Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 36 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Cấu trúc
University of Florida Dept. of Computer & Information Science & Engineering COT 3100 Applications of Discrete Structures Dr. Michael P. Frank
Module #15: Chứng minh qui nạp Inductive Proofs
§3.3: Qui nạp toán học
“Hiệu ứng Domino”
Lập luận qui tắc qui nạp
Tính được sắp thứ tự tốt
Vạch sơ đồ chứng minh qui nạp
Qui nạp tổng quát
Nguyên lý qui nạp thứ hai Second Principle of Induction
Induction Example (1st princ.)
Example cont.
Another Induction Example
Example of Second Principle
Another 2nd Principle Example
Phương pháp giảm vô hạn The Method of Infinite Descent
Infinite Descent Example
Giải thích
Dùng nguyên lý qui nạp 1
Đặt tên mệnh đề qui nạp
Trường hợp cơ sở
Điều chỉnh lại
Bước qui nạp
Sử dụng giả thiết qui nạp
Kết luận
Chứng minh sai
Slide 26
Lập luận
Slide 28
Tìm chỗ sai
Sai trong t/h n = 1
Dùng nguyên lý qui nạp 2 và nguyên lý sắp xếp tốt
Bưu phẩm dùng tem 3 xu và 5 xu
mọi bưu phí n >= 8 xu có thể dán bằng các tem 3 xu và 5 xu
Chứng minh: phân trường hợp
Không có nghiệm nguyên dương. G/s có: a0 nhỏ nhất là thành phần nghiệm
a0 chẵn, a0 = 2a1, suy ra a1 nhỏ hơn a0, mâu thuẫn giả thuyết => không có nghiệm
Nội dung
Module #15 – Inductive Proofs University of Florida Dept of Computer & Information Science & Engineering COT 3100 Applications of Discrete Structures Dr Michael P Frank Slides for a Course Based on the Text Discrete Mathematics & Its Applications (5th Edition) by Kenneth H Rosen 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #15 – Inductive Proofs Module #15: Chứng minh qui nạp Inductive Proofs Rosen 5th ed., §3.3 ~11 slides, ~1 lecture 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #15 – Inductive Proofs §3.3: Qui nạp toán học • Kỹ thuật mạnh dùng nhiều để chứng minh vị từ P(n) số tự nhiên n, không quan trọng lớn • Bản chất nguyên lý “hiệu ứng domino” • Dựa luật suy diễn logic vị từ : P(0) “The First Principle of Mathematical ∀n≥0 (P(n)→P(n+1)) Induction” ∴∀n≥0 P(n) 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #15 – Inductive Proofs “Hiệu ứng Domino” • Giả thiết #1: Domino #0 đổ • Giả thiết #2: Với n∈N, domino #n đổ, domino #n+1 đổ • Kết luận: Mọi dominoes đổ xuống! 12/03/15 (c)2001-2003, Michae … Note: this works even if there are infinitely many dominoes! Module #15 – Inductive Proofs Lập luận qui tắc qui nạp C/m ∀k≥0 P(k) khẳng định đúng: Cho trước k≥0, áp dụng suy luận ∀n≥0 (P(n)→P(n+1)) dễ dàng suy ∀n≥0 (n nghiệm 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 36 [...]... thiết qui nạp 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 23 Module #15 – Inductive Proofs Kết luận 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 24 Module #15 – Inductive Proofs Chứng minh sai 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 25 Module #15 – Inductive Proofs Bước qui nạp 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 26 Module #15 – Inductive Proofs Lập luận 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 27 Module #15 – Inductive Proofs Kết luận 12/03 /15 (c)2001-2003,... nguyên lý qui nạp 1 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 18 Module #15 – Inductive Proofs Đặt tên mệnh đề qui nạp 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 19 Module #15 – Inductive Proofs Trường hợp cơ sở 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 20 Module #15 – Inductive Proofs Điều chỉnh lại 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 21 Module #15 – Inductive Proofs Bước qui nạp 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 22 Module #15 – Inductive Proofs Sử... Michae 28 Module #15 – Inductive Proofs Tìm chỗ sai 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 29 Module #15 – Inductive Proofs Sai trong t/h n = 1 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 30 Module #15 – Inductive Proofs Dùng nguyên lý qui nạp 2 và nguyên lý sắp xếp tốt 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 31 Module #15 – Inductive Proofs Bưu phẩm dùng tem 3 xu và 5 xu 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 32 Module #15 – Inductive Proofs... xu và 5 xu 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 33 Module #15 – Inductive Proofs Chứng minh: phân trường hợp 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 34 Module #15 – Inductive Proofs Không có nghiệm nguyên dương G/s có: a0 nhỏ nhất là thành phần nghiệm 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 35 Module #15 – Inductive Proofs a0 chẵn, a0 = 2a1, suy ra a1 nhỏ hơn a0, mâu thuẫn giả thuyết => không có nghiệm 12/03 /15 (c)2001-2003,... 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 13 Module #15 – Inductive Proofs Another 2nd Principle Example • C/m mọi bưu phí bằng hay lớn hơn 12 xu đều có thể dán bằng các con tem 4-xu và 5xu P(n)=“n có thể…” • Base case: 12=3(4), 13=2(4)+1(5), 14=1(4)+2(5), 15= 3(5), so ∀12≤n 15, P(n) • Inductive step: Let n 15, assume ∀12≤k≤n P(k) Note 12≤n−3≤n, so P(n−3), so add a 4-cent stamp to get postage for n+1 12/03 /15 (c)2001-2003,...Module #15 – Inductive Proofs Example cont • Inductive step: Prove ∀n≥1: P(n)→P(n+1) – Let n≥1, assume P(n), and prove P(n+1) n (2i − 1) = ∑ (2i − 1) + (2(n + 1) − 1) ∑ i =1 i =1 By inductive 2 = n + 2n + 1 hypothesis P(n) n +1 = (n + 1) 2 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 11 Module #15 – Inductive Proofs Another Induction Example • Prove that ∀n>0, n ... 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 27 Module #15 – Inductive Proofs Kết luận 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 28 Module #15 – Inductive Proofs Tìm chỗ sai 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 29 Module #15 –... với n 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 17 Module #15 – Inductive Proofs Dùng nguyên lý qui nạp 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 18 Module #15 – Inductive Proofs Đặt tên mệnh đề qui nạp 12/03 /15 (c)2001-2003,... Michae 19 Module #15 – Inductive Proofs Trường hợp sở 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 20 Module #15 – Inductive Proofs Điều chỉnh lại 12/03 /15 (c)2001-2003, Michae 21 Module #15 – Inductive Proofs