Bi ging K Thût Säú Trang 12 Chỉång ÂẢI SÄÚ BOOLE 2.1 CẠC TIÃN ÂÃƯ V ÂËNH L ÂẢI SÄÚ BOOLE 2.1.1 Cạc tiãn âãư Cho mäüt táûp håüp B hỉỵu hản âọ ngỉåìi ta trang bë cạc phẹp toạn + (cäüng logic), x (nhán logic), - (b logic ) v hai pháưn tỉí v láûp thnh mäüt cáúu trục âải säú Boole ∀x,y ∈ B thç: x + y ∈ B, x*y ∈ B tha mn tiãn âãư sau: 2.1.1.1 Tiãn âãư giao hoạn ∀x,y ∈ B: x + y = y + x 2.1.1.2 Tiãn âãư phäúi håüp ∀x,y,z ∈ B: (x + y) + z = x + ( y + z ) = x + y + z (x y).z = x.(y z) = x.y.z 2.1.1.3 Tiãn âãư phán phäúi ∀x,y, z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z x + (y.z) = (x + y)(x + z) 2.1.1.4 Tiãn âãư vãư pháưn tỉí trung Trong táûp B täưn tải hai pháưn tỉí trung âọ l pháưn tỉí âån vë v pháưn tỉí 0, pháưn tỉí âån vë k hiãûu l 1, pháưn tỉí k hiãûu l ∀x ∈ B: x+1= x 1= x x+0= x x 0= 2.1.1.5 Tiãn âãư vãư pháưn tỉí b ∀x ∈ B, bao giåì cng täưn tải pháưn tỉí b tỉång ỉïng cho ln tha mn: x+ x =0 Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Chỉång Âải säú BOOLE Trang 13 x x = Nãúu B = B* = {0, 1} v tha mn tiãn âãư trãn thç cng láûp thnh cáúu trục âải säú Boole nhỉng l cáúu trục âải säú Boole nh nháút 2.1.2 Cạc âënh l 2.1.2.1 Váún âãư âäúi ngáùu âải säú Boole Hai mãûnh âãư (hai biãøu thỉïc, hai âënh l) âỉåüc gi l âäúi ngáùu våïi nãúu mãûnh âãư ny ngỉåìi ta thay phẹp toạn cäüng thnh phẹp toạn nhán v ngỉåüc lải,thay bàòng v ngỉåüc lải thç s suy âỉåüc mãûnh âãư Khi hai mãûnh âãư âäúi ngáùu våïi nhau, nãúu mãûnh âãư âỉåüc chỉïng minh l âụng thç mãûnh âãư cn lải l âụng Vê dủ: x.(y + z ) = ( x y) + ( x z ) x + (y z ) = ( x + y )( x + z ) Vê dủ: x+ x =1 x x = 2.1.2.2 Cạc âënh l a Âënh l vãư pháưn tỉí b l nháút ∀x, y ∈ B: x + y = 1⎫ ⎬⇒ y=x x.y = ⎭ ∀x ∈ B: x + x + + x = x x x x x = x b Âënh l De Morgan ∀x, y, z ∈ B, ta cọ: x + y + z = x y.z x.y.z = x + y + z ∀x ∈ B, ta cọ: x =x ∀x, y, z ∈ B, ta cọ: Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Bi ging K Thût Säú Trang 14 x + y + z = x + y + z = x.y.z x y z = x.y.z = x + y + z ∀x, y ∈ B, ta cọ: x ( x + y) = x.y x + ( x y) = x + y ∀x, y ∈ B, ta cọ: x + x y = x x.(x + y) = x = v = Våïi 0, ∈ B, ta cọ: 2.2 HM BOOLE V CẠC PHỈÅNG PHẠP BIÃØU DIÃÙN 2.2.1 Hm Boole 2.2.1.1 Âënh nghéa Hm Boole l mäüt ạnh xả Boole tỉì âải säú Boole vo chênh Tỉïc l ∀x, y ∈ B âỉåüc gi l biãún Boole thç hm Boole, k hiãûu l f, âỉåüc hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc biãún Boole bàòng cạc phẹp toạn + (cäüng logic ), x (nhán logic ), hồûc nghëch âo logic (-) Hm Boole âån gin nháút l hm Boole theo biãún Boole K hiãûu: f(x) = x f(x) = x f(x) = α (α: l hàòng säú ) Trong trỉåìng håüp täøng quạt, ta cọ hm Boole theo n biãún Boole âỉåüc k hiãûu sau: f(x1, x2, ., xn ) 2.2.1.2 Cạc cháút ca hm Boole Nãúu f(x1, x2, , xn) l mäüt hm Boole thç: + α.f(x1, x2, , xn) cng l mäüt hm Boole cng l mäüt hm Boole + f (x1, x2, , xn) Nãúu f1(x1, x2, , xn) v f2(x1, x2, , xn) l nhỉỵng hm Boole thç: + f1(x1, x2, , xn) + f2(x1, x2, , xn) cng l mäüt hm Boole cng l mäüt hm Boole + f1(x1, x2, , xn).f2(x1, x2, , xn) Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Chỉång Âải säú BOOLE Trang 15 Váûy, mäüt hm Boole f cng âỉåüc hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc hm Boole bàòng cạc phẹp toạn + (cäüng logic), x (nhán logic) hồûc nghëch âo logic (-) 2.2.1.3 Giạ trë ca hm Boole Gi f (x1, x2, , xn) l mäüt hm Boole theo biãún Boole Trong f ngỉåìi ta thay cạc biãún xi bàòng cạc giạ trë củ thãø αi (i = 1, n ) thç hm f (α1, α2, α3, , αn) âỉåüc gi l giạ trë ca hm Boole theo n biãún Vê dủ: Xẹt hm f(x1, x2 ) = x1 + x2 Xẹt B = B* ={0,1} ⇒ f(0,0) = Nãúu x1 = x2 =0 Nãúu x1 = 0, x2 = ⇒ f(0,1) = Nãúu x1 = 1, x2 = ⇒ f(1,0) = Nãúu x1 = 1, x2 = ⇒ f(1,1) = Ta láûp âỉåüc bng giạ trë ca hm trãn x1 0 1 Vê dủ: f (x1, x2, x3 ) = x1 + x2.x3 Xẹt B = B* = {0,1 } Bng giạ trë ca hm: x1 x2 x3 0 0 1 0 1 0 1 1 1 f (x1, x2, x3) 0 1 1 Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn x2 1 f(x1, x2) 1 Bi ging K Thût Säú Trang 16 2.2.2 Cạc phỉång phạp biãøu diãùn hm Boole 2.2.2.1 Phỉång phạp bng L phỉång phạp thỉåìng dng âãø biãøu diãùn hm säú nọi chung Phỉång phạp ny gäưm mäüt bng âỉåüc chia lm hai pháưn: - Mäüt pháưn dnh cho biãún âãø ghi cạc täø håüp giạ trë cọ thãø cọ ca biãún - Mäüt pháưn dnh cho hm âãø ghi cạc giạ trë ca hm tỉång ỉïng våïi cạc täø håüp ca cạc biãún vo 2.2.2.2 Phỉång phạp gii têch L phỉång phạp biãøu diãùn hm Boole dỉåïi dảng täøng cạc têch säú, hồûc dỉåïi dảng têch ca cạc täøng säú Dảng täøng ca cạc têch säú gi l dảng chênh tàõc thỉï nháút, cn dảng têch ca cạc täøng l dảng chênh tàõc thỉï hai ca hm Boole, v hai dảng chênh tàõc ny l âäúi ngáùu a Dảng chênh tàõc 1(Dảng täøng ca cạc têch säú) Xẹt cạc hm Boole âån gin sau âáy: f(x) = x, f(x) = x , f(x) = α Xẹt f(x) = x: Ta cọ: x =0 x + x màût khạc: ⎧f (1) = f (x ) = x ⇒ ⎨ ⎩f (0 ) = suy f(x) = x cọ thãø biãøøu diãùn: f(x) = x = f(0) x + f (1).x âọ: f (0), f (1) âỉåüc gi l giạ trë ca hm Boole theo mäüt biãún Xẹt f(x) = x : x = x + x Ta cọ: Màût khạc: ⎧f (1) = f (x ) = x ⇒ ⎨ ⎩f (0 ) = Suy ra: f(x) = x cọ thãø biãøu diãùn: f(x) = x = f(0) x + f(1).x Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Chỉång Âải säú BOOLE Trang 17 Xẹt f(x) = α: Ta cọ: α = α.1 = α(x + x ) = x α + α.x Màût khạc: ⎧f (1) = α f (x ) = α ⇒ ⎨ ⎩f (0) = α Suy f(x) = α cọ thãø âỉåüc biãøu diãùn: f(x) = α = f(0) x + f(1).x Kãút lûn: D l f(x) = x, f(x) = x hay f(x) = α, ta âãưu cọ dảng: f(x) = f(0) x + f(1).x Váûy f(x) = f(0) x + f(1).x âọ f (0), f (1) âỉåüc gi l giạ trë ca hm Boole theo mäüt biãún, âỉåüc gi l dảng chênh tàõc thỉï nháút (dảng täøng ca cạc têch) theo mäüt biãún Trong trỉåìng håüp hai biãún f(x1, x2) thç cạch biãøu diãùn cng hon ton dỉûa trãn cạch biãøu diãùn ca dảng chênh tàõc thỉï nháút theo biãún (trong âọ xem mäüt biãún l hàòng säú) Ta cọ: f(x1, x2 ) = f(0, x2) x + f(1,x2).x1 m: f(0, x2) = f(0,0 ) x + f(0,1).x2 v: f(1, x2) = f(1,0) x + f(1,1) x2 Suy ra: f(x1, x2 ) = f(0,0) x x + f(0, 1) x 1x2 + f(1,0 )x1 x + f(1,1)x1x2 2 −1 Váûy: f ( x1, x 2) = ∑ f(α1 , α )x1α x α2 e=0 âọ e l säú tháûp phán tỉång ỉïng våïi m (α1, α2) v: x1 nãúu α1 = α x1 = x nãúu α1 = α x2 = x2 nãúu α2 = x nãúu α2 = Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Bi ging K Thût Säú Trang 18 Täøng quạt cho n biãún: 2n −1 α f(x1, x2, , xn) = ∑ f(α1 , α , , α n )x 1α1 x 2 x n α n e =0 âọ e l säú tháûp phán tỉång ỉïng våïi m nhë phán (α1, α2, , αn); α v: xi nãúu αi = xi i = x i nãúu αi = Vê dủ: −1 f(x1, x2, x3) = ∑ f (α1, α2, α3) x1α1 x2α2 x3α3 e=0 f(x1, x2, x3) = f(0,0,0) x x x + f(0,0,1) x x x3 + f(0,1,0) x 1x2 x + f(0,1,1) x x2 x3 + f(1,0,0) x1 x x + f(1,0,1)x1 x x3 + f(1,1,0) x1 x2 x + f(1,1,1) x1 x2 x3 Váûy dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng täøng ca cạc têch m mäùi têch säú chỉïa âáưy â cạc biãún Boole dỉåïi dảng tháût hồûc dảng b (nghëch âo) b Dảng chênh tàõc (têch ca cạc täøng): Âáy l dảng âäúi ngáùu ca dảng chênh tàõc nãn biãøu thỉïc täøng quạt ca dảng chênh tàõc thỉï hai cho n biãún l: 2n −1 f(x1, x2, , xn) = ∏ [f(α1, α2, α3) + x1α1 + x2α2+ + xnαn)] e =0 âọ e l säú tháûp phán tỉång ỉïng ca m nhë phán (α1, α2, , αn); v: x i nãúu αi = α xi i = xi nãúu αi = Vê dủ: f(x1,x2)=[f(0,0)+x1+x2][f(0,1)+x1+ x 2][f(1,0)+ x 1+x2][f(1,1)+ x 1+ x 2] Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Chỉång Âải säú BOOLE Trang 19 f(x1, x2, x3) = [f(0,0,0)+x1+ x2+x3].[f(0,0,1)+x1+x2+ x 3] [f(0,1,0)+x1+ x 2+x3].[f(0,1,1)+x1+ x 2+ x 3] [f(1,0,0)+ x 1+x2+x3].[f(1,0,1)+ x 1+x2+ x 3] [f(1,1,0)+ x 1+ x 2+x3].[f(1,1,1)+ x 1+ x 2+ x 3] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng têch ca cạc täøng säú m âọ mäùi täøng säú ny chỉïa âáưy â cạc biãún Boole dỉåïi dảng tháût hồûc dảng b Chụ : Xẹt vê dủ 1: f(x1, x2) = x1 + x2 , Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 1: f(x1, x2 ) = x x + x 1.x2 + 1.x1 x + 1.x1.x2 = x 1.x2 + x1 x + x1.x2 Tỉì vê dủ trãn ta tháúy: Dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm bàòng Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàòng âỉåüc viãút åí dảng b ( x ) Xẹt vê dủ 2: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 2: f(x1, x2, x3) = [0+x1+x2+x3].[0+x1+x2+ x 3].[0+x1+ x 2+x3] [1+x1+ x 2+ x 3].[1+ x 1+x2+x3].[1+ x 1+x2+ x 3] [1+ x 1+ x 2+x3].[1+ x 1+ x 2+ x 3] Hay: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 = [x1+x2+x3].[x1+x2+ x 3].[x1+ x 2+x3] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm bàòng Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàòng âỉåüc viãút åí dảng b ( x ) Xẹt vê dủ âån gin sau âãø hiãøu r hån vãư cạch thnh láûp bng giạ trë ca hm, tçm hm mảch v thiãút kãú mảch: Hy thiãút kãú mảch âiãûn Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Bi ging K Thût Säú Trang 20 cho cäng tàõc âọng thç ân â, cäng tàõc âọng ân â, c hai cäng tàõc âọng ân â Gii Ta qui âënh: - Cäng tàõc håí : Ân tàõt : - Cäng tàõc âọng: Ân â : Lục âọ ta cọ bng trảng thại mä t hoảt âäüng ca mảch: Cäng tàõc x1 0 1 Cäng tàõc x2 1 Ân f(x1,x2) 1 Viãút theo dảng chênh tàõc ta cọ: f(x1, x2) = x x + x 1.x2 + 1.x1 x + 1.x1.x2 = x x2 + x1 x + x1.x2 = x x2 + x1( x + x2) = x x2 + x1 = x1 + x2 Viãút theo dảng chênh tàõc ta cọ: f(x1, x2) = [0+x1+x2].[1+x1+ x 2].[1+ x 1+ x2].[1+ x 1+ x 2] = [x1+ x2].1.1.1 = x1 + x2 Váûy, d viãút theo dảng chênh tàõc hay chênh tàõc ta âãưu cọ hm mảch: f(x1, x2) = x1 + x2 2.2.2.3 Phỉång phạp biãøu diãùn bàòng bng Karnaugh Âáy l cạch biãøu diãùn lải ca phỉång phạp bng dỉåïi dảng bng gäưm cạc ä vng cọ dảng hçnh bãn Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Chỉång Âải säú BOOLE Trang 21 Trãn bng ny ngỉåìi ta bäú trê cạc biãún vo theo hng hồûc theo cäüt ca bng Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l chàơn, ngỉåìi ta bäú trê säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang bàòng säú lỉåüng biãún vo theo cäüt dc ca bng Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l l, ngỉåìi ta bäú trê säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang nhiãưu hån säú lỉåüng biãún vo theo cäüt dc biãún hồûc ngỉåüc lải Cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc ca bng âỉåüc bäú trê cho ta âi tỉì mäüt ä sang mäüt ä lán cáûn våïi chè lm thay âäøi mäüt giạ trë ca biãún, váûy thỉï tỉû bäú trê hay sàõp xãúp cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc ca bng Karnaugh hon ton tn th theo m Gray Giạ trë ghi mäùi ä vng ny chênh l giạ trë ca hm tỉång ỉïng våïi cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo ÅÍ nhỉỵng ä m giạ trë hm l khäng xạc âënh, cọ nghéa l giạ trë ca hm l ty (hay ty âënh), ngỉåìi ta kê hiãûu bàòng chỉỵ x Nãúu cọ n biãún vo s cọ 2n ä vng 2.3 TÄÚI THIÃØU HM BOOLE 2.3.1 Âải cỉång Trong thiãút bë mạy ngỉåìi ta thỉåìng thiãút kãú gäưm nhiãưu modul (kháu) v mäùi modul ny âỉåüc âàûc trỉng bàòng mäüt phỉång trçnh logic Trong âọ, mỉïc âäü phỉïc tảp ca så âäư ty thüc vo phỉång trçnh logic biãøu diãùn chụng Viãûc âảt âỉåüc âäü äøn âënh cao hay khäng l ty thüc vo phỉång trçnh logic biãøu diãùn chụng åí dảng täúi thiãøu họa hay chỉa Âãø thỉûc hiãûn âỉåüc âiãưu âọ, thiãút kãú mảch säú ngỉåìi ta âàût váún âãư täúi thiãøu họa cạc hm logic Âiãưu âọ cọ nghéa l phỉång trçnh logic biãøu diãùn cho thỉûc sỉû gn nháút (säú lỉåüng cạc phẹp v säú lỉåüng cạc säú âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng tháût hồûc b l êt nháút) Tuy nhiãn thỉûc tãú, khäng phi lục no cng âảt âỉåüc låìi gii täúi ỉu cho bi toạn täúi thiãøu họa Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Bi ging K Thût Säú Trang 22 2.3.2 Cạc bỉåïc tiãún hnh täúi thiãøu họa - Dng cạc phẹp täúi thiãøu âãø täúi thiãøu họa cạc hm säú logic - Rụt nhỉỵng thỉìa säú chung nhàòm mủc âêch täúi thiãøu họa thãm mäüt bỉåïc nỉỵa cạc phỉång trçnh logic 2.3.3 Cạc phỉång phạp täúi thiãøu họa 2.3.3.1 Phỉång phạp gii têch Âọ l phỉång phạp täúi thiãøu họa hm Boole (phỉång trçnh logic) dỉûa vo cạc tiãn âãư, âënh l ca âải säú Boole Vê dủ: f(x1, x2) = x 1x2 + x1 x + x1x2 = ( x + x1)x2 + x1 x = x2 + x1 x = x2 + x1 Vê dủ: f(x1, x2, x3) = x 1x2x3 + x1 x x + x1 x 2x3 + x1x2 x + x1x2x3 = x 1x2x3 + x1 x x + x1 x 2x3 + x1x2 ( x + x3) = x 1x2x3 + x1 x 2( x + x3) + x1x2 = x 1x2x3 + x1( x + x2) = x 1x2x3 + x1 = x1 + x2 x3 2.3.3.2 Phỉång phạp bng Karnaugh a Täúi thiãøu họa hm Boole bàòng bng Karnaugh Âãø täúi thiãøu họa hm Boole bàòng phỉång phạp bng Karnaugh phi tn th theo qui tàõc vãư ä kãú cáûn: “Hai ä âỉåüc gi l kãú cáûn l hai ä m ta tỉì ä ny sang ä chè lm thay âäøi giạ trë ca biãún “ Quy tàõc chung ca phỉång phạp rụt gn bàòng bng Karnaugh l gom (kãút håüp) cạc ä kãú cáûn lải våïi Khi gom ä kãú cáûn s loải âỉåüc biãún (2 ä =21 loải biãún) Khi gom ä kãú cáûn s loải âỉåüc biãún (4 ä =22 loải biãún) Khi gom ä kãú cáûn s loải âỉåüc biãún (8 ä = 23 loải biãún ) Täøng quạt, gom 2n ä kãú cáûn s loải âỉåüc n biãún Nhỉỵng biãún bë loải l nhỉỵng biãún ta âi vng qua cạc ä kãú cáûn m giạ trë ca chụng thay âäøi Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Chỉång Âải säú BOOLE Trang 23 Nhỉỵng âiãưu cáưn lỉu : - Vng gom âỉåüc gi l håüp lãû vng gom âọ cọ êt nháút ä chỉa thüc vng gom no - Viãûc kãút håüp nhỉỵng ä kãú cáûn våïi cn ty thüc vo phỉång phạp biãøu diãùỵn hm Boole theo dảng chênh tàõc hồûc chênh tàõc Âiãưu ny cọ nghéa l: nãúu ta biãøu diãùn hm Boole theo dảng chênh tàõc thç ta chè quan tám nhỉỵng ä kãú cáûn no cọ giạ trë bàòng v ty âënh, ngỉåüc lải nãúu ta biãøu diãùn hm Boole dỉåïi dảng chênh tàõc thç ta chè quan tám nhỉỵng ä kãú cáûn no cọ giạ trë bàòng v ty âënh Ta quan tám nhỉỵng ä ty âënh cho nhỉỵng ä ny kãút håüp våïi nhỉỵng ä cọ giạ trë bàòng (nãúu biãøu diãùn theo dảng chênh tàõc 1) hồûc bàòng (nãúu biãøu diãùn theo dảng chênh tàõc 2) s lm cho säú lỉåüng ä kãú cáûn l 2n låïn nháút - Cạc ä kãú cáûn mún gom âỉåüc phi l kãú cáûn vng trn nghéa l ä kãú cáûûn cúi cng l ä kãú cáûn âáưu tiãn c Cạc vê dủ Vê dủ 1: Täúi thiãøu họa hm sau bàòng phỉång phạp bng Karnaugh f(x1,x2) x1 x2 0 1 1 Täúi thiãøu họa theo dảng chênh tàõc 2: f(x1,x2) = x1 + x2 Vê dủ 2: Täúi thiãøu họa hm sau bàòng phỉång phạp bng Karnaugh f(x1,x2,x3) x ,x x3 00 01 11 10 0 1 1 Vng gom 1: x1 Vng gom 2: x2.x3 Täúi gin theo dảng chênh tàõc 1: Ta chè quan tám âãún nhỉỵng ä cọ giạ trë bàòng v ty âënh, váûy s cọ vng gom âãø ph hãút cạc ä cọ giạ trë bàòng 1: vng gom gäưm ä kãú cáûn, v vng gom gäưm ä kãú cáûn (hçnh v) Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Bi ging K Thût Säú Trang 24 Âäúi våïi vng gom 1: Cọ ä = 22 nãn s loải âỉåüc biãún Khi âi vng qua ä kãú cáûn vng gom chè cọ giạ trë ca biãún x1 khäng âäøi (ln bàòng 1), cn giạ trë ca biãún x2 thay âäøi (tỉì 1→0) v giạ trë ca biãún x3 thay âäøi (tỉì 0→1) nãn cạc biãún x2 v x3 bë loải, chè cn lải biãún x1 kãút qu ca vng gom Vç x1=1 nãn kãút qu ca vng gom theo dảng chênh tàõc s cọ x1 viãút åí dảng tháût: x1 Âäúi våïi vng gom 2: Cọ ä = 21 nãn s loải âỉåüc biãún Khi âi vng qua ä kãú cáûn vng gom giạ trë ca biãún x2 v x3 khäng âäøi, cn giạ trë ca biãún x1 thay âäøi (tỉì 0→1) nãn cạc biãún x2 v x3 âỉåüc giỉỵ lải, chè cọ biãún x1 bë loải Vç x2=1 v x3=1 nãn kãút qu ca vng gom theo dảng chênh tàõc s cọ x2 v x3 viãút åí dảng tháût: x2.x3 Kãút håüp vng gom ta cọ kãút qu täúi gin theo dảng chênh tàõc 1: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 Täúi gin theo dảng chênh tàõc 2: Ta quan tám âãún nhỉỵng ä cọ giạ trë bàòng v ty âënh, váûy cng cọ vng gom (hçnh v), mäùi vng gom âãưu gäưm ä kãú cáûn Âäúi våïi vng gom 1: Cọ ä = 21 nãn loải âỉåüc biãún, biãún bë loải l x2 (vç cọ giạ trë thay âäøi tỉì 0→1) Vç x1=0 v x3=0 nãn kãút qu ca vng gom theo dảng chênh tàõc s cọ x1 v x3 åí dảng tháût: x1+ x3 Âäúi våïi vng gom 2: Cọ ä = 21 nãn loải âỉåüc biãún, biãún bë loải l x3 (vç cọ giạ trë thay âäøi tỉì → 1) Vç x1=0 v x2=0 nãn kãút qu ca vng gom theo dảng chênh tàõc s cọ x1 v x2 åí dảng tháût: x1 + x2 f(x1,x2,x3) x ,x x3 200 01 11 10 0 1 1 1 Vng gom 1: x1 + x3 Vng gom 2: x1 + x2 Kãút håüp vng gom cọ kãút qu ca hm f viãút theo dảng chênh tàõc 2: f (x1, x2, x3) = (x1+x3).(x1+x2) = x1.x1 + x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = x1 + x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Chỉång Âải säú BOOLE Trang 25 = x1(1+ x2 + x3) + x2.x3 = x1 + x2.x3 Nháûn xẹt: Trong vê dủ ny, hm viãút theo dảng chênh tàõc v hm viãút theo dảng chênh tàõc l giäúng Tuy nhiãn cọ trỉåìng håüp hm ca hai dảng chênh tàõc v l khạc nhau, nhỉng giạ trë ca hm ỉïng våïi mäüt täø håüp biãún âáưu vo l giäúng c dảng chênh tàõc Chụ : Ngỉåìi ta thỉåìng cho hm Boole dỉåïi dảng biãøu thỉïc rụt gn Vç cọ cạch biãøu diãùn hm Boole theo dảng chênh tàõc hồûc nãn s cọ cạch cho giạ trë ca hm Boole ỉïng våïi dảng chênh tàõc âọ: Dảng chênh tàõc 1: Täøng cạc têch säú f(x1, x2, x3) = Σ (3, 4, 7) + d(5, 6) Trong âọ d: giạ trë cạc ä ny l ty âënh (d: don’t care) f(x1,x2,x3) x1,x2 x3 00 01 11 10 0 X 1 1 X Lục âọ bng Karnaugh s âỉåüc cho hçnh trãn Tỉì biãøu thỉïc rụt gn ca hm ta tháúy tải cạc ä ỉïng våïi täø håüp nhë phán cạc biãún vo cọ giạ trë l 3, 4, thç hm cọ giạ trë bàòng 1; tải cạc ä ỉïng våïi täø håüp nhë phán cạc biãún vo cọ giạ trë l 5,6 thç hm cọ giạ trë l ty âënh; hm cọ giạ trë bàòng åí nhỉỵng ä cn lải ỉïng våïi täø håüp cạc biãún vo cọ giạ trë l 0, 1, Dảng chênh tàõc 2: Têch cạc täøng säú Phỉång trçnh logic trãn cng tỉång âỉång: f(x1, x2, x3) = Π (0, 1, 2) + d(5, 6) Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn [...]... cạc tiãn âãư, âënh l ca âải säú Boole Vê dủ: f(x1, x2) = x 1x2 + x1 x 2 + x1x2 = ( x 1 + x1)x2 + x1 x 2 = x2 + x1 x 2 = x2 + x1 Vê dủ: f(x1, x2, x3) = x 1x2x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2x3 + x1x2 x 3 + x1x2x3 = x 1x2x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2x3 + x1x2 ( x 3 + x3) = x 1x2x3 + x1 x 2( x 3 + x3) + x1x2 = x 1x2x3 + x1( x 2 + x2) = x 1x2x3 + x1 = x1 + x2 x3 2. 3.3 .2 Phỉång phạp bng Karnaugh a Täúi thiãøu họa hm Boole... f(x1,x2,x3) x ,x x3 1 20 0 01 11 10 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 Vng gom 1: x1 + x3 Vng gom 2: x1 + x2 Kãút håüp 2 vng gom cọ kãút qu ca hm f viãút theo dảng ch nh tàõc 2: f (x1, x2, x3) = (x1+x3).(x1+x2) = x1.x1 + x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = x1 + x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Ch ång 2 Âải säú BOOLE Trang 25 = x1(1+ x2 + x3) + x2.x3 = x1 + x2.x3 Nháûn xẹt: Trong vê dủ ny, hm ra viãút theo dảng ch nh... dảng ch nh tàõc 2 l giäúng nhau Tuy nhiãn cọ trỉåìng håüp hm ra ca hai dảng ch nh tàõc 1 v 2 l khạc nhau, nhỉng giạ trë ca hm ra ỉïng våïi mäüt täø håüp biãún âáưu vo l giäúng nhau trong c 2 dảng ch nh tàõc Ch : Ngỉåìi ta thỉåìng cho hm Boole dỉåïi dảng biãøu thỉïc rụt gn Vç cọ 2 c ch biãøu diãùn hm Boole theo dảng ch nh tàõc 1 hồûc 2 nãn s cọ 2 c ch cho giạ trë ca hm Boole ỉïng våïi 2 dảng ch nh... biãún x2 v x3 âỉåüc giỉỵ lải, ch cọ biãún x1 bë loải Vç x2=1 v x3=1 nãn kãút qu ca vng gom 2 theo dảng ch nh tàõc 1 s cọ x2 v x3 viãút åí dảng tháût: x2.x3 Kãút håüp 2 vng gom ta cọ kãút qu täúi gin theo dảng ch nh tàõc 1: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 Täúi gin theo dảng ch nh tàõc 2: Ta quan tám âãún nhỉỵng ä cọ giạ trë bàòng 0 v ty âënh, nhỉ váûy cng cọ 2 vng gom (hçnh v), mäùi vng gom âãưu gäưm 2 ä kãú... 1: Cọ 2 ä = 21 nãn loải âỉåüc 1 biãún, biãún bë loải l x2 (vç cọ giạ trë thay âäøi tỉì 0→1) Vç x1=0 v x3=0 nãn kãút qu ca vng gom 1 theo dảng ch nh tàõc 2 s cọ x1 v x3 åí dảng tháût: x1+ x3 Âäúi våïi vng gom 2: Cọ 2 ä = 21 nãn loải âỉåüc 1 biãún, biãún bë loải l x3 (vç cọ giạ trë thay âäøi tỉì 0 → 1) Vç x1=0 v x2=0 nãn kãút qu ca vng gom 2 theo dảng ch nh tàõc 2 s cọ x1 v x2 åí dảng tháût: x1 + x2 f(x1,x2,x3)... Vng gom 2: x2.x3 Täúi gin theo dảng ch nh tàõc 1: Ta ch quan tám âãún nhỉỵng ä cọ giạ trë bàòng 1 v ty âënh, nhỉ váûy s cọ 2 vng gom âãø ph hãút cạc ä cọ giạ trë bàòng 1: vng gom 1 gäưm 4 ä kãú cáûn, v vng gom 2 gäưm 2 ä kãú cáûn (hçnh v) Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Bi ging K Thût Säú Trang 24 Âäúi våïi vng gom 1: Cọ 4 ä = 22 nãn s loải âỉåüc 2 biãún Khi âi vng qua 4 ä kãú cáûn trong vng gom ch cọ... tỉì ä ny sang ä kia ch lm thay âäøi giạ trë ca 1 biãún “ Quy tàõc chung ca phỉång phạp rụt gn bàòng bng Karnaugh l gom (kãút håüp) cạc ä kãú cáûn lải våïi nhau Khi gom 2 ä kãú cáûn nhau s loải âỉåüc 1 biãún (2 ä =21 loải 1 biãún) Khi gom 4 ä kãú cáûn s loải âỉåüc 2 biãún (4 ä =22 loải 2 biãún) Khi gom 8 ä kãú cáûn s loải âỉåüc 3 biãún (8 ä = 23 loải 3 biãún ) Täøng quạt, khi gom 2n ä kãú cáûn s loải... lỉåüng ä kãú cáûn l 2n låïn nháút - Cạc ä kãú cáûn mún gom âỉåüc phi l kãú cáûn vng trn nghéa l ä kãú cáûûn cúi cng l ä kãú cáûn âáưu tiãn c Cạc vê dủ Vê dủ 1: Täúi thiãøu họa hm sau bàòng phỉång phạp bng Karnaugh f(x1,x2) x1 x2 0 1 0 0 1 1 1 1 Täúi thiãøu họa theo dảng ch nh tàõc 2: f(x1,x2) = x1 + x2 Vê dủ 2: Täúi thiãøu họa hm sau bàòng phỉång phạp bng Karnaugh f(x1,x2,x3) x ,x x3 1 2 00 0 1 01 11 10... thç ta ch quan tám nhỉỵng ä kãú cáûn no cọ giạ trë bàòng 1 v ty âënh, ngỉåüc lải nãúu ta biãøu diãùn hm Boole dỉåïi dảng ch nh tàõc 2 thç ta ch quan tám nhỉỵng ä kãú cáûn no cọ giạ trë bàòng 0 v ty âënh Ta quan tám nhỉỵng ä ty âënh sao cho nhỉỵng ä ny kãút håüp våïi nhỉỵng ä cọ giạ trë bàòng 1 (nãúu biãøu diãùn theo dảng ch nh tàõc 1) hồûc bàòng 0 (nãúu biãøu diãùn theo dảng ch nh tàõc 2) s lm cho säú...Bi ging K Thût Säú Trang 22 2. 3 .2 Cạc bỉåïc tiãún hnh täúi thiãøu họa - Dng cạc phẹp täúi thiãøu âãø täúi thiãøu họa cạc hm säú logic - Rụt ra nhỉỵng thỉìa säú chung nhàòm mủc â ch täúi thiãøu họa thãm mäüt bỉåïc nỉỵa cạc phỉång trçnh logic 2. 3.3 Cạc phỉång phạp täúi thiãøu họa 2. 3.3.1 Phỉång phạp gii t ch Âọ l phỉång phạp täúi thiãøu họa hm Boole (phỉång trçnh logic) ... = x 1x2 + x1 x + x1x2 = ( x + x1)x2 + x1 x = x2 + x1 x = x2 + x1 Vê dủ: f(x1, x2, x3) = x 1x2x3 + x1 x x + x1 x 2x3 + x1x2 x + x1x2x3 = x 1x2x3 + x1 x x + x1 x 2x3 + x1x2 ( x + x3) = x 1x2x3 +... vê dủ 2: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 Viãút dỉåïi dảng ch nh tàõc 2: f(x1, x2, x3) = [0+x1+x2+x3].[0+x1+x2+ x 3].[0+x1+ x 2+ x3] [1+x1+ x 2+ x 3].[1+ x 1+x2+x3].[1+ x 1+x2+ x 3] [1+ x 1+ x 2+ x3].[1+... x2 Viãút theo dảng ch nh tàõc ta cọ: f(x1, x2) = [0+x1+x2].[1+x1+ x 2] .[1+ x 1+ x2].[1+ x 1+ x 2] = [x1+ x2].1.1.1 = x1 + x2 Váûy, d viãút theo dảng ch nh tàõc hay ch nh tàõc ta âãưu cọ hm m ch: