XỬ lý ẢNH CHƯƠNG 13

Chương 13 BIN I NH RI RC 13.1 GII THIU Bin i Fourier ri rc (DFT), ó gii thiu chng 10, l mt nhng phộp bin i tuyn tớnh ri rc hu ớch x lý nh s Trong chng ny, chỳng ta s nghiờn cu ch tng quỏt hn, trỡnh by mt vi bin i khỏc v mt vi tớnh cht cng nh cỏc ng dng ca chỳng nh m chỳng ta quan tõm thng dng liờn tc v cng phi c cm nhn dng ny Bi vỡ chỳng ta bt buc phi lm vic vi s biu din ri rc ca nh liờn tc, nờn nhiu quỏ trỡnh x lý nh s ũi hi chỳng ta tuõn th nhng nguyờn tc ly mu v ni suy x lý d liu ri rc Tuy nhiờn, mt vi ng dng cho phộp chỳng ta xem xột nh s nh mt thc th ri rc m khụng cp chi tit n lch s ngun gc ca nh hay i vi nh liờn tc c bn Mt ng dng in hỡnh l nộn nh õy, ngi ta mun mó hoỏ mt nh thnh mt dng d liu nh gn hn, m khụng lm mt mỏt hay ch mt mỏt thụng tin khụng cn thit Bỡnh thng, vỡ l quang hc, ly mu v ni suy i vi s s hoỏ v hin th nh l khụng liờn quan trc tip v nh s cú th xem xột n thun nh mt d liu Biu din mt nh l mt biu hin c bit ca d liu nh õy l mt s th hin d liu nh theo mt dng hay mt khuụn dng c bit Mt nh s cú th c biu din nh mt ma trn hay nh mt vec t hng 13.2 BIN I TUYN TNH 13.2.1 Bin i tuyn tớnh ri rc mt chiu nh ngha Nu x l vec t N v T l ma trn N N, thỡ N yi t i , j x j hay y Tx (1) j ú i = 0, , N-1 l bin i Fourier ca vec t x Ma trn T cng c gi l ma trn ht nhõn (kernel matrix) ca phộp bin i Lu ý rng cỏch s dng t ht nhõn khỏc vi cỏch s dng thut ng ht nhõn tớch chp ó cp phn 9.3.4 Kt qu ca phộp bin i lmt vec t y, N khỏc Phộp bin i l tuyn tớnh bi vỡ y c thc hin bng mt phộp tng bc nht ca cỏc phn t u vo Mi phn t yi l tớch ca vec t u vo x vi hng th i ca ma trn T Vớ d Mt vớ d n gin ca phộp bin i tuyn tớnh l phộp quay mt vec t h thng to hai chiu (Xem chng 8) õy, y cos sin x1 y sin cos x (2) Quay vec t x quanh gc to mt gúc Phộp nghch o Sau phộp bin i, vec t ban u cú th c khụi phc bng phộp bin i ngc y T x (3) 227 Chng t rng T khụng nht Nh trờn, mi phn t ca x li l mt tớch, õy l tớch gia y v mt hng ca T-1 Vi vớ d trc õy, thỡ iu ny chng khỏc gỡ mt phộp quay cựng mt gúc theo chiu ngc li 13.2.1.1 Bin i n v i vi vec t chiu di N ó cho, cú rt nhiu ma trn bin i cú th c s dng Tuy nhiờn, nhng ma trn hu ớch hn liờn quan n mt lp cỏc thuc tớnh no ú Nu T l ma trn n v, thỡ T -1 T *t TT *t T *t T I (4) Trong ú * ký hiu liờn hp phc cho mi phn t ca T v t ký hiu phộp chuyn v Nu T l ma trn n v v ch cú cỏc thnh phn thc thỡ nú l ma trn trc giao, v c biu din nh sau T-1 T t TT t T t T I (5) t Chỳ ý rng phn t i, j ca TT chớnh l tớch cỏc hng i v j ca T Biu thc (5) chng t rng cỏc phn t u l 0, tr phn t i = j, trng hp nú l n v Vỡ th, cỏc hng ca T l cỏc vec t trc giao Vớ d: DFT mt chiu DFT l mt vớ d v bin i n v, vỡ Fk N 1 f N i i i exp j 2k hay F = Wf N (6) Trong ú W l ma trn n v (nhng khụng trc giao) vi cỏc phn t (phc) i ,k i exp j 2k N Ni (7) Ni suy Bỡnh thng, ma trn bin i T khụng n nht (chng hn, rank(T) = N), cú th o ngc bin i, nh biu thc (3) Cỏc hng ca T to thnh mt c s trc giao (mt cỏc vec t c s trc giao hay cỏc vec t n v) i vi khụng gian vec t N chiu ca tt c cỏc vec t N iu ny cú ngha l mt chui N bt k cú th xem nh biu din mt vec t ban u thnh mt im khụng gian N chiu Hn na, mt bin i dng biu thc (1) bt k cú th xem nh l mt bin i to , quay vec t khụng gian N chiu m khụng thay i di ca vec t Theo gi thit thỡ mt bin i tuyn tớnh n v sinh vec t y, vec t N h s bin i, mi mt h s c tớnh nh l mt tớch ca vec t vo x vi mt hng ca ma trn bin i T Bin i ngc c tớnh toỏn tng t, ging nh mt cỏc tớch thnh phn ca vec t h s bin i vi cỏc hng ca ma trn bin i ngc Bin i tin núi chung c coi l mt quỏ trỡnh phõn tớch, vic phỏ v vec t tớn hiu thnh cỏc thnh phn c bn Cỏc thnh phn c bn ny thng thy dng cỏc vec t c s Cỏc h s bin i ch rừ cú th tỡm thy bao nhiờu vec t mi thnh phn c th hin nhng vec t riờng bit c phõn tớch Bin i ngc, núi cỏch khỏc, thng c coi l mt quỏ trỡnh tng hp (synthesis), hp thnh vec t ban u t cỏc thnh phn ca nú theo phộp tng õy, cỏc h s bin i ch rừ lng chớnh xỏc mi vec t c s phi c thờm vo hp tỏi to li vec t u vo y v chớnh xỏc Mu cht ca quỏ trỡnh ny l nguyờn tc m bt k mt vec t no cng cú th c phõn tớch nht thnh mt cỏc vec t biờn c bn thớch hp v sau ú khụi phc li bng cỏch thờm cỏc thnh phn ny li vi tỏi to vec t ban u iu ny cú ý ngha rng s cỏc h s bin i bng vi s cỏc phn t 228 vec t Vỡ th, s bc t trc v sau bin i l nh v quỏ trỡnh cng khụng to hay phỏ hu thụng tin Mt vec t c bin i l mt s biu din ca vec t ban u Vỡ nú cha cựng mt s lng cỏc phõn t (v vỡ th cú cựng s bc t do) nh vec t gc v vỡ vec t gc cú th khụi phc t nú m khụng sai sút, nờn nú cú th c coi l mt dng la chn ca vic biu din vec t ban u Chng ny xem xột mt vi phng phỏp la chn cho vic biu din tớn hiu v nh s, v li ớch ca mi phng phỏp 13.2.2 Bin i tuyn tớnh ri rc hai chiu Bin i tuyn tớnh hai chiu núi chung l bin i ma trn F, N N thnh ma trn c bin i G (cng l N N) l N N Gm,n Fi ,k i, k , m, n (8) i k ú i, k, m v n l cỏc bin ri rc nmg khong t n N - v (i,k,m,n) l hm ht nhõn ca phộp bin i Cú th xem (i,k,m,n) nh l mt ma trn N2 N2 cú N hng, mi hng cú N khi, mi li l mt ma trn N N Cỏc c ỏnh ch s m, n v nhng phn t ca tng ma trn N N c ỏnh ch s i, k (Xem hỡnh 13-1) Nu cú th tỏch (i,k,m,n) thnh tớch cỏc hm thnh phn hng v ct-tc l, nu i,k,m,n Tr i, m Tc k , n (9) Thỡ bin i c gi l tỏch c (separable) Ngha l nú cú th tin hnh hai bc-mt phộp toỏn theo hng tip theo l mt phộp toỏn theo ct (hay ngc li): N N Gm,n Fi, k T k , n Tr i, m i k (10) Hn na, nu hai hm thnh phn ging thỡ bin i cng c gi l i xng (khụng c nhm ln vpớ ma trn i xng) V i,k,m,n T i, m T k , n (11) V biu thc (8) cú th vit li nh sau N N Gm,n T i, m Fi ,k Tc k , n hay G TFT i k (12) Trong ú T l ma trn n v, gi l ma trn ht nhõn ca bin i Chỳng ta s s dng ký hiu cho ton b chng ny, biu th cho bin i n v i xng, tỏch c v tng quỏt Bin i ngc l F T 1GT T *t GT *t (13) v nú khụi phc li F mt cỏch chớnh xỏc Vớ d: DFT hai chiu DFT hai chiu l bin i n v dc v tỏch c Trong trng hp ny, T biu thc (12) tr thnh ma trn W biu thc (7) DFT ngc s dng W-1, l chuyn v liờn hp ca W Cp bin i Fourier ri rc c biu din nh sau G = WFW v F = W*tGW*t (14) 229 HèNH 13-1 Hỡnh 13-1 Ma trn ht nhõn 13.2.2.1 Phộp bin i trc giao Khụng ging nh bin i Fourier, nhiu bin i ch cú cỏc thnh phn thc ma trn ht nhõn T ca chỳng Mt ma trn n v vi cỏc thnh phn thc l trc giao v phộp bin i ngc tr nờn n gin l F T t GT t (15) Nu T l ma trn i xng, nh thng gp, thỡ bin i xuụi v ngc u nh nhau, cho G TFT F TGT (16) 13.3 HM V NH C S Khỏc c bn gia hai bin i n v bt k l s la chn cỏc hm c s, tc l, cỏc hng ca ma trn T õy, chỳng ta s xem xột cỏc hm c s chi tit hn 13.3.1 Hm c s Cỏc hng ca ma trn ht nhõn to thnh mt cỏc vec t c s i vi khụng gian vec t N chiu Cỏc hng l trc chun; tc l N TT *t I hay T j ,i T * k ,i j , k (17) i Trong ú j,k l del ta Kronecker Trong mt cỏc vec t trc chun bt k s cú li cho bin i tuyn tớnh, bỡnh thng thỡ ton b xut phỏt t cựng mt dng hm c s Vớ d, bin i Fourier s dng thnh phn m phc nh hm c s nguyờn mu Cỏc hm c s riờng l ch khỏc v tn s Mt vec t khụng gian bt k cú th c biu din nh tng trng s cỏc vec t n v c s Mt bin i n v mt chiu (N 1) tng ng vi phộp quay vec t khụng gian vec t N chiu Hn na, vỡ mt ma trn nh N N cú th sp xp to thnh vec t N2 1, mt bin i hai chiu, i xng, tỏch c bt k tng ng vi mt phộp quay vec t khụng gian N2 chiu 13.3.2 nh c s Bin i hai chiu ngc cú th c coi nh quỏ trỡnh tỏi to nh bng cỏch cng cỏc nh c s thớch hp Mi phn t ma trn bin i G l mt h s, c nhõn vi nh c s tng ng phộp cng Mt nh c s cú th c to bng bin i ngc mt ma trn cỏc h s ch cha mt phn t khỏc 0, thng t bng Cú N2 ma trn nh vy v chỳng to N2 nh c s t mt ma trn h s l 230 G p ,q i p , j q (18) Trong ú i v j l ch s hng v ct, p v q l cỏc s nguyờn xỏc nh v trớ phn t khỏc Bin i ngc [biu thc (13)] l N N Fm,n T i, m i p ,k q T k , n T p, m T q , n i k (19) Vỡ th, i vi bin i n v tỏch c, mi nh c s l mt tớch hai hng ca ma trn bin i Ging nh i vi cỏc tớn hiu mt chiu, cú th coi cỏc nh c s nh cỏc thnh phn c s phõn tớch mt nh bt k Chỳng cng to nờn nhng tỏi to mt nh bt k Bin i xuụi thc hin s phõn tớch bng cỏch xỏc nh cỏc h s Bin i ngc thc hin s khụi phc li bng cỏch cng cỏc nh c s,cn c trờn cỏc h s ú Bi vỡ tn ti rt nhiu nh c s, cng nh tn ti rt nhiu phộp bin i Vỡ vy, mt cỏc nh c s c trng ch quan trng ng cnh ca mt bin i c bit 13.4 BIN I IU HO Vi nhng nguyờn nhõn ó cp n chng 10, bin i Fourier ó ni lờn nh mt bin i n quan trng nht x lý nh s Tuy nhiờn, nú cú vi quan h cng s dng cỏc hm c s iu ho Chỳng s c a phn ny, sau mt bi tho lun ngn gn v bin i Fourier 13.4.1 Bin i Fourier ri rc ó c gii thiu chng 10, DFT li c xem xột õy, ni dung cỏc bin i n v tỏch bit, cho phộp chỳng ta nờu nhng so sỏnh gia nú v nhng bin i khỏc ca cựng mt kiu Ma trn ht nhõn i vi DFT (biu thc (6) v (7)) l w0, w0, N W wN 1, w N 1, N (20) Trong ú wi,k N e j ik N (21) Bi vỡ tớnh tun hon ca thnh phn m phc, W bng Cỏc DFT xuụi v ngc mt chiu l F = Wf v f = W*t F (22) Trong ú f v F l cỏc vec t tớn hiu v ph Nu f l thc, thỡ núi chung, F s cú cỏc thnh phn phc Ch nu f i xng hon ton thỡ F mi l thc 13.4.1.1 Vec t ph Hỡnh 13-2 cho thy ni m cỏc thnh phn tn súoo khỏc xut hin vec t ph F, f l thc Thnh phn tn s v thnh phn tn s cao nht (tng ng vi tn s Nyquist) xut hin ch mt ln Nhng thnh phn cũn li c nhõn ụi nh cỏc liờn hp phc (Nhc li rng ph ca mt hm thc l mt hm Hermite.) Nu coi F nh mt vec t hng, thỡ N/2 + phn t u tiờn l na bờn phi ca ph, 231 cũn li N/2 - phn t sau thuc na bờn trỏi Tn s tng ng vi phn t th i ca F l 2i N f N si N i f N N i N /2 (23) N / i N Trong ú fN l tn s Nyquist (tn s c bn, bng na tn s ly mu) Nu N/2 phn t sau ca f to thnh mt nh chộp li ca cỏc phn t t n N/2 - 1, thỡ F l chn v s cú giỏ tr thc HèNH 13-2 Hỡnh 13-2 V trớ cỏc thnh phn tn s khỏc vec t ph Ta cú th quay cỏc phn t ca F i mt lng N/2, s dng phộp toỏn dch phi (hay trỏi) vũng trũn, to mt vec t thớch hp cho vic v ph Trong trng hp ú, phn t tn s c nh v ti N/2, v tn s tng theo c hai chiu Phn t tn s Nyquist ch xut hin ti F0 Lý thuyt dch ca bin i Fourier (Xem phn 10.2.3) cung cp mt cỏch khỏc cng t n kt qu nh vy Vic ỏp dng lý thuyt dch tn s cho ta u x F u f x F u u exp j 2x f x exp jx f x f x N (24) Trong ú lng dch l u0 = N/2 Ngha l chỳng ta ch i du ca cỏc phn t ỏnh s l ca f(x) trc thc hin DFT 13.4.1.2 DFT hai chiu Cỏc DFT hai chiu xuụi v ngc l G = WFW v F = W*tGW*t (25) Trong ú F l nh dng ma trn v G l ma trn ph ca nú Hỡnh 13-3 cho thy v trớ m cỏc thnh phn tn s khụng gian khỏc c nh v ma trn ph G s sp xp li bn gúc phn t, cho hỡnh, khin cho vic hin th ph thun tin hn Theo cỏch ú, tn s nm ti tõm ca ma trn, v t õy tn s tng dn Biu thc (24) c tng quỏt hoỏ cho trng hp hai chiu thnh F u , v f x, y F u N / 2, v N / x y f x, y (26) V li i du mt na s phn t ma trn nh F cú c phộp dch mong mun Nu F i xng nh hỡnh 13-3(a) thỡ G s cú giỏ tr thc 232 13.4.2 Bin i cosin ri rc Bin i cosin ri rc (Discrete Cosin Transform-DFT) hai chiu c nh ngha nh sau N N 2i 1m 2k 1n Gc m, n m n g i, k cos cos 2N 2N i k (27) V bin i ngc ca nú l N N 2i 1m 2k 1n g i, k m n Gc m, n cos cos 2N 2N m n (28) Trong ú cỏc h s l N m N với m N (29) Ging nh DFT, DCT cú th c biu din nh mt phộp toỏn ma trn n vi di dng G c CgC (30) Trong ú ma trn ht nhõn cú cỏc phn t 2i 1m C i,m m cos 1N (31) Cng ging nh DFT, DCT cú th c tớnh bng mt thut gii nhanh Khỏc vi DFT, DCT l thc Nú c s dng rng rói nộn nh 13.4.3 Bin i sin Jain ó a nh ngha bin i sin ri rc nh sau N N i 1m k 1n g i, k sin sin N i k 2N 2N (32) N N i 1m k 1n Gs m, n sin sin N m n 2N 2N (33) Gs m, n V g i, k DST cú cỏc phn t ma trn ht nhõn Ti ,k i 1k sin N N (34) Khụng ging cỏc bin i iu ho khỏc, DST c tớnh toỏn tin li nht vi N = 2p, ú p l s nguyờn Nú cú th c thc hin nh phn o ca mt FFT (2N + 2) im cú cu trỳc c bit DSt cú mt thut gii thc hin nhanh v cỏc tớnh cht hay dựng cỏc bi toỏn nộn nh 13.4.4 Bin i Hartley Nm 1942, Hartley ó a mt bin i tớch phõn liờn tc nh l mt bc tip theo ca bin i Fourier Sau ú Bracewell ó nh ngha mt bin i n v ri rc ging nh vy da trờn bin i Hartley Bin i Hartley ri rc hai chiu (DHT) 233 N Gm,n N N i ,k cas im kn N (35) m,n cas im kn N (36) g i k V DHT ngc hai chiu g i ,k N N N G m n L ging v s dng hm c s cas cos sin cos / (37) L hm cosin c dch 450 sang phi Ti ,k ik cas N N (38) Trong DFT bin i N s thc thnh N s phc i xng liờn hp, hin thỡ DHT to thnh N s thc Nh mong i, DHT cú quan h gn gi vi DFT Trong chng 10, chỳng ta ó thy rng bin i Hartley n gin l phn thc tr i phõn f o ca bin i Fourier tng ng Cng nh vy, bin i Fourier l phn chn tr i j ln phn l ca bin i Hartley Lý thuyt tớch chp ca bin i Hartley ch hi phc hn lý thuyt tớch chp ca bin i Fourier Nú c biu din nh sau g x f x * h x G v F v H e v F v H o v (39) Trong ú F(v) v G(v) l nhng bin i Hartley ca f(x) v g(x) tng ng, v He(v) v Ho(v) l cỏc thnh phn bin i Hartley chn v l ca h(x) (Xem phn 10.2.1 v nh ngha cỏc thnh phn chn v l.) Trong trng hp thng gp l mt cỏc hm l chn, s hng th hai ca biu thc (39) trit tiờu, v tớch chp tng ng vi phộp nhõn bin i Hartley, ging nh thc hiờn bin i Fourier tn s DHT l mt bc tớnh toỏn k tip ca DFT Cú mt thut gii nhanh cho bin i Hartley i vi cỏc ng dng lc tuyn tớnh-c bit nu ma trn ht nhõn l i xng-DHT cú th lm gim ỏng k lng cụng vic tớnh toỏn, vỡ nú trỏnh c phộp toỏn s hc phc 13.4.5 Cỏc bin i iu ho khỏc Jain ó gii thiu mt h cỏc bin i n v cú cỏc hm c s iu ho DFT, DHT v DST thuc h ny 13.5 BIN I SểNG CH NHT Mt vi bin i quan trng x lý nh s s dng cỏc hm c s l nhng bin i súng vuụng hn l súng iu ho Núi chung, chỳng tớnh toỏn nhanh vỡ nhiu phộp nhõn tr nờn tm thng Trong phn ny, chỳng ta s cp n cỏc bin i Hadamard, Walsh, nghiờng v Haar V c bn bin i Haar khỏc ba bin i v c xột n k hn, ni dung ca cỏc bin i súng chng tip theo 13.5.1 Bin i Hadamard Bin i Hadamard l bin i i xng, n v cú th tỏch ri m ch cú cỏc phn t -1 v ma trn ht nhõn ca nú Nú tn ti vi N = 2n, ú n l s nguyờn 234 i vi trng hp 2, ma trn ht nhõn s l H2 1 (40) v vi N ln hn, ma trn ny cú th c to thnh t dng ma trn N HN H N / N H N / H N /2 H N / (41) i vi N = 2n bt k, ma trn ch cha cỏc phn t 1, l h s N-1/2 khụng c phộp nm trc iu ny khin cho vic tớnh toỏn bin i ớt phc hn Vớ d, vi N = 8, ma trn bin i Hadamard l 1 1 H8 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (42) ú ct bờn phi cho thy s ký hiu thay i theo hng tng ng Chỳ ý rng cỏc ct ny khỏc i vi tng hng Ký hiu s n thay i ny c gi l s phi hp hng Chỳng ta ta cú th sp xp th t cỏc hng to thnh dóy tng tn theo s hng Ht nhõn ca bin i Hadamard cú th t, vi N = 8, 1 1 H8 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (43) 13.5.2 Bin i Walsh Cỏc hm c s Hadamard thc t l cỏc hm Walsh Vỡ th, bin i Hadamrd cng ck coi l bin i Walsh 13.5.3 Bin i nghiờng Bin i nghiờng (slant) c thit k khụng ch cú mt hm c bn khụng i th nht m cũn mt hm tuyn tớnh th hai (hỡnh 13-4) Hm c bn th hai c lm nghiờng cho phự hp vi nn dc tuyn tớnh hin din nhiu nh Ma trn ht nhõn n v i vi bin i nghiờng xut phỏt t ma trn Haar hay Hadamard 2, 235 S2 1 (44) v lp li nú theo gin a N bN SN b aN N a N bN I 0 bN a N I 0 I S N / 0 I S N / (45) ú I l ma trn ng nht bc N/2- v a2 N 3N 4N b2 N N 4N (4.40) Cỏc hm bin i nghiờng c bn xut hin ti cỏc tn s t n N-1 Bin i nghiờng cng cú mt thut gii bin i nhanh v c s dng nộn nh Hỡnh 13-4 Cỏc hm c bn bin i nghiờng vi N = 13.5.4 Bin i Haar Bin i Haar l bin i i xng, n nht cú th tỏch v s dng hm Haar lm c s Nú tn ti vi N = 2n, ú n nguyờn 236 Trong cỏc hm bin i Fourier c bn ch khỏc v tn s thỡ cỏc hm Haar thay i c t l ln v trớ iu ny khin cho bn cht cp t l-v trớ l hin nhiờn cỏc hm c bn ca nú (hỡnh 13-5) c tớnh nờu trờn phõn bit bin i Haar vi cỏc bin i khỏc ó cp trc õy v thit lp im xut phỏt cho cỏc bin i súng con, s trỡnh by chng tip theo Liờn h hm c s Bi vỡ cỏc hm Haar thay i theo hai hng (t l v v trớ) nờn chỳng phi c xỏc nh rừ bng mt cp gin liờn h Cỏc hm Haar c nh ngha trờn on [0, 1] nh di õy Cho s nguyờn k N c xỏc nh (duy nht) bng hai s nguyờn khỏc, p v q, nh sau k = 2p + q - (47) Chỳ ý rng vi cu trỳc ny, khụng ch k l hm ca p v q, m p v q cng l hm ca k Vi giỏ tr k > bt k, 2p l lu tha ln nht cho 2p k v q-1 l s d Hm Haar c nh ngha bi h0 ( x) N (482) v p/2 p / hk ( x ) N q q x 2p 2p q x q p 2p trường hợp lại (49) Nu chỳng ta t x = i/N vi i = 0, 1, , N-1, thỡ biu thc ny to mt cỏc hm c bn, mi hm l mt cp xung vuụng l, ngoi tr k = 0, nh trng hp nhiu bin i khỏc c cp õy, l hng s Hn na, cỏc hm c bn thay i theo c t l (chiu rng) ln v trớ Ch s p xỏc nh v trớ, cũn q xỏc nh dch Trong cỏc bin i ó cp t trc cho n gi s dng cỏc hm c s cú chiu rng y , thỡ cỏc hm Haar u l cp xung ch nht l c ly t l, cỏc phiờn bn ca mt hm n nguyờn ó dch Tớnh cht ny cú hai ch yu Th nht, mc dự cỏc hm c s c nhn bit bng ch s n k, nhng chỳng cú tớnh cht t l-v trớ i ngu xỏc nh rừ bi cỏc ch s p v q Vỡ th, nú khụng c sỏng t cho lm v cỏc h s bin i trờn trc k so vi v trờn, vớ d, ph tn s thụng thng nhn c bng bin i Fourier Th hai, cho trc mt tớnh cht c thự, vớ d nh cnh, c thờn vo tớn hiu ti mt vi v trớ dc theo trc x Bin i Fourier, s mó hoỏ v trớ ny thnh ph pha phự hp vi lý thuyt dch (Xem phn 10.2.3) Trong c tớnh v trớ c xỏc nh nht v cú th khụi phc mt cỏch chớnh xỏc nh bin i Fourier ngc, thỡ cú th khụng nhỡn thy nú mt th hin thớch hp no ú ca ph (Chỳ ý: nu mt c tớnh n lm tớn hiu ni bt, thỡ th pha s tuyn tớnh, vi dc liờn quan n c tớnh v trớ (nh lý thuyt dch) v cú th s dng iu ny nh 237 v c tớnh Tuy nhiờn, vụ s cỏc c trng hay hin din ca nhiu thng khin cho th pha phc n ni khụng th hiu c.) Ma trn ht nhõn n v i vi bin i Haar l Hr 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 (50) HèNH 13-6 Hỡnh 13-6 nh c s bin i haar vi N = 13.6 BIN I CN C VO EIGEN VEC T Hai bin i quan trng s dng cỏc hm c s xut phỏt t eigenanalysis 13.6.1 Phõn tớch sinh (Eigenanalysis) Nhc li rng i vi mt ma trn A, N N, cú N h s t l, k, k = 0, 1, , N -1, cho A k I (51) Cỏc k c gi l cỏc giỏ tr sinh (eigenvalue) ca ma trn Hn na, cỏc vec t vk cho Avk k v k (52) c gi l cỏc vec t sinh (eigenvector) ca A chỳng l N v mi vec t tng ng vi mt nhng giỏ tr sinh Cỏc vec t sinh to thnh c s trc chun 13.6.2 Phõn tớch thnh phn chớnh Hotelling ó phỏt trin mt phộp bin i tuyn tớnh, cho phộp loi b tng quan gia cỏc phn t ca vec t ngu nhiờn v c gi l th t cỏc thnh phn chớnh 238 Sau ú Karhunen v Loeve ó phỏt trin mt phộp bin i tớn hiu liờn tc tng t nh vy Tip cn ny dn n khỏi nim bin i nh ri rc Gi s x l vec t ngu nhiờn N 1; tc l, mi phn t xi ca x l mt bin ngu nhiờn Vec t trung bỡnh ca x cú th c c lng t mt mu L ca cỏc vec t trờn bng cụng thc mx L xl L l (53) V ma trn hip bin l t L 1L x x C x x m x x m x l ' l m x m x' (54) l Ma trn hip bin l ma trn N 1, thc v i xng Cỏc phn t trờn ng chộo l cỏc bin trng ca cỏc bin ngu nhiờn riờng bit, cỏc phn t ngoi ng chộo l cỏc hip bin ca chỳng Bõy gi ma trn A nh ngha mt phộp bin i tuyn tớnh, to mt vec t y mi t mt vec t x bt k bi y A x m x (55) Trong ú A c xõy dng cho cỏc hng ca nú l cỏc vec t sinh ca Cx thun tiờn, chỳng ta sp xp cỏc hng theo th t ln cỏc giỏ tr sinh gim dn Vec t bin i y l vec t ngu nhiờn vi trung bỡnh Ma trn hip bin ca nú liờn quan n ma trn hip bin ca x bi C y AC x A t (56) Vỡ cỏc hng ca A l cỏc vec t sinh ca Cx, nờn Cy l mt ma trn ng chộo m cỏc giỏ tr sinh ca Cx nm trờn ng chộo ca nú (õy l kt qu ca biu thc (52)) Vỡ th, Cy N (57) V k cng l cỏc giỏ tr sinh ca Cy Bi vỡ cỏc phn t nm ngoi ng chộo ca Cy bng 0, nờn cỏc phn t ca y l khụng tng quan Vỡ vy, bin i tuyn tớnh A s loi b s tng quan gia cỏc bin Hn na, mi bin k li l bin trng ca yk, bin bin i th k Lu ý rng bin i ca biu thc (55) cú th o ngc; tc l, chỳng ta cú th tỏi to mt vec t x t vec t bin i y ca nú theo x A y m A t y m (58) ng thc sau ỳng vỡ A l n v, thc, v trc giao 13.6.2.1 S gim chiu Chỳng ta cú th gim s chiu ca cỏc vec t y bng cỏch b qua mt hay nhiu eigenvecter mang giỏ tr sinh nh t B l ma trn M N (M < N) cú c t A b i cỏc hng thp hn, v gi s rng m = Thỡ cỏc vec t bin i s nh hn (chng hn M 1) v c cho bi y Bx (59) 239 Nhng x cng cú th tỏi to (gn ỳng) li bng x Bt y (60) Sai s bỡnh phng trung bỡnh ca xp x ny l N MSE k (61) k M Tc l, tng tuyt i cỏc giỏ tr sinh tng ng vi cỏc vec t sinh b loi b Thng thỡ cỏc giỏ tr sinh biờn thay i mt cỏch ỏng k v cú th b qua cỏc giỏ tr nh hn m khụng gp phi sai s ỏng k 13.6.3 Bin i Karhunen-Loeve Biu thc (55) nh ngha mt bin i ri rc (mt chiu) Nú c gi l bin i Karhunen-Loeve (hay K-L), bin i Hotelling, bin i vec t sinh hay phng phỏp thnh phn chớnh, tu theo tng trng hp Chỳng ta s bỏm vo thc tin ph bin ca bin i Karhunen-Loeve Kh nng gim chiu ca bin i Karhunen-Loeve khin cho nú rt hu ớch i vi k thut nộn nh Vớ d, cỏc nh a ph cú nhiu giỏ tr mc xỏm ti tng im nh, mi mc xỏm tng ng vi mt di ph khỏc Vỡ vy, nh a ph 1000 1000, kờnh 24 cú th c xem nh mt triu vec t phn t 24 ngu nhiờn (chng hn cỏc im nh) Cú th ỏp dng k thut gim chiu Karhunen-Loeve vo cỏc vec t ny vỡ s tng quan gia cỏc di ph khỏc ca mt nh a ph thng khỏ cao, nờn nhiu giỏ tr sinh 24 s nh Ngha l ngn xp cỏc nh dn sc 24 cú th c biu din vi sai s nh ch nh vo mt vi nh thnh phn chớnh Mi nh thnh phn c tớnh nh tng trng s 24 ban u Hn na, mi nh ban u cú th c khụi phc, mt cỏch xp x, nh mt phộp kt hp tuyn tớnh ca mt vi nh thnh phn chớnh Vớ d, vic ny lm n gin hoỏ vic lu tr v phõn loi cỏc nh nhn c t v tinh Trỏi t Núi chung, cỏc nh c s ca bin i Karhunen-Loeve hai chiu ph thuc vo tớnh cht thng kờ ca nh c trng bin i v khụng th vit mt cỏch rừ rng Tuy nhiờn, nu nh l quỏ trỡnh Markov bc nht, ni m tng quan gia cỏc im nh gim tuyn tớnh theo khong cỏch tỏch bit gia chỳng, thỡ cỏc nh c s i vi bin i K-L cú th c vit rừ rng Gi thit Markov thng khp cỏc nh hay gp rt tt Hn na, tng quan gia cỏc im nh kin k c tip cn theo cỏch nht, thỡ cỏc hm K-L c s tip cn nhng theo bin i cosin ri rc Vỡ th, DCT, tớnh toỏn d dng, xp x vi bin i K-L i vi cỏc nh thng hay gp 13.6.4 Bin i SVD Mt ma trn A N N bt k cú th biu din nh sau A UV t (62) Trong ú cỏc ct ca U v V l cỏc vec t sinh ca AA', v A'A v l ma trn ng chộo N N cha cỏc giỏ tr n nht ca A trờn ng chộo ca nú Vỡ U v V l trc giao, U t AV (63) Biu thc (63) vỡ th l xuụi v biu thc (62) l ngc, ca cp bin i n v Bin i ny c gi l bin i phõn tớch giỏ tr n nht (SVD) Nu A i xng thỡ U = V 240 Chỳ ý rng, khụng ging nhng bin i ó cp nhng phn trc õy, cỏc ma trn ht nhõn U v V ph thuc vo nh A ó bin i Núi chung, ta phi tớnh cỏc vec t sinh ca AA' v A'A cho tng nh qua quỏ trỡnh bin i Cng cn lu ý l l ma trn ng chộo, nờn cỏc phn t ca nú hu nh l khỏc Vỡ th, chỳng ta cú nộn khụng mt mỏt theo h s N, v nú s ln hn nu A cú vi giỏ tr (hay khụng ỏng k) n nht Do ú, s tớnh toỏn thờm s lm nộn d liu nú mt cỏch ỏng k Bỡnh thng, vi giỏ tr n nht nh cú th b qua vi sai s nh Vỡ th nộn mt mỏt c thc hin nh b qua cỏc giỏ tr i,j nh hn Sai s bỡnh phng trung bỡnh quỏ trỡnh ct bt n gin l tng cỏc giỏ tr n nht b b qua Nhỡn bờn ngoi kh nng nộn k diu ca bin i SVD cú phn khụng ỳng Mc dự ton b nh cú th c nộn thnh cỏc phn t ng chộo , nhng cỏc ma trn ht nhõn U v V l ma trn n v i vi nh c nộn Nhng ma trn ny s c truyn, theo nh, trc xy s tỏi to ti bờn nhn Tuy nhiờn, cú l mt cp ma trn ht nhõn cú th ỏp ng (gn ỳng) cho mt nhúm cỏc nh nh Vớ d c th Bin i SVD c minh ho hỡnh 13-7, s dng mt nh i xng HèNH 13-7 Hỡnh 13-7 Bin i SVD ca mt nh i xng 13.7 LC TRONG MIN BIN I Trong chng 10, chỳng ta ó thy rng lc tuyn tớnh-hot ng ca mt h thng tuyn tớnh bt bin dch-cú th c mụ phng nh phộp nhõn ph Fourier ca mt nh vi mt hm truyn t nh ngha miờn tn s (chng hn bin i) Trong kt qu quan trng ny ch ỳng i vi bin i Fourier, thỡ cỏc phộp toỏn lc nh ging cng cú th c mụ phng bng cỏc bin i khỏc Ging nh bin i Fourier, bin i n v tng quỏt m rng mt nh nh mt tng trng s cỏc nh c s Quỏ trỡnh bin i xuụi xỏc nh cỏc h s trng s, quỏ trỡnh bin i ngc hp nh t s khai trin cỏc nh c s Lc bin i bao hm s thay di cỏc h s trng s trc tỏi to nh thụng qua bin i ngc i vi lc tuyn tớnh, bin i l bin i Fourier, v s thay i c thc hin bng cỏch nhõn ph vi mt hm truyn t Trong trng hp lc tng quỏt hn, ma trn h s b thay i (bng phộp nhõn hay phộp toỏn khỏc) v bin i ngc s t nh lc Rừ rng, ú l tớnh cht ca cỏc vec t c s (v ca cỏc nh c s thu c) nhm thc hin cỏc hnh ng khỏc ca cỏc bin i khỏc Vớ d, s phỏ hu ca nhiu iu ho xut hin rt dy c bin i ca mt bin i 241 iu ho v vỡ th d dng loi b bng cỏch thit lp cỏc h s tng ng v Cỏc bin i súng ch nht khụng phự hp cho lm i vi loi b nhiu ny, vỡ s nhiu s khụng th phõn bit vi tớn hiu bin i ca chỳng Núi chung, nu cỏc thnh phn tớn hiu (mong mun) hay cỏc thnh phn nhiu (khụng mong mun) ca nh trung trờn mt hay mt vi nh c s ca mt bin i riờng bit, thỡ bin i s hu ớch vic tỏch ri lm hai ú l cỏc thnh phn núi trờn c th hin dy c bin i S trỡnh by tng quỏt cng c ỏp dng vo nhng loi b nhiu v phỏt hin tớn hiu 13.7.1 Phỏt hin biờn, dũng v im Hỡnh 13-8 minh ho kh nng phỏt hin biờn ca bin i Haar trờn mt nh Vỡ bin i cú kh nng tỏch c nờn mt tớnh cht ca nh l dũng ngang hay dc hay biờn to cỏc phn t khỏc ch trờn hng u tiờn v ct u tiờn ca nh bin i HèNH 13-8 Hỡnh 13-8 Phỏt hin biờn trờn nh Trong bin i Haar, c trng to gn N/2 phn t khỏc V trớ ca c trng xỏc nh phn t no (v bao nhiờu) khỏc Trong cỏc bin i khỏc, tt c N phn t ca hng u tiờn v ct u tiờn núi chung l khỏc Hỡnh 13-9 trỡnh by vi bin i khỏc ca mt nh cha mt xung nhn Tt c N2 phn t ca cỏc bin i ny u khỏc 0, ngoi tr nhng phn t ca bin i Haar ch cú 2N phn t khỏc Ngoi ra, v trớ ca cỏc phn t khỏc c xỏc nh bng v trớ ca xung nhn HèNH 13-9 Hỡnh 13-9 Cỏc bin i trờn nh cha mt xung: (a) DST; (b) DCT; (c) Hadamard; (d) Haar u vo l ma trn 8, mi v trớ u l ngoi tr phn t 242 trờn bờn trỏi 13.7.2 Thit k b lc Bi vỡ nú cú mi liờn quan gn vi cỏc h thng tuyn tớnh bt bin dch, nờn bin i Fourier cú mt nn tng phỏt trin vng chc s dng cỏc ng dng lc nh Lý thuyt v cỏc bin i khỏc khụng c h tr nhiu lm v chỳng c s dng ch yu da trờn thc nghim Hiu rừ s ging v khỏc gia cỏc bin i ny s giỳp ta tỡm kim cỏc gii phỏp mang tớnh kh thi 13.8 TNG KT NHNG IM QUAN TRNG Cỏc hng ca mt ma trn bin i N N l cỏc vec t trc chun Mt bin i tuyn tớnh n v s to mt vec t N h s bin i, mi h s li l mt tớch bờn ca vec t u vo vi mt cỏc hng ca ma trn bin i Bin i ngc c thc hin tng t, bng cỏc tớch bờn ca vec t h s bin i vi cỏc hng ca ma trn bin i ngc Cng cú th coi bin i ngc nh vic to thnh tng trng s cỏc vec t c s, ú cỏc h s l cỏc trng s i vi bin i n v tỏch c, i xng hai chiu, cỏc nh c s l tớch bờn ngoi ca cỏc hng ma trn bin i BI TP Cỏc giỏ tr sinh ca mt nh a ph kờnh l [6.1 168 0.08 13 64 214 1.2 0.2] Sai s RMS s l bao nhiờu nu bn phõn tớch thnh phn chung vi t l nộn d liu l 2:1 Thit k mt mt n lc bin i Haar loi b cỏc cnh ngang nh nh D N Phỏt trin mt chng trỡnh thc hin bin i cosin ri rc v s dng chng trỡnh chng minh quỏ trỡnh lc thụng cao i vi tng cng nh Phỏt trin mt chng trỡnh thc hin bin i Hartley ri rc v s dng chng trỡnh chng minh quỏ trỡnh lc thụng thp i vi vic gim nhiu Phỏt trin mt chng trỡnh phõn tớch thnh phn chớnh gim nh mu 24 24 xung thnh nh trng en 16 16 Trỡnh by cỏc nh chng minh v gii thớch trờn kt qu suy gim Phỏt trin mt chng trỡnh thc hin bin i nghiờng v s dng chng trỡnh chng t cho s loi b sc thỏi tuyn tớnh Phỏt trin mt chng trỡnh thc hin bin i Haar v s dng chng trỡnh a cỏc biờn ca mt nh 243 [...]... cosin rời rạc và sử dụng chương trình để chứng minh quá trình lọc thông cao đối với tăng cường ảnh 2 Phát triển một chương trình thực hiện biến đổi Hartley rời rạc và sử dụng chương trình để chứng minh quá trình lọc thông thấp đối với việc giảm nhiễu 3 Phát triển một chương trình phân tích thành phần chính để giảm ảnh màu 24  24 xuống thành ảnh trắng đen 16  16 Trình bày các ảnh chứng minh và giải... nhỏ Nghĩa là ngăn xếp các ảnh dơn sắc 24 có thể được biểu diễn với sai số nhỏ chỉ nhờ vào một vài ảnh thành phần chính Mỗi ảnh thành phần được tính như tổng trọng số 24 ban đầu Hơn nữa, mỗi ảnh trong tạp ban đầu có thể được khôi phục, một cách xấp xỉ, như một phép kết hợp tuyến tính của một vài ảnh thành phần chính Ví dụ, việc này làm đơn giản hoá việc lưu trữ và phân loại các ảnh nhận được từ vệ tinh... chung, các ảnh cơ sở của biến đổi Karhunen-Loeve hai chiều phụ thuộc vào tính chất thống kê của ảnh đặc trưng biến đổi và không thể viết ra một cách rõ ràng Tuy nhiên, nếu ảnh là quá trình Markov bậc nhất, nơi mà tương quan giữa các điểm ảnh giảm tuyến tính theo khoảng cách tách biệt giữa chúng, thì các ảnh cơ sở đối với biến đổi K-L có thể được viết rõ ràng Giả thiết Markov thường khớp các ảnh hay gặp... Mặc dù toàn bộ ảnh có thể được nén thành các phần tử đường chéo , nhưng các ma trận hạt nhân U và V là ma trận đơn vị đối với ảnh được nén Những ma trận này sẽ được truyền, theo ảnh, trước khi xảy ra sự tái tạo tại bên nhận Tuy nhiên, có lẽ một cặp ma trận hạt nhân có thể đáp ứng (gần đúng) cho một nhóm các ảnh như nhau Ví dụ cụ thể Biến đổi SVD được minh hoạ trong hình 13- 7, sử dụng một ảnh 5  5 đối... Biến đổi SVD được minh hoạ trong hình 13- 7, sử dụng một ảnh 5  5 đối xứng HÌNH 13- 7 Hình 13- 7 Biến đổi SVD của một ảnh 5  5 đối xứng 13. 7 LỌC TRONG MIỀN BIẾN ĐỔI Trong chương 10, chúng ta đã thấy rằng lọc tuyến tính-hoạt động của một hệ thống tuyến tính bất biến dịch-có thể được mô phỏng như phép nhân phổ Fourier của một ảnh với một hàm truyền đạt định nghĩa trong miên tần số (chẳng hạn biến đổi) Trong... toán lọc ảnh giống nhau cũng có thể được mô phỏng bằng các biến đổi khác Giống như biến đổi Fourier, biến đổi đơn vị tổng quát mở rộng một ảnh như một tổng trọng số các ảnh cơ sở Quá trình biến đổi xuôi xác định các hệ số trọng số, trong khi quá trình biến đổi ngược tập hợp ảnh từ sự khai triển các ảnh cơ sở Lọc trong miền biến đổi bao hàm sự thay dổi các hệ số trọng số trước khi tái tạo ảnh thông... biên, dòng và điểm Hình 13- 8 minh hoạ khả năng phát hiện biên của biến đổi Haar trên một ảnh 8  8 Vì biến đổi có khả năng tách được nên một tính chất của ảnh là dòng ngang hay dọc hay biên tạo ra các phần tử khác 0 chỉ trên hàng đầu tiên và cột đầu tiên của ảnh biến đổi HÌNH 13- 8 Hình 13- 8 Phát hiện biên trên ảnh 8  8 Trong biến đổi Haar, đặc trưng tạo ra gần N/2 phần tử khác 0 Vị trí của đặc trưng... với kỹ thuật nén ảnh Ví dụ, các ảnh đa phổ có nhiều giá trị mức xám tại từng điểm ảnh, mỗi mức xám tương ứng với một dải phổ khác nhau Vì vậy, ảnh đa phổ 1000  1000, kênh 24 có thể được xem như tập một triệu vec tơ phần tử 24 ngẫu nhiên (chẳng hạn các điểm ảnh) Có thể áp dụng kỹ thuật giảm chiều Karhunen-Loeve vào tập các vec tơ này vì sự tương quan giữa các dải phỏ khác nhau của mọt ảnh đa phổ thường... đầu tiên và cột đầu tiên nói chung là khác 0 Hình 13- 9 trình bày vài biến đổi khác nhau của một ảnh chứa một xung nhọn Tất cả N2 phần tử của các biến đổi này đều khác 0, ngoại trừ những phần tử của biến đổi Haar chỉ có 2N phần tử khác 0 Ngoài ra, vị trí của các phần tử khác 0 được xác định bằng vị trí của xung nhọn HÌNH 13- 9 Hình 13- 9 Các biến đổi trên ảnh chứa một xung: (a) DST; (b) DCT; (c) Hadamard;... đối xứng hai chiều, các ảnh cơ sở là tích bên ngoài của các hàng trong ma trận biến đổi BÀI TẬP 1 Các giá trị sinh của một ảnh đa phổ kênh 8 là [6.1 168 0.08 13 64 214 1.2 0.2] Sai số RMS sẽ là bao nhiêu nếu bạn phân tích thành phần chung với tỷ lệ nén dữ liệu là 2:1 2 Thiết kế một mặt nạ lọc biến đổi Haar 8  8 để loại bỏ các cạnh ngang nhỏ ra khỏi ảnh DỰ ÁN 1 Phát triển một chương trình thực hiện ... (gần đúng) cho nhóm ảnh Ví dụ cụ thể Biến đổi SVD minh hoạ hình 13- 7, sử dụng ảnh  đối xứng HÌNH 13- 7 Hình 13- 7 Biến đổi SVD ảnh  đối xứng 13. 7 LỌC TRONG MIỀN BIẾN ĐỔI Trong chương 10, thấy lọc... cộng ảnh sở,căn hệ số Bởi tồn nhiều tập ảnh sở, tồn nhiều phép biến đổi Vì vậy, tập ảnh sở đặc trưng quan trọng ngữ cảnh biến đổi đặc biệt 13. 4 BIẾN ĐỔI ĐIỀU HOÀ Với nguyên nhân đề cập đến chương. .. phức tạp 13. 4.5 Các biến đổi điều hoà khác Jain giới thiệu họ biến đổi đơn vị có hàm sở điều hoà DFT, DHT DST thuộc họ 13. 5 BIẾN ĐỔI SÓNG CHỮ NHẬT Một vài biến đổi quan trọng xử lý ảnh số sử