Giáo trình nhập môn hàm thức tạ lê lợi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT F7G GIÁO TRÌNH NHẬP MÔN HÀM PHỨC TẠ LÊ LI - 2004 Nhập môn hàm phức Tạ Lê Lợi Mục lục Chương I Số phức - Hàm phức 1.1 Số phức 1.1.1 Đònh nghóa 1.1.2 Các phép toán 1.1.3 Biểu diễn số phức 1.1.4 Tính chất 1.1.5 Căn bậc n 1.1.6 Biểu diễn cầu 1.2 Sự hội tụ 1.2.1 Khoảng cách 1.2.2 Dãy hội tụ 1.2.3 Các tập C 1.2.4 Các đònh lý bản: Cantor, Heine-Borel 1.3 Hàm phức - Tính liên tục 1.3.1 Đònh nghóa 1.3.2 Hàm phức xem phép biến đổi Ra2 1.3.3 Giới hạn hàm 1.3.4 Hàm liên tục 1.3.5 Các đònh lý hàm liên tục: Cauchy, Cantor, Weiersrtass 1.3.6 Đònh lý đại số 10 Chương II Chuỗi lũy thừa - Hàm giải tích 2.1 Chuỗi lũy thừa hình thức 2.1.1 Chuỗi lũy thừa hình thức 2.1.2 Đại số C[[Z]] chuỗi hình thức 2.1.3 Phép chia 2.1.4 Đạo hàm hình thức 2.1.5 Thay biến 2.1.6 Chuỗi ngược 2.1.7 Quan hệ đồng dư modulo Z N ký hiệu O(Z N ) 2.1.8 Hàm sinh 2.2 Hội tụ 2.2.1 Chuỗi số 2.2.2 Dãy hàm - Sự hội tụ 2.2.3 Chuỗi hàm 2.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ 2.3.1 Đònh lý Abel Bán kính hội tụ 2.3.2 Tổng, tích chuỗi lũy thừa hội tụ 11 11 11 11 12 13 14 15 16 17 17 17 18 19 19 21 2.3.3 Thay biến chuỗi lũy thừa hội tụ 21 2.3.4 Nghòch đảo chuỗi lũy thừa hội tụ 22 2.3.5 Đạo hàm chuỗi lũy thừa hội tụ 22 2.3.6 Chuỗi ngược 23 2.4 Một số hàm sơ cấp 24 2.4.1 Hàm tuyến tính 24 2.4.2 Hàm lũy thừa 24 2.4.3 Hàm mũ 24 2.4.4 Các hàm lượng giác 24 2.4.5 Logarithm phức - Nhánh đơn trò hàm logarithm 26 2.4.6 Hàm lũy thừa tổng quát 26 2.5 Hàm giải tích 27 2.5.1 Đònh nghóa 27 2.5.2 Chuỗi lũy thừa hội tụ hàm giải tích 28 2.5.3 Không điểm hàm giải tích 29 2.5.4 Nguyên lý thác triển giải tích 29 2.5.5 Cực điểm - Hàm phân hình Chương III Hàm chỉnh hình - Tích phân Cauchy 3.0 Ánh xạ tuyến tính R2 C 3.0.1 Biểu diễn số phức ma trận thực 3.3.2 Ánh xạ tuyến tính bảo giác 3.1 Tính khả vi phức - Hàm chỉnh hình 3.1.1 Đạo hàm 3.1.2 Điều kiện Cauchy-Riemann 3.1.3 Công thức tính đạo hàm 3.1.4 Hàm chỉnh hình 3.1.5 Tính bảo giác 3.1.6 Lưới tọa độ 3.2 Tích phân đường 3.2.1 Đường cong C 3.2.2 Tích phân đường 3.2.3 Tính chất tích phân đường 3.2.4 Nguyên hàm - Công thức Newton-Leibniz- Đònh lý Morera 3.3 Đònh lý Cauchy 3.3.1 Đònh lý Cauchy cho miền đơn liên 3.3.2 Đònh lý Cauchy cho miền có biên đònh hướng 3.3.3 Công thức tích phân Cauchy 3.3.4 Khai triển Taylor 3.3.5 Công thức tích phân cho đạo hàm cấp cao 3.3.5 Sự đồng khái niệm giải tích chỉnh hình 3.4 Các tính chất hàm chỉnh hình 3.4.1 Bất đẳng thức Cauchy Đònh lý Louville Đònh lý đại số 3.4.2 Đònh lý gía trò trung bình Nguyên lý maxima Bổ đề Schwarz 3.4.3 Đònh lý 31 31 31 32 32 32 33 34 34 35 35 35 37 37 38 40 40 43 44 45 46 46 47 47 47 48 3.4.4 Đònh lý ánh xạ mơ û 48 3.4.5 Đònh lý Weierstrass hội tụ 49 Chương IV Kỳ dò - Thặng dư 4.1 Chuỗi Laurent 4.1.1 Chuỗi Laurent 4.1.2 Khai triển Laurent 4.2 Điểm kỳ dò cô lập 4.2.1 Đinh nghóa 4.2.2 Phân loại kỳ dò cô lập theo chuỗi Laurent 4.2.3 Kỳ dò vô 4.3 Thặng dư 4.3.1 Đònh nghóa 4.3.2 Đònh lý thặng dư 4.3.3 Tính thặng dư 4.4 Thặng dư logarithm - Nguyên lý argument 4.4.1 Thặng dư logarithm 4.4.2 Đònh lý thặng dư logarithm 4.4.3 Nguyên lý argument 4.4.4 Đònh lý Rouché 4.5 Ứng dụng thặng dư 2π R(cos t, sin t)dt 4.5.1 Tích phân dạng 4.5.2 Tích phân dạng +∞ −∞ +∞ f (x)dx 50 50 50 51 52 52 54 55 55 56 57 58 58 58 59 59 60 60 61 f (x)eix dx 62 4.5.3 Tích phân dạng −∞ 4.5.4 Tính tổng chuỗi 63 Bài tập 66 Tài liệu tham khảo [1] Ahlfors L., Complex Analysis , ed., McGraw Hill, NewYork 1966 [2] Cartan H., Théorie Élémentaire des Fonctions Analytiques d’une ou Plusieurs Variables Complexes , Hermann, Paris 1961 [3] Lang S , Complex Analysis, Springer-Verlag,, 1990 [4] Sabat B.V., Nhập môn giải tích phức , NXB ĐH& THCN, Hà nội 1974 [5] Spiegel M.R., Theory and Problems of Complex Variables , McGraw Hill, NewYork 1981 [6] Volkovuski L.I & al., Bài tập lý thuyết hàm biến phức , NXB ĐH& THCN, Hà nội 1979 I Số phức - Hàm phức SỐ PHỨC Trên trường số thực, xét phương trình bậc hai ax + bx + c = trường hợp b2 − 4ac < phương trình vô nghiệm ta lấy bậc hai số âm Vào kỷ XVI nhà toán học biết cách giải phương trình trường hợp cách “làm đầy” tập số thực bậc hai số âm Đã có nhiều tranh cãi xảy ra, số nhà toán học phủ nhận tồn số âm, số nhà toán học khác lại sử dụng chúng với số thực với lập luận không chặt chẽ Mãi đến kỷ XIX, nhà toán học Na uy Wessel đưa cách biểu diễn hình học số phức, Hamilton đưa cách biểu diễn đại số, làm sở cho việc tiên đề hệ thống số Việc đưa vào hệ thống số phức đóng góp nhiều việc phát triển toán học khoa học tự nhiên Ta xây dựng tập số phức C mở rộng tập số thực R cho phương trình bậc hai, chẳng hạn x2 + = 0, có nghiệm; đồng thời đònh nghóa phép toán cộng, trừ, nhân, chia cho C trường số 1.1 Đònh nghóa Ký hiệu i, gọi số ảo, để nghiệm phương trình x2 + = 0, i.e i2 = −1 Tập số phức tập có dạng: C = {z = a + ib : a, b ∈ R} z = a + ib gọi số phức, a = Rez gọi phần thực b = Imz z1 , z2 ∈ C, z1 = z2 nếuu1 Rez1 = Rez2 , Imz1 = Imz2 xem R tập C đồng R = {z ∈ C : Imz = 0} gọi phần ảo Ta Từ “số ảo” sinh từ việc người ta không hiểu chúng phát số phức Thực số phức “thực” số Ví dụ √ √ a) Số phức z = −6 + i có phần thực ø Rez = −6, phần ảo Imz = b) Để giải phương trình z + z + = 0, ta biến đổi z + z + = (z + )2 + Vậy phương trình tương đương √ −1 ± i z= (z + )2 = − 4 Một cách hình thức, ta suy nghiệm Sau đònh nghóa phép toán vừa thực 1.2 Các phép toán Về mặt đại số nghóa sau: Phép cộng C trường số với phép toán đònh (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) Trong giáo trình này: nếuu = I.1 Số phức Từ có phép trừ (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d) Phép nhân Với ý i2 = −1 phép nhân đònh nghóa (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) a + ib , với c + id = + i0, Còn phép chia c + id giải phương trình a + ib = (c + id)(x + iy) Hay Vậy đònh nghóa cách tự nhiên cx − dy = a dx + cy = b ac + bd bc − ad a + ib = +i 2 c + id c +d c + d2 (c + id = = + i0) Tính chất Với phép toán C trường số Nhắc lại trường số có nghóa là: Phép cộng nhân vừa đònh nghóa có tính giao hoán, kết hợp phân phối Phép cộng có phần tử không = + i0, phần tử đối z = a + ib −z = −a − ib Phép nhân có phần tử đơn vò = + i0, nghòch đảo z = a + ib = a b = −i 2 z a +b a + b2 Phép liên hợp Tính chất gọi số phức liên hợp z = a + ib z = z , z1 + z2 = z¯1 + z¯2 , z1 z2 = z¯1 z¯2 z = a − ib Ví dụ a) Nếu z = a + ib, z z¯ = a2 + b2 Từ chia số phức cách nhân số liên hiệp, chẳng hạn (2 − 5i)(3 − 4i) − 23i + 20i2 −14 − 23i − 5i = = = 2 + 4i (3 + 4i)(3 − 4i) −4 i 25 b) Từ đònh nghóa suy ra: z¯ + z = 2Rez, z¯ − z = 2iImz , z ∈ R ⇔ z¯ = z c) Nếu α nghiệm đa thức với hệ số thực P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n , α¯ nghiệm Thực vậy, P (α) = nên a + a1 α + · · · + an αn = Lấy liên hợp ta có a¯0 + a¯1 α¯ + · · · + a¯n α¯ n = Với ý a¯k = ak , ta suy P (α¯ ) = Modul số phức |z| = Tính chất |z|2 = z z¯, √ gọi modul số phức z = a + ib |Rez| ≤ |z|, |Imz| ≤ |z| |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (bất đẳng thức tam giác) Chứng minh: Các bất đẳng thức hàng đầu hiển nhiên Ta chứng minh kết luận hàng sau Trớc hết, ta có |z1 z2 |2 = z1 z2 z1 z2 = z1 z2 z¯1 z¯2 = z1 z¯1 z2 z¯2 = |z1|2 |z2 |2 Suy |z1 z2 | = |z1 ||z2 | Để chứng minh bất đẳng thức tam giác, dựa vào đònh nghóa tính chất nêu a2 + b2 I.1 Số phức phần ta có |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(z¯1 + z¯2 ) = z1 z¯1 + z2 z¯2 + 2Rez1 z¯2 Dùng bất đẳng thức |Rez1 z¯2 | ≤ |z1 z¯2 | = |z1 ||z2|, thay vào Suy |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | z z |z1 +z2 |2 ≤ (|z1 |+|z2 |)2 Ví dụ Nếu z2 = 0, từ z2 = z1 ta có |z2| = |z1 | Vậy z2 z2 Qui nạp ta có |z1 + z2 + · · · + zn | ≤ |z1| + |z2 | + · · · + |zn | |z1 | z1 = z2 |z2 | 1.3 Biểu diễn số phức y ✻ b ✟ ✯ ✟✟ ✟ r✟ i ✟✟ ✟ ✻ ✟✟ ϕ ✟✟ a O Dạng đại số z ✲ x z = a + ib, a, b ∈ R, i2 = −1 Dạng hình học z = (a, b), a, b ∈ R Trong mặt phẳng đa vào hệ tọa trục Descartes với = (1, 0), i = (0, 1) vector sở Khi số phức z = a + ib biểu diễn vector (a, b), C xem toàn mặt phẳng, gọi mặt phẳng phức Trong phép biểu diễn phép cộng số phức biểu thò phép cộng vector hình học Dạng lượng giác biểu diễn số z = r(cos ϕ + i sin ϕ), phức z = a + ib tọa độ cực (r, ϕ), ta có quan hệ: √ a = r cos ϕ r = |z| = a2 + b2 , modul z b = r sin ϕ ϕ = Arg z, gọi argument z ϕ góc đònh hướng tạo = (1, 0) z mặt phẳng phức Vậy z = 0, b a cos ϕ = √ 2 sin ϕ = √ 2 Ta thấy ϕ có vô số giá trò sai khác a +b a +b 2kπ, k ∈ Z Nếu qui ước lấy giá trò −π < ϕ ≤ π , giá trò gọi giá trò ký hiệu argz Vậy viết Argz = argz + 2kπ, k ∈ Z √ Ví dụ z = − i có modul |z| = suy từ Rez > tg ϕ = √−13 Vậy √ ( 3)2 + (−1)2 = 2, argument √ − i = 2(cos(− π3 ) + i sin(− π3 )) argz = − π3 I.1 Số phức Dạng Euler z = reiϕ Trong giải tích thực ta biết biểu diễn chuỗi ex = + x + x2!2 cách hình thức x = iϕ, xếp từ, ta có + x3 3! + ··· Thay eiϕ = + iϕ − ϕ2! − iϕ3! + ϕ4! − iϕ5! + · · · ϕ2n ϕ2n + · · · ) + i(ϕ − ϕ3! + ϕ5! − · · · (−1)n+1 (2n+1)! + ···) = (1 − ϕ2! + ϕ4! + · · · (−1)n (2n)! = cos ϕ + i sin ϕ (do khai triển Taylor hàm cos sin ) Từ có biểu diễn Euler cho số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Việc chứng minh tính hợp lý biến đổi trình bày chương sau Euler tìm hệ thức quan hệ tuyệt đẹp số 1, 0, e, π i: e iπ + = Mỗi cách biểu diễn số phức có thuận tiện riêng Sau số ứng dụng 1.4 Tính chất |z1 z2 | = |z1 ||z2 | Suy công thức de Moivre Arg(z1 z2 ) = Argz1 + Argz2 (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn (cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ N Chứng minh: Biểu diễn z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) Ta có z1 z2 = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 ) = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) Suy |z1 z2 | = r1 r2 = |z1 ||z2 |, Arg(z1 z2 ) = ϕ1 + ϕ2 + 2kπ = Argz1 + Argz2 Nhận xét Về mặt hình học phép nhân số phức r(cos ϕ + i sin ϕ) với số phức phép co dãn vector z tỉ số r quay góc ϕ (xem hình vẽ) r(cos ϕ + i sin ϕ)z ✻ ✂ ✂ ✂ O 1.5 Căn bậc n ✂ ✂ ✂ s sz ✟ ✯ ✟ ✂ ✂ ✟✟✟ ✂✟ ✲ ϕ số phức Đònh nghóa bậc n (n ∈ N ) = z số phức w thoả Để xác đònh w, biểu diễn z = reiϕ = rei(ϕ+2kπ) w = ρeiθ Từ công thức de Moivre ρn einθ = rei(ϕ+2kπ) wn z số phức z I.1 Số phức Suy   ρ =  θ √ n r (căn bậc n ϕ + 2kπ , k∈Z n = theo nghóa thực) Vậy phương trình có n nghiệm phân biệt với z = 0: wk = √ n ϕ 2π rei( n +k n ) = √ n r(cos( 2π ϕ 2π ϕ + k ) + i sin( + k )), n n n n k = 0, · · · , n − Nhận xét Ta thấy số phức z = có n bậc n khác Về mặt hình học ng đỉnh đa giác n cạnh, nội tiếp đường tròn tâm bán √ n kính r w3 s ws2 sw1 s s w0 s s s w n = 1, Ví dụ a) Căn bậc n đơn vò n số phức: ω k = cos với n = 1, ω, · · · , ω n−1 , với 2kπ 2π 2kπ + i sin = ei n , k = 0, · · · , n − n n √ √ b) Để tìm gía trò + i, ta biểu diễn + i = 2(cos π4 + i sin π4 ) √ π 2kπ Suy + i = (cos( 12π + 2kπ ) + i sin( 12 + )), k ∈ Z Vậy có giá trò1 phân biệt là: π π ) + i sin( 12 )) k = 0, w0 = (cos( 12 3π 3π k = 1, w1 = (cos( ) + i sin( )) 17π k = 2, w2 = (cos( 17π 12 ) + i sin( 12 )) 1.6 Biểu diễn cầu Trong nhiều toán để thuận tiện người ta đưa vào khái niệm điểm vô Khi ta xét đến mặt phẳng phức mở rộng : C = C ∪ {∞}, với ∞ gọi điểm vô (là điểm lý tưởng không thuộc C) C mô tả mặt cầu Riemann, qua phép chiếu sau: I.2 Sự hội tụ C P t ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ C ✁ ✁ ✁ ✁ z ✁ t ✁ ✁ ✁ M ❝ Trong R3 với hệ tọa độ (x, y, u), ta đồng C với mặt phẳng {u = 0} Mặt cầu S : x2 + y2 + u2 = 1, gọi mặt cầu Riemann Gọi P = (0, 0, 1) điểm cực bắc Xét phép chiếu nổi: S \ {P } M → z ∈ C = {u = 0}, với z điểm nằm tia x + iy P M Biểu thức cụ thể: M = (x, y, u) → z = 1−u Phép chiếu từ P xác đònh đồng phôi (i.e song ánh liên tục hai chiều) từ S \ {P } lên C Nếu cho tương ứng P với ∞, ta mô tả C mặt cầu S Nhận xét Tương tự, thực phép chiếu từ điểm cực nam P = (0, 0, −1) x − iy Khi zz = Như lên mặt phẳng {u = 0}, ta có M (x, y, u) → z = xét lân cận ∞, dùng biến đổi z = , z 1+u ta đa xét lân cận SỰ HỘI TỤ TRONG C Ngoài cấu trúc đại số C có cấu trúc hình học Khái niệm xuất phát khoảng cách, đa đến khái niệm hội tụ “làm” giải tích C Cũng cần lưu ý xem C R , kết qủa nêu phần đặc biệt so với trường hợp thực 2.1 Khoảng cách Khoảng cách z1, z2 ∈ C, đònh nghóa: d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | Từ tính chất modul suy tính chất khoảng cách Tính chất d(z1, z2) ≥ d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z2, z3) 2.2 Dãy hội tụ Một dãy số phức ánh xạ z : N −→ C, Thường ta ký hiệu (zn )n∈N, hay liệt kê: z1 , z2 , z3 , · · · Dãy (zn ) gọi hội tụ z0 ∈ C, nếuu n → z(n) = z n ∀ > 0, ∃N > : n ≥ N ⇒ d(zn , z0 ) = |zn − z0 | < Khi đó, ký hiệu n→∞ lim zn = z0 hay zn → z0 (khi n → ∞) 67 Bài tập Rn =   cos x n!  [(n/2)!]2 lẻ n chẵn neu n neu Tìm công thức tương tự cho sinn x 14 Chứng minh với n ∈ N, ta có: ( cos θ + cos(θ + α) + · · · + cos(θ + nα) = sin( 12 (n + 1)α) n cos(θ + α) sin α sin θ + sin(θ + α) + · · · + sin(θ + nα) = sin( 12 (n + 1)α) n sin(θ + α) sin α Hướng dẫn Sử dụng + z + · · · + z n = − z n+1 , 1−z với z = eiα ) 15 Chứng minh tổng tích nghiệm đa thức a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an = − a a0 (−1)n n Suy cos 4π 2(n − 1)π 2π + cos + · · · + cos = −1 n n n sin 4π 2(n − 1)π 2π + sin + · · · + sin =0 n n n 16 Phân tích thành thừa số đa thức sau trường phức trường thực: z ± 1, z ± 1, z ± 1, z ± 17 Chứng minh x2n +1= n−1 (x2 − cos k=0 2k + π + 1) n 18 Cho ω bậc n đơn vò (n ∈ N) Tính + ω + · · · + ω n−1 19 Gọi ω0 , · · · , ωn−1 bậc n đơn vò p , Tính S = ω0p + ω1p + · · · + ωn−1 với a) p bội n b) p không bội n 20 Chứng minh, với số phức ta có: a) |a ± b|2 = |a|2 + |b|2 ± Rea¯b b) |a + b|2 + |a − b|2 = 2(|a|2 + |b|2 ) a − ≤ | arga| c) |a| d) |a + b| ≥ b a (|a| + |b|) + |a| |b| a1 a0 68 Bài tập e) | n aj bj |2 = j=1 f) (n − 2) g) n n n |aj |2 + | |aj |2 − | n n |aj |2 j=1 j=1 j=1 n n |ak b¯j − a¯j bk |2 |bj |2 − j=1 1≤k hay lên Imw < 0, tùy thuộc ad − bc dương hay âm 32 Chứng minh kết qủa phát biểu 3.3 33 Xét liên tục hàm f với f (0) = z = 0: z Rez z Rez z¯ c) f (z) = d) f (z) = a) f (z) = b) f (z) = |z| z 34 Chứng minh hàm f (z) = cần rõ z4 |z| z z +1 35 Cho f : C −→ C ký hiệu Zf Zf tập đóng liên tục đường tròn |z| = ngoại trừ điểm mà = {z ∈ C : f (z) = 0} 36 Có tồn hàm liên tục f C cho: a) Zf = {c1 , · · · , cn } với c1 , · · · , cn ∈ C cho trớc b) Zf Zf = Q Trong trường hợp tồn xây dựng f Chứng minh f liên tục = Z c) Zf = D(a, r) d) 37 Hàm f : X −→ C, X ⊂ C, gọi đòa phương nếuu ∀z ∈ X, ∃r(z) > co f X ∩ D(z, r(z)) Chứng minh: f đòa phương X liên thông, f = constant 38 Chứng minh hàm sau không liên tục D: 1 , z ∈ D = {|z| < 1} a) f (z) = , z ∈ D = {0 < |z| < 1} b) f (z) = 1−z z az + b , với c = 0, ad − bc = Cho z1 ∈ C Xét dãy đònh nghóa qui nạp 39 Cho f (z) = cz + d zn+1 = f (zn ) a) Chứng minh (zn ) hội tụ z0 , z0 điểm bất động f , i.e f (z0) = z0 b) Chứng minh f có diểm bất động w − z0 Chứng minh tồn c) Gọi z0 , z0 điểm bất động f Xét g(w) = w − z0 λ ∈ C, cho g(f (z)) = λg(z) d) Suy |λ| < 1, dãy (zn ) hội tụ 40 Áp dụng kết qủa tập trên, tìm giới hạn dãy (z n ), với: z+2 , z = i a) f (z) = b) z+1 z+i , z = f (z) = z+1 70 Bài tập lim zn = z0 41 Giả sử f hàm liên tục D = {|z| < 1} dãy (z n ) với |zn | < 1, n→∞ với |z0 | = Chứng minh tồn n→∞ lim f (zn ) BÀI TẬP CHƯƠNG II Chứng minh: khẳng đònh ví dụ 1.4.b), công thức đạo hàm hình thức 1.5 Cho a0 , a1 , α, β ∈ C Xét dãy đònh nghóa đệ qui: ak = αak−1 + βak−2 , k ≥ Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − αz − β Chứng minh ak = Az1k + Bz2k , với A, B ∈ C số phụ thuộc a0 , a1 , α, β ∞ Chứng minh hàm sinh G(Z) = ak Z k , thỏa (1 − αZ − βZ )G(Z) đa ( Hướng dẫn k=0 thức bậc nhất.) Bài tập tổng quát Cho a , · · · , am1 ∈ C c0 , · · · , cm−1 ∈ C Xét dãy cho phương trình sai phân: ak = c0 ak−1 + c1 ak−2 + · · · + cm−1 ak−m , (k ≥ m) Gỉa sử Z m − (cm−1 Z m−1 + cm−2 Z m−2 + · · · + c0 ) có nghiệm z1 , · · · zm khác Chứng minh tồn A1 , · · · Am ∈ C: k ak = A1 z1k + · · · + Am zm ∞ Xác đònh chuỗi hình thức S = k=0 ak Z k , nghiệm phương trình vi phân: a) S (Z) = S(Z), thỏa điều kiện đầu S(0) = 1, S (0) = b) (1 − Z )S (Z) − 4ZS (Z) − 2S(Z) = 0, S(0) = 0, S (0) = Cụ thể hoá chứng minh phát biểu 2.1 bổ đề 3.2 Xét hộ i tụ chuỗi: ∞ √ ∞ ∞ ∞ k ( + i)k z zk b) c) d) a) k 2k k/2 k=0 k=0 z k=0 Chứng minh dãy hàm fn (z) = + Xét hội tụ chuỗi hàm z+1 z , z ∈ C, n2 ∞ fk k=0 k=0 (1 + z ) không hội tụ f ≡ miền ra: z2 , Rez > b) fk (z) = , Rez ≥ (z + k) (1 + z )k zk , |z| ≥ d) fk (z) = , |z| ≤ c) fk (z) = 1+k z k(k + 1) e) fk (z) = 2 , < |z| < k +z a) fk (z) = Imz 71 Bài tập Các phát biểu sau hay sai? a) Nếu hàm fn liên tục dãy fn hội tụ f , f liên tục b) Nếu fn , gn hội tụ f, g tương ứng, f n + gn , fn gn hội tụ f + g, f g tương ứng 10 Chứng minh ( Hướng dẫn ∞ ∞ kz k zk = , |z| < 1 − zk (1 − z k )2 k=1 k=1 Khai triển thành chuỗi lũy thừa hàm dấu tổng hoán vò dấu tổng) 11 Xác đònh bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa: a) e) i) k) ∞ zk (s > 0) ks k=1 b) ∞ (1 + )k z k k k=1 ∞ kpz k k=0 ∞ j) ∞ k=0 f) ∞ zk kk k=1 ∞ e (−1)k k=0 ak z k , c) ∞ k!z k kk k=1 kz k g) d) ∞ ∞ k=0 zk k+1 k=0 với a2k+1 = a2k+1 , ((−1)k+1 k − k)z k h) ∞ q k z 2k (|q| < 1) k=0 a2k = b2k (0 < a < b) a(a + 1) · · · (a + k) k z , (a, b ∈ C, −b ∈ N) b(b + 1) · · · (b + k) k=0 12 Xét hội tụ đường tròn hội tụ chuỗi cho ví dụ 3.1.c) 13 Cho S = W = ∞ ∞ ak Z k , T = k=0 ak k Z b k=0 k ∞ bk Z k , U = k=0 ∞ k=0 apk Z k , V = ∞ ak bk Z k k=0 (với giả thiết bk = 0) Gọi R(.) bán kính hội tụ Chứng minh: R(U ) = R(S)p , R(V ) ≥ R(S)R(T ), R(W ) ≤ R(S)/R(T ) ( R(T ) = 0) 14 Tìm phần thực ảo hàm sin z cos z 15 Xác đònh giá trò: sin i, cos i, tg(1 + i), 2i , ii , (−1)2i , iπ 16 Cho z = x + iy Chứng minh công thức: | cos z|2 = sinh2 y + cos2 x = cosh2 y − sin2 x = (cosh 2y + cos 2x) | sin z|2 = sinh2 y + sin2 x = cosh2 y − cos2 x = (cosh 2y − cos 2x) √ 17 Giải phương trình ez = w Khi w = i, − 2i , −1 − i, 1+i2 18 Đúng hay sai: Lnab = Lna + Lnb , a, b ∈ C 72 Bài tập 19 Chứng minh nhánh hàm logarithm ln thoả: ln ab = ln a + ln b + 2πδi,    −1 neu π < arga + argb ≤ 2π neu −π < arga + argb ≤ π δ=   neu −2π < arga + argb ≤ −π 20 Biểu diễn chuỗi lũy thừa hàm f (z) = ln(3 − iz), với f nhánh thỏa f (0) = ln Xác đònh bán kính hội tụ 21 Tìm hàm (đơn trò) ngược √ miền xác đònh hàm: arccos,√arcsin, arccosh Chứng minh:√arccos z = −iLn(z + z − 1), arcsin z = −iLn(iz + − z ), arccosh z = Ln(z + z − 1) √ 22 Chứng minh nhánh thoả = 0, có biểu diễn: √ 1.3 1.3.5 z − z + · · · , |z| < = − z3 + 2.4 2.4.6 1+z 23 Tìm số hạng đầu khai triển Taylor: a) f (z) = ez−1 z = z = b) f (z) = z sin z z = π/2 c) f (z) = 1−z−z 24 Dùng phép toán chuỗi lũy thừa, chứng minh: ∞ 1 a) = (k + 1)(z + 1)k , |z + 1| < b) 2 z c) (1 − z ) k=0 = ∞ (k + 1)z 2k , |z| < k=0 1 ln(1 + z) = z − (1 + )z + (1 + + )z − · · · , |z| < 1+z 2 d) {ln(1 + z)}2 = z − (1 + 12 ) 23 z + (1 + 12 + 13 ) 24 z − · · · , e) esin z = + z + 25 Khai triển (ln nhánh chính) |z| < z5 z2 z4 − − + ··· 15 , (1 − z)n với n ∈ N, thành chuỗi lũy thừa 26 Tìm số hạng đầu khai triển thành chuỗi lũy thừa: c) e tgz a) ez sin z b) − sin z 27 Tìm chuỗi lũy thừa ngược chuỗi sau đến số hạng bậc z3 z5 a) sin z = z − + + · · · b) 3! 5! z3 z5 arctgz = z − + + · · · 28 Các số Bernouli Bk đònh nghóa: ∞ z Bk k = z z e − k=0 k! B1 Bk−1 B0 + + ··· + = 0, k!0! (k − 1)!1! 1!(k − 1)! Hãy xác đònh số Bernouli Chứng minh k > 73 Bài tập 29 Các số Euler Ek đợc đònh nghóa: Hãy xác đònh số Euler ∞ = Ek z k cos z k=0 30 Tìm cấp2 không điểm z = hàm: a) z (ez − 1) b) sin z + z (z − 6) c) esin z − e tgz 31 Xác đònh không điểm cấp chúng hàm: a) sin3 z b) z sin z c) sin z d) (1 − ez )(z − 4)3 32 Tìm hàm giải tích C có không điểm z1 , · · · , zn với cấp k1 , · · · , kn tương ứng Lời giải có nhất? 33 Cho f ∈ A(D), có không điểm z1 , · · · , zn với cấp k1 , · · · kn tương ứng Chứng minh tồn g ∈ A(D), g(z) = 0, ∀z cho f (z) = (z − z1 )k1 · · · (z − zn )kn g(z) 34 Đặt Zf tập không điểm hàm giải tích f Đúng hay sai: a) Zf hữu hạn, f đa thức b) Zf vô hạn, f đa thức 35 Chứng minh f, g ∈ A(D(0, R)) f (x) = g(x).∀x ∈ (−R, R) Chứng minh f ≡ g 36 Tồn hay không hàm giải tích C thoả: n , ∀n ∈ N a) f ( ) = n n+1 1 b) f ( ) = f (− ) = , ∀n ∈ N n n n 1 c) f ( ) = , n = 1; f (1) = n n BÀI TẬP CHƯƠNG III Xét tính khả vi hàm f (z) với z = x + iy: a) f (z) = z¯ b) f (z) = z z¯ c) f (z) = |xy| d) f (z) = x2 + iy3 e) f (z) = Các hàm hàm chỉnh hình ? z − |z|2 iz Xét tính chỉnh hình hàm: a) f (z) = z Rez b) f (z) = |z|4 c) f (z) = ez2 Tìm miền hàm f (z) = |x − y | + 2i|xy| chỉnh hình Cho z = eiϕ , f (z) = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ) Viết điều kiện để f khả vi tọa độ cực Chứng minh công thức tính đạo hàm 1.3 74 Bài tập Cho f (z) = u(x, y) + iv(x, y) hàm chỉnh hình C Giả sử u phụ thuộc x, v phụ thuộc y Chứng minh f (z) = rz + c, với r ∈ R, c ∈ C Chứng minh khẳng đònh ví dụ 1.? Chứng minh: Nếu f f¯ chỉnh hình miền D, f = const Chứng minh: Nếu f hình chỉnh hình, h = v − iu g = −v + iu chỉnh = u + iv 10 Tìm góc quay θ đường thẳng qua z0 hệ số góc k qua ánh xạ f (z) = z g(z) = z , với: a) z0 = b) z0 = − c) z0 = + i d) z0 = −3 + 4i 11 Tìm miền mà w = f (z) thực phép co (dãn): a) f (z) = z b) f (z) = z + 2z c) f (z) = z 12 Cho f (z) = ∞ k=0 ck z k , z ∈ D = {|z| ≤ 1} miền f (D) cho công thức: S=π ∞ k=0 Giả sử f đơn ánh Chứng minh diện tích k|ck |2 Suy f (0) = 1, S ≥ diện tích hình tròn D ( Hướng dẫn Dùng tọa độ cực) 13 Hàm thực biến thực u(x, y), (x, y) ∈ D gọi hàm điều hòa nếuu u khả vi đến cấp thỏa phương trình Laplace: ∆u = ∂2u ∂2u + = , (x, y) ∈ D ∂x2 ∂y a) Chứng minh: f chỉnh hình D, phần thực phần ảo f hàm điều hòa D (điều kiện khả vi đến cấp chứng minh 3.3) b) Kiểm tra hàm u(x, y) = e−x (x sin y − y cos y) hàm điều hòa R2 Từ điều kiện Cauchy-Rieman, phương pháp tích phân tìm hàm v cho f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) chỉnh hình C c) Tương tự câu b) v(x, y) = 2x(x − y) 14 Cho f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy a) Chứng minh: u(x, y) = (f (z) + f¯(¯z )) Suy ra: f chỉnh hình D, z z f (z) = 2u( , ) + const 2i b) Tương tự f chỉnh hình ta có: z z f (z) = 2iv( , ) + const 2i Vậy biết phần thực (phần ảo) hàm chỉnh hình hoàn toàn xác đònh hàm Đây phương pháp để xác đònh phần ảo (phần thực) tập b), c) c) Từ nhận xét trên, tìm hàm chỉnh hình biết phần thực u = x − 6x2 y2 + y4 Nhận xét 75 Bài tập 15 Cho γ1 : [0, 1] −→ C γ2 : [0, 1] −→ C, đường cong nối z0 với z1 z1 với z2 tương ứng Hãy nêu tính chất đường đònh nghóa bởi: γ1− (t) = γ1 (1 − t) , t ∈ [0, 1], γ1 (2t) neu ≤ t ≤ 1/2 γ2 (2t − 1) neu 1/2 ≤ t ≤ γ(t) = γ1 γ2 (t) = 16 Dùng đònh nghóa, tính f (z)dz , đó: γ a) f (z) = Rez , γ đường thẳng từ đến z0 b) f (z) = Imz , γ nửa đường tròn đơn vò từ đến −1 c) f (z) = |z|¯z, γ b) d) f (z) = z¯2 , γ đường tròn |z − 1| = 1, hướng thuận e) f (z) = (z − a)n (n ∈ N), γ đường tròn |z − a| = R, hớng thuận f) f (z) nh e) , γ biên hình chữ nhật tâm a có cạnh song song với trục thực ảo √ g) f (z) = √ nhánh = 1, γ b) z 17 Tìm chặn cho γ ez dz , γ(t) = t2 + i2t, t ∈ [0, 2] 18 Tính tích phân: a) z dz , với γ đường gấp khúc qua: γ b) c) γ i −2, −1 + i, + i, z sin zdz (zez + 1)dz , γ nửa đường tròn đơn vò tâm từ đến 19 Tìm điều kiện để khẳng đònh: có nghóa γ Lnzdz = , 20 Dùng công thức tích phân Cauchy, tính z2 , a) f (z) = z − 2i cos z , b) f (z) = γ := γ1 : |z| = γ với γ đường cong kín , f (z)dz , đó: γ := γ2 : |z| = γ : |z| = z +1 , γ đường cong kín không qua ±3i c) f (z) = z + z e , γ đường cong kín bao quanh miền chứa đóa |z| ≤ a d) f (z) = z + za ze , γ đường cong kín không qua a e) f (z) = (z − a)3 , γ := γ1 : |z − 1| = r; γ := γ2 : |z + 1| = r; f) f (z) = (z − 1)3 γ := γ3 : |z| = r (1 < r < 2) ez , γ đường cong kín không qua g) f (z) = z(z − 1)3 76 Bài tập ez h) f (z) = n (n ∈ Z), γ : |z| = z i) f (z) = z n (1 − z)m (n, m ∈ Z), γ : |z| = 21 Chứng minh: 2πi 2πi |z|=3 |z|=3 ezt dz = sin t z2 + ezt dz =? (z + 1)2 22 Cho γ : [0, 2π] → C đường cong có ảnh Ellip hai cách, suy 2π x2 y + = a2 b2 Tính tích phân γ dz z 2π dt = ab a2 cos2 t + b2 sin t 23 Chứng minh hàm sau nguyên hàm, miền tương ứng: z 1 , < |z| < b) , < |z| < , < |z| c) a) − 2 z z−1 1+z z(1 − z ) 24 Cho f ∈ H(D), D miền đơn liên f (z) = 0, ∀z Chứng minh tồn h ∈ H(D) f f ∈ H(D), nên tồn h1 cho h1 = ) cho f = eh ( Hướng dẫn 25 Cho f (z) = ∞ k=0 ck z k , |z| < R, f f < r < R a) Chứng minh công thức Parseval: b) Suy bất đẳng thức Cauchy: c) Chứng minh tồn k 2π 2π |f (reit )|2 dt = ∞ |ck |2 r2k k=0 M (r) , với M (r) = max |f (z)| |ck | ≤ rk |z|=r cho |ck | = M (r)/rk , f (z) = ck z k 26 Cho f ∈ H(|z| ≤ r) với |f | ≤ M Tìm chặn cho |f (n)(z)| với |z| ≤ ρ < r 27 Chứng minh hàm giải tích f C thỏa: điểm z0 ∈ C |f (n) (z0 )| > n!nn , ∀n ∈ N, 28 Cho f ∈ H(C) Giả sử tồn n ∈ N cho |f (z)| < |z|n |z| đủ lớn Chứng minh f đa thức 29 Cho f ∈ H(C), thoả: f (z) = f (z + 1) = f (z + i), ∀z Chứng minh f = const ( Chứng minh |f | giới nội) Hướng dẫn 30 Chứng minh nguyên lý minima: Cho f ∈ H(D), D miền giới nội, f f có không điểm D |f | đạt minimum ∂D = const 31 Cho f ∈ H(D), D miền giới nội Giả sử |f (z)| = const f có không điểm D, f = const Chứng minh: ∂D Khi 77 Bài tập 32 Cho f ∈ H(D), f = const Chứng minh | Ref | đạt cực đại hay cực tiểu Xét g = ef ) D ( Suy ra, u hàm điều hòa tập mở D ⊂ R2 , |u| đạt max hay D Hướng dẫn 33 Cho f g hàm chỉnh hình đóa đơn vò đóng D, không điểm D Chứng minh |f (z)| = |g(z)|, ∀z : |z| = 1, f = cg , với c số, |c| = BÀI TẬP CHƯƠNG IV Khai triển Laurent hàm sau điểm ra, xác đònh miền hội tụ: e2z , z = −2 , z = b) f (z) = (z − 3) sin a) f (z) = (z − 1) c) f (z) = z − sin z , z3 z = d) z f (z) = e z − , Khai triển Laurent miền tương ứng: (z − 1) , miền: a) f (z) = (z − 2)(z − 3) z , b) f (z) = (z − 1)(2 − z) < |z − 1| < z+2 z = 2 < |z| < miền: |z| < 1; ; |z| > < |z| < 2; < |z − 1|; Chứng minh công thức sau miền |z| > |b|: a) −1 = b−k−1 z k z − b k=−∞ b) z2 = (−1)k b−2k z 2k z + b2 k=−∞ c) −2 =− (k + 1)b−k−2 z k (z − b)2 k=−∞ Xác đònh phần cực điểm hàm: b) cotgπz c) a) z (ez − 1) z(z − 1)(z − 2) Chứng minh: a)m f (z) = Đúng hay sai: f có cực điểm f có cực điểm cấp m ∞, a d) z2 − z2 + tồn f m ≥ cho lim (z − z→a có không điểm cấp m Giả sử f có cực cấp m a, P đa thức bậc n Chứng minh p ◦ f có cực cấp m + n a 78 Bài tập Chứng minh f ef có 1cực điểm 1Chứng minh kỳ dò cô lập cực điểm ef Ví dụ e− z2 hay ze− z2 f a) Cho f hàm nguyên Giả sử tồn n ∈ N, K > 0: |f (z)| ≤ K|z|n , |z| > R Chứng minh f đa thức (bậc ?) b) Cho f hàm chỉnh hình C trừ hữu hạn cực điểm Giả sử tồn n ∈ N, K > : |f (z)| ≤ K|z|n , ∀|z| > R Chứng minh f hàm hửu tỉ 10 Cho f g hàm có không điểm hay cực điểm a Ký hiệu ω(f, a) cấp a f Chứng minh: ω(f g, a) = ω(f, a) + ω(g, a), ω( , a) = −ω(f, a), f ω(f, a) < ω(g, a) ⇒ ω(f ◦ g, a) < ω(f, a) 11 Phân loại kỳ dò 0, tìm cấp cực điểm: z sin z+1 1 , e− z2 , e z−1 , n z z z (e − 1) 12 Phân lọai điểm kỳ dò hàm: a) d) e− z2 sin z 13 Đúng hay sai: n e) cos(z + ∞ ) z2 sin z cos z − z (z + 1)(z + 2) b) z+i , z2 + 1 + z2 + z2 sin z , z2 (cos z − 1) , z c) e(z+ z ) cực điểm bậc n đa thức P P đa thức bậc 14 Tính thặng dư điểm kỳ dò các1 hàm: a) , z(z − 1) b) z sin z c) ez (z − 1)2 d) z3 + (z − 1)(z + 1) 15 Cho P (z), Q(z) đa thức Giả sử bậc Q(z) > bậc P (z) Q(z) có n nghiệm đơn z = ak (k = 1, · · · , n) Chứng minh ta có n P (ak ) P (z) = Q(z) k=1 Q (ak )(z − ak ) 16 Xác đònh số Ak , Bk , pk phân tích n Ak z + Bk = 2n z + k=1 z + pk z + 17 Tính γ f (z)dz , với: , γ : |z| = − 1)2 sin z , γ : |z| = b) f (z) = z(z − 1)(z + 1) etz (t > 0), γ biên hình c) f (z) = z(z + 1) a) f (z) = (z vuông đỉnh ±1 ± 2i 79 Bài tập 18 Khai triển Laurent tính 19 Tính: a) |z|=1 e − z2 dz 2πi b) t |z|=1 |z|=1 e z z n dz e − z1 sin dz z c) |z|=10 e z dz (z − 1)2 d) ze z dz |z|=1 20 Giả sử f, g hàm chỉnh hình, có không điểm cấp k, k + a tương ứng f (k) (a) f Chứng minh Res = (k + 1) (k+1) a g g (a) f (z) Tính Res g , a là: 21 Cho g(z) = z a f (z) a) Không điểm cấp m f b) Cực điểm cấp m f zn 22 Cho pn (z) = + z + · · · + Chứng minh: n! không điểm đóa |z| ≤ R ∀R > 0, ∃n0 , n ≥ n0 pn 23 Tìm số nghiệm đa thức: a) z + 6z + z + 2, miền: |z| < ; < |z| < b) z − 12z + 14, miền: < |z| < 5/2 ; |z| < c) z + z − 16i , miền: |z| < ; |z| < 24 Chứng minh hình tròn đơn vò phương trình: a) z e 1−z = có nghiệm b) ez = 2z + có nghiệm c) az n = ez (a > e), có n nghiệm 25 Chứng minh phương trình: 26 Tính tích phân: 2π dt a) c) d) e) f) (a2 > b2 + c2 ) có n + nghiệm đóa |z| ≤ e ĐS (a2 2π − − c2 )1/2 b2 a + b cos t + c sin t dt 2πa (a > b > 0) ĐS 2 (a + b cos t) (a − b2 )3/2 2π cos 3tdt π ĐS − cos t 12 2π dt 5π ĐS (5 − sin t) 32 2π sin nt 2 dt ĐS 2πn t sin 2π π/2 dt dt (a > 0) (a > |b|) g) a + b sin t a + sin2 t 0 b) z n+3 + ez = 2π 27 Cho P Q đa thức bậc Q minh: +∞ −∞ ≥ bậc P +2, Q không điểm thực Chứng P P (x) dx = 2πi Res a Q Q(x) Ima>0 80 Bài tập 28 Tính tích phân: +∞ dx a) b) c) d) e) f) g) π √ π ĐS ĐS x +1 xdx + x4 +∞ x dx π (a > 0) ĐS 6 3a −∞ x + a +∞ dx π ĐS √ + x2 + x4 +∞ x2 dx π (a > 0) ĐS 2 2a −∞ (x + a ) +∞ dx 3π ĐS (1 + x ) 16 +∞ dx (a, b > 0) (x2 + a2 )(x2 + b2 ) −∞ +∞ 29 Tính:+∞ cos kxdx a) 4 b) c) d) e) f) g) h) ĐS π 2ab(a + b) ak ak π −ak/2 e (cos √ + sin √ ) 2a 2 −∞ a + x +∞ cos kxdx π −ak ĐS e (ak + 1) (x2 + a2 )2 4a +∞ e−b e−a cos xdx π (a, b, k > 0) − ) ĐS ( 2 2 a2 − b2 b a −∞ (x + a )(x + b ) +∞ x3 sin x π dx ĐS 2 2e −∞ (x + 1) ∞ cos 2πxdx π −π/√3 ĐS − √ e x4 + x2 + +∞ x sin xdx (a ∈ R) 2 −∞ x + a +∞ cos αx − cos βx dx (α, β ≥ 0) x2 +∞ cos2 xdx x2 + −∞ ĐS 30 Tính tích phân: ∞ sin x π dx đs: a) x Tích phân hàm eiz /z dọc theo biên miền { ( Sau cho → R → +∞.) Hướng dẫn +∞ < |z| < R, +∞ π Imz > 0} sin x2 dx (Tích phân Fresnel) 2 0 iz Tích phân e dọc √theo biên miền {|z| < R, < argz < π/4} Cho R → ∞, với ý 0∞ e−r dr = π/2 sin ϕ ≥ 2ϕ/2, ≤ ϕ ≤ π/2, suy kết qủa) +∞ sin2 kx dx (k > 0) c) b) ( cos x2 dx Hướng dẫn x 31 Chứng minh (2) (3) (4) mệnh đề 5.4 ĐS 81 Bài tập 32 Tính tổng sau với a > 0: ∞ 1 − 2+ a) 2 ĐS k +a k=0 b) c) ∞ (−1)k k + a2 k=1 ĐS ∞ (−1)k k − a2 k=1 33 Chứng minh: ∞ a) k=0 (2k + 1)2 34 Tính: a) ∞ ĐS = π 2a cothπa π − 2a2 2a sinhπa π + 2a 2a sinhπa π2 a + bk k=0 2a b) b) ∞ π4 = k4 90 k=1 +∞ c) + k2 + k k=−∞ ∞ π6 = k6 945 k=1 c) k(2k + 1) k=0 [...]... bởi biểu thức giải tích ta xem miền xác đònh là miền trong C sao cho biểu thức f (z) có nghóa (phức) Chẳng hạn, hàm 1 có miền xác đònh là C \ {±i} f (z) = 1 + z2 b) Từ hàm đơn diệp trong lý thuyết hàm phức dùng để chỉ hàm đơn ánh, (điều này do az + b lòch sử để lại) Chẳng hạn, hàm f (z) = (ad − bc = 0), là đơn diệp trên miền z ∈ C, cz + d = 0 cz + d c) Trong√lý thuyết hàm phức còn gặp thuật ngữ hàm đa... liên tục tại z0 2.3 Chuỗi hàm Tổng hình thức ∞ fk k=0 , trong đó mỗi fk là hàm phức xác đònh trên miền D ⊂ C, gọi là một chuỗi hàm trên D n Đặt Sn (z) = fk (z), z ∈ D, gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm Các khái niệm k=0 miền hội tụ, hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm Tiêu chuẩn Cauchy Chuỗi hàm fk fk đồng nhất với các khái niệm k=0 tương ứng của dãy tổng riêng (Sn ) Từ các kết quả cuả dãy hàm hội... Đạo hàm hình thức Cho được ký hiệu bởi S (Z) hay ∞ S(Z) = dS , dZ k=0 ak Z k Đạo hàm của S(Z), là chuỗi và được đònh nghóa ∞ S (Z) = kak Z k−1 k=1 Dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta có các công thức tính đạo hàm quen biết: ∀S, T ∈ C[[Z]], và ∀α, β ∈ C, (αS + βT ) = αS + βT , (ST ) = S T + ST , Đạo hàm cấp n được đònh nghóa qui nạp: Ta có S (n) (Z) = n!an + số hạng bậc Suy ra công thức Taylor hình thức: ... (Bài tập) Vậy w = Lnz là hàm đa trò Nhánh của hàm log Cho D ⊂ C \ 0 là miền Hàm liên tục f : D → C gọi là một nhánh của hàm log nếuu ef (z) = z, ∀z ∈ D Khi đó ta ký hiệu f (z) = ln z Chẳng hạn, nhánh chính của hàm log là hàm xác đònh gía trò ln 1 = 0 (ứng với k = 0), cụ thể f (z) = ln |z| + i arg z, z ∈ D = C \ {z = te−iπ , t ≥ 0} Không phải miền nào cũng tồn tại nhánh của hàm log, chẳng hạn miền C... Tương tự nh hàm log ta có thể đònh nghóa nhánh của hàm z α Mỗi nhánh của Ln z xác đònh một nhánh của z α 27 II.5 Hàm giải tích Công thức nhò thức. Nhánh chính của hàm (1 + z)α, i.e thỏa 1α chuỗi lũy thừa là (1 + z)α = 1 + αz + = 1, có biểu diễn α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − k + 1) k z +··· + z + · · · |z| < 1 2! k! Chứng minh: Ta dùng phương pháp giải phương trình vi phân chuỗi lũy thừa hình thức để... nhánh đơn trò của hàm arccos 5 HÀM GIẢI TÍCH 5.1 Đònh nghóa Hàm gọi là giải tích tại z0 ∈ D nếuu f có thể biểu ∞ diễn như là chuỗi lũy thừa tại lân cận z0 , cụ thể là tồn tại S(Z) = ak Z k ∈ C[[Z]] f : D → C k=0 và r > 0, sao cho f (z) = S(z − z0 ) = ∞ k=0 ak (z − z0 )k , với mọi z ∈ D(z0 , r) Khi đó chuỗi S xác đònh duy nhất (nhận xét 3.5) Hàm f gọi là giải tích trên D nếuu f giải tích tại mọi z ∈ D Ký... hiệu A(D) tập mọi hàm giải tích trên D Theo các kết qủa ở §3, ta có: 28 II.5 Hàm giải tích Mệnh đề (1) A(D) là vành với phép cộng và nhân hàm thông thường (2) Hợp hai hàm giải tích là giải tích (3) Nếu f giải tích tại z0 và f (z0 ) = 0, thì f khả nghòch đòa phương tại z0 , i.e tồn tại lân cận U của z0 và V của f (z0), sao cho f : U → V là song ánh và có ánh xạ ngược giải tích (Đònh lý hàm ngược đòa phương)... liên tục, chúng được chứng minh ở giáo trình giải tích thực Đònh lý(Cauchy) Hàm f liên tục trên tập liên thông D thì ảnh f (D) là liên thông Đònh lý(Weierstrass) Hàm f liên tục trên tập compact K thì ảnh f (K) là tập compact Đặc biệt, tồn tại z1 , z2 ∈ K sao cho f (z1 ) = max |f (z)| và f (z2 ) = min |f (z)| z∈K z∈K 10 I.3 Hàm phức - Tính liên tục Đònh lý(Cantor) Hàm liên tục trên tập compact thì liên... của các hàm “đa trò” tương ứng Chẳng hạn, nếu đònh nghóa w = arcsin z là giá trò thoả sin(arcsin z) = z Khi đó nói chung sẽ có nhiều giá trò w thỏa đẳng thức (tính đa trò) Để xét các hàm đa trò ta có khái niệm tách nhánh đơn trò như sẽ được trình bày sau đây đối với hàm logarithm 26 II.3 Một số hàm sơ cấp 4.5 Logarithm phức w∈C được gọi là một logarithm của z = 0, nếuu ew = z Tập nghiệm phương trình. .. ngữ hàm đa trò, chẳng hạn biểu thức f (z) = n z xác đònh n giá trò ứng với mỗi z = 0 Ta sẽ dùng khái niệm hàm thông thường (hàm đơn trò), còn hiện tượng đa trò có những cách khắc phục để đưa về xét hàm đơn trò sẽ được đề cập sau 3.2 Hàm phức xem như phép biến đổi trên R2 Đối với hàm thực việc nghiên cứu đồ thò có vai trò đặc biệt quan trọng vì tính trực quan Đồ thò hàm phức là tập con trong không .. .Nhập môn hàm phức Tạ Lê Lợi Mục lục Chương I Số phức - Hàm phức 1.1 Số phức ... Nguyên hàm Hàm F gọi nguyên hàm hàm f miền D F (z) = f (z), z ∈ D Vậy F G nguyên hàm f miền D, từ tính liên thông suy const Hơn nữa, hàm số thực ta có: G=F + 39 III.2 Tích phân đường Công thức. .. modul, argument, hợp, hàm liên tục dễ dàng phát biểu chứng minh 3.5 Các đònh lý hàm liên tục Sau đònh lý hàm liên tục, chúng chứng minh giáo trình giải tích thực Đònh lý(Cauchy) Hàm f liên tục tập