Chương 7 THỰC HIỆN lọc và NHỮNG HIỆU ỨNG CHIỀU dài từ hữu hạn

1 Chương THỰC HIỆN LỌC VÀ NHỮNG HIỆU ỨNG CHIỀU DÀI TỪ HỮU HẠN Thực hiện, cấu trúc, lọc số trình bày phương trình tín hiệu vào ra, hàm truyền, giảng đồ (hoặc đồ thị tín hiệu) (phần 1.6.2), sử dụng ba khối bản, cộng, nhân, đơn vị trễ Nhưng để có lọc làm việc, ta phải thiết kế mạch logic (phần cứng) xử lý phần mềm Những cách thực khác chương trình bày cho lọc FIR IIR Mặc khác, thực phần cứng phần mềm lọc từ cấu trúc xác, vài nguồn lỗi, lượng tử đầu vào, cắt cụt làm tròn hệ số lọc Vì vậy, phần hai chương thảo luận hiệu ứng độ dài từ hữu hạn 7.1 TIẾN HÀNH LỌC FIR Lọc FIR nhân có bậc M có phương trình (công thức 5.2) hàm truyền (5.4a) tương ứng M y ( n)   h( k ) x ( n  k ) (7.1) k 0  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)  h(2) x(n  2)   h( M ) x(n  M ) H ( z)  Y ( z)  h(0)  h(1) z 1  h(2) z 2   h( M ) z  M X ( z) (7.2) Với hệ số h(n) đáp ứng xung lọc Chú ý lọc có bậc M có M+1 hệ số Ở có vài hình thức khác thực lọc FIR nói đến sau 7.1.1 Hình thức trực tiếp Quan sát công thức ta vẽ giản đồ lọc FIR bậc ba hình 7.1 gọi thực hình theo thức trực tiếp Hình 7.2 hình thức với lọc bậc M có M cộng, M đơn vị trễ Vì nhân tốn nhiều thời gian cộng, lý tưởng giảm số nhân nhiều tốt, giảm cộng hữu ích h(0) x(n) z 1 z 1 + h(1) h(2) z 1 h(3) Hình 7.1:Cấu trúc lọc FIR bậc ba y (n) z 1 x(n) … z 1 h(1) h(0) z 1 h(M  1) h(2) + … + h(M ) + + y (n) Hình 7.2: Tapped-đường trễ (đường chuyển)lọc FIR bậc M Theo lý thuyết chuyển vị, hay định lý đảo ngược, ta di chuyển đơn vị trễ đường hình 7.2 xuỗng đường đảo bậc nhánh hệ số hình 7.3, mà không ảnh hưởng đến quan hệ vào-ra … x(n) h(M  1) h(M ) z 1 + h(1) h(2) + z 1 … + h(0) z 1 + y (n) Hình 7.3: Thay đường tapped trễ (đường chuyển tiếp) lọc FIR bậc M 7.1.2 Cấu trúc pha tuyến tính Như thảo luận chương 6, hầu hết lọc FIR thiết kế để có pha tuyến tính (bao gồm pha tuyến tính tổng quát), có loại thích FIR-1 đến FIR-4 (hình 5.5) phụ thuộc bậc lọc M chẵn hay lẻ hệ số lọc (đáp ứng xung) h(n) đối xứng phi đối xứng Đầu tiên, xét trường hợp FIR-1, với M chẵn, h(n) đối xứng với hệ số h(M/2), nghĩa h(n)  h(M  n) Công thức lọc y (n)  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)   h( M  1) x(n  M  1)  h( M ) x(n  M )  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)   h(1) x(n  M  1)  h(0) x(n  M )  h(0)[ x(n)  x(n  M )]  h(1)[ x(n  1)  x(n  M  1)]   h( (7.3) M M M  1)[ x(n   1)  x(h   1)] 2 Vì nhóm đôi với hệ số nhau, từ thành phần h(M/2) x(n – M/2), số phép nhân giảm nửa (Hình 7.4) Với FIR-2, M lẻ, M + chẵn, hệ số đối xứng, h(n) = h(M – n), đối xứng M/2 Công thức lọc y (n)  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)   h( M  1) x(n  M  1)  h( M ) x(n  M )  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)   h(1) x(n  M  1)  h(0) x(n  M )  h(0)[ x(n)  x(n  M )  h(1)[ x(n  1)  x(n  M  1)]  h( M21 )[ x(n  M 1 )  x(n  M 1 )] (7.4) z 1 x(n) …… z 1 + + z 1 + z 1 …… z 1 h(0) z 1 h( h(1) …… + + M  1) h( M ) + y (n) Hình 7.4: Dạng tực tiếp cho FIR -1 Cấu trúc hình 7.5 z 1 x(n) …… z 1 + + + z 1 z 1 + z 1 z 1 h(0) h(1) h(2) + + …… + z 1 M 3 h( ) + h( + M 1 ) y (n) Hình 7.5: Dạng trực tiếp với FIR-2 Ta xử lý giống cho FIR-3 FIR-4 Lọc FIR có dạng khác gọi dạng lưới mà nói kèm với lọc IIR phần 7.4 7.2 THỰC HIỆN LỌC IIR: DẠNG TRỰC TIẾP VÀ DẠNG CHUYỂN VỊ Phương trình tín hiệu lọc IIR nhân N M k 1 k 0 y (n)   a k y (n  k )   bk x(n  k ) (7.5) Với bk hệ số lọc phần trước (không đệ qui), ak hệ số phần hồi tiếp (đệ qui) Chú ý số tác giả viết phương trình N M k 0 k 0  ak y(n  k )   bk x(n  k ) (7.6) Theo cách hệ số ak , trừ a0, có dấu ngược với dấu ak trong(7.4) Ta đánh dấu dạng (7.7) từ hàm truyền (4.13a) M X ( z) H ( z)   Y ( z) b z k 0 N k k   a k z k b0  b1 z 1  b2 z    bM z  M   a1 z 1  a z    a N z  N k 1  N ( z) D( z ) Hàm truyền nghịch đảo thích đa thức tử mẫu N(z) D(z) (7.7) Như ví dụ, xét lọc IIR bậc hai có hệ số đệ qui a1 a2 , ba hệ số không đệ qui b0 , b1 b3 , y(n)  a1 y(n  1)  a2 y(n  2)  b0 x(n)  b1 x(n  1)  b2 x(n  2) (7.8) H ( z)  b0  b1 z 1  b2 z 2  a1 z 1  a z  (7.9) 7.2.1 Dạng trực tiếp I Dạng trực tiếp(hoặc dạng trực tiếp I) giản đồ trực tiếp trình bày công thức truyền (7.7) Ví dụ với lọc (7.8) thực dạng trực tiếp hình 7.6 Chú ý ta tách tổng thành hai tổng nối tiếp, cho phần vào cho phần (xem hình 7.8a) b0 x(n) + y (n) z 1 b1 a1 z 1 z 1 z 1 b2 a2 Hình 7.6: Dạng trực tiếp I lọc IIR bậc hai (7.9) Ví dụ 7.2.1 Tìm cấu trúc thực tế lọc IIR có hàm truyền H ( z)   z 1  z 3  0.3z 1  0.5 z 2  0.4 z 4 Giải Ta vẽ cấu trúc quan sát Kết hình 7.7 Phương trình dễ dàng tìm thấy y(n)  0.3 y(n  1)  0.5 y(n  2)  0.4 y(n  4)  3x(n)  x(n  1)  5x(n  3) 7.2.2 Dạng trực tiếp II (hoặc dạng tắc) Hàm truyền (7.7) viết H ( z)  N ( z) 1  N ( z)  N ( z) D( z ) D( z ) D( z ) (7.10) x(n) z 1 + y (n) -4 -0.3 z 1 z 1 z 1 0.5 z 1 z 1 -5 0.4 z 1 Hình 7.7: Ví dụ 7.2.1 Nghĩa bậc lọc vào N(z) lọc D( z ) cấu trúc hình 7.6 hoán đổi mà không thay đổi quan hệ vào-ra (phương trình vào ra) để có cấu trúc khác Xét lần lọc bậc hai (7.8) Dạng trực tiếp với cấu trúc I hình 7.8a (vẽ lại hình 7.6) với ngõ tầng N(z) đưa đến tầng ngõ 1/D(z) Trong hình 7.8b bậc hai tầng đảo ngược, tầng vào 1/D(z) tầng N(z) Lấy thích tín hiệu trực tiếp by v(n) ta thấy bị trễ số mẫu với hai đơn vị trễ hai lọc Hoặc cách nói khác, hai tập trễ có nội dung, ta kết nối thành tập để có cấu trúc hình 7.8c mà dạng trực tiếp II, gọi dạng tắc với số đơn vị trễ Ta kiểm tra cấu trúc cách viết phương trình cho v(n) y(n): v(n)  x(n)  a1v(n  1)  a2 v(n  2) y(n)  b0 v(n)  b1v(n  1)  b2 v(n  2) Mà miền z V ( z )  X ( z)  a1 z 1V ( z )  a2 z 2V ( z) Y ( z)  b0V ( z)  b1 z 1V ( z)  b2 z 2V ( z ) Giải phương trình với V(z) Y(z) ta có V ( z)  1 X ( z)  X ( z) 2 D( z )  a1 z  a z 1 Y ( z )  (b0  b1 z 1  b2 z 2 )V ( z )  N ( z )V ( z )  N ( z) X ( z) D( z ) b0 x(n) + + y (n) z 1 z 1 a1 b1 z 1 z 1 a2 b2 N(z) 1/D(z) (a) Dạng trực tiếp I x(n) v(n) + z 1 v(n) b0 + y (n) z 1 a1 b1 z 1 z 1 1/D(z) N(z) a2 b2 (b) Bậc đảo dạng trực tiếp I x(n) b0 + z 1 b1 a1 b2 z 1 a2 + y (n) (c) Dạng trực tiếp II Hình 7.8: Sự tiến hành dạng trực tiếp I đến dạng trực tiếp II (dạng tắc) lọc IIR bậc hai Vì vậy, hàm truyền H ( z)  X ( z) N ( z)  Y ( z ) D( z ) Như mong muốn, nghĩa là, dạng trực tiếp II trình bày lọc dạng trực tiếp I Ví dụ 7.2.2 Cho dạng trực tiếp II cấu trúc thực tế lọc ví dụ 7.2.1 Giải x(n) v(n) + -0.3 z 1 + y (n) -4 z 1 0.5 z 1 z 1 0.4 Hình 7.9: Ví dụ 7.2.2 Cấu trúc cho hình 7.9 7.2.3 Cấu trúc chuyển vị Như đề cập phần 7.1.1, lý thuyết giản đồ tín hiệu lý thuyết chuyển vị, gọi lý thuyết đảo ngược, mà phát biểu liên hệ vào hệ thống trùy không đổi ta đảo hướng tất nhánh, hóa vị vào ra, đổi điểm nguồn vào điểm bên ngược lại Lý thuyết dẫn đến cấu trúc chuyển vị mà hữu ích cấu trúc thông thường Vì ta có chuyển vị trực tiếp b0 + x(n) z 1 a1 b1 z 1 z 1 z 1 a2 b2 Hình 7.10: Chuyển vị trực tiếp dạng II (cải tiến từ hình 7.6) Dạng I dạng chuyển vị trực tiếp II Ví dụ, cấu trúc hình 7.6 chuyển thành hình 7.10, cấu trúc hình 7.8c trở thành hình 7.11 + x(n) b0 b1 + y (n) z 1 a1 z 1 b2 a2 Hình 7.11: Chuyển vị trực tiếp dạng II (cải tiến từ hình 7.8c) 7.3 THỰC HIỆN LỌC IIR: CẤU TRÚC TẦNG VÀ SONG SONG Lọc IIR bậc cao phân tích dẫn đến dạng tầng, mở rộng thành phân tích thành phần để thành dạng song song 7.3.1 Cấu trúc tâng Nhìn chung lọc IIR nhân (7.5) có hàm truyền (7.7) phương trình y(n)  a1 y(n  1)  a2 y(n  2)   aN y (n  M )  b0 x(n)  b1 x(n  1)   bN x(n  N ) (7.11) Bất kỳ hàm truyền phân tích thành thừa số bậc với hệ số lọc thực có hệ số thực N 1 bi  bi1 z 1  bi z 2 (7.12)  G H i ( z)  1  z  i   a i1 z i 0 G thừa số độ lợi Lọc thích H ( z ), H ( z ) …Lọc bậc hai bao gồm lọc bậc hệ số bi a i không N 1 H ( z )  G Nhìn chung, hàm truyền phân tích thành lọc bậc (cả tử mẫu bậc một) với hệ số phức Nếu đáp ứng xung hệ thống h(n) thực, H(z) xuất đôi liên hiệp phức, thừa số liên hiệp phức kết nối để hình thành thừa số bậc hai với hệ số thực bên Phân tích thừa số dẫn đến dạng tầng, với ngõ tầng ngõ vào tầng hai tiếp tục Phương trình lọc gốc có cách tìm phương trình tầng lấy ngõ tang ngõ tầng hai… Ví dụ 7.3.1 Tìm dạng trực tiếp II cấu trúc dạng tầng lọc bậc có hàm truyền H ( z)   z 2  z 4  0.8 z 2  0.25 z 4 Giải Cấu trúc dạng trực tiếp II (dạng tắc) thực trực tiếp hàm truyền với giảm số đơn vị trễ (hình 7.12a) Để có dạng tầng, ta phải phân tích đa thức tử mẫu, kết sau:  z 1  z 2  z 1  z 2 H ( z)    0.4 z 1  0.5 z 2  0.4 z 1  0.5 z 2 wn + x(n) + w0 y(n) z-1 w1 z-1 w2 -0.84 -4 z-1 w3 z-1 w4 -0.25 x(n) + w0(n) w00 + (a) x1(n) + w0(n) w10 z-1 z-1 w01 0.4 w11 -4 0.4 -1 z z w02 -0.5 -4 -1 (b) w12 -0.5 Hình 12: Ví dụ 7.3.1 (a): Dạng trực tiếp II, (b):Dạng tầng + y(n) 10 Vì cấu trúc tầng bao gồm hai lọc bậc hai (hình 7.12b) Chú ý với hai thừa số tử mẫu, ta xếp để có bốn lọc bậc hai khác nhau, có bốn cấu trúc tầng mà có hiệu ứng độ dài từ khác nhau, ảnh hưởng xác hệ thống khác Lý tầng cho lỗi chắn mà truyền đến tầng Ví dụ 7.3.2 Tìm dạng cấu trúc tầng lọc bậc H ( z)  z ( z  1) [( z  0.3)  0.16]( z  0.8)( z  0.7) Giải Phân tích thừa số có kết H ( z)  x(n)  z 1  z 2  z 1   0.6 z 1  0.25 z 2  0.1z 1  0.56 z 2 + +  0.6 z 1 + -1 + z 1 0.1 z 1 z 1 -0.25 0.56 Fig 7.13: Ví dụ 7.3.2 Hình 7.13 Chỉ cấu trúc tầng Phân tích hàm truyền Vấn đề biến đổi lọc bậc cao thành dạng tầng lọc bậc bậc hai trình xử lý phân tích thừa số tử mẫu hàm truyền Với đa thức mâu D(z) có bậc N ta xử lý để tìm bậc hai (giống tìm cực hệ thống) D( z )   a1 z 1  a z 2   a M z  N  (1  p1 z 1 )(1  p z 1 ) (1  p N z 1 ) (7.13) Nếu bậc hai thực, ta để D(z) thành hình thức kết nối đôi thừa số thành hàm bậc hai với hệ số thực Ví dụ với p1, p2 thực, ta có (1  p1 z 1 )(1  p2 z 1 )  (1  ( p1  p2 ) z 1  p1 p2 z 2 ) Nếu phức, chúng xuất đôi liên hiệp phức Ví dụ, với p1, p2 liên hiệp phức p  p1* , (1  p1 z 1 )(1  p1* z 1 )   ( p1  p 2* ) z 1  p1 p 2* z 2   Re( p1 ) z 1  | p1 | z 2 (7.14a) j Kết viết trục tọa độ cực với p1  r1e , (1  p1 z 1 )(1  p1* z 1 )   2ri (cos 1 ) z 1  r12 z 2 (7.14b) Phân tích thừa số đa thức mẫu N(z) xuất giống Thật ra, tìm yêu cầu giải phương trình bậc cao, ta phải nhờ tới phần mềm toán học Matlab chẳng hạn Ví dụ 7.3.3 y (n) 39 / (a) Lọc không lượng tử / (b) Dạng trực / tiếp lượng tử với bits / / / Hình.7.35: Lọc Butterworth thông qua với bậc 10 tần số cắt 0.5 0.6 (c) Dạng tầng lượng tử bits Magnitude(dB) 40 0,5 / Hình.7.36 a: Đáp ứng biên độ lọc thấp qua FIR có 21 hệ số (a) không lượng tử (b) lượng tử đến bits Hình 7.36b: Đáp ứng biên độ lọc thông thấp Chebyshev bậc với hệ số lượng tử đến (a) 12 bits, (b) bits, (c) bits [trích từ R.J.Shitling S.L.Harris, 2005] 7.8 HIỆU ỨNG ĐỘ DÀI TỪ HỮU HẠN-LÀM TRÒN-TRÀN 41 Bên cạnh lượng tử tín hiệu vào lượng tử hệ số lọc, có hai hiệu ứng khác quan trọng độ dài từ hữu hạn, làm tròn (và cắt cụt) tràn xuất thao tác dấu chấm cố định cất dữ liệu 7.8.1 Làm tròn Khi hai số có B + bits nhân, tích có 2B + bits Nếu kết giữ (B + 1) bit ghi sử dụng (B + 1)-bit cộng phải lượng tử thành B + bits, mà gây lỗi gọi nhiễu làm tròn Nhiễu kết hợp với nhiễu từ lượng tử khác, lan truyền xuyên qua lọc xuất ngõ Điển hình, với lọc FIR, mẫu ngõ vào trình bày 12 bits ngược lại hệ số 16 bits số bù hai Mỗi tích h(k ) x(n  k ) cho nhiều bits h(k) x(n – k) riêng rẽ Ví dụ 12 bit vào nhân với hệ số 16 bit nhớ với 12 bits trước trở thành ngõ y(n) Lỗi làm tròn tối thiểu trình bày tất tích mà không lượng tử, với ghi dài gấp đôi, sau làm tròn kết để có tổng ngõ y(n) Xét lọc IIR bậc hai thực dạng trực tiếp y ( n)  a k y (n  k )  k 1  b x( n  k ) k k 0 Giả sử tất sổ trình bày (B + 1)-bit số dấu chấm cố định, cộng có B + bits Sau tích (2B + 1)-bit phải lượng tử thành B + bits cắt cụt làm tròn Khi tích bk x(n  k ) a k y(n  k ) lượngt tử, phương trình yˆ (n)    Qa k y (n  k )  k 1 + X Z-1 X Z-1 (7.82) k k 0 b0 x(n)   Qb x(n  k ) X y(n) Z-1 b1 a1 X X Z-1 a2 b2 (a) Thực dạng trực tiếp không lượng tử x(n) b0 X Z-1 X b1 Z-1 + + Z-1 eb0 (n) + + eb1 (n) b2 X ea1 (n) + + e a ( n) eb2 (n) (b) Làm tròn tổng tích nhiễu et (n) X Z-1 yˆ (n) 42 x(n) b0 X + X Z-1 yˆ (n)  y(n)  f (n) Z-1 a1 b1 X Z-1 X Z-1 a2 b2 (c) Tích mô hình làm tròn nhiễu Hình 7.37: Tích nhiễu làm tròn lọc IIR bậc hai Mỗi tích lượng tử cho lỗi mà xét nguồn nhiễu cộng thêm vào hình 7.37b Mỗi nhiễu lượng tử giả sử có thuộc tính sau:  Độ nhạy rộng cố định cho xử lý nhiễu trắng  Phân bố đồng thông qua khoảng lượng tử  Không tương quan với tín hiệu vào với tất nguồn nhiễu  Với trình bày số với B + bits, thuộc tính thứ hai ngụ ý nhiễu lượng tử có trung bình không  e phương sai 2 B (7.83) 12 Xét đáp ứng xung đơn vị lọc tuyến tính bất biến thời gian h(n), sau nhiễu trắng ổn định độ nhạy rộng e(n) với trung bình  e phương sai  e2 cho nhiễu ngõ (7.84a) f (n)  e(n)  h(n) Với trung bình  e2   f  e   h( n) (7.84b) n   Và phương sai   (7.84c) H ( ) d 2  n   Phương sai tính sử dụng biến đổi z  2f   e2 H ( z ) H ( z 1 ) z 1 dz (7.84d) c 2j Với lọc hình 7.37b tổng số nhiễu làm tròn phát sinh bên lọc hình 7.37e: et (n)  eb0 (n)  eb1 (n)  eb2 (n)  ea1 (n)  ea2 (n) (7.85)  2f   e2  h(n)   e2   Tổng nhiễu lọc phần đệ qui lọc nhiễu ngõ cho (7.86) f (n)  et (n)  a1 f (n  1)  a2 f (n  2) Nếu nguồn nhiễu không tương quan giả sử thuộc tính thứ ba trên, phương sai et(n) tổng phương sai tất nguồn nhiễu đơn: 2 B  t2  5 e2  12 Ví dụ phần đệ qui lọc bậc hai với cực phức 1 B( z )   1 2 j0 1  a1 z  a z (1  re z )(1  re  j0 z 1 ) Thì nhiễu ngõ 43  2f  2 B 12 2j 2 B  B( z ) B( z c 1 ) z 1 dz (7.87) zdz 5 j   j  12 2j c ( z  re )( z  re )(1  re j0 z )(1  re  j0 z ) Ta sử dụng định lý Cauchy để tính tích phân trên, kết  (7.88) Những cực gần với đường tròn đơn vị ( ), phương sai lớn nhiễu ngõ Như nói trên, làm tròn nhiễu rút gọn cộng (2B + 1) - bit để tích lũy tích phần với lượng tử, mà kết phương trình Bởi lượng tử tổng tích, phương sai nhiễu làm tròn hình 7.37c giảm từ đến Từ dạng khác tiến hành lọc, khác với dạng trực tiếp khác nói trên, phân tích nhiễu tròn giống Hơn nữa, đôi bậc lọc dạng tầng song song ảnh hưởng quan trọng đến ngõ lọc (phần 7.7.2 sau) Bên ta làm tròn đến giới hạn số bit Khi cắt cụt sử dụng kết khác phụ thuộc vào cắt cụt biên độ-dấu cắt cụt số bù hai unrounded H   12 bit 10 bit bit /2 F/fc  44 H 12 bit 10 bit bit - /2   F/fc Hình 7.38: Đáp ứng biên độ pha lọc Chebyshev bậc bits khác Ví dụ 7.7.1 Hình 7.39 thực dạng đôi lọc IIR bậc hai v(n) x(n) + x rsin0 -1 Z + x y(n) Z-1 -rcos0 rcos0 -rsin0 Hình 7.39: Ví dụ 7.7.1 (thực dạng đôi) (a) Tìm hàm truyền lọc (b) Nếu hệ số rcos0 rsin0 lượng tử thành bits, tìm vị trí cực cho phép Giải (a) Vì dạng dạng đôi ta miêu tả hệ thống đôi phương trình khác Để tìm hàm truyền ta lấy biến đổi z công thức trên: Giải với V(z) công thức đầu thay vào công thức thứ hai giải Y(z), ta có: 45 Vì hàm truyền lọc Im(z) Unit circle Re(z) (b) Lọc có hai cực Vì hệ số lọc có phần thực phần ảo Khi hệ số lượng tử thành B+1 bits, + lọc IIR bậc hai thực dạng kép với Hình 7.40: dụ cắt 7.7.1 cực cho phép tạiVí phần nhau(vị củatrí2Bcực đường nằm ngang thẳng đứng mặt phẳng z Hình 7.40 cực tư thứ tử vớiđến 4lượng hệphần số lượng bits).tử bit Phân bố đồng cực nghĩa thực dạng kép bị ảnh hưởng lượng tử so với dạng trực tiếp hình 7.34 Tuy nhiên, dạng kép yêu cầu nhiều nhân dạng trực tiếp (6 so với 4) Ví dụ 7.7.2 Xét lọc IIR có hàm truyền Lọc thực vi xủ lý 16 bit dấu chấm cố định tổng tích tích lũy (a) Tìm phương sai nhiễu tròn ngõ lọc thực dạng trực tiếp II (b) Lặp lại lọc thực dạng song song Giải (a) Thực dạng trực tiếp II lọc hình 7.41a với hai nguồn nhiễu tròn Lấy phương sai nhiễu tròn Bởi tổng e1(n) e2(n) v(n) x(n) + + 1.4 -0.4 (n) 46 Z-1 Z-1 Hình 7.41: Ví dụ 7.7.2 (Lọc dạng trực tiếp II) Được tích lũy trước lượng tử, phương sai nguồn nhiễu e1(n) Có nghĩa tổng y(n) = v(n) – 0.4v(n – 1) Được tích lũy trước lượng tử, phương sai nguồn nhiễu e2(n) Nhiễu lượng tử ngõ e1(n) e1(n) h1(n) với h(n) đáp ứng xung lọc, ngược lại nhiễu e2(n) thêm vào ngõ ra, tổng nhiễu ngõ Có phương sai Ta phải tìm đáp ứng xung h(n) lọc bậc Để làm điều ta khai triển hàm truyền H(z) thành dạng phân số phần: Lấy biến đổi z ngược ta có Vì Cuối cùng, phương sai nhiễu ngõ gây lượng tử (b) Để tìm cấu trúc song song, ta khai triển hàm truyền thành dạng thừa số phần Điều làm phần (a ) Sự thực hình 7.41b Ở có hai nguồn nhiễu Đầu tiên e1(n) lọc lọc tất cực bậc mà có đáp ứng xung e1(n) 47 + Z-1 0.8 x(n) + e2(n) -1 + x Z-1 0.6 x Hình 7.41: Ví dụ 7.7.2(Lọc dạng song song) Thứ hai e2(n) lọc lọc tất cực bậc mà có đáp ứng xung Vì nhiễu ngõ Có phương sai = 4.34 Chú ý thực dạng song song có nhiễu tròn ngõ thấp 7.7.2 Tràn Tràn xuất tổng phần ngõ lọc vượt chiều dài cho phép ghi cộng Khi điều xảy kết có lỗi dấu thay đổi sai biên độ Đầu tiên xem ví dụ đơn giản Xét vi xử lý logic bit dấu chấm cố định sử dụng số bù hai Nếu x1 = 0.875 (0111) x2 = 0.125 (0001), tổng x1 + x2 dạng nhị phân 0111 + 0001 = 1000 mà có -1 kết nên +1 Một ví dụ khác x3 = -0.500 (1100) x4 = 0.625 (0101) dạng nhị phân x3 – x4 = 0110 mà 0.875 kết nên -1.125 Một ví dụ khác x1 = -7/8 = 1001, x2 = -7/8 = 1001 Trong tổng thập phân ngược lại tổng số bù hai cho kết (1) 0010 = ¼ bỏ bit tràn Vì lọc FIR tràn kết ngõ sai Lọc IIR tràn gây kết sai nghiêm trọng lỗi tràn hồi tiếp bên hệ thống Nếu ngõ cuối có chiều dài từ cho phép, tràn tổng phần không quan trọng thuộc tính số học số bù hai Ở có cách khác để chống lại tràn Ở ta xét số học tỉ lệ Bão hòa số học Bão hòa số học làm việc dựa vào nguyên lý bão hòa để ngăn cảng tràn cách giữ kết giá trị lớn nhât Đặc tính truyền bão hòa số học hình 7.42 Khi cờ tràn nhạy, nghĩa tín hiệu x lớn thấp -1 ngõ y có -1 Trong ví dụ trước, với 48 phần cứng bit bão hòa số học sử dụng, cộng x1 + x2 có kết 0111 0.875 giá trị thập phân, so với giá trị 1, lỗi 0.125, ngược lại bão hòa số học có kết -1 y -1 x -1 Hình 7.42: Đặc tính truyền bão hào số học Tỉ lệ Kỹ thuật hiệu để ngăn tran scaling tín hiệu hệ số Một ví dụ đơn giản minh họa Xét lọc FIR bậc hình 7.43 Giả sử x(n) = 0.8 x(n – 1) = 0.6, không cần thừa số tỉ lệ, β = 1, ngõ y(n) = 0.9x(n) + 0.8x(n – 1) = 1.2, tràn xuất vi xử lý DSP 16 bit dấu chấm cố định mà không cần số học bão hòa Bây tín hiệu scaled xuống β = 0.5 x(n) = 0.4, x(n – 1) = 0.3, kết y(n) = 0.6 mà không tràn x(n) x β Z-1 x(n) - 0.9 0.8 + y(n) Hình 7.43: thừa số tỉ lệ β cộng đến lọc FIR để chống tràn Với lọc FIR, hệ số tỉ lệ (7.90a) Hoặc (7.90b) Với h(k), h(i) đáp ứng xung lọc Trong phương pháp đầu tràn không xuất dựa vào điều kiện xấu mà không giống thực tế Trong phương pháp hai cho thấy lượng tử hệ số nhiễu tràn Ngõ vào tín hiệu tỉ lệ giống Với lọc IIR, tín hiệu vào scaling cách xấp xỉ để ngăn tràn mã n tính tổng tích Tuy nhiên, xu hướng đo giảm lượng tử SNR Trong hệ thống số dấu chấm cố định, tín hiệu 49 node biến lọc nên nhỏ mặt biên độ để tránh tràn Xem hi(n) đáp ứng xung node thứ I liên hệ với đầu vào x(n), vi(n) biến node thứ I với tràn xuất Thì Bây lấy giá trị tuyệt đối hai vế giá trị lớn ngõ vào x(n) Vì điều kiện hiệu |vi(n)| < Với để không xuất tràn hệ thống (7.91) Với tất nodes lọc Nếu điều kiện không thỏa, tín hiệu vào x(n) scaled thừa số s để (7.92a) Vì scaling viết Mẫu phần bên phải chuẩn L1 thích (7.92b) Scaling lọc IIR phụ thuộc vào dạng thực lọc Khi sử dụng dạng tầng song song ta cần tập trung vào phần lọc bậc hai Ví dụ 7.7.3 Với lọc cho hình 7.44, đáp ứng xung từ đầu vào node thứ h1(n) = 0.8nu(n), tìm giá trị lớn đầu vào x(n) để tràn Nếu giá trị lớn đầu vào 0.7, Cái thừa số scaling xấp xỉ bao nhiêu? v1(n) x(n) v2(n) + x x + Z-1 0.8 -0.9 Hình 7.44: Ví dụ 7.7.3 Giải Đáp ứng xung từ ngõ vào node thứ cho h1(n) = 0.8nu(n), Đáp ứng xung từ ngõ vào node thứ hai y(n) 50 h2(n) = 0.8nu(n) – 0.9(0.8)n – 1u(n – 1) = δ(n) – 0.1(0.8)n-1u(n-1) Vì Điệu kiện để không tràn Nếu tín hiệu vào có giá trị lớn 0.7 thừa số tỉ lệ = 0.4  Hoặc Ví dụ 7.7.4 Cho lọc IIR có hàm truyền Tìm giá trị lớn đầu vào để không xảy tràn với dạng trực tiếp II dạng tầng Giải Đầu tiên ta viết hàm truyền Mà cho cấu trúc dạng trực tiếp II hình 7.45a Từ thực dạng trực tiếp II, có nodes, v1, v2, v3 v4 mà tràn xảy lúc Vì hai nodes v2 v3 phiên trễ v1, ta cần xét v1 v4 Ta có v1(n) v4(n) + x(n) + Z-1 -0.5 -0.3 Z-1 0.14 V3(n) Thực dạng trực tiếp II x(n) v1(n) v3(n) + + v5(n) x x x Z-1 Z-1 v4(n) + y(n) 51 0.2 v2(n) -0.7 -0.3 (a) Thực dạng tầng Hình 7.45: Ví dụ 7.7.4 Vì đáp ứng xung với node v1 Mặc khác Vì đáp ứng xung hệ thống Giá trị lớn ngõ vào mà không bị tràn cho = 0.277 Bây với thực dạng tầng, cho hàm truyền dạng tích, cách Sự thực hình 7.45b Ở có nodes nội với v2(n) phiên trễ v1(n), v4(n) phiên trễ v3(n) Ta xử lý cho v1(n), v3(n) v5(n) tương ứng: Đầu tiên, Thứ hai Thứ ba 52 Cuối cùng, Chú ý kết giống dạng trực tiếp II Sự hạn chế chu kỳ dao động Với hệ thống cố định, đầu vào ngõ ra, ngõ không ngõ vào phải không Tuy nhiên, với lọc IIR hữu hạn ngõ dao động đặt giá trị khác không Đây giới hạn chu kỳ dao động Nó tràn gây dao động với biên độ lớn Trong lọc FIRs dao động chu kỳ giới hạn không xuất vòng hồi tiếp để tạo dao động 7.8 TỔNG KẾT CHƢƠNG 7.1 FIR filter implementation Dạng trực tiếp (hoặc trực tiếp loại I) thực trực tiếp phương trình lọc Sự thực dạng nằm ngang dạng chuyển vị ngang.Ở có loại lọc FIR pha tuyến tính khác phụ thuộc vào bậc lọc M chẵn lẻ, hệ số lọc h(n) đối xứng phi đối xứng Cấu trúc cần nửa nhân (hình 7.4 7.5) 7.2 Thực lọc IIR: Dạng trực tiếp dạng chuyển vị Trong trường hợp lọc FIR, dạng trực tiếp (hoặc dạng trực tiếp I) thực trực tiếp phương trình tín hiệu (7.5) hàm truyền (7.7) lọc (hình 7.6) Hàm truyền bình thường có dạng h(z)=N(z)/D(z) với N(z) đa thức tử D(z) đa thức mẫu Bằng cách dịch H(z) (1 / D( z )) N ( z ) bậc ngõ vào ngõ hoán đổi cho ta kết dạng rút gọn số đơn vị trễ (hình 7.8c) Cấu trúc dạng trực tiếp II (dạng tắc) Bằng cách áp dụng lý thuyết chuyển vị (hay lý thuyết đảo) ta có cấu trúc chuyển vị dạng trực tiếp II 7.3 Thực cấu trúc lọc IIR: dạng tầng song song Thừa số hàm truyền lọc IIR (7.12) cho ta cấu trúc tầng bậc hai bậc (hình 7.12b 7.13) Vì xếp lại thừa số mãu tử ta có cấu trúc tầng khác với hiệu ứng chiều dài từ khác Với hàm truyền bậc cao không dễ để phân tích thừa số, ta phải sử dụng công cụ toán học Matlab để tìm nghiệm Mặc khác, ta khai triển hàm truyền thành thừa số phần (7.17) để có cấu trúc song song Cấu trúc song song không hữu ích cấu trúc tầng nhạy với hiệu ứng lượng tử 7.4 Thực lọc IIR: Cấu trúc lƣới Cấu trúc lưới có số ưu điểm, hữu ích nhiều ứng dụng khác nhau: xử lý âm thanh, xử lý đa tốc độ, lọc thích nghi Trong phân tích ta sử dụng thích khác cho hàm truyền hệ số lọc (7.21) Cấu trúc lưới FIR xác định qua hệ số K1 , K2 …(Hình 7.16, 7.17, 7.18, 7.19) Công thức đệ qui (7.30), gọi khỏi tạo đệ qui, giúp tìm hàm hệ thống A(z) Ngược lại, ta hàm truyền hệ thống, hệ qui bước xuống (7.33) giúp ta tìm hệ số phản xạ Cấu trúc lưới IIR phức tạp Nó gồm lưới tất cực phần FIR (7.42) (Hình 7.22 7.23) 7.5 Phân tích trạng thái-không gian Phân tích trạng thái-không gian hệ thống DSP cho phép tính ngõ trạng thái nội (biến trạng thái) không gian khác bên hệ thống Ở có hai phương trình trạng tháikhông gian: phương trình trạng thái (7.54a) phương trình ngõ (7.45b) Những phương trình 53 thường viết dạng ma trận (7.46a) (7.46b) Ta sử dụng biến đổi z để giải phương trình trạng thái-không gian Mục đích để tìm hàm truyền hệ thống (7.50) Sử lấy mẫu –mẫu xử lý trạng thái 7.6 Bộ xử lý tín hiệu số (DSPs) Bộ xử lý tín hiệu số (DSPs) vi xử lý đặc biệt tối ưu cho việc xử lý tín hiệu số lọc, nhân chập, FFT… DSPs chia làm hai loại: dấu chấm cố định, dấu chấm động Hình 7.25 kiến trúc DSPs cho lọc FIR Bộ đệm trễ sử dụng , địa dịch thay việc dịch liệu nhớ Hình 7.28 cấu trúc lọc IIR bậc hai Hầu hết DSPs có kiến trúc Harvard cho phép sử dụng lại tập lệnh Bên cạnh đó, có vài đặc điểm khác: Pipelining, nhân tích lũy, tập lệnh đặc biệt 7.7 Hiệu ứng độ dài từ hữu hạn – Lƣợng tử tín hiệu lƣợng tử hệ số Ở có nhiều lỗi, số xuất nhiễu Khi ta thực lọc, sử lý tín hiệu rời rạc phần cứng số bit sử dụng bị hạn chế Bản chất lỗi nguyên nhân gây lượng tử tín hiệu vào, lượng tử hệ số lọc, làm tròn tràn Những lỗi gọi chung hiệu ứng độ dài từ hữu hạn Ở có hai trình bày số nhị phân: dấu chấm cố định dấu chấm động Ta tập trung vào trường hợp dấu chấm cố định Hai hệ thống số sử dụng dấu-biên độ số bù hai Lượng tử tín hiệu vào lượng tử ADC tín hiệu tương tự chuyển sang số Lỗi ngẫu nhiên tạo chuyển đổi gọi nhiễu lượng tử (7.69) Lượng tử hệ số lọc giống với lượng tử tín hiệu vào, nghĩa ta sử dụng số bit vô hạn để trình bày hệ số lọc Trong thực phần cứng (như xử lý DSP, vi điều khiển, FPGAs…) ta phải hạn chế độ dài từ xuống 32 bit Vì lọc thiết kế thường không giống thiết kế sử dụng phần mềm Matlab (vì sử dụng kiến trúc số floating-point với độ xác 64 bit) Lỗi lượng tử hệ số lọc IIR gây thay đổi lớn đáp ứng tần số Vì ta nên sử dụng dạng tần song song thay dạng trực tiếp Dạng kép dạng lưới có trở kháng tốt với lượng tử hệ số 7.8 Hiệu ứng độ dài từ hữu hạn- Làm tròn tràn Phần thảo luận hai hiệu ứng độ dài từ hữu hạn quan trọng: làm tròn tràn Lỗi làm tròn gọi lỗi số học Khi hai số (chẳng hạn tín hiệu hệ số) B+1 bits nhân lại với nhau, tích tạo 2B+1 bits To save such a product in (B + 1) – bit register or (B + 1) – bit adder, the product must first be quantized to B + bits, which gives rise to an error called roundoff noise Ta giả sử nhiễu làm tròn xử lý ngẫu nhiên để tìm trung bình phương sai Tràn xuất tổng ngõ lọc vượt qua chiều dài từ cho phép Khi điều xuất kết bị lỗi thay đổi dấu sai độ lớn Hầu hết xử lý DSP có chế để phát bảo vệ để chống lại tượng tràn Sử dụng số học bão hòa phương pháp đơn giản Cách chung sử dụng tỉ lệ, với tín hiệu vào tỉ lệ xuống để tràn không xảy nơi hệ thống Tỉ lệ cho lọc IIR bước thường xuyên Giá trị bao (lớn nhất) ngõ vào, thích Xmax, tràn xảy Ở có hiệu ứng khác tràn mà làm ngõ lọc không không ta áp tín hiệu vào không ngõ dao động, điều gọi giới hạn chu kỳ dao động [...]... 0,084615800641299 0.295322344140 975 0,40 (b)Quantized to 16 bits 0,0 -0,000 -0,0022 277 83203125 0,005508422851562 0,0 174 255 371 09 375 0,0 -0,049530029296 875 -0,04949951 171 875 0 0,084609985351562 0,295318603515625 0,399993896484 375 (c) Quantized to 10 bits 0,0 -0,0 -0,001953125 0,0048828125 0,0166015625 0,0 -0,048828125 -0,048828125 0,083984 375 0,294921 875 0,3994140625 Vi t nh phõn cú s bits ớt hn 16, s ct ct v lm trũn... 2 z 3 ) 1 0.1801z 1 0.3419 z 2 0.0165 z 3 Gii Kt qu ca khai trin phõn s tng phn l 10. 176 4 1.2916 0.084 07 z 1 H ( z ) 8 .71 07 1 0.049 z 1 1 0.131z 1 0.3355 z 2 -8. 678 8 x(n) 10. 176 4 + b0 z 1 -0.0490 1.296 + + + y (n) z 1 -0.1310 -0.0841 z 1 0.3355 Hỡnh .7. 15: Vớ d 7. 3.5 Cu trỳc c din t trong hỡnh 7. 15 7. 4 CU TRC LI Mt dng khụng trc tip khỏc l dng mc li m cú nhiu u im trong nhng ng dng nh x lý... 0.9 376 z 4 0.5328 z 5 1 2.2 z 1 1 .77 z 2 0.52 z 3 Gii S dng Matlab, ta cú th tỡm cn ca mu v t nh sau: z 0.9, p 0.8, 0.5 j 0 .7, 0 .7 j 0.4 0.8 j 0.4 Vỡ vy t s bao gm ba tha s: (10.8 z 1 ) [1 - (-0.5 j0 .7) z -1 ][1 - (-0.5 - j0 .7) z -1 ] (1 z -1 0.7z -2 ) [1 (0.8 j 0.4) z 1 ][1 (0.8 j 0.4) z 1 ] (1 1.6 z 1 0.8z 2 ) V mu gm hai tha s (1 0.8z 1 ) [1 (0 .7 j 0.4) z 1 ][1 (0 .7 j 0.4)... k e j ( 2 k 1) / 8 , k 0,1, ,7 Hỡnh 7. 14 cho gin cc khụng v ỏp ng biờn ca lc Nhng cc c nhúm thnh bn ụi liờn hip phc nh sau: z2 p2 z1 p3 Tn s cc = 2k/8 p1 z3 z0 p4 p0 z4 Tn s khụng = (2k+1)/8 z7 p5 Unit circle H() z5 p7 p6 z6 0 /8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/ 8 Hỡnh 7. 14: Vớ d 7. 3.4 (V cc-khụng v ỏp ng biờn ) 12 (1 z 0 z 1 )(1 z 7 z 1 ) 1 2(cos 8 ) z 1 z 2 1 1.8 478 z 1 z 2 (1 z1 z 1 )(1 z 6... (Hỡnh 7 19) Ly (7. 35) GM ( z ) AM( R)1 ( z ) X ( z ) S liờn h gia hm h thng AM (z ) v AM( R ) ( z ) l AM( R ) ( z ) z M AM ( z 1 ) AM( R ) ( z ) l AM (z ) vi trt t nhng h s o ngc AM( R ) ( z) a(M ) a(M 1) z 1 a(1) z ( M 1) a(0) z M Vỡ vy, FM (z ) v g M (n) thỡ liờn h bng lc qua tt c (phn 7. 5.1) FM ( z ) H all ( z )GM ( z ) (7. 36) (7. 37) (7. 38) Vi H all ( z ) z M AM ( z 1 ) AM ( z ) (7. 39)... b2 (1) x(n 1) b2 (2) x(n 2) (7. 25) Vi chỳ thớch 2 cho lc bc hai Cu trỳc mc li (hỡnh 7. 17) l mt tng ca hai mc li n Ngừ ra y(n) l y(n) f 2 (n) x(n) K1 x(n 1) K1 K 2 x(n 1) K 2 x(n 2) (7. 26) x(n) z 1 + + K1 K2 K1 K2 + z 1 Hỡnh 7. 16b: Mc li FIR bc hai So sỏnh cỏi ny vi phng trỡnh (7. 25), ta cú K 2 a2 (2) , + f 2 (n) y(n) g 2 ( n) 15 K1 a 2 (1) 1 a 2 (2) (7. 27) Vi lc FIR bc M cu trỳc tng quỏt... 0.3564 z 2 0.0 276 z 3 Tỡm cu trỳc mc li Gii Theo chỳ thớch ca ta, A( z ) 1 0.2 971 z 1 0.3564 z 2 0.0 276 z 3 B( z ) 0.129 0.38 67 z 1 0.3869 z 2 0.129 z 3 Nhng h s mc li cho A(z ) c tỡm thy l a 3 (3) K 3 0.0 276 a 3 (2) 0.3564 a 3 (1) 0.2 971 a 2 (2) K 2 0.3485 a 2 (1) 0.2 875 a1 (1) K 1 0.2132 Bõy gi ta s dng qui (7. 43) tỡm nhng h s FIR Kt qu l 3 b3 0.129 2 b2 3 a3 (1) 0.4252 1 b1... 2 z 0.3z 0.02 z z 1 0.91(0.1) n 1.66(0.2) n 0 .76 u (n) n n 0.091(0.1) 0.33(0.2) 0 .76 u (n) Example 7. 5.2 Cho cu trỳc song song trong hỡnh 7. 24, thc hin s trỡnh by khụng gian-trng thỏi + v1(n+1) + 1 + + Hỡnh 7. 24: Vớ d 7. 5.2 Gii Bng s xem xột, ta cú th vit nhng bin trng thỏi nh sau V ngừ ra Vỡ vy dng ma trn Vớ d 7. 5.3 [Trớch t Andreas Antoniou, 2006] Mụ hỡnh trng thỏi-khụng... s hc dng du chm c nh Bng 7. 2 cho ta mt ý tng v hiu ng ca lng t giỏ tr, ngha l, s dng s ct ct hoc lm trũn hn ch s bit ca s nh phõn Bng 7. 2: Hiu ng ca lng t giỏ tr Coeff 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (a) Unquantized 0,000 -0,00082314 972 0361 -0,002233281959082 0,00550889258 575 9 0,0 174 31813641454 -0,000000000000050 -0,049534952531101 -0,049511869643024 0,084615800641299 0.295322344140 975 0,40 (b)Quantized to... v(n) z 1 1 + + 0 + y(n) Hỡnh 7. 22: Cu trỳc thang mc li ca lc IIR Nhng h s bk bng cụng thc qui k bk M a (i k ) , i k 1 i i k M 1, M 2, , 0 (7. 43) S qui ny khi to vi M bM Ngừ ra ca lc IIR s l M y ( n) k g k ( n) (7. 44) k 0 Vớ d 7. 4.3 Mt lc Butterworth thụng thp bc ba cú hm truyn H ( z) 0.129 0.38 67 z 1 0.3869 z 2 0.129 z 3 1 0.2 971 z 1 0.3564 z 2 0.0 276 z 3 Tỡm cu trỳc mc li Gii ... z k z pi z k v z pi p i k (7. 75) (7. 76) (7. 77) 37 A( z ) z z pi N p i z z i z pi p iN p N i pj (7. 78) j j Thay hai kt qu trờn vo (7. 75), ta cú li lng t mong mun ca cc... H ( z ) 8 .71 07 0.049 z 1 0.131z 0.3355 z -8. 678 8 x(n) 10. 176 4 + b0 z -0.0490 1.296 + + + y (n) z -0.1310 -0.0841 z 0.3355 Hỡnh .7. 15: Vớ d 7. 3.5 Cu trỳc c din t hỡnh 7. 15 7. 4 CU TRC LI Mt... -0,000 -0,0022 277 83203125 0,005508422851562 0,0 174 255 371 09 375 0,0 -0,049530029296 875 -0,04949951 171 875 0 0,084609985351562 0,295318603515625 0,399993896484 375 (c) Quantized to 10 bits 0,0 -0,0 -0,001953125