu thức A = log x + log x3 + log x Câu II (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = − x + x Câu III (1,0 điểm) Tìm m để hàm số f ( x) = x − x + mx − có hai điểm cực trị Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị đó, tìm m để x12 + x2 = ( ) Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 3x x + x + 16 dx Câu V (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; −2), B(1;0;1) C (2; −1;3) Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC Câu VI (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin x + 7sin x − = Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều khiển Tính xác suất để B mở cửa phòng học Câu VII (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân B, AC = a Hình chiếu vuông góc A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AC , đường thẳng A ' B o tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' chứng minh A ' B vuông góc với B ' C Câu VIII (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M , N hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC , BD P giao điểm hai đường thẳng MN , AC Biết đường thẳng AC có phương trình x − y − = 0, M (0; 4), N (2; 2) hoành độ điểm A nhỏ Tìm tọa độ điểm P, A B Câu IX (1,0 điểm) Giải phương trình 3log ( ) + x + − x + log ( ⎛ ⎞ + x + − x log ( x ) + ⎜1 − log x ⎟ = ⎝ ⎠ ) Câu X (1,0 điểm) Xét số thực x, y thỏa mãn x + y + = 2 ( ) x − + y + (*) Tìm giá trị lớn x + y Tìm m để 3x + y − + ( x + y + 1) 27 − x − y − ( x + y ) ≤ m với x, y thỏa mãn (*) Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: Chữ ký cán coi thi 1: ; Chữ ký cán coi thi 2: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN (Đáp án - Thang điểm có 04 trang) Câu I (0,5 điểm) (1,0 điểm) Ta có w 1 2i 2i Đáp án Điểm 0,25 2i Vậy phần thực w phần ảo w 2 (0,5 điểm) Ta có A log2 x log2 x log2 x II (1,0 điểm) - 0,25 0,25 log2 x 2 Tập xác định: D Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y 4x 4x ; x x 1 1 x y ; y ; y x 1 x x 0,25 0,25 Hàm số đồng biến khoảng ; 1 0; Hàm số nghịch biến khoảng 1; 0 1; - Cực trị: hàm số đạt cực đại x 1, y c® 1; đạt cực tiểu x 0, yCT - Giới hạn: lim y ; lim y - 0,25 Bảng biến thiên: x x 0,25 Đồ thị: 0,25 Hàm số cho xác định với x III (1,0 điểm) Ta có f (x ) 3x 6x m 0,25 Hàm số có hai điểm cực trị phương trình 3x 6x m có hai nghiệm phân biệt, tức m 0,25 2 Ta có x x x x 2x 1x 2 m 3 (thỏa mãn) Vậy m 2 IV (1,0 điểm) Ta có I 0,25 0,25 3x 2dx 3x x 16 dx 0,25 m 3 I1 3x dx x 3 27 0,25 3x I2 x 16 dx Đặt t x 16, ta có t 2x ; t(0) 16, t(3) 25 25 Do I 2 0,25 t dt 16 t t 25 61 0,25 16 V (1,0 điểm) Vậy I I I 88 Ta có BC 1; 1;2 0,25 Mặt phẳng (P ) qua A vuông góc với BC có phương trình x y 2z 0,25 x t Đường thẳng BC có phương trình y t z 2t Gọi H hình chiếu vuông góc A BC Ta có H (P ) BC - Vì H BC nên H t ; t ;1 2t - Vì H (P ) nên 1 t t 1 2t t 1 0,25 0,25 Vậy H 0;1; 1 VI (0,5 điểm) (1,0 điểm) sin x Ta có sin x sin x sin x sin x : vô nghiệm x k 2 (k ) sin x x 5 k 2 (0,5 điểm) Không gian mẫu có số phần tử n() A10 720 Gọi E biến cố: “B mở cửa phòng học” Ta có E (0;1;9),(0;2; 8),(0; 3; 7),(0; 4; 6),(1;2; 7),(1; 3;6),(1; 4; 5),(2; 3; 5) Do n(E ) n(E ) Vậy P(E ) n() 90 0,25 0,25 0,25 0,25 H Gọi trung điểm A H ABC A BH 45o VII (1,0 điểm) AC , ta có AC a S ABC a Tam giác A HB vuông cân H , suy A H BH a Do VABC AB C A H S ABC a 0,25 Ta có BH Gọi I giao điểm A B AB , ta có I trung điểm A B AB Suy HI A B Mặt khác HI đường trung bình AB C nên HI // B C Do A B B C Phương trình MN: x y Tọa độ P nghiệm hệ x y P ; 2 2 x y Vì AM song song với DC điểm A, B, M , N thuộc đường tròn nên ta có PAM PCD ABD AMP VIII (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy PA PM Vì A AC : x y nên A a; a 1, a 2 2 a a a A(0; 1) Ta có a 2 2 2 Đường thẳng BD qua N vuông góc với AN nên có phương trình 2x 3y 10 Đường thẳng BC qua M vuông góc với AM nên có phương trình y 2x 3y 10 Tọa độ B nghiệm hệ B 1; y Điều kiện: x IX (1,0 điểm) Khi phương trình cho tương đương với x x log x x .log 3x log 3x log x x log 3x log x x log 3x log x x log 3x x x 3x log2 3 3 3 3 0,25 0,25 3 x 9x x 9x x 81x 68x 68 x2 81 0,25 Kết hợp với điều kiện x 2, ta có nghiệm x log 0,25 x x log 3x Vì x nên 3x 17 x 2x 3x (1) 0,25 Mặt khác x 2x x2 x 2x Do phương trình (1) vô nghiệm 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x 17 X (0,25 điểm) (1,0 điểm) Điều kiện: x 2, y 3 Ta có (*) x y 1 x y x y (**) Vì x y x y nên từ (**) suy x y 1 x y 1 0,25 x y x y Ta có x 6, y thỏa mãn (*) x y Do giá trị lớn biểu thức x y (0,75 điểm) Vì x y nên từ (**) suy x y 1 x y 1 x y x y (vì x y 0) x y 1 x y x y x y Vì x 2x (do x ), y 2y nên x y x y Do 3x y 4 x y 1 27x y x y 3x y 4 x y 1 27x y x y 0,25 0,25 Đặt t x y, ta có t 1 t Xét hàm số f (t ) 3t 4 t 1 27t 6t Ta có f (1) f (t ) 3t 4 ln 27t t 1 27t ln 6; 2188 ; 243 f (t ) 3t 4 ln2 t 1 ln 2 27t ln 0, t [3;7] Suy f (t ) đồng biến (3;7) Mà f (t ) liên tục [3;7] f (3)f (7) 0, f (t ) có nghiệm t0 (3; 7) Bảng biến thiên 0,25 Suy 3x y 4 x y 1 27x y x y Đẳng thức xảy x 2, y Vậy m 148 với x, y thỏa mãn (*) 148 - Hết -