TÀI LIỆU THAM KHẢO TÍCH PHÂN

Hunh Ngc Cm - T internet Trang Chơng Tích phân 5.1 Tích phân bất định Nguyên hàm Từ ý nghĩa học đạo hàm, chuyển động chất điểm có phơng trình: s=s(t), v(t)=s(t) vận tốc chuyển động Ngợc lại biết chuyển động có vận tốc v(t), ta cần tìm phơng trình chuyển động s(t), nh ta phải tìm hàm s(t) mà s(t)= v(t) Tổng quát, cho hàm f(x) xác định tập X, ta cần xác định tất hàm F(x) mà F(x)=f(x), gọi nguyên hàm f(x) X Định nghĩa1: Hàm F(x) đợc gọi nguyên hàm f(x) X, xX: F(x)=f(x) Hiển nhiên xX: F(x)=f(x) với C số tuỳ ý: (F(x)+C)=f(x) Hay F(x)+ C nguyên hàm f(x) Nh hàm f(x) có nguyên hàm X có vô số nguyên hàm X Nếu (x) nguyên hàm f(x) X, thì: [(x)-F(x)]=f(x) f(x)=0 Do (x)=F(x)+C Với C số Nh nguyên hàm f(x) X sai khác số Ta có định lý: Định lý 1: Nếu tập X, hàm f(x) có nguyên hàm F(x) thì: F(x)+C, C số tuỳ ý, nguyên hàm f(x) X Mọi nguyên hàm f(x) X có dạng F(x)+C, với C số Tích phân bất định Định nghĩa 2: Nếu F(x) nguyên hàm F(x) X biểu thức F(x)+C, C b số tuỳ ý, đợc gọi tích phân bất định f(x) X đợc ký hiệu f ( x)dx , vậy: a b f ( x)dx =F(x)+C a Dấu đợc gọi dấu tích phân, f(x) hàm dới dấu tích phân, f(x)dx biểu thức dới dấu tích phân, x biến lấy tích phân Các tính chất tích phân bất định Từ định nghĩa ta có: Tính chất 1: + ( f ( x)dx) = f ( x) d ( f ( x )dx ) = f ( x )dx ' + Tính chất 2: + dF ( x) = F ( x) + C Tính chất 3: với C số thì: + Cf ( x)dx = C f ( x)dx Tính chất 4: Nếu f(x), g(x), h(x) có nguyên hàm thì: + [ f ( x) + g ( x) h( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx h( x)dx Tính chất 5: Nếu + f ( x)dx = F ( x) + C u= (x) Thì f (u )du = F (u ) + C Để chứng minh tính chất 2,3,4,5 ta cần lấy đạo hàm hai vế biểu thức Bảng tích phân Từ bảng đạo hàm ta có công thức tích phân sau: 0dx = C Trang 2 adx = ax + C x dx = x +1 +C +1 dx = ln x + C x ax x a dx = + C đó: ln a cos xdx = sin x + C e x dx = e x + C sin xdx = cos x + C dx cos x = tgx + C dx sin x = cot gx + C shxdx = chx + C chxdx = shx + C dx ch x = thx + C 10 11 12 dx sh = coth x + C x dx 14 + x = arctgx + C = arc cot gx + C dx 15 x = arcsin x + C = arccos x + C 5.2 Các phơng pháp tính tích phân Phơng pháp đổi biến Phơng pháp đổi biến tích phân f ( x)dx có hai dạng: 13 a Nếu đặt x=(t), (t) hàm khả vi đơn điệu t ta có công thức: f ( x)dx = f [ (t )] ' (t )dt u=(x), (u) hàm khả vi biểu thức f(x)dx trở thành g [ ( x)] ' ( x)dx = g (u )du ta có: b Nếu đặt f ( x)dx = g [ ( x)] ' ( x)dx = g (u )du Các công thức chứng minh phép lấy đạo hàm hai vế biểu thức Chú ý: Khi dùng phơng pháp đổi biến, sau tính tích phân ta phải đổi trở lại biến cũ Ví dụ 5.1: x d dx 1 x a = = arctg + C 2 a a a a +x x 1+ a x d dx a = arcsin x + C = 2 a a x x a a dx 1 = + dx 2a a + x a x x Trang = d (a + x) d (a x) a+x = ln +C 2a a+x 2a ax 2a a x sin x tgxdx = cos x dx = d cos x = ln cos x + C cos x d sin x = ln sin x + C sin x x d dx dx = = x x x x sin x sin cos tg cos 2 2 x d tg = = ln tg x + C x tg dx dx x = = ln tg + + C cos x sin x + dx x2 + b Dùng phép đổi biến (phép Euler) : x2 + b = t x t = x + b + x cot gxdx = xdx Suy ra: dt = x2 + b hay x + x2 + b x2 + b dx dt = t x +b dx dt = ln | t | +C = ln | x + x + b | +C t x +b Chú ý: sử dụng phép đổi biến x = asht với b = a x = acht với b = a Phơng pháp tích phân phần Giả sử u(x) v(x) có đạo hàm liên tục u(x) v(x) Khi đó: udv = uv vdu Thật vậy, từ: d(uv)=udv+vdu Nên udv=d(uv) vdu Lấy tích phân hai vế ta đợc công thức tích phân phần Ví dụ 5.2: x dx x + b dx = x x + b x2 + b x2 + b b x x + b = x + b dx b dx x + b dx =x x +b + x +b b x + b dx = x x + b + dx Hay x2 + b dx Do x + b = ln x + x + b + C nên Vậy dx + dx = = Trang x + b dx = Tơng tự a x dx = x b x + b + ln x + x + b + C 2 x a2 x a2 x2 + arcsin + C 2 a Các tích phân đợc bổ sung thành tích phân bản: dx x = arctg + C a a +x dx x = arcsin + C a a2 x2 16 a 17 18 a 2 dx a+x = ln +C 2a a x x tgxdx = ln cos x + C cot gxdx = ln sin x + C 19 20 dx x 21 sin x = ln tg + C 22 cos x = ln tg + + C 23 24 x + b dx = x b x + b + ln x + x + b + C 2 25 a x dx = x a2 x a2 x2 + arcsin + C 2 a Ví dụ 5.3: a Tính a x dx (x dx x +b = ln x + x + b + C dx (a>0) a2 ) x2 a2 Hàm có nghĩa khi: x a Đặt: 0a x < a Khi x khả vi đơn điệu theo t Ta có: (x dx = Do 2 atgtdt cos t atgtdt a tg t tgt cos t a ) x a cos tdt a sin t = a sin t + C = cos tdt = + C a sin t a sin t dx= sin t = cos t = a2 x2 (0 < t < ( ) < t a) x2 a2 x = = x x2 a2 ( x < a) x dx x Do đó: (x a ) x a = a x a + C xe x dx b I= , Đặt + e x = t ta có: x 1+ e I = ln(t 1)dt = 2t ln(t 1) 22 t dt t = 2t ln(t 1) 4t + ln 1+ t +C t =2(x-2) + e x +4ln(1+ + e x ) 2x+C Ví dụ 5.4: x dx x2 dx = dx + a x2 x2 x2 dx = x dx + x2 x = x arcsin x + arcsin x + C 2 x = x + arcsin x + C 2 b x arcsin xdx = arcsin xdx = 1 x dx = = x arcsin x 2 x2 x = x arcsin x + x arcsin x + C 4 dx dx = c I= x x ( x a ) khả tích [a,b] b > a Khi hàm số (b) đợc cho b (b) = f ( x )dx a hàm không giảm [a,+) Tích phân suy rộng I= + f ( x)dx = lim (b) b a hội tụ hàm (b) bị chặn trên khoảng [a,+) Định lý 17: Cho hai hàm số f ( x), g ( x) xác định [a,+) khả tích [a,b] b > a Nếu: f ( x) g ( x) ( x a ) ta có: (i) Nếu + + a a g ( x)dx hội tụ f ( x)dx + (ii) Nếu f ( x)dx a hội tụ + phân kỳ g ( x)dx phân kì a Chứng minh: Do f ( x) g ( x) ( x a ) nên b>a ta có: Trang 27 b b a a I(b)= f ( x)dx g ( x)dx = J (b) Do I(b) J(b) hàm đơn điệu tăng theo b nên: + g ( x)dx Nếu + hội tụ suy J(b) bị chặn I(b) bị chặn trên, hay a tụ f ( x)dx hội a + f ( x)dx Nếu không hội tụ suy I(b) không bị chặn J(b) không bị chặn trên, a + hay g ( x)dx phân kỳ a + + Chú ý: Ta thờng so sánh tích phân suy rộng a Ví dụ 5.33: Xét hội tụ tích phân + I= e a x2 f ( x )dx với tích phân suy rộng: dx x , a > a dx + I= e Ta có: x2 dx = e x2 + dx + e x2 dx Do tích phân thứ tích phân xác định nên giá trị số hữu hạn, đồng thời với x1: e + Mà e x x2 dx hội tụ, nên I= Do c x2 dx hội tụ tích phân cho hội tụ + sin x dx x2 0< I= + Do e x + b e + + sin x , x Ta có =2>1 nên tích phân hội tụ x x x + sin x dx x2 x x + sin x x 1 = , x > x x x x x Ta có =1 nên tích phân phân kỳ Định lý 18: Cho hai hàm số f ( x), g ( x) xác định [a,+) khả tích [a,b] b > a Nếu ta có f ( x ) 0, g ( x ) 0, x a thoả mãn điều kiện: f ( x) lim = k (0 < k < +) x g ( x ) + hai tích phân suy rộng a + f ( x )dx g ( x)dx hội tụ phân kỳ a Chứng minh: f ( x) = k , nên >0, n0>a, mà x>n0: Vì lim x g ( x ) f ( x) k < (k ) g ( x) < f ( x) < (k + ) g ( x ) g ( x) Vì k>0, chọn >0 đủ nhỏ ta có: < (k ) g ( x) < f ( x ) < (k + ) g ( x) Trang 28 áp dụng định lý 17 cho hàm (k-)g(x), f(x) (k+)g(x) ta suy tích phân suy rộng + a + f ( x )dx g ( x)dx hội tụ phân kỳ a Ví dụ 5.34: Xét hội tụ tích phân sau + a 1+ x + x2 dx + = 1+ x + x thứ hai do: 1 + x + x2 ~ 1+ x3 + x2 + nên tích phân + x + x2 + b + x + x2 dx dx tích phân xác định nên số hữu hạn, tích phân dx + Do tích phân x x + dx hội tụ, tích phân cho hội tụ cos x dx 1 Do cos ~ x + nên tích phân hội tụ x 2x + 1x c e 1dx Do e x ~ x + nên tích phân phân kỳ x Khi hàm f(x) có dấu tuỳ ý ta sử dụng tiêu chuẩn sau: Định lý 19: ( Tiêu chuẩn Côsi) + Tích phân f ( x)dx hội tụ khi, >0, B>a: a b' f ( x)dx < , (b,b>B) b + f ( x)dx Chứng minh: hội tụ tồn hữu hạn: a lim I (b) >0, B>a:b,b>B: I (b) I (b' ) < b b' hay f ( x)dx < , (b,b>B) b Định lý 20: Nếu + + a a | f ( x) | dx hội tụ f ( x)dx hội tụ + Chứng minh: Nếu | f ( x) | dx hội tụ, theo tiêu chuẩn Côsi, >0, B>a: a b' | f ( x) | dx < , b (b,b>B, b 1) nên tích phân I hội tụ, suy tích phân I hội tụ tuyệt đối Định lý 21: (Tiêu chuẩn Aben _Điricle) Tích phân: + f ( x).g ( x)dx a Hội tụ thoả mãn điều kiện: (i) Hàm g(x) khả vi liên tục đơn điệu dần đến x + (ii) Hàm f(x) có nguyên hàm F(x) giới nội [a,+) Chứng minh: Vì f(x) giới nội nên C>0 mà: F ( x) C , x [a,+) Giả sử g(x) đơn điệu tăng, hay g(x)0 Do g(x)0 x + nên với >0, B>a: , x [ B,+) g ( x) < 4C Với bB bB ta có: I= b' b' b b f ( x) g ( x)dx = g ( x)dF ( x) b' = g ( x) F ( x) b' b F ( x ) g ' ( x ) dx b C ( g (b) + g (b' ) ) + b' g ' ( x) dx b Do g(x)0 nên g ' ( x) = g ' ( x) đó: I 2C ( g (b) + g (b' ) ) < 4C + Chứng tỏ f ( x).g ( x)dx a hội tụ Ví dụ 5.36: Xét hội tụ tích phân + a x cos xe dx = 4C Trang 30 x Do g(x)= khả vi đơn điệu dần tới 0, f(x)= cos x có nguyên hàm F(x)=sin x giới nội, nên e tích phân hội tụ + sin x b dx ln x e Do g(x)= khả vi đơn điệu dần tới 0, f(x)=sin x có nguyên hàm F(x)=- cos x giới nội, nên ln x tích phân hội tụ Ví dụ 5.37: Chứng tỏ + sin x a x (a>0) Hội tụ tuyệt đối >1 hội tụ tơng đối 01 tích phân hội tụ tuyệt đối x x Khi 0 1) nên tích phân x2 phân kỳ x dx c sin x e x x = lim Do lim sin x : = x +0 e x x +0 sin x 1 x xdx sin x tgx dx hội tụ nên tích phân cho hội tụ b Định lý 24: giả sử f(x) khả tích [a,c] với c[a,b) Khi nếu: f ( x ) dx hội tụ a b b f ( x)dx hội tụ Khi ta nói a f ( x)dx hội tụ tuyệt đối a b Nếu f ( x)dx b hội tụ mà a a b f ( x ) dx phân kỳ ta nói f ( x)dx bán hội tụ a Ví dụ 5.42: Xét hội tụ tích phân cos x x2 cos x Do 1 , x [0,1) dx hội tụ nên tích phân cho hội tụ tuyệt đối x x x2 Chú ý: Với tích phân mà suy rộng nhiều khoảng ta cần phải tách chúng thành tích phân khoảng tơng ứng tích phân hội tụ tất số hạng thu đợc hội tụ: Ví dụ 5.43: Xét hội tụ tích phân 2 I= I= Ta có Vì ex x g(x)= x e x ex x ex x dx dx + 1 , x (0,1] nên ex ex x x dx dx hội tụ hàm đơn điệu dần đến x dần đến + , f(x)= e x có nguyên hàm F(x)= - e x giới nội [1, + ) nên theo Aben_Diricle Bài tập chơng A Tích phân bất định Tính tích phân sau: x2 x +1 dx x ex x x x dx x dx hội tụ, tích phân cho hội tụ Trang 34 dx + cos x 2 x cos dx x | x | x dx x cos xdx x e sin x arc cot gx arcsin x dx x2 + x dx Tính tích phân sau phơng pháp đổi biến xdx x x + dx (1 x )12 dx dx + e 3x ex + ex ln xdx ln x dx x ln x x + ln x 2x e dx + x dx ln x x x2 1+ e Tính tích phân sau phơng pháp tích phân phần xdx x sin xdx cos x arctg x dx x arctgxdx ( x + 1) e x dx ln xdx x e 11 x arccos x dx x x x2 x ln x arcsin xdx ( x + + x )dx 10 cos ln xdx dx 12 arcsin x dx x +1 Tính tích phân phân thức hữu tỉ sau: xdx 2 x x + dx x 5x + x 3x dx x dx x x + 10 ( x 1)( x + 2)( x + 3) dx x3 + x + x dx x 13 x + 36 dx dx ( x 2) ( x + 3) x 2x3 + 2x dx x2 +1 10 x + dx ( x + 1) ( x + 1) dx dx 11 12 x(x + 2) (x 1) ( x + 1)dx dx 14 ( x 1)( x 1) x +1 Tính tích phân hàm lợng giác sau: dx dx sin cos x + sin x cos x 13 Trang 35 sin sin x + cos x dx x cos x + cos x tg xdx dx x cos x dx sin x(1 + cos x) dx tg x + 4tgx sin xdx 10 cos x + sin x + dx 12 sin x + cos x cos x + cos x sin x + sin x dx cos xdx cos x + sin x sin xdx 11 sin x + cos x (1 + sin x)dx 13 sin x + sin x sin xdx 15 (1 cos x + sin x ) Tính tích phân vô tỉ sau: dx x + x2 xdx x (4 x) x+ x+2 x+2 x dx x + x3 4x + 4x + 2x + 11 x x + x + 2dx 13 ( x + 1) dx 15 1+ dx x2 + x +1 x + x +1 Tính tích phân sau: dx x + 8x dx x + x3 + x5 dx + 1+ x + x e x e x + e x dx xe x dx (x + 1) 2 sin x sin x dx sin x + (1 cos x) 16 dx 2 14 sin x sin x sin xdx dx sin x +1 +1 dx x +1 x 10 12 x +1 dx x x dx x +1 dx ( x 7) ( x 5) x + x dx dx x 5x x + ( x + 1) dx (x>-1) 14 16 ( x + x + 1) dx + x3 dx + x + 16 x x (1 x) (x>0) x 1+ x dx dx + 2x x e x + e dx e 10 x x2 ln x dx x dx 11 sin x ln(cos x + sin x ) dx 12 + 2a cos x + a Trang 36 e arctgx dx 13 14 arctg (1 x )dx (1 + x ) + x Hãy xây dựng công thức truy hồi cho tích phân sau ( n N ) I n = x n sin xdx I n = x ln n xdx I n = sin n xdx I n = I n = tg n xdx dx , a2 + b2 (a sin x + b cos x) n x n dx In = n>1 ax + bx + c B Tích phân xác định Dùng định nghĩa tính tích phân sau dx 2 cos xdx x Tính giới hạn sau: x dx +1 sin x t x lim cos t dt lim x +0 tgx x x sin t dt Tính giới hạn sau: 1 1 lim + ++ n n + n+2 2n tgt dt 13 ( 4n 1) lim + + + n n n n4 1 lim + ++ n 4n 2 4n n 4n Tìm giới hạn áp dụng tích phân xác định 1 + + = ln lim + n n n +1 2n n 1 lim + + + = n n n n 3 n lim n lim n Chứng minh n! = n e n3 n+ lim n n (1 + ( Tính theo ln) ) + + n = sin x dx = x n lim ln1 + dx = n x Giả sử f(x), g(x) hàm khả tích [a,b] với bình phơng chúng Chứng minh bất đẳng thức Côsi_Bunhiacôpxki: b b f ( x ) g ( x)dx a Chứng minh bất đẳng thức a b f ( x)dx. g ( x)dx a Trang 37 dx < < , x 2n 1 0,78 < 1+ x4 1 dx < 20 < 0,93 x 19 (n N , n 1) dx < 1+ x6 20 1 < tg n xdx < , 2n + 2n (n N , n > 1) 3 sin x < dx < x Tính tích phân sau e dx x(1 + ln x) 1 4 x + 2x + tg xdx dx 1+ xdx sin x dx 2x + 1 arcsin xdx x + 3x dx ( x + 1)( x + 1) dx + sin x + cos x e 2x cos xdx Chứng minh f(x) liên tục [0,1] f (sin x)dx = f (cos x)dx xf (sin x)dx = f (sin x)dx 20 Thực phép đổi biến t=x+ tính tích phân x x+ x + x + e dx I= x 10 Chứng minh f(x) hàm số liên tục R, tuần hoàn có chu kỳ T với a, ta có a +T a 11 Tính tích phân T f ( x) dx = f ( x)dx f ' ( x) dx + f ( x ) f ( x) = ( x + 1) ( x 1) x ( x 2) 12 Dùng công thức hình hang công thức Simpson, tính gần tích phân sau I= dx ln x (Chia [2,5] thành khoảng nhau) Trang 38 I= cos x dx (Chia 0, thành 10 khoảng nhau) C Tích phân suy rộng 13 Tính tích phân suy rộng sau + dx 10 x 1+ x + x + arctgx (1 + x ) + x dx + + In= x n e x dx + dx x dx (1 + x ) 14 Tính ích phân suy rộng dx x2 + x x dx dx x ln x 4x x ln(sin x)dx x ln(sin x)dx x cot gxdx ln 1 + x x dx x x2 x 1 x b dx x2 (Đặt x=cos t) dx x ln x 11 dx ln x e e 10 x dx 14 dx 12 x2 e x dx 1+ x2 a dx x + x e x dx + x2 xdx 13 ln(2 x ) x dx xb xa ln x dx (a>0,b>0) (a[...]... 5.32: Tính tích phân 1 1 1 ex 1 I= dx = e x d ( ) = e x 2 x x 1 1 | 1 = e -1 b Các tiêu chuẩn hội tụ Cũng nh tích phân xác định, để tính tích phân suy rộng ta sử dụng công thức Newton_Leplit rồi lấy giới hạn kết quả lấy tích phân Tuy nhiên trong nhiều trờng hợp, do hàm dới dấu tích phân không lấy đợc nguyên hàm, hoặc ta không cần tính giá trị của tích phân mà chỉ cần quan tâm tích phân suy rộng... Với < 1 tích phân I hội tụ và: b I= dx (b x) = a 1 1 1 (b a ) 1 + Với 1 tích phân I phân kỳ b Tơng tự nh trên với tích phân suy rộng b I= dx ( x a) a ta có: (1) Khi < 1 tích phân hội tụ và: b I= dx ( x a ) a = 1 1 1 (b a) 1 Trang 32 (2) 1 tích phân phân kỳ Chú ý: Nếu hàm f(x) có nguyên hàm F(x) liên tục trên [a,b] thì ta có: b b f ( x)dx = F ( x)| a a 2 Ví dụ 5.40: Tích phân 2+ x... tích phân ta phải chọn thêm một tích b phân để so sánh và thông thờng ngời ta chọn tích phân Ví dụ 5.41: Xét sự hội tụ của tích phân a b dx dx , (b x) a ( x a ) a 2 I = tgxdx 0 Tích phân trên suy rộng tại cận trên x = ơng ta có: tgx = sin x = cos x Trong lân cận của x = so sánh vô cùng lớn tơng đ2 2 sin x 1 sin( x) x 2 2 Trang 33 2 Tích phân 0 2 x 1 I= b 2 dx phân kỳ ( = 1) nên tích. .. này ta sẽ lần lợt mở rộng tích phân trong các trờng hợp sau: (i) Khoảng lấy tích phân là khoảng vô hạn (ii) Hàm dới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực trên [a,b] 1 Tích phân trên khoảng vô hạn a Định nghĩa Định nghĩa 3:( Tích phân trên [a,+) ) Cho hàm f(x) xác định trên [a, + ) và khả tích trên [a,b] với mọi b>a Ta gọi biểu thức: Trang 25 b f ( x)dx I= lim b + a là tích phân suy rộng của hàm f(x)... x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ a Ví dụ 5.34: Xét sự hội tụ của các tích phân sau + a 1 3 1+ x 2 + x2 0 1 dx + 1 = 3 1+ x 2 + x 0 1 thứ hai do: 1 1 + x 2 + x2 1 ~ 1+ x3 2 + x2 + 1 nên tích phân 3 1 + x 2 + x2 1 + b 1 3 1 + x 2 + x2 dx dx là tích phân xác định nên là một số hữu hạn, còn trong tích phân 3 0 dx + 1 Do tích phân 2 1 x 7 6 khi x + dx hội tụ, do đó tích phân đã cho hội tụ 1 1 cos... 0 3 Tính gần đúng tích phân xác định ở trên ta đã nêu cách tính tích phân xác định bằng công thức Niutơn-Lépnit Tuy nhiên trong thực tế ta thờng có nhu cầu tính giá trị của tích phân trong khi biểu thức dới dấu tích phân lại không có nguyên hàm sơ cấp Ví dụ trong lý thuyết xác suất chúng ta cần tính giá trị của tích phân: x ( x) = e x2 2 dx , (hàm Lapplace) 0 Vì hàm dới dấu tích phân không có nguyên... x)dx phân kỳ a + + Chú ý: Ta thờng so sánh tích phân suy rộng a Ví dụ 5.33: Xét sự hội tụ của tích phân + I= e a x2 2 f ( x )dx với tích phân suy rộng: dx x , a > 0 a dx 0 + I= e Ta có: 0 x2 2 1 dx = e x2 2 0 + dx + e x2 2 dx 1 Do tích phân thứ nhất là tích phân xác định nên giá trị là một số hữu hạn, đồng thời với x1: e + Mà e x 2 x2 2 dx hội tụ, nên 1 I= 1 Do c x2 2 dx hội tụ do đó tích. .. nó khả tích trên [0,1] Chú ý : 1 Giá trị của tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân: b b a a f ( x)dx = f (t )dt 2 Diện tích của hình thang cong: b S = f ( x)dx a 3 Khi đổi cận cho nhau tích phân đổi dấu: a b b f ( x)dx = f ( x)dx a a f ( x)dx = 0 Từ đó ta có: a 4 Các tính chất của tích phân xác định Dùng định nghĩa chúng ta chứng minh đợc các tính chất sau của tích phân xác... ta nói tích phân suy rộng hội tụ Khi giới hạn đó không tồn tại hoặc bằng thì ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Nh vậy: + a b f ( x)dx = lim f ( x)dx b a Định nghĩa 4: (Tích phân trên (, b] ) Nếu f(x) xác định trên (, b] và khả tích trên [a,b] với mọi a ... thức với phân thức hữu tỷ thật Tích phân đa thức thực đợc, phần ta quan tâm đến tính tích phân phân thức hữu tỷ thực a Tích phân phân thức hữu tỷ đơn giản Ta gọi phân thức hữu tỷ thực sau phân thức... (các hàm không khả tích đó) Bằng cách chia nhỏ đoạn lấy tích phân cần xét tích phân mà đoạn lấy tích phân chứa điểm gián đoạn vô hạn hàm lấy tích phân điểm cận cận dới tích phân a Định nghĩa f... + x2 + b + x + x2 dx dx tích phân xác định nên số hữu hạn, tích phân dx + Do tích phân x x + dx hội tụ, tích phân cho hội tụ cos x dx 1 Do cos ~ x + nên tích phân hội tụ x 2x + 1x