Hệ mật mã elgamal sinh tham số an toàn phần 8

chơng iii chơng trình sinh số nguyên tố mạnh cho hệ mật elgamal cải tiến theo hai nghĩa: để thực lập trình đợc thuật toán sẵn có hai cải thiện đợc đôi chút thời gian tính 3.3.1 Phép nhân số lớn Chúng ta biết sở để xây dựng phép toán nhân số lớn công thức nhân sau Công thức 3.9 m+ n Cho X=x0+x1q+ +xmqm Y=y0+y1q+ +ynqn ta có XY= x y q k =0 i + j = k i j k (3-11) Theo công thức nhân (3-11) để thực phép nhân hai số lớn có độ dài q phân n, cần tối thiểu n2 phép toán nhân hai số phạm vi q Trong [Rieshel] tác giả có trình bày phần phụ lục thuật toán nhân có thời gian tính O(n1.5), cụ thể nh sau Đầu tiên xét trờng hợp tích hai số có độ dài hệ Q phân Giả sử X=x0+x1Q Y=y0+y1Q, dễ dàng kiểm tra đợc đẳng thức sau Công thức 3.10 XY=x0y0+[x0y0+(x0-x1)(y1-y0)+x1y1]Q+x1y1Q2 =x0y0(1+Q)+(x0-x1)(y1-y0)Q+x1y1 (Q+Q2) (3-12) Nh để thực tính toán theo công thức (3-12) cần k tính phép nhân số phạm vi Q Bây giờ, xét Q=q cách truy hồi theo công thức (3-12) k bớc tổng số phép nhân hai số phạm vi q phục vụ thuật toán n=3k Rõ ràng 2k-122(k-1)=4k-1 phép nhân Tóm lại thời gian tính toán phép nhân đề tài: sinh số tham số cho hệ mật elgamal 46 chơng iii chơng trình sinh số nguyên tố mạnh cho hệ mật elgamal hai số lớn độ dài khai triển q phân n theo cách O(nLog3)O(n1.5) Trong số chơng trình nguồn tính toán số lớn nh [N V Khán], [V V Xứng], [Kapp], mà có tay cha có chơng trình thực phép nhân theo công thức (3-11) Để thực thuật toán theo công thức (3-12) vừa trình bày cần đến kỹ thuật lập trình cao chất thuật toán đệ quy nên khó thực Chúng tránh việc phải thực đệ quy chia thuật toán nhân thuật toán nhân với số thuật toán số k nêu trên, cụ thể với q=216 độ dài tối đa cần tính toán n=25 (theo đăng ký 1500 bit) Rất tiếc trình độ lập trình thấp nên gài đặt thực nghiệm cha thấy u điểm rõ rệt thuật toán Chú ý phần mềm trình bày [V V Xứng], tác giả thành lập riêng thuật toán bình phơng hai số lớn, thuật toán bình phơng có thời gian tính nhanh gấp đôi so với thuật toán nhân hai số độ dài theo công thức (3-11) việc phát tính nhanh thuật toán khó 3.3.2 Phép chia hai số lớn Các thuật toán chia hai số lớn đợc tác giả tài liệu [N V Khán], [Khán-Tân] trình bày kỹ lỡng, không trình bày lại mà giới thiệu phân tích cụ thể thuật toán đợc cài đặt phần mềm sinh số nguyên tố mạnh Cơ sở thuật toán dựa vào kết đoán thơng nhanh sau Công thức 3.11 Giả sử X1, ký hiệu x=xn-1+xnQ+xn+1Q2 y= yn-1+ynQ Khi x div y=a X div Y=a a-1 đề tài: sinh số tham số cho hệ mật elgamal (3-13) 47 chơng iii chơng trình sinh số nguyên tố mạnh cho hệ mật elgamal Chúng quan tâm đến trờng hợp đặc biệt mẫu số yn=1 yn-1=0 Trong trờng hợp có giá trị thơng mà không cần tính x, y việc chia x cho y hệ sau Công thức 3.12 Nếu xn+1=1 X div Y=Q-1 Ngợc lại X div Y=xn xn-1 (3-14) (3-15) Dựa vào số đặc điểm sau chơng trình cần xây dựng (i).Chơng trình thực thuật toán kiểm tra tính nguyên tố mà thời gian tính toán chủ yếu phục vụ việc tính phép luỹ thừa modulo số lớn (ii).Trong phép toán phép chia đợc thực nhiều lần (trung bình 1.5LogN phép chia) với đặc điểm mẫu số (ký hiệu M) không đổi (iii).Phép chia đợc thực với độ dài tử số đợc giới hạn lần độ dài mẫu số Chính từ đặc điểm có thực đợc số vấn đề nh sau (i) Tạo trớc Log n giá trị Mi (ở n độ dài theo số q=216 giá trị modulo) thực phép luỹ thừa mẫu số trung gian Mi số thoả mãn điều kiện sau Mi bội số modulo M có dạng qt(i)+Ri với Ri ... div Y=a a-1 đề tài: sinh số tham số cho hệ mật elgamal ( 3-1 3) 47 chơng iii chơng trình sinh số nguyên tố mạnh cho hệ mật elgamal Chúng quan tâm đến trờng hợp đặc biệt mẫu số yn=1 yn-1=0 Trong... thức ( 3-1 1) nhng gài đặt thực tế có thời gian tính nhanh chút (khoảng từ 15ữ20%) đề tài: sinh số tham số cho hệ mật elgamal 48 chơng iii chơng trình sinh số nguyên tố mạnh cho hệ mật elgamal. .. X d theo cách thông thờng Chú ý đề tài: sinh số tham số cho hệ mật elgamal 50 chơng iii chơng trình sinh số nguyên tố mạnh cho hệ mật elgamal (i) Tổng số phép bình phơng phải thực s+1 bớc tính