Chuỗi lũy thừa - Hàm giải tích 2.1 Chuỗi lũy thừa hình thức.. Ta sẽ xây dựng tập các số phức C như là mở rộng tập số thực R sao cho mọiphương trình bậc hai, chẳng hạn x2 + 1 = 0, có nghi
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
GIÁO TRÌNH
NHẬP MÔN HÀM PHỨC
Trang 2Nhập môn hàm phức
Tạ Lê Lợi Mục lục
Chương I Số phức - Hàm phức
1.1 Số phức 1
1.1.1 Định nghĩa 1
1.1.2 Các phép toán 1
1.1.3 Biểu diễn số phức 2
1.1.4 Tính chất 3
1.1.5 Căn bậc n 3
1.1.6 Biểu diễn cầu 4
1.2 Sự hội tụ 5
1.2.1 Khoảng cách 5
1.2.2 Dãy hội tụ 5
1.2.3 Các tập cơ bản trong C 6
1.2.4 Các định lý cơ bản: Cantor, Heine-Borel 7
1.3 Hàm phức - Tính liên tục 7
1.3.1 Định nghĩa 7
1.3.2 Hàm phức xem như phép biến đổi trên Ra2 8
1.3.3 Giới hạn hàm 9
1.3.4 Hàm liên tục 9
1.3.5 Các định lý cơ bản của hàm liên tục: Cauchy, Cantor, Weiersrtass 9
1.3.6 Định lý cơ bản của đại số 10
Chương II Chuỗi lũy thừa - Hàm giải tích 2.1 Chuỗi lũy thừa hình thức 11
2.1.1 Chuỗi lũy thừa hình thức 11
2.1.2 Đại số C[[Z]] các chuỗi hình thức 11
2.1.3 Phép chia 11
2.1.4 Đạo hàm hình thức 12
2.1.5 Thay biến 13
2.1.6 Chuỗi ngược 14
2.1.7 Quan hệ đồng dư modulo Z N và ký hiệuO(Z N) 15
2.1.8 Hàm sinh 16
2.2 Hội tụ đều 17
2.2.1 Chuỗi số 17
2.2.2 Dãy hàm - Sự hội tụ đều 17
2.2.3 Chuỗi hàm 18
2.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ 19
2.3.1 Định lý Abel Bán kính hội tụ 19
2.3.2 Tổng, tích chuỗi lũy thừa hội tụ 21
Trang 32.3.3 Thay biến trong chuỗi lũy thừa hội tụ 21
2.3.4 Nghịch đảo của chuỗi lũy thừa hội tụ 22
2.3.5 Đạo hàm chuỗi lũy thừa hội tụ 22
2.3.6 Chuỗi ngược 23
2.4 Một số hàm sơ cấp 24
2.4.1 Hàm tuyến tính 24
2.4.2 Hàm lũy thừa 24
2.4.3 Hàm mũ 24
2.4.4 Các hàm lượng giác 24
2.4.5 Logarithm phức - Nhánh đơn trị của hàm logarithm 26
2.4.6 Hàm lũy thừa tổng quát 26
2.5 Hàm giải tích 27
2.5.1 Định nghĩa 27
2.5.2 Chuỗi lũy thừa hội tụ là hàm giải tích 28
2.5.3 Không điểm của hàm giải tích 29
2.5.4 Nguyên lý thác triển giải tích 29
2.5.5 Cực điểm - Hàm phân hình
Chương III Hàm chỉnh hình - Tích phân Cauchy 3.0 Ánh xạ tuyến tính trênR2 và trên C 31
3.0.1 Biểu diễn số phức bởi ma trận thực 31
3.3.2 Ánh xạ tuyến tính bảo giác 31
3.1 Tính khả vi phức - Hàm chỉnh hình 32
3.1.1 Đạo hàm 32
3.1.2 Điều kiện Cauchy-Riemann 32
3.1.3 Công thức tính đạo hàm 33
3.1.4 Hàm chỉnh hình 34
3.1.5 Tính bảo giác 34
3.1.6 Lưới tọa độ 35
3.2 Tích phân đường 35
3.2.1 Đường cong trong C 35
3.2.2 Tích phân đường 37
3.2.3 Tính chất của tích phân đường 37
3.2.4 Nguyên hàm - Công thức Newton-Leibniz- Định lý Morera 38
3.3 Định lý Cauchy 40
3.3.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên 40
3.3.2 Định lý Cauchy cho miền có biên định hướng 43
3.3.3 Công thức tích phân Cauchy 44
3.3.4 Khai triển Taylor 45
3.3.5 Công thức tích phân cho đạo hàm cấp cao 46
3.3.5 Sự đồng nhất của 2 khái niệm giải tích và chỉnh hình 46
3.4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình 47
3.4.1 Bất đẳng thức Cauchy Định lý Louville Định lý cơ bản của đại số 47
3.4.2 Định lý gía trị trung bình Nguyên lý maxima Bổ đề Schwarz 47
3.4.3 Định lý duy nhất 48
Trang 43.4.4 Định lý ánh xạ mơ û 48
3.4.5 Định lý Weierstrass về hội tụ 49
Chương IV Kỳ dị - Thặng dư 4.1 Chuỗi Laurent 50
4.1.1 Chuỗi Laurent 50
4.1.2 Khai triển Laurent 50
4.2 Điểm kỳ dị cô lập 51
4.2.1 Đinh nghĩa 52
4.2.2 Phân loại kỳ dị cô lập theo chuỗi Laurent 52
4.2.3 Kỳ dị tại vô cùng 54
4.3 Thặng dư 55
4.3.1 Định nghĩa 55
4.3.2 Định lý cơ bản của thặng dư 56
4.3.3 Tính thặng dư 57
4.4 Thặng dư logarithm - Nguyên lý argument 58
4.4.1 Thặng dư logarithm 58
4.4.2 Định lý cơ bản của thặng dư logarithm 58
4.4.3 Nguyên lý argument 59
4.4.4 Định lý Rouché 59
4.5 Ứng dụng thặng dư 60
4.5.1 Tích phân dạng 2π 0 R(cos t, sin t)dt 60
4.5.2 Tích phân dạng +∞ −∞ f (x)dx 61
4.5.3 Tích phân dạng +∞ −∞ f (x)e ix dx 62
4.5.4 Tính tổng chuỗi 63
Bài tập 66
Tài liệu tham khảo
[1] Ahlfors L., Complex Analysis, 2 ed., McGraw Hill, NewYork 1966
[2] Cartan H.,Théorie Élémentaire des Fonctions Analytiques d’une ou Plusieurs Vari-ables Complexes , Hermann, Paris 1961
[3] Lang S , Complex Analysis, Springer-Verlag,, 1990
[4] Sabat B.V., Nhập môn giải tích phức, NXB ĐH& THCN, Hà nội 1974
[5] Spiegel M.R.,Theory and Problems of Complex Variables, McGraw Hill, NewYork 1981
[6] Volkovuski L.I & al., Bài tập lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐH& THCN, Hà nội 1979.
Trang 5I Số phức - Hàm phức
1 SỐ PHỨC
Trên trường số thực, khi xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 trường hợp
b2− 4ac < 0phương trình vô nghiệm vì ta không thể lấy căn bậc hai số âm Vào thếkỷ XVI các nhà toán học đã biết cách giải phương trình trong trường hợp này bằngcách “làm đầy” tập các số thực bởi căn bậc hai số âm Đã có nhiều tranh cãi xảy
ra, một số nhà toán học phủ nhận sự tồn tại căn số âm, một số nhà toán học kháclại sử dụng chúng cùng với số thực với những lập luận không chặt chẽ Mãi đếnthế kỷ XIX, nhà toán học Na uy Wessel đưa ra cách biểu diễn hình học số phức, rồiHamilton đưa ra cách biểu diễn đại số, làm cơ sở cho việc tiên đề hệ thống số này.Việc đưa vào hệ thống số phức đã đóng góp nhiều trong việc phát triển toán học vàkhoa học tự nhiên
Ta sẽ xây dựng tập các số phức C như là mở rộng tập số thực R sao cho mọiphương trình bậc hai, chẳng hạn x2 + 1 = 0, có nghiệm; đồng thời định nghĩa cácphép toán cộng, trừ, nhân, chia sao cho Clà một trường số
1.1 Định nghĩa Ký hiệu i, gọi là cơ số ảo, để chỉ nghiệm phương trình x2+ 1 = 0,i.e i2= −1 Tập số phức là tập có dạng:
C = {z = a + ib : a, b ∈ R}
z = a + ib gọi là số phức, a = Rez gọi là phần thực cònb = Imz gọi là phần ảo
z1, z2 ∈ C, z1= z2 nếuu1 Rez1= Rez2, Imz1= Imz2
Ta xem Rlà tập con của Ckhi đồng nhất R = {z ∈ C : Imz = 0}
Từ “số ảo” sinh ra từ việc người ta không hiểu chúng khi mới phát hiện ra số phức.Thực ra số phức rất “thực” như số thực vậy
Ví dụ
a) Số phứcz = −6 + i √
2có phần thực ø Rez = −6, phần ảo Imz = √2.b) Để giải phương trìnhz2+ z + 1 = 0, ta biến đổi z2+ z + 1 = (z + 12) 2 +34 Vậyphương trình tương đương (z + 1
Sau đây là định nghĩa các phép toán vừa thực hiện
1.2 Các phép toán Về mặt đại số C là trường số với các phép toán được địnhnghĩa như sau:
Phép cộng (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
1 Trong giáo trình này: nếuu = nếu và chỉ nếu
Trang 6I.1 Số phức 1Từ đây cóphép trừ (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)
Phép nhân Với chú ý lài2= −1 phép nhân được định nghĩa
(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
Còn phép chia a + ib
c + id, với c + id = 0 + i0, được định nghĩa một cách tự nhiên khigiải phương trình a + ib = (c + id)(x + iy)
Tính chất Với các phép toán trênClà trường số.
Nhắc lại trường số có nghĩa là:
Phép cộng và nhân vừa định nghĩa ở trên có tính giao hoán, kết hợp và phân phối.Phép cộng có phần tử không là0 = 0+i0, phần tử đối củaz = a+iblà−z = −a−ib.Phép nhân có phần tử đơn vị là 1 = 1 + i0, nghịch đảo của z = a + ib = 0 là
b) Từ định nghĩa suy ra: ¯z + z = 2Rez, ¯z − z = 2iImz, và z ∈ R ⇔ ¯ z = z
c) Nếu α là nghiệm của đa thức với hệ số thựcP (z) = a0+ a1z + · · · + a n z n, thì ¯α
cũng là nghiệm Thực vậy, vì P (α) = 0 nên a0+ a1α + · · · + a n α n = 0 Lấy liênhợp ta có¯a0+ ¯a1¯α + · · · + ¯a n ¯α n= 0 Với chú ý là ¯a k = a k, ta suy raP (¯ α) = 0
Modul số phức |z| = √ a2+ b2 gọi làmodul của số phức z = a + ib
Tính chất |z|2= z¯z, |Rez| ≤ |z|, |Imz| ≤ |z|
|z1z2| = |z1||z2|,
|z1+ z2| ≤ |z1| + |z2| (bất đẳng thức tam giác)
Chứng minh: Các bất đẳng thức ở hàng đầu là hiển nhiên Ta chứng minh các kếtluận ở các hàng sau
Trớc hết, ta có |z1z2|2 = z1z2z1z2 = z1z2z¯ 1z¯ 2= z1z¯ 1z2z¯ 2 = |z1|2|z2|2.
Suy ra |z1z2| = |z1||z2|
Để chứng minh bất đẳng thức tam giác, dựa vào định nghĩa và các tính chất nêu ở
Trang 7Qui nạp ta có|z1+ z2+ · · · + z n | ≤ |z1| + |z2| + · · · + |z n |.
1.3 Biểu diễn số phức
Dạng đại số z = a + ib, a, b ∈ R, i2= −1.
Dạng hình học z = (a, b), a, b ∈ R.
Trong mặt phẳng đa vào hệ tọa trục Descartes với 1 = (1, 0), i = (0, 1)là 2 vector cơsở Khi đó mỗi số phức z = a + ibđược biểu diễn bởi vector (a, b), cònCđược xemlà toàn bộ mặt phẳng, gọi làmặt phẳng phức Trong phép biểu diễn này phép cộngsố phức được biểu thị bởi phép cộng vector hình học
Dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
là biểu diễn số phức z = a + ibtrong tọa độ cực(r, ϕ), trong đó ta có các quan hệ:
a = r cos ϕ
b = r sin ϕ và
r = |z| = √ a2+ b2, làmodul của z
ϕ = Argz, gọi làargument của z
ϕ là góc định hướng tạo bởi 1 = (1, 0)và z trong mặt phẳng phức Vậy nếuz = 0,thìcos ϕ = √ a
a2+ b2 và sin ϕ = √ b
a2+ b2 Ta thấy ϕ có vô số giá trị sai khác nhau
2kπ, k ∈ Z Nếu qui ước lấy giá trị−π < ϕ ≤ π, thì giá trị duy nhất đó gọi làgiá trịchính và ký hiệu là argz Vậy có thể viết
Argz = argz + 2kπ, k ∈ Z.
Ví dụ z = √
3 − i có modul |z| =(√3) 2+ (−1)2 = 2, còn argument argz = − π3
suy từ Rez > 0vàtg ϕ = √ −1
3 Vậy √ 3 − i = 2(cos(− π3) + i sin(− π3)).
Trang 8I.1 Số phức 3
Dạng Euler z = re iϕ
Trong giải tích thực ta biết biểu diễn chuỗi e x = 1 + x + x2
2! +x3 3! + · · · Thay mộtcách hình thức x = iϕ, và sắp xếp các từ, ta có
e iϕ = 1 + iϕ − ϕ2!2 − iϕ3!3 +ϕ4!4 − iϕ5!5 + · · ·
= (1 − ϕ2!2 +ϕ4!4 + · · · (−1) n ϕ 2n
(2n)! + · · · ) + i(ϕ − ϕ3!3 + ϕ5!5 − · · · (−1) n+1 ϕ 2n
(2n+1)! + · · · )
= cos ϕ + i sin ϕ (do khai triển Taylor của hàm cos và sin ).
Từ đó có biểu diễn Euler cho số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
Việc chứng minh tính hợp lý của biến đổi trên sẽ được trình bày ở chương sau
Euler đã tìm ra hệ thức quan hệ tuyệt đẹp giữa các số1, 0, e, π và i: e iπ+ 1 = 0
Mỗi cách biểu diễn số phức có thuận tiện riêng Sau đây là một số ứng dụng
1.4 Tính chất |z1z2| = |z1||z2| và Arg(z1z2) = Argz1+ Argz2
Suy ra công thức de Moivre
(r(cos ϕ + i sin ϕ)) n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ N
Chứng minh: Biểu diễnz1 = r1(cos ϕ1+ i sin ϕ1), z2= r2(cos ϕ2+ i sin ϕ2)
Ta có
z1z2 = r1r2(cos ϕ1cos ϕ2− sin ϕ1sin ϕ2) + i(sin ϕ1cos ϕ2+ cos ϕ1sin ϕ2 )
= r1r2(cos(ϕ1+ ϕ2) + i sin(ϕ1+ ϕ2))
Suy ra |z1z2| = r1r2= |z1||z2|, và Arg(z1z2) = ϕ1+ ϕ2+ 2kπ = Argz1 + Argz2
Nhận xét. Về mặt hình học phép nhân số phức r(cos ϕ + i sin ϕ) với số phức z
là phép co dãn vectorz tỉ số r và quay gócϕ (xem hình vẽ)
Để xác địnhw, biểu diễn z = re iϕ = re i(ϕ+2kπ) và w = ρe iθ
Từ công thức de Moivre ρ n e inθ = re i(ϕ+2kπ)
Trang 9b) Để tìm các gía trị của √3
1 + i, ta biểu diễn 1 + i = √2(cosπ4 + i sin π4).Suy ra √3
gọi làđiểm vô cùng(là một điểm lý tưởng không thuộc C)
Cđược mô tả bởi mặt cầu Riemann, qua phép chiếu nổi như sau:
Trang 10I.2 Sự hội tụ trongC 5
Trong R3 với hệ tọa độ(x, y, u), ta đồng nhất Cvới mặt phẳng{u = 0}
Mặt cầu S : x2+ y2+ u2 = 1, được gọi là mặt cầu Riemann Gọi P = (0, 0, 1) làđiểm cực bắc
Xét phép chiếu nổi: S \ {P } M → z ∈ C = {u = 0},với z là điểm nằm trên tia
P M Biểu thức cụ thể: M = (x, y, u) → z = x + iy
1 − u.Phép chiếu nổi từ P xác định một đồng phôi (i.e song ánh liên tục hai chiều) từ
S \ {P } lênC Nếu cho tương ứngP với ∞, ta có thể mô tả Cnhư là mặt cầu S
Nhận xét. Tương tự, nếu thực hiện phép chiếu nổi từ điểm cực nam P = (0, 0, −1)
lên mặt phẳng {u = 0}, ta có M (x, y, u) → z = x − iy 1 + u Khi đó zz = 1 Như vậykhi xét tại lân cận∞, dùng biến đổiz = 1
z, ta đa về xét tại lân cận 0
2 SỰ HỘI TỤ TRONGC
Ngoài cấu trúc đại số trên C còn có cấu trúc hình học Khái niệm xuất phát làkhoảng cách, nó đa đến khái niệm hội tụ và vì vậy có thể “làm” giải tích trên C.Cũng cần lưu ý rằng nếu xemCnhưR2, thì mọi kết qủa nêu ở phần này đều khôngcó gì đặc biệt so với trường hợp thực
2.1 Khoảng cách Khoảng cách giữa z1, z2∈ C, định nghĩa:
d(z1, z2) = |z1− z2|
Từ tính chất của modul suy ra 2 tính chất cơ bản của khoảng cách
Tính chất d(z1, z2) ≥ 0 và d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z2, z3)
2.2 Dãy hội tụ Một dãy số phức là ánh xạz : N −→ C, n → z(n) = z n
Thường ta ký hiệu (z n)n∈N, hay liệt kê: z1, z2, z3, · · ·
Dãy(z n) gọi làhội tụ về z0∈ C, nếuu
∀ > 0, ∃N > 0 : n ≥ N ⇒ d(z n , z0) = |z n − z0| <
Khi đó, ký hiệu n→∞lim z n = z0 hayz n → z0 (khin → ∞)
Trang 11I.2 Sự hội tụ trongC 6Từ việc xem C như là R2, định nghĩa trên thực chất không khác định nghĩa hộitụ trong R2, và vì vậy ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề
(1) z n → z0 khi và chỉ khi Rez n → Rez0 vàImz n → Imz0.
(2) Dãy(z n) hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy, i.e.
∀ > 0, ∃N > 0 : n, m ≥ N ⇒ |z n − z m | < .
Bài tập: Tương tự như dãy số thực, hãy phát biểu và chứng minh các tính chấthội tụ của tổng, hiệu, tích, thương các dãy số phức
Ví dụ 2
a) Choz ∈ C Ta muốn xét sự hội tụ của dãy (z n ) = z, z2, z3, · · ·
Với|z| < 1 thì|z n | = |z| n → 0, vậy n→∞lim z n= 0
Với|z| > 1 thì|z n | = |z| n → ∞, vậy n→∞lim z n = ∞
Với|z| = 1 thìn→∞lim z n= 1 nếu z = 1, vàn→∞lim z n không tồn tại nếu z = 1
Thực vậy, gỉa sử phản chứng tồn tại z = 1mà n→∞lim z n = z0 Khi đó|z0| = |z n | = 1,nên z0 = 0 Mặt khác, do z n+1 − z n = z n (z − 1), nên nên khi n → ∞, ta có
0 = z0(z − 1) Vậy z = 1, trái gỉa thiết
b) Từ công thức(1 − z)(1 + z + z2+ · · · + z n ) = 1 − z n+1, ví dụ trên suy ra:
điểm vô cùng ∞, không có ±∞như R)
2.3 Một số tập cơ bản Trong C một số lớp tập có vai trò quan trọng, hay đượcđề cập đến thường xuyên Các khái niệm này ta đã quen biết khi xét R2, tuy nhiênđể thuận tiện, ít ra về mặt thuật ngữ và ký hiệu, các định nghĩa được liệt kê sau đây
-lân cận Tập D(z0, ) = {z ∈ C : |z − z0| < }gọi là - lân cận củaz0, hayđĩa mởtâmz0 bán kính
-lân cận thủng Tập {z ∈ C : 0 < |z − z0| < } gọi là- lân cận thủng củaz0
Điểm trong z0 ∈ C gọi là điểm trong của tập X ⊂ C nếuu tồn tại một-lân cậncủa z0 hoàn toàn chứa trong X
Điểm giới hạn z0 ∈ C gọi là điểm giới hạn của tập X ⊂ C nếuu mọi -lân cậnthủng của z0 đều chứa các điểm củaX
Điểm biên z0 ∈ Cgọi làđiểm biên của tậpX nếuu mọi-lân cận củaz0 đều chứacác điểm của X và các điểm không thuộc X
Tập mở Tập con của C gọi là mở nếuu mọi điểm của nó đều là điểm trong Ký
2 Một số vấn đề trong lý thuyết đồ họa liên quan đến dãy số phức, cụ thể là Hình học Fractal Có thể xem: H.Q.Deitgen & P.H Richter, The Beauty of Fractals , Spriger-Verlag, Berlin-Heidelberg 1986.
Trang 12I.3 Hàm phức - Tính liên tục 7
hiệu X ◦ hay intX thường được dùng để chỉ phần trong của tập X, i.e tập mọi điểmtrong của X
Tập đóng Tập con của C gọi là đóng nếuu nó chứa mọi diểm giới hạn của nó.Thường dùng ký hiệu X hay clX để chỉ bao đóng của tập X, i.e tập X∪tập mọiđiểm giới hạn của X
Biên Biên của tậpX, ký hiệu∂X hay bdX, là tập mọi điểm biên của X
Tập compact compact= đóng + giới nội
Định nghĩa trên về tập compact cho phép xác định một cách dễ dàng một tập có pact hay không Tập compact còn có định nghĩa tương đương (Định lý Heine-Borel2.4), như vậy có thể xem tính compact như tính hữu hạn, cho phép chuyển các tínhchất, các kết qủa từ địa phương lên toàn cục Chẳng hạn, tính liên tục đều trong địnhlý Cantor 3.5
com-Tập liên thông Tập liên thông là tập chỉ có một mảnh Định nghĩa một cách chínhxác thì một tập C ⊂ Cgọi là liên thông nếuu nó không thể bị tách bởi các tập mở,i.e không tồn tại 2 tập mở U, V ⊂ Csao cho: C ∩ U = ∅ = C ∩ V, C ∩ U ∩ V = ∅
và C ⊂ U ∩ V
Bài tập: Chứng minh khẳng định sau, thường dùng để lập luận mọi điểm của một tậpliên thông thỏa tính chất nào đó:
Cho C liên thông vàX ⊂ C NếuX vừa đóng vừa mở trong C , thì X = C.
Miền Miền=tập mở + liên thông
Bài tập: Chứng minh tiêu chuẩn sau trực quan dùng để nhận biết tập Dlà miền:
Cho D ⊂ C là tập mở Khi đó D là miền khi và chỉ khi mọi cặp điểm a, b ∈ D đều tồn tại đường gấp khúc trongD nốia, b.
Ví dụ Tập S gọi là hình sao nếuu tồn tại z0 ∈ S sao cho với mọi z ∈ S đoạn thẳngnốiz, z0: [z, z0] = {z0+ t(z − z0) : 0 ≤ t ≤ 1} hoàn toàn chứa trongS Dễ thấy mọitập hình sao là liên thông Chẳng hạn, đĩa, hình chữ nhật, tam giác là các tập liênthông
2.4 Các định lý Các định lý cơ bản sau được chứng minh trong giáo trình giảitích thực:
Định lý (Cantor) Cho F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ F n ⊃ · · · là một dãy các tập compact lồng nhau Khi đó giao∩ k∈N F k = ∅.
Định lý(Heine-Borel) K là tập compact khi và chỉ khi mọi phủ mở phủK đều tồn tại phủ con hữu hạn, i.e với mọi họ (U k)k∈I gồm các tập mở U k sao choK ⊂ ∪ k∈I U k, tồn tại hữu hạn chỉ số k1, · · · , k n ∈ I, sao cho K ⊂ U k1 ∪ · · · ∪ U k n.
3 HÀM PHỨC - TÍNH LIÊN TỤC
3.1 Định nghĩa Một ánh xạ f : D −→ C, D ⊂ C, được gọi là một hàm phức
Trang 13I.3 Hàm phức - Tính liên tục 8
Dgọi là miền xác định, còn f (D)gọi là miền ảnh.3
Thường ta viết w = f (z), z ∈ D, với qui ước z = x + iy là biến, còn w = u + iv làảnh
Chú ý:
a) Như trong trường hợp thực, khi cho w = f (z) bởi biểu thức giải tích ta xem miềnxác định là miền trong C sao cho biểu thức f (z) có nghĩa (phức) Chẳng hạn, hàm
f (z) = 1
1 + z2 có miền xác định là C \ {±i}
b) Từhàm đơn diệptrong lý thuyết hàm phức dùng để chỉ hàm đơn ánh, (điều này dolịch sử để lại) Chẳng hạn, hàm f (z) = az + b
cz + d (ad − bc = 0), là đơn diệp trên miền
3.2 Hàm phức xem như phép biến đổi trênR2 Đối với hàm thực việc nghiên cứuđồ thị có vai trò đặc biệt quan trọng vì tính trực quan Đồ thị hàm phức là tập controng không gian 4 chiều, thật khó hình dung Để mô tả hàm phức một cách hình họccó một phương pháp khá trực quan là xem hàm đó như là phép biến đổi từ R2 vào
R2
Cho hàm w = f (z), z ∈ D Nếu z = x + iy, w = u + iv, thì f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Như vậy hàm f đồng nhất với cp hàm thực 2 biến thực (x, y) → (u(x, y), v(x, y))
Ta nói: z chạy trong mặt phẳng z = (x, y), còn w = f (z) chạy trong mặt phẳng ảnh
w = (u, v)
Để xét tính chất hàmf thường ta “quét” miềnDbởi họ đường cong trong mặt phẳng
z và xem họ đó biến đổi thế nào qua f trong mặt phẳng w
Ví dụ Xét hàm w = z2 = x2 + y2 + 2xyi Ta có hàm xác định trên toàn bộ C
và u = x2− y2, v = 2xy
Cách mô tả 1: Ảnh của họ đường thẳngx = x0 là họ Parabolv2 = 4x2
0(x2
0− u), ảnhcủa họ y = y0 là họ Parabolv2 = 4y2
Trang 14I.3 Hàm phức - Tính liên tục 9
3.3 Giới hạn hàm Cho hàm w = f (z), z ∈ Dvà z0∈ D
f được gọi là có giới hạnw0∈ C khiz tiến về z0, và ký hiệu lim
z→z0f (z) = w0,nếuu
Mệnh đề
(1) z→zlim
0f (z) = w0 khi và chỉ khiz→zlim
0Ref(z) = Rew0, z→zlim
Định lý(Cauchy) Hàmf liên tục trên tập liên thông Dthì ảnh f (D)là liên thông.
Định lý(Weierstrass) Hàmf liên tục trên tập compactKthì ảnhf (K)là tập compact Đặc biệt, tồn tại z1, z2 ∈ K sao cho f (z1 ) = max
z∈K |f(z)|và f (z2 ) = min
z∈K |f(z)|.
Trang 15I.3 Hàm phức - Tính liên tục 10
Định lý(Cantor) Hàm liên tục trên tập compact thì liên tục đều.
Khái niệm liên tục đều hoàn toàn như trường hợp thực: hàm w = f (z), z ∈ D
gọi là liên tục đều trên Dnếuu
∀ > 0, ∃δ > 0 : ∀z, z ∈ D, |z − z | < δ =⇒ |f(z) − f(z )| < .
Để kết thúc chương này, ta nêu một chứng minh (có thể xem là sơ cấp nhất) về
tính đóng đại số của trường số phức
3.6 Định lý cơ bản của đại số
Mọi đa thức hệ số phức, khác hằng đều có nghiệm (phức).
Mọi đa thứcP (z)bậc n trênC, đều có thể phân tích thành thừa số bậc nhất:
P (z) = A(z − z1) · · · (z − z n ), vớiA, z1, · · · , z n ∈ C
Chứng minh: ChoP (z)là đa thức bậc n trênC Xét hàm
f : C → R, f (z) = |P (z)|
Vìf liên tục và lim|z|→∞ f (z) = +∞, nên tồn tạiz0 : f(z0) = inf f
Gỉa sử phản chứng là P vô nghiệm Khi đóf (z0) = 0 Chia đa thức ta có
) < |a0| khi đủ bé.
Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của z0
Trang 16II Chuỗi lũy thừa - Hàm giải tích
1 CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC
1.1 Định nghĩa Chuỗi lũy thừa hình thức của một biến Z là tổng hình thức vô
k=0
a k Z k = a0+ a1Z + a2Z2+ · · · ,
a k ∈ Cgọi là hệ số thứk của chuỗi,Z làbiến, thỏa: Z p Z q = Z p+q
Hai chuỗi lũy thừa gọi là bằng nhau nếuu các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau.Như vậy cho một chuỗi lũy thừa hình thức tương đương cho dãy:
(a0, a1, · · · , a k , · · · )
Ký hiệuC[[Z]] là tập mọi chuỗi lũy thừa hình thức của một biến Z
Cấpcủa chuỗi S(Z) =
∞
k=0
a k Z k là số: ω(S) = inf{k : a k = 0}, ω(0) = +∞.
Khi đó S(Z) = a ω Z ω+các số hạng lũy thừa > ω
Ví dụ Một đa thức được xem là chuỗi với đồng nhất sau:
Khi đó(C[[Z]], +, ·)là một đại số với đơn vị là 1 = 1 + 0Z + 0Z2+ · · ·
Hơn nữa, nó là miền nguyên (i.e vành thỏa: S = 0, T = 0 ⇒ ST = 0) do
T (Z), và gọi là chuỗi thương của S(Z)và T (Z)
Mệnh đề Gỉa sửS(0) = a0 = 0 Điều kiện cần và đủ để tồn tại Q(Z) ∈ C[[Z]]sao
Trang 17II.1 Chuỗi lũy thừa hình thức. 12
Bài tập: Chứng minh, nếu bỏ gỉa thiết a0 = 0, thì S(Z)
T (Z) ∈ C[[Z]] khi và chỉ khi
ω(S) = ω(T ) (HƯỚNG DẪN.Xem nhận xét sau các ví dụ dới đây)
Ví dụ này cũng cho thấy nghịch đảo một đa thức không là một đa thức
b) Phương pháp ở ví dụ trên có thể sử dụng để tìm nghịch đảo chuỗi lũy thừa
Trang 18II.1 Chuỗi lũy thừa hình thức. 13
Nhận xét. Cho S(Z), T (Z) ∈ C[[Z]], T (Z) = 0 Khi đó có biểu diễn chuỗi lũythừa hình thức với hữu hạn số hạng lũy thừa âm:
Từ đó suy ra biểu diễn nêu trên
1.4 Đạo hàm hình thức Cho S(Z) =
Đạo hàm cấpn được định nghĩa qui nạp: S (n) (Z) = (S (n−1) (Z)) , n ∈ N.
Ta có S (n) (Z) = n!a n + số hạng bậc ≥ 1. Vậy S (n) (0) = n!a n .
Suy ra công thức Taylor hình thức:
Trang 19II.1 Chuỗi lũy thừa hình thức. 14Viết một cách ngắn gọn:
c n = hệ số của Z n trong a0+ a1T (Z) + · · · + a n T (Z) n
Bài toán: Khi nào một chuỗi S có chuỗi ngược đối với phép hợp thành
Mệnh đề Để tồn tại chuỗi lũy thừa hình thức T sao choT (0) = 0vàS ◦ T = I, điều kiện cần và đủ là S(0) = 0và S (0) = 0.
Khi đó S ◦ T = T ◦ S = I vàT gọi là chuỗi ngược củaS.
Ngược lại, giả sử a0= 0, a1= 0 Ta tìm T sao cho S ◦ T (Z) = Z
Từ nhận xét ở 1.4, ta cần xác địnhb1, b2, · · · từ hệ phương trình
Trang 20II.1 Chuỗi lũy thừa hình thức. 15
S1(0) = 0, T ◦ S1 = I Suy ra S1 = I ◦ S1 = (S ◦ T ) ◦ S1 = S ◦ (T ◦ S1) = S, i.e
Nhận xét. Vì T (S(Z)) = Z và S(T (W )) = W, có thể nói các biến đổi hình thức
W = S(Z) và Z = T (W ), là ngược đảo của nhau Mệnh đề trên còn gọi là Định
lý hàm ngược hình thức
1.7 Quan hệ đồng dư modulo Z N và ký hiệu O(Z N) Trong tính toán với chuỗi
lũy thừa thường ta “chặt cụt” ở một độ dài N ∈ Nnào đó, và xử lý như đa thức
Khi đó ký hiệu S(Z) = T (Z) modZ N hay S(Z) = T (Z) + O(Z N)
Nhận xét. Với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất đa thức bậc ≤ n,
S n (Z) =
k≤n
1
k! S
k (0)Z k , sao cho S(Z) = S n (Z) + O(Z n+1)
Các phép toán thực hiện ở các phần trước có thể đúc kết như sau
Mệnh đề NếuS(Z) = S n (Z) + O(Z n+1) vàT (Z) = T n (Z) + O(Z n+1) , thì
(1) S(Z) + T (Z) = S n (Z) + T n (Z) + O(Z n+1)
(2) S(Z)T (Z) = S n (Z)T n (Z) + O(Z n+1)
(3) S(T (Z)) = S n (T n (Z)) + O(Z n+1)
Ví dụ
a) Cho chuỗi cos Z = 1 −2!1Z2+4!1Z4+ · · · + (−1) k (2k)!1 Z 2k + · · ·
Để xác định cos Z1 đến bậc 4, ta tiến hành như sau
Để xác định chuỗi hợp exp(Zcos Z) đến bậc 3, ta tiến hành như sau
exp(Zcos Z) = 1 + (Z − 2!1Z3+ O(Z5)) + 2!1(Z − 2!1Z3+ O(Z5))2+3!1(Z + O(Z3))3+ O(Z4)
= 1 + (Z − 2!1Z3) + 2!1Z2+3!1Z3+ O(Z4)
= 1 + Z +2!1Z2+ (−12 +3!1)Z3+ O(Z4)
Trang 21II.2 Hội tụ đều 16
1.8 Hàm sinh Theo một thuật ngữ khác chuỗi
còn được gọi là hàm sinhcủa dãy số (a n)n∈N = a0, a1, a2, · · ·
Như vậy hàm sinh G(Z) là đại lượng duy nhất xác định toàn bộ thông tin của tất cảcác số hạng của dãy (a n).1
c)Dãy Fibonacci định nghĩa: a0= 0, a1 = 1, vàa n = a n−1 + a n−2 (n ≥ 2)
Ta có thể xác định biểu thức hiện cho các số hạng a n nhờ hàm sinh nh sau
Gọi G(Z) là hàm sinh của dãy (a n) Khi đó ZG(Z), Z2G(Z) là hàm sinh của
trong đó φvà ˆφ = 1
φ là 2 nghiệm phương trìnhZ2− Z − 1 = 0.Từ ví dụ 1.3 a) ta có
a n = c1a n−1 + · · · + c m a n−m , n ≥ m, với các hệ số c j ∈ C.
Khi đó (1 − c1Z − · · · − c m Z m )G(Z) là đa thức Dùng phương pháp tương tự như vídụ trên (tìm nghiệm đa thức, phân tích thành thừa số hữu tỉ, khai triển chuỗi ngược, ) có thể xác định biểu thức hiện của a n
d) Nếu G(Z)là hàm sinh của dãy(a n), thì theo ví dụ 1.3 a) 1 − Z1 G(Z)là hàm sinhcủa dãy tổngs n = a0+ · · · + a n
1 Lý thuyết hàm sinh có nhiều áp dụng trong phân tích thuật toán Có thể tham khảo: Donald E Knuth, The Art of Computer Programming , Vol.1, Addison-Wesley, 1973.
Trang 22II.2 Hội tụ đều 17
2 HỘI TỤ ĐỀU
2.1 Chuỗi số Chuỗi số phức là một tổng hình thức các số phứcz k
z k hội tụ nếu một thoả một trong các dấu hiệu sau:
Hội tụ tuyệt đối: ∞
2.2 Dãy hàm Cho dãy hàm f n : D → C, n ∈ N
Miền hội tụ của dãy là tập D = {z ∈ D : dãy số(f n (z)) n∈N hội tụ } Khi đó ta cóhàm f (z) = lim n→∞ f n (z), z ∈ D , và (f n) gọi làhội tụ điểm hayhội tụ đơn giản về f
trênD
Ví dụ Dãy hàmf n (z) = |z| n , n ∈ N, có miền hội tụD = {z ∈ C : |z| ≤ 1} TrênD
dãy hội tụ (điểm) về hàm
f (z) =
0 nếu|z| < 1
1 nếu|z| = 1
Trong ví dụ này f n liên tục, nhưng hàm giới hạnf không liên tục
Khái niệm hội tụ đều sau đây bảo đảm một số tính chất giải tích của dãy hàm được
Trang 23II.2 Hội tụ đều 18bảo toàn khi qua giới hạn.
Dãy hàm (f n)n∈N được gọi làhội tụ đều về f trênD, nếuu
Nói cách khácz→zlim
0n→∞lim f n (z) = lim n→∞ z→zlim
0f n (z),z0∈ D, i.e có thể hoán vị các phép lấy giới hạn.
Chứng minh: Choz0∈ D Với mọi > 0, do tính hội tụ đều ta có
2.3 Chuỗi hàm Tổng hình thức ∞
f k (z), z ∈ D, gọi làtổng riêng thứn của chuỗi hàm Các khái niệm
miền hội tụ, hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm ∞
k=0
f k đồng nhất với các khái niệmtương ứng của dãy tổng riêng (S n)
Từ các kết quả cuả dãy hàm hội tụ ta có:
Tiêu chuẩn Cauchy Chuỗi hàm ∞
Trang 24II.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ 19
Mệnh đề Nếu chuỗi hàm ∞
a k Z k ∈ C[[Z]] Khi thay ký hiệuZ bởi gía trị z ∈ C ta có chuỗi số
S(z), nó là một gía trị phức khi chuỗi ∞
k=0
a k z k hội tụ Phần này sẽ nghiên cứu sựhội tụ của chuỗi lũy thừa và mối quan hệ giữa các phép toán hình thức với các phéptoán trên hàm
3.1 Định lý Abel Với mọi chuỗi lũy thừa S(Z) =
∞
k=0
a k Z k, tồn tại R = R(S), 0 ≤
R ≤ +∞, sao cho nếu R > 0thì:
(1) S(z)hội tụ khi |z| < R, vàS(z) phân kỳ khi|z| > R.
(2) S(z)hội tụ đều trên đĩa |z| ≤ r, với mọi r < R.
Trên hình tròn |z| = Rđịnh lý không có khẳng định gì
R = R(S)gọi làbán kính hội tụcủa chuỗi S và tính bởicông thức Hadamard:
a k z k phân kỳ theo 2.2 (1)
Nhận xét. Cho S(Z) =
Trang 25II.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ 20hội tụ:
Bài tập: Chứng minh chiều ⇐của phát biểu trên không đúng Hãy xét a k = q k± √ k
Trang 26II.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ 21Suy ra |S n −S m | ≤ | sin(ϕ/2)|1
Vậy(S n) là dãy Cauchy, nên hội tụ
3.2 Tổng & Tích các chuỗi lũy thừa hội tụ
Mệnh đề Giả sửA(Z), B(Z) là các chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ ≥ R.
Đặt S(Z) = A(Z) + B(Z), P (Z) = A(Z)B(Z) Khi đó
(1) S(Z) vàP (Z)có bán kính hội tụ ≥ R.
(2) Với|z| < R, S(z) = A(z) + B(z)và P (z) = A(z)B(z).
Đẳng thức đầu của (2) là rõ ràng, đẳng thức sau suy từ bổ đề sau
Bổ đề Giả sử ∞
3.3 Thay biến trong chuỗi lũy thừa hội tụ
Mệnh đề Cho S(Z) =
b k Z k , T (0) = 0, có các bán kính hội tụ
R(S), R(T )dương Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi hợp S ◦ T cũng dương.
Chính xác hơn, tồn tại r > 0sao cho ∞
Trang 27II.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ 22
Để chứng minh đẳng thức đặt S n (Z) =
k≤n
a k Z k , S n ◦ T = U n
Với|z| ≤ r, ta có U n (z) = S n (T (z))vàn→∞lim S n (T (z)) = S(T (z)).
Mặt khác trị tuyệt đối hệ số chuỗi U − U n = (S − S n ) ◦ T ≤ hệ số chuỗi
3.4 Nghịch đảo của chuỗi lũy thừa hội tụ
Mệnh đề Giả sử S(Z) ∈ C[[Z]], S(0) = 0, có bán kính hội tụ dương Khi đó 1
S(Z)
cũng có bán kính hội tụ dương.
Chứng minh: Ta cóS(Z) = a0(1 − Φ(Z))vớiR(Φ) > 0
3.5 Đạo hàm chuỗi lũy thừa hội tụ
Mệnh đề Với mọi S(Z) ∈ C[[Z]], R(S) = R(S ) Hơn nữa, nếuR(S) > 0, thì với
GọiR = R(S) Với|z| < R, chọnr : |z| < r < R và0 < |h| < r − |z| Ta có
Trang 28II.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ 23
Nhận xét. Theo mệnh đề trên hàm S có đạo hàm (theo nghĩa phức) là S trên miềnhội tụ của nó Các tính chất của đạo hàm phức sẽ được xét cụ thể ở chương III.Qui nạp ta cóR(S (n) ) = R(S) và khiR = R(S) > 0, thì với|z| < R:
S (n) (z) = n!a n + T n (z), với T n ∈ C[[Z]], T n (0) = 0.
Vậy a n= S (n)(0)
n! Suy ra nếu f (z)là hàm theo z ∈ C đủ bé, thì tồn tạikhông quámột chuỗi lũy thừa hình thức S(Z)sao cho f (z) = S(z)với zđủ bé
3.6 Chuỗi lũy thừa ngược của chuỗi lũy thừa hội tụ
Mệnh đề Cho S ∈ C[[Z]], S(0) = 0, S (0) = 0 Giả sử T ∈ C[[Z]]là chuỗi ngược:
B k Z k sao cho S( ¯¯ T (Y )) = Y vàB n thoả
A1B n − P n (A2, · · · , A n , B1, · · · , B n−1 ) = 0, với P n là đa thức.
Bằng qui nạp ta có|b k | ≤ B k Suy raR(T ) ≥ R( ¯ T )
Vậy nếu cóR( ¯ T ) > 0, mệnh đề được chứng minh
Để xây dựng cụ thể S¯, chọn 0 < r < R(S) Do ∞
Trang 29II.3 Một số hàm sơ cấp 24Khiy đủ bé nghiệm trên có dạng √ 1 + u, |u| < 1.
VậyT (y)¯ có khai triển thành chuỗi lũy thừa theoy, hội tụ khiy bé Suy raR( ¯ T ) > 0
4 MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP
4.1 Hàm tuyến tính w = f (z) = az + b, a = 0
Đặt a = re iϕ Khi đów được mô tả hỉnh học như là hợp của 3 biến đổi sau
Phép quay một góc ϕ: z1= e iϕ z.
Phép co dãn tỉ sốr : z2 = rz1.
Phép tịnh tiến vectorb : w = z2+ b.
Đặc biệt tính song song và độ lớn của góc được bảo toàn qua hàm tuyến tính
4.2 Hàm lũy thừa w = f (z) = z n , n ∈ N
Khi chuyển qua tọa độ cực z = re iϕ, thì w = r n e inϕ Ta có mô tả hình học như sau:(1) Ảnh của các tia Argz = ϕ0 là các tia Argw = nϕ0 (ààmở rộng nlần”)
(2) Ảnh của các đường tròn|z| = r0 là các đường tròn|w| = r n
0.Như vậy hàmw = z nchỉ đơn diệp trên các miềnDkhông chứaz1= z2 mà|z1| = |z2|
và argz1 =argz2 + 2π
(3) e iy = cos y + i sin y, y ∈ R Suy ra e z = 1 ⇔ z = 2kπi, k ∈ Z
Chứng minh: (1) suy từ 3.5 Đối với (2), dùng công thức tích chuỗi
Trang 30II.3 Một số hàm sơ cấp 25
(2) (cos z) = − sin z, (sin z) = cos z.
(3) sin, coslà các hàm tuần hoàn, chu kỳ 2π
(4) sin z = 0 ⇔ z = kπ và cos z = 0 ⇔ z = (2k + 1) π2 (k ∈ Z)
Bài tập: Chứng minh các tính chất trên
Nhận xét. Hầu hết các công thức của hàm sin và cos trong trường hợp thực vẫncòn đúng cho trường hợp phức (xem II.5.4) Chẳng hạn, công thức cộng cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
Tuy nhiên, trong trường hợp phức hàm cosvàsin không giới nội:
cos iy = e −y2+ e y → +∞, khi R y → +∞.
Hàm tangđịnh nghĩa: tgz = sin z
Ta cũng có: cosh2z− sinh2z = 1, (coshz) =sinhz, (sinhz) =coshz
Các hàm lượng giác ngược được định nghĩa qua chuỗi lũy thừa nhờ khai triển Taylorhàm thực:
arcsin z = z + 12z33 +1.3 2.4 z55 +1.3.5 2.4.6 z77 + · · · , |z| < 1 arccos z = π2 − arcsin z.
tách nhánh đơn trị như sẽ được trình bày sau đây đối với hàm logarithm
Trang 31II.3 Một số hàm sơ cấp 26
4.5 Logarithm phức w ∈ C được gọi là mộtlogarithm của z = 0, nếuu
e w = z
Tập nghiệm phương trình trên ký hiệu là Lnz Có vô số logarithm củaz:
w k = ln |z| + iArgz = ln |z| + i arg z + 2kπi (k ∈ Z),
trong đó ln |z|là logarithm Neper thực (Bài tập)
Vậyw = Lnz là hàm đa trị
Nhánh của hàm log Cho D ⊂ C \ 0là miền Hàm liên tục f : D → C gọi là một
nhánh của hàm log nếuu e f(z) = z, ∀z ∈ D
Khi đó ta ký hiệuf (z) = ln z Chẳng hạn,nhánh chính của hàm log là hàm xác địnhgía trị ln 1 = 0(ứng vớik = 0), cụ thể
f (z) = ln |z| + i arg z, z ∈ D = C \ {z = te −iπ , t ≥ 0}.
Không phải miền nào cũng tồn tại nhánh của hàm log, chẳng hạn miền C \ {0} Tuynhiên, nếu miền nào tồn tại một nhánh, thì các nhánh khác sai khác một hằng số Cụthể
Mệnh đề Giả sử trên miền D tồn tại nhánh f của hàm log Khi đó g : D → C
là nhánh của hàm log khi và chỉ khi g = f + 2kπivớik ∈ Z.
Chứng minh: Xét hàm h(z) = 1
2πi (f(z) − g(z)) Ta có h liên tục và e 2πih(z) =
e f(z) e −g(z)= 1, nên h nhận giá trị nguyên Suy ra h =const
Mệnh đề Nhánh chính của hàm ln(1 + z), |z| < 1, i.e thoả ln 1 = 0 , có biểu diễn chuỗi lũy thừa là
k=0
(−1) k Z k = 1 + Z1 , i.e T (Z)nguyên hàm hình thức của 1 + Z1 ).Vớix ∈ R, |x| < 1, ta cóln(1+x) = T (x), i.e S(T (x)) = 1+x Do tính duy nhất củahệ số chuỗi lũy thừa hình thức ta có S ◦ T (Z) = 1 + Z Ngoài ra, S(z) = e z , z ∈ C
và T có bán kính hội tụ 1 Theo định nghĩa nhánh chính của hàm log suy ra khi
|z| < 1, ln(1 + z) = T (z)
4.6 Hàm lũy thừa tổng quát Với mỗi z = 0, α ∈ C, định nghĩa z α = e αLnz
Nh vậy sẽ có vô số gía trị z α
Tương tự nh hàm log ta có thể định nghĩa nhánh của hàm z α Mỗi nhánh của Ln z
xác định một nhánh củaz α
Trang 32II.5 Hàm giải tích. 27
Công thức nhị thức.Nhánh chính của hàm (1 + z) α, i.e thỏa 1α = 1 , có biểu diễn chuỗi lũy thừa là
Khi đó chuỗiS xác định duy nhất (nhận xét 3.5)
Hàm f gọi làgiải tích trênD nếuuf giải tích tại mọi z ∈ D
Ký hiệuA(D) tập mọi hàm giải tích trênD
Theo các kết qủa ở§3, ta có:
Trang 33II.5 Hàm giải tích. 28
Mệnh đề
(1) A(D)là vành với phép cộng và nhân hàm thông thường.
(2) Hợp hai hàm giải tích là giải tích.
(3) Nếu f giải tích tại z0 và f (z0) = 0, thì f khả nghịch địa phương tại z0, i.e tồn tại lân cận U của z0 và V của f (z0) , sao cho f : U → V là song ánh và có ánh xạ ngược giải tích (Định lý hàm ngược địa phương).
(4) Nếu f giải tích trênD, thì f có đạo hàm mọi cấp.
Chú ý: Ở chương sau ta sẽ chứng minh: nếu f có đạo hàm cấp 1 trên D, thì f
giải tích trên D Điều này hoàn toàn khác với tính khả vi thực, ví dụ điển hình làhàm thực khả vi vô hạn f (x) = e − x21 , f (0) = 0, có đạo hàm mọi cấp triệt tiêu tại0,nên chuỗi Taylor là 0 - nó không hội tụ vềf (x)
Ví dụ
a) Vì hàm lũy thừa là giải tích, nên đa thức P (z) = a0+ a1z + · · · + a n z n là giải tíchtrênC
b) Các hàm hữu tỉ P (z)
Q(z), trong đó P và Q là các đa thức (Q = 0),là giải tích trênmiềnC \ {z : Q(z) = 0}
c) Các hàm cho ở§4 là các hàm giải tích Điều này suy từ kết qủa tổng quát sau
5.2 Mệnh đề Giả sử S(Z) ∈ C[[Z]] có bán kính hội tụ R > 0 Khi đó S xác định một hàm giải tích trên đĩa D(0, R).
Cụ thể, với mọiz0∈ D(0, R), ta có khai triển
Trang 34II.5 Hàm giải tích. 29
Chú ý: Bán kính hội tụ của chuỗi cho ở mệnh đề trên có thể > R − |z0| Chẳng hạnvớiS(Z) =
a k (z − z0 )k, tại lân cận z0, thì tồn tại
m = min{k : a k = 0}sao cho:
f (z) = (z − z0 )m g(z),
trong đó g(z) = a m + a m+1 (z − z0) + · · · là giải tích tại z0 và g(z0) = 0.
Khi đóm gọi làcấp của không điểm z0
Cấp của không điểm còn được đặc trưng bởi:
f (k) (z0) = 0 vớik < m, f (m) (z0) = 0.
Khi cấpm = 1, z0 gọi làkhông điểm đơn; khi m > 1, gọi là bội
Để ý là dog liên tục nên f (z) = 0, 0 < |z − z0| < , với > 0 đủ bé Nói một cáchkhác ta có:
Mệnh đề Nếu f = 0là hàm giải tích trên miềnD, thì tậpZ f các không điểm cuả f
là tập rời rạc, i.e mọi điểmz0 ∈ Z f tồn tại lân cậnU của z0 , sao choU ∩ Z f = {z0}.
Đc biệt, khi K là tập compact trong D, thì tậpZ f ∩ K = {z ∈ K : f(z) = 0} là hữu hạn.
5.4 Định lý duy nhất
Định lý Cho f là hàm giải tích trên miền D Khi đó các điều sau tương đương:
(1) f (k) (z0 ) = 0 với mọik ∈ N, tại một điểmz0 ∈ D.
(2) f = 0trên một tập có điểm giới hạn thuộcD(= tập không rời rạc trong D).
(3) f ≡ 0trên D.
Chứng minh: (3)⇒ (1) là rõ ràng (1) ⇒(2) do khai triển Taylor.
Để chứng minh (2) ⇒ (3) gọiz0 là điểm giới hạn của tập không điểm Z f Do f liên tụcf (z0 ) = 0 Vìz0 không là không điểm cô lập, từ mệnh đề ở 5.3 suy ra f ≡ 0ở một
Trang 35II.5 Hàm giải tích. 30
lân cận của z0 Đặt X = {z ∈ D : f ≡ 0ở lân cận z} = {z ∈ D : f (k) (z) = 0, ∀k}.
Ta có X = ∅ vì chứa z0, X là mở do định nghĩa, X là đóng trong D vì là giao của
Hệ qủa Cho f, g ∈ A(D), D là miền Nếu f = g trên một tập có điểm giới hạn thuộc D, thìf ≡ g.
n : n ∈ N} Theo nguyên lý thác triển ta có
Trang 36III Hàm chỉnh hình
0 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRÊNR2 VÀ TRÊNC
Mọi ánh xạC-tuyến tính w : C → C, có dạng w(z) = (α + iβ)z
Vậy ánh xạ C-tuyến tính được xem là phép nhân với số phức w(1) = α + iβ ∈ C.Mặt khác, như đã biết, trong R2 khi sử dụng cơ sở chính tắc (1, 0), (0, 1), thì mọiánh xạR-tuyến tính A : R2 → R2 được đồng nhất với ma trận
theo phép nhân ma trậnA(x, y) = (ax + cy, bx + dy).
Nhận xét. Mọi ánh xạC-tuyến tính là R-tuyến tính Ngược lại, ta có:
0.1 Biểu diễn số phức dưới dạng ma trận Khi đồng nhất C ≡ R2 bởi
z = x + iy = (x, y), thìAz = A(x + iy) = ax + cy + i(bx + dy)
Mệnh đề A làC-tuyến tính khi và chỉ khi d = avà c = −b.
Chứng minh: Alà C-tuyến tính khi và chỉ khi tồn tạiα + iβ ∈ C:
A(x + iy) = (α + iβ)(x + iy) = (αx − βy) + i(βx + αy), ∀x, y ∈ R.
Điều trên tương đương với
ax + cy + i(bx + dy) = (αx − βy) + i(βx + αy), ∀x, y ∈ R.
0.2 Ánh xạ tuyến tính bảo giác Ánh xạ tuyến tính A : R2 → R2 được gọi là
bảo giác nếuu nó bảo toàn góc (về độ lớn cũng như về hướng) Nói một cách khác
A = rT, trong đór > 0còn T là phép quay
Từ tính chất hình học của phép nhân số phức, ta có
Mệnh đề A là ánh xạ tuyến tính bảo giác khi và chỉ khi det A > 0vàd = a, c = −b Khi đóAbiểu diễn số phứca+ib = re iϕ = r(cos ϕ+i sin ϕ), còndet A = r2= a2+b2.
Trang 37III.1 Tính khả vi phức - Hàm chỉnh hình 32
Ký hiệu giới hạn trên là f (z0) hay df
dz (z0), và gọi làđạo hàm củaf tạiz0.Nói một cách khác f khả vi tại z0 nếuu f có thể xấp xỉ bởi hàm bậc nhất w(h) =
f (z0) + (a + ib)hở lân cậnz0, theo nghĩa sau:
Để tìm mối quan hệ giữa tính khả vi phức và tính khả vi thực, cần nhắc lại ánh xạ
R2 → R2, (x, y) → (u(x, y), v(x, y))khả vi tại(x0, y0)nếuu nó có thể xấp xỉ bởi mộtánh xạ affin ở lân cận(x0, y0 ), theo nghĩa sau: tồn tại ánh xạ R-tuyến tính
Từ Mệnh đề 0.1 suy ra
1.2 Điều kiện Cauchy-Riemann Cho f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) và
z0= x0+ iy0 Khi đóf khả vi tạiz0 khi và chỉ khi
(1) u, vkhả vi (theo nghĩa thực) tại (x0, y0)
(2) u, vthỏa điều kiện Cauchy-Riemann: ∂u ∂x = ∂v
Trang 38III.1 Tính khả vi phức - Hàm chỉnh hình 33
Nếu u, vkhả vi, thì df = ∂f
f khả vi ⇔ u, v thoả điều kiện C-R ⇔ ∂f
a) Rất dễ tìm ví dụ u, v khả vi mà f = u + iv không khả vi Chẳng hạn hàm
f (z) = x + 2iy có u, v khả vi tại mọi điểm(x, y) ∈ R2, nhng u x = 1 = v y = 2: điềukiện Cauchy-Riemann không thoả, i.e f không khả vi
b) Nếu f có đạo hàm tại mọi điểm trên miền D và có modul |f| = const , thì
f = const Thật vậy, từ |f|2= u2+ v2 = const , suy ra
trên D Từ tính liên thông suy ra u = const, v = const , i.e f = const Nếu
u2+ v2 = 0, thì rõ ràngf = const
c) Tương tự, ta cũng có f = const khif = 0hay f chỉ nhận giá trị thực, hay f chỉnhận giá trị thuần ảo
Tổng quát, nếu f khả vi trên tập mở D mà f (D)không mở, thì f = const Đó lànội dung định lý 4.4
Vì định nghĩa đạo hàm 1.1 về mặt hình thức hoàn toàn giống định nghĩa đối vớitrường hợp thực, nên ta có các kết quả sau
1.3 Mệnh đề (1) Giả sử f, g khả vi tại z0 Khi đó f ± g, f g, f
(2) Giả sử f khả vi tại z0 , φ khả vi tại w0 = f(z0 ) Khi đó hàm hợp h = φ ◦ f
khả vi tạiz0, và ta có
công thức đạo hàm hợp: h (z0) = φ (f(z0))f (z0).
(3) Giả sử f khả vi tại mọi điểm của một lân cận z0 vàf (z0) = 0 Giả sử f là khả nghịch trên một lân cận củaz0 và hàm ngượcf −1là khả vi tạiw0 = f(z0 ) Khi đó ta có
Trang 39III.1 Tính khả vi phức - Hàm chỉnh hình 34
công thức đạo hàm hàm ngược: (f −1) (w0 ) = 1
f (z0) , w0 = f(z0 ) Chứng minh: Việc chứng minh (1) và (2) hoàn toàn lập lại chứng minh trong trườnghợp hàm thực Công thức (3) suy từ (2) hay từ
Chú ý Giả thiết ở (3) là thừa, xem Định lý hàm ngược
Ví dụ Dễ thấy (z) = 1, nên từ công thức tích suy ra (z n) = nz n−1
Tổng quát, mọi chuỗi lũy thừa hội tụS(z) =
Đôi khi để thuận tiện ta nói f chỉnh hình trên tập X bất kỳ nếu f chỉnh hình trênmột tập mở chứa X Khi đó cũng ký hiệu f ∈ H(X)
Ví dụ Hàm f (z) = z ¯ z có ∂f
∂ ¯ z = z Nên f khả vi tại 0, nhng không chỉnh hìnhtại đó
Chú ý: Một hàm giải tích rõ ràng là chỉnh hình Ta sẽ chứng minh khái niệm chỉnhhình trùng với khái niệm giải tích xét ở chương II, i.e H(D) = A(D)
1.5 Tính bảo giác Giả sửf khả vi tạiz0 vàf (z0) = 0
Theo định nghĩa đạo hàm, sau khi tịnh tiến Z = z − z0 và W = w − w0 có thể xem
f tại lân cậnz0 được xấp xỉ bởi hàm tuyến tính
S
α
f(γ1 )
f(γ2 )
Trang 40III.2 Tích phân đường 35
Như vậy nếu 2 đường cong trong mặt phẳng z = (x, y) cắt nhau tại z0 theo mộtgócαnào đó (góc giữa 2 đường cong được định nghĩa là góc giữa 2 vector tiếp xúc),thì ảnh của chúng qua f trong mặt phẳng w = (u, v) cũng cắt nhau tại w0 = f(z0 )
một góc đúng bằng α (về độ lớn cũng như về hướng) Tính chất đó gọi là tính bảogiác tạiz0
Ngược lại ta có
Mệnh đề Cho 2 hàm thực u = u(x, y), v = v(x, y) Giả sử (u, v)khả vi tại (x0, y0)
và đạo hàm
D(u, v) D(x, y) (x0, y0 ) =
là ánh xạ tuyến tính bảo giác trongR2 Khi đó hàmf (z) = f (x+iy) = u(x, y)+iv(x, y)
là khả vi tạiz0= x0+ iy0 và f (z0) = 0.
1.6 Lưới tọa độ Như lập luận ở trên, nếu w = f (z) là chỉnh hình trên miền D
vàf (z) = 0, ∀z ∈ D, thì ảnh của hai họ đường cong trực giao trong mặt phẳng zqua
f sẽ là hai họ đường cong trực giao trong mặt phẳng w
Ví dụ Xem ví dụ I.3.2 cách mô tả 1, đối với hàmf (z) = z2 Tại các điểmz = 0 ảnhcủa hai họ đường tọa độ x = const vày = const qua f là hai họ parabol trực giaonhau Tại z = 0, tính bảo giác bị phá vỡ
2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
2.1 Đường cong Cho D ⊂ C Đường cong (theo nghĩa Jordan) trong D là ánhxạ liên tục, 1-1 γ : [a, b] −→ D, γ(t) = x(t) + iy(t) Các điểm γ(a) và γ(b) gọi là
điểm đầu và điểm cuốicủa đường cong
Đường cong (Jordan) kín trong D là ánh xạ liên tục γ : [a, b] −→ D, và γ(t1) = γ(t2)
khi và chỉ khi t1= t2 hayt1, t2∈ {a, b}
Đường congγ gọi là trơn nếu đạo hàmγ = x + iy tồn tại và liên tục trên [a, b] γ
gọi là trơn từng khúc nếu tồn tại phân hoạch a = a0 < a1 < · · · < a n = b sao chohạn chế γ| [a k ,a k+1] (k = 0, · · · , n − 1)là các đường cong trơn
Ta hiểu hướng của đường congγ là hướng tăng của tham số, i.e γ(t1 ) là đứng trước
γ(t2 ) nếuu t1 < t2 Đường cong định hướng ngược của γ, ký hiệu γ −, được địnhnghĩa: γ − (t) = γ(a + b − t), t ∈ [a, b].
Ví dụ Sau đây là một số đường cong hay gặp:
a) Đoạn thẳng[z0, z1] (z0, z1 ∈ C): γ(t) = z0+ t(z1− z0), t ∈ [0, 1] Rõ ràng thamsố hóa định hướng từ z0 đếnz1
b) Đường tròn |z − a| = r: γ(t) = a + re it , t ∈ [0, 2π]. Ở đây đường tròn được địnhhướng “ngược chiều kim đồng hồ”