NGUYỄN PHÚ KHÁNH - ĐẬU THANH KỲ PHAM KIM CHUNG - NGUYÊN TRUNG KIÊN
me PHONG TRINH
BAT DANG THUG ¢; BAITOAN MIN, MAX
Ơn tập nâng cao kiến thức, bổi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi Đại học
Bi} vny Z ˆ
NHÀ NUẤT BAN GAN HOG QUOC GIA HA NOI
Trang 2
NHÀ XUẤT BẢN DAI HOC QUOC GIA HA NỘI
16 Hang Chuéi - Hai Bà Trưng — Hà Nội Điện thoại: Biên tập - Chế ban: (04) 39714896
Hành chính: (04) 39714899; Tổng Biên tập: (04) 39715011;
Fax: (04) 39729436
Chịu trách nhiệm xuất bản:
Giám đốc - Tổng biên tap: TS PHAM TH] TRAM
Biên lập: TRAN ĐĂNG DƯƠNG
Chế bản NGUYEN KHỞI MINH
Trinh bay bia: NHA SACH HONG AN
Đối tác liên kết xuất bản:
NHÀ SÁCH HỒNG ÂN
SÁCH LIÊN KẾT
BI QUYET BAT BIEN 10 MON TOAN CHUYEN DE PHUGNG TRINH BAT PHUONG TRIN —ˆ
- HỆ PHUONG TRINH - BAT DANG THỨC VA BAI TOAN MIN, MAX
Mã số: 1L- 412ÐH2014
In 2 000 cuốn, khổ 17 x 24cm tại Gông tỉ Gổ phần Văn hoá Văn Lang
Số xuất bản: 1820-2014/0XB/10-231/ÐHQGHN, ngày 4/7/2014, Quyết định xuất bản số: 416LK-TN/0Đ - NXBĐHQGHN ngày 11/7/2014
Trang 3Các em học sinh thân mến!
Trên tay các em là cuốn sách nằm trong bộ sách luyện thi đại học gồm 04 cuốn
“BÍ QUYẾT ĐẠT ĐIỂM 10 MƠN TỐN"
Bộ sách này được viết ra nhằm phục vụ đông đảo bạn đọc, đặc biệt là các bạn chuẩn bị bước vào kì thí đại học Giúp các em ôn tập, hệ thống hóa được kiến thức trọng tâm của chương trình toán THPT nằm trong nội dung thi dai học hiện nay
Nội dung bệ sách được viết theo trình tự sau: ® Tóm tắt lí thuyết ® Các dạng bài tập cơ bản: ~ Phương pháp giải ~ Các vỉ dụ mình hoa - Bài tập luyện tập
© Bai tap tong hop
Phần bài tập luyện tập giúp các em nắm vững được kiến thức, rèn luyện Kĩ năng trong mỗi dạng bài tập Còn bài tập tổng hợp được sắp xếp cuối mỗi chuyên đề
nhằm để các em rèn luyện thêm các năng lực tư duy Nội dung của cuốn sách được chia lam 03 chuyên đề:
Chuyên đề I: Phương trình - bất phương trình
Chuyên đề H: Hệ phương trình
Chuyên đề HI: Bất đăng thức tà bài toần mắn, max
Với lối viết khoa học, sinh động, và cách trình bày mới mẻ bộ sách giúp các em tiếp cận mơn tốn một cách nhẹ nhàng, tự nhiên, khơi nguồn cảm hứng khi tự học
Các ví dụ mình họa được tác giá chọn lọc công phụ, sắp xếp một cách hệ thống từ dé đến khó nhằm giúp các em hứng thú và tiếp cận các kiến thức một cách nhẹ
| nhàng Trong đó những phân tích để đi tới lời giải và nhận xét, lời bình là những
kinh nghiệm quý báu chọ các em
Các bài tập luyện tập giúp các em tự đánh giá năng lực của mình sau mỗi phần
ị ‹ |
iT | học với nhiều bài tập phong phu đa dạng có kèm hướng dẫn giải
= Ị Để sử dụng bộ sách hiệu quả và mang lại kết quả cao nhất, các em cần kiên trì ìm
aK hiểu để nắm chắc lý thuyết, chăm chỉ rèn luyện kỹ năng làm bài thông qua các vi du,
bài tập trình bảy trong bộ sách
Mặc dù tác giá đã dành nhiều tâm huyết cho cuốn sách, song sự sai sót là điều khó tránh khỏi Chúng tôi rất mong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu của quý độc
Trang 5Chuyên đề 1 PHUONG TRINH - BAT PHUONG TRINH
PHUONG TRINH BAT PHUONG TRINH CO BAN
1 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Phương trình bậc hai a) Định nghĩa và cách giải Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax? +bx+c=0 với a,b,c IA số thực và a #0 Đặt A = bể ~ 4ac(A'=b'2~ac, b= 2b") s Nếu A >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: -b‡VA „ b's Va" x=—— (hoặc x= ) s Nếu A =0 thì phương trình có nghiệm kép x = -z (hoặc x= -_P ) a a * Néu A <0 thì phương trình vô nghiệm b) Định lí Vi-ét và ứng dung, :
Dinh lí Viết Hai số xị và x; là các nghiệm của phương trình bậc hai
ax? +bx+c=0 khi va chi khi chúng thỏa mãn hé thite x, +x, = -2 VÀ XiX; = : `
Chủ ý: Định lí Viet chủ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ, do đó trước
khi sử dụng định lí Vi-et ta phải tìm điều kiện cho phương trình bậc hai có nghiệm Ứng đụng:
+ Nhãm nghiệm của phương trình bậc hai
© Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f(x)=ax? +bx+c có hai nghiệm xị và
x; thì nó có thể phân tích thành nhân tir £(x) =a(x =x )(x - x) :
« Tim hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tống là 5 và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2 ~5x +P =0 `
Trang 6420 + Phuong trinh (*) có hai nghiệm dương khí và chỉ khi {P >0 5>0 A>0 + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi 4P >0 5<0 2, Bất phương trình bậc hai a) Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2 +bx+c Trong đó a,b,c [a những số cho trước với a =0 `
Nghiệm của phương trình ax?2+bx+c=0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc
hai ((x)=ax? +bx+c; A= bỄ ~4ac và A'=b2~ac theo thứ tự được gọi là biệt thức
và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai £(x) sax? +bxtc
b) Dau cha tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bang sau f(x) =ax? +bx +0, (a#0)
A<0 af(x)>0, VxeR
Trang 7§ (x)= Khidd f(x) <0] 2) f(x)=0 Để đưa về một phương trình tích ta thường đùng các cách sau: s Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về đạng a” ~bˆ =0, a ~ bỂ =0,
+ Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x=a là một nghiệm của phương trình
f{x) =0 thì ta luôn có sự phân tich: f(x) = (x ~a)g(x) cla * Để dự đoán nghiệm ta chú ý các kết quả sau:
1 Cho da thức f(x) = a,x" + xa +~.+†8X+âp : bậ tức + Nếu phương trình f(x) =0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a ức i + Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì phương trình f(x}=0 có một ˆ nghiệm bằng 1 + Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình f(x) =0 có một nghiệm bằng 1
* Để phân tich f(x) ta sử dụng lược đồ Hooc-ne như sau:
Nếu f(x) có nghiệm là x = xạ thì f(x) chứa nhân tử ( x~ Xa) tite 1a:
f(x)=(x~xạ)ø(x}, trong đó g(x)= bạ Tàn ox" 2 + + byxtby
Với hệ số b, được xác định như sau: Lược đồ Hoócne An ẨnTg | teste ay ag a bại =ân | bạ=ããp dâng | bị =a.a; +ai 0
i Vi du: Giai phuong tinh x4 +27 -x-1=0 Lời giải
ị Nhận thấy: a¿ +aa tay +a; +ag=1+1+0+(-1)+(-1)=0 | Vat ag + ay + ag =140+(~1)=a, +a,=1+(-1)
Trang 8Ta có phương tình thương đương với (x-1)(x+1)* +x+1)=0 ô@x=#1 â Su dng phng pháp hệ số bất định Boa 2: Dat an phụ Một số dạng thường gặp Dạng 1: Phương trình đối xứng gầu đối xứng Ta thường gắp phương trình bậc bến 2 ax! + bxỞ +cx” + dx+e=0 với (2) ak? a Tức là có dạng ax’ + bx? + ox? + bkx +ak? =0
Cách giải Xét x=0 xem có phải là nghiệm của phương trình khơng
2
Với x «0 ta chia hai vế phương trình cho xẺ ta có pt: a(x2 ye boty +c=0 x
ko 2k kạ 2 › ,
Dat taxt—, tacd xo +—>=(xt—) #2k=E #2k thay vào phương trình ta x x x
quy về phương trình bậc hai a(t? #2k)+bt+c=0 Dạng 2: Phương trình cd dang (x +a)(x+b)(x+c)(x+d)=e trong đồ a +b=c+d
Cách giải: Đặt t= x°+(a+b)x ta quy về phương trình bậc hai (t+ ab)(t + cd) =e
Dạng 3: Phương trình có dạng {x + a) (x + b)( x+ S\( x+ d} =mx" trong đó ab = cả Cách giải: Kiểm tra xem x =0 có là nghiệm của phương trình hay không
Xét x z0 chia hai vế cho x2 ta được [s-›:»+#|s‹e+a+S#]>n
x x
Dat text ta quy về phương trình bậc hai Ít+a + bÌ(t+ c+ đ)=m
Dang 4: Phirong trinh (x + ay! +(x+b)! =c,
Cách giải Đặt x= L— ae ta đưa về phương trình trùng phương
Phương trình có nghiệm > c> s4
THỊ, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
1 Phương pháp giải chung
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đö\GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ
+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ
Trang 9TD)
2 Mt sé phép bién déi trong duong
Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức hiện bằng phép biến đổi tương đương g(x)>0 £(x) = B(x) 1) l6|=se)<>|[s)=gò) f(x) =-g(x) ?) kel-bel=[t ona ee IS f(x) có nghĩa g(x) >0 3) [a] <go) Bạn < f(x) < g(x) 4) le(x)| > g(x) >| [g(x) 20 lh <8) f(x) > g(x)
MOT SO PHUONG PHAP GIAI PHUONG TRINH
Trang 11x20 ch | 13x” +16xT— 4= 0 ° — mãn điều kiện) 1 Vậy phương trình có nghiệm là =_ + x>0 x-2>0 x x21 đ) Phương trình œ 1~1yg ° [toy fi x x x x24 t-t ax x x xa1 x21 <= | ° xn text 41d ax In x x x x°~x~2x?T=x+1=0 21 ° x21 ° xa1 ° x ex-LЊ axel [x?-x-1=0 xs 2
Vậy phương trình có nghiệm là x= 18
Trang 1212 x«1 xs-5 4 <-5 xa ~$x«1 q x<-5 ôc a â ®i—=<x<l xs-5 x2i 3S wtexed x21 1 1<x<4 3 3 moe XA 13x“ =51x ~4 <0 13 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 8 =(-s;~B][~ : ;4) 5x-1>0 c)ĐKXĐ: x-120 x22 2x-4>0 Bất phương trình œ v5x~1 > x1 + V2x=4 @ x+2>,J2x~4)(x ~ 1) x2 +á4x+4>2x2 ~6x+4 (do x>2)e x2 -10x <00<x<10 Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trinh $ =[210) x22 xS~2 d) DKXD: x? - 4203
Nhan xét x =3 là nghiệm bất phương trình
ø Với x>3: Bất phương Hình © Jx? ~4 <x+3 © x2 =4 <(x+3) exe 2
Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có tập nghiệm bất phương trình là 5 =(3;+e) ® Voix <3: Bất phương trình œ Vx? ~4 >x+3 x+3<0 ( ho’ x+3>0 o oặc x°~4>0 , 2 -4a(xea)e Ð xs-3 Ta có 7) 4] x22 ©xs-3 x<-2 x>-3 x>-3 13 ° @-3<xs—— ™ ch co et 13 Kết hợp với điều kiện x < 3 suy ra bất phương trình có tập nghiệm S= (0-1
Trang 13Vi dy 3: Giải các bất phương trình sau | 2 l2(x2 WIPER py PO) 5 feb > 2 a) 1-x Jx~3 x- Lời giải a) Nếu 1~x>0 œ@x<1 Ta có bất phương trình x<l x<1 <2 {51-2x~x? 20 œ|~1-52 <x<~1+ ¥52 eo -1- 52 <x<-5 ¥51~2x~x? <1-x x7 > 25 * Nếu x>1= bpt luôn đúng nên nghiệm của bpt là x> < eo l<xs-l4+V52 ~1-¥52 <x $-14+-$52 Vậy nghiệm tập bất phương trình đã cho là S =[-1- -Í52;~5) Ợ (4-1 + v52] x24 2 b) ĐKXP: F 216, [eee x>3 x>3
Bat phuong trinh <> vj2(x? ~16) +x~3>7 ~x
© yx? ~16) >10~2x kết hợp với điều kiện x >4 ta có bất phương trình 10~2x <0 —%SŸ tì hoặc J10~2x>0 x24 a) x24 2 2 2(x* -16) > (10 - 2x) Tacs (oof ex»8 x24 x24 4<x<5 (Il) 110-2x>0 2 ; |X“~20x+66<Ù 2(x? ~16) >(10~2x) 4<x<5 ©10~ ⁄34<x<5 ko V34 <x<10+/34
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =(10 -ý34;+ø} Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
A)dx+3+l3xz+1=2lx+2x+2 — p)Ÿx-1rŸx-2=Ÿ2x-3
Trang 14Lời giải i °
a) Phân tích: Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được: ¡ — thức (
1+.2l(x+3)(3x+1)=x+2.|x(2x+1), để giải phương trình này đĩ nhiên là hơi 7
tel )(Gx+1)=x+2jx(3x+1), để giải phương y | ot
phức tạp ị
Nếu ta để ý thấy (3x+1)+(2x+2) =(4x)+ (x+3) thì ta biến đổi phương trình ị Ci:
thanh J3x+1~J2x+2=V4x -Vx4+3 khi dé bink phương lên đưa về phương hình : i
đơn giản hơn rất nhiều _— Viđụ
Ta có lời giải sau: ị
DKXD: x20, a)
Phương trình tương đương với Äx+1~J2x+2 =3J4x—sÍx+3 : b) Bình phương hai về ta thu được phương trình hệ qua:
16x? +8x +2 = 4x2 +12x c 2x2 — 4x +2 =0» x<1,
Thứ lại x<1 vào phương trình thấy thỏa mãn a):
Vậy phương trình có nghiệm là x= 1 :
b) Phương trình tương đương với: 2x—3+ 3ặ( (x~1)(x—2 )\Ñx ~149x- 2)=2x-3 t Ph => 2x~ 3438 (x— 1)x~ ~2)Ÿ2x~3=2x-3
“WECTe-TEEB-0se-uaao-E
Thử lại phương trình ta thấy thỏa mãn Va
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1)x = 2;x -5
b) Nhận xét:
1) Nếu phương trình: F(x) + Jg(x) = (x) + f(x)
Ph Mà có: f(x)+ h(x) = g(x) +k(x), thi ta biến đổi phương trình về dạng:
EO) - J (x) = yk(x) - a(x) sau đó bình phương,giải phương trình hệ quả,
2) © Khi giải phương trình trên chúng ta thường biến đổi như sau
2x~3+ 3Ñ =1)6x=2)(Ÿx =1 +Ÿx =2) 3x4 Ye OK -3) = 0
Thép biến đổi này không phải là phép biến đổi tương đương! Vì ở đây chúng ta „
đã thừa nhận phương trình ban đầu có nghiệm | Do đó để có được phép biến đổi
tương đương thì ta phải đưa về hệ như trên , Chang han ta xét phuong trinh sau
ŸI“x+Ÿšx=—1e©2+3Ÿ1—x? (ĐW1<x +ŸTtx) =~1 © Ÿ1— x? <1©x=0, pi
Trang 15hơi rình rình gia đổi
® Với dạng tổng quát Ÿs tt =Ÿc ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng
thức (atb)’ =a° +b? +3abla +b) Ÿa +tb =%c a+b+3Ÿabc=c Giải hệ này ta có được nghiệm của phương trình Loại 2: Phân tích thành tích Ví dụ 5: Giải các phương trình sau a) y~5x? +82x-34V5x-3=Vi-x41 b) x? # (3-2) x1 =x( ave? ~242-x-2) Ta có phương trình tương đương với hệ: | lời giải ~5x? +8x—3>0 3 a) ĐKXĐ: 5x~3>0 œ&c<x&l 1-x20 Phương trình (5x-3)(1-x) + V5x-3 =VI~x41
42 (V5x-3~1)(Vi-x4+1=0 2 Vix-3=1e9x=4 (thỏa mãn điều kiện)
Trang 167~ 2 lâm Vậy phương trình có nghiệm là x = Ví dụ 6: Giải phương trình a) x2 +3x =2 X1 =1 bì Jx?-5x+6 +xx~3+x+21= x2 +19x~42 Lời giải a) ĐKXĐ: x>~1 Phương trình tương đương với vx? +3x =2vx+1~1 3 2Jx+1~1>0 x2 24, Kaa? 4 2 x? 43x = 4(x+1)-4¥x +141 (vert +2) a2) rite] pea fe (1) Vx+142=-x |dx+l=-x-2 (2) x>2 x22 PID 2 O1, ex-StV9 x+1=xˆ~4x+4 |x-5x+3=0 2 Phương Hình (2) vô nghiệm vì với x>~1 thì Vx+1>0,~x—2<0, 5+v13 Vậy phương trình có nghiệm x= 2 b) DKXB: x23 Phương trình tương đương với x-2X4x~3)+vx~3+x+21=j xX+21)(x ~2) œ©vdx-3(ýJx~2 +1)#ýJx+21(Jx~2 =1) © dx-3(x~1+2x—2)=xJx+21(x =3) > x=3 hode x-1+2Vx~2 = (x +21)(x-3) Œ) PTỆP)}©xÃ+2x~=7+4(x=1)Nx~2 =x? +18x—63œ({x—1)x~2 =4x~14 7 7 xa= x>~ x=6 ˆ 2 2 2 =| 1 QẺ~2x+1)(x~2)=16x2 ~112x+196 - |x2~20x2+117x-198<0 LR”
Vậy phương trình có nghiệm x=6 va x=11
Trang 17~3) z1 Loi giải a) ĐKXĐ: x>2 Bất phương trình tương đương với (4¥x-2 +2) $x) eo(x+4Vx-2 +2}(x-4Vx-2-2}20 <x-4V¥x~2-220(Do x44VxX~—242>0)e>x~-22dvx-2 x22 x22 x22 x=2 244 x? ~dx+4216(x-2) ~ |x? -20x+3620 2), Oy xz21bS xe | *ề18 Vậy BPT có tập nghiệm là 5 ={2}[18;+e) b) ĐKXĐ: x24, 2 Bất phương trình tương đương với x(2x=1)(2x~1~1]+ x+1(V2x-1-1)>0 œ(dx+1+(3x2 ~x)(V2X—1~1)>0 (9)
Vì VXY1+ 2x2 ~x >0 nên BPT()«a J2x—1~1>0 œ x>1
Trang 1817) Ÿ2xT1=xŸl6 -Ÿ2x+1 18) VX—1+\XŠ +x2+x+1312+x' ~1 : 19) tx+2)2x=1)~3x+6>4— f(x + 6)(2x—1) + BV +2 : 20) Vx? =1+2(x+1+vx=1)<xÊ +x(x<1={x+1)~4 ì P PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG PHÁP LIÊN HOP 1, Phương pháp giải
Phương pháp này được áp dụng cho giải phương trình, bất phương trình chứa
căn Cở sở của phương pháp là định lí Bơzu " Nếu x=a lä nghiệm của đa thức P() thì P@) =(x~a)PG)” Để trục cần thức ta nhân với các đại lượng liên hợp: (VA-VB)(VA+vB) A-s ANB Tan (Aw T AMT) „n ø ŸA ~ŠŸB = Với A, B không đồng thời bằng không Vi 2, Các ví dụ mình họa khôn N
Loại 1: Trục căn thức trực Hếp Poy dy
Ví dự 1: Giải các phương trình sau: : 2 a) x a) =z+2+2Jx+1 1+jx+l : b) pe re re | dx+3+jx+2 Vxt2+Vx41 Vetiedy lời giải a) 2 a) Phan tích: Nhận thấy x+2+2vx+1 =[&+1 +1) va x+1-1=x do dé ta BL ` 2
Trang 19hứa (x) « Với x=0 dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình ø Với x#0=>1~v1+x #0 x (veri -1) 2 PTẲ© =[[Wx*T+1 %+1-1Ì] 1+xx+1 l I ) 2 x31 2 x“|vx+1~1 ĐT serine in 1+vx+1 œx+1~#X+1=0œ Ýx+1{{x+1~3)=0 yx+1=0 ee ° (Thoa man DKXD) ae x=8 Vậy phương trình có nghiệm là x=~1 và x=8 b) ĐKXĐ: x30
Dễ thấy vx+3~vx+2#0,ýx+2—x+1#0,AJx+1~xjx #0 nên phương trình
tương đương với
(W&+s-W+2)3[W+2~-Wx+1)+[Wx+1—=jk)=1 @š+3~x<1e©vx+3<=vdx+1e©x+3=x+2NX +1 es x=1 Vậy phương trình có nghiệm là x=1
Nhận xét: Ở câu a khi nhân với biểu thức ⁄1+x—1 thủ biểu thức đó phải khác
Trang 20b) ĐKXĐ: x>3 Bpt es (2x — a) #2) + f2(e~ 3x41) =3 (x+2~34X+1~1>0 9 (fXx—3) -3)(Vxr2 ever lal o> (2x-3) -3>-vx+2-vK+1 5(x~3)~3>0 ° [2-3 -3} > (Ved Jari) _- 2 bà =- 2 ôâx?8 3/2(x~3)<4X+2Ax+1 |x2-15x+56>0 Kt hp ĐKXĐ ta được tập nghiệm của bpt đã cho là f= (8+) Bi 2: Thêm bớt hằng số để trục căn
Nếu phương trình có nghiệm là x= xạ và có biểu thức Qf (x) thì ta thêm bớt vào
để có E(x) F(x) sau đó truc cin thrice dé co duge nhan tir x- xy
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) Jx~1+x+2 =x+1 bì Ÿx+dx+3=3 lồi giải
a) Phân tích: Nhấm thấy x=2 là nghiệm của phương trình Khi x=2 ta có
d=1=1, x+2 =2 do đó ta ghép đưa PT về (Jx-1-1}+ (vx 2-2)=x~2
Từ đây trục cắn thức sẽ xuất hiện nhân tử chưng x2
'Ta có lời giải sau: So DKXD: x21 mre(&=1-1)*ÍW 2-2)=x-2 x~2 x~2 1 1 cœŠ=—+—————=x-2Íx-2)|==——-+-r—=——~~1|=0 Xx-1+l vx+2+2 ( (gan x‡2+2 ) z 1 1 Với x>1 ta có +—==—=——<l Xx~1+1 dx+2+2 Do đó PI(e x=2 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là x=2
Trang 21ýt vào ta có Ta có lời giải sau: ĐKXĐ: x 2-3 ` x-] x-1 tan Jx:3+2— 1 1 1Ì —————+————-|=0 ( ) _ vxt3+2 ” 1 Với x>-3 thì —————— TH >0 ka +Äx ma Jx+3+2 Do đó PI(*“)©x=1
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x=1
Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau
a) (x43)V2x2 41 sx2 4243 b) 2x +x> xt 4341
lồi giải
a) Phân tích: Nhận thấy x=0 làm cho dấu bằng xảy ra Mặt khác khi x=0 ta có 2x? +1 =1 do đó ta thêm bớt để làm xuất hiện 2x? +1-1
Ta có lời giải sau: BPT eo (x+3)( Vox? +1 -1)ssẽ > (x+3).2x" «(be +1 +1) x=0 "(Vat terre 6) 20) han x) V2x° +141-2x~6/200 2x? +1 22x45 (*) 5 5 x<-> x<-= 2 2 Ta có BPT() c> x25 « = œx<-5+ý/13 x2+10x+1l2<0 ||-5-ýI3<x<-5+13
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=0 và x<-5+ v13
b) Phân tích: Nhận thấy x =1 làm cho dấu đẳng thức xảy ra do đó ta thêm bớt để ghép thành cặp Yx ~1, yx? 43-2 Ta cd loi giải sau:
Trang 22x+1 >0 ® 2 Na Vee 4342 h 5 xt] x+1 Vì x>0 nên 1 Tớ “tư ta +1 na Do đó BPT() © x>1 (thỏa mãn x >0)
Vậy bất phương trình có nghiệm là x21
Nhận xét: Nhiều khi chúng ta cần hạn chế điều kiện của nghiệm để giúp chúng ta dễ dàng trong việc giải phương trình, bất phương trình còn lại sau khi đặt nhân tử chung, câu b minh họa cho điều này
Loại 3: Thêm bớt biểu thức để trục căn thức >0 Ví dụ 5: Giải các phương trình sau a) 5(dz+5 +V3x+4)=5x? ~11x~1 b) V3-x+2+xz=x2~x—2 dì x) +3x2 ~3Ÿ3x+5 =1~3x Lời giải
a) Phân tích: Dễ thấy x =~1,x =4 là nghiệm do đó ta tìm cách làm xuất hiện nhân tử chung -x2 +3x+4, Đối với 5jx+B5 ta ghép thêm với ơx +, như thể sau khí trạc 25(x+5)-(ox+ BỊ 5xx +5 +(œx + 5/-135-(-ø+B}=0 fast 54+5 ~(w4+B}=0 ofr căn thức ta có 5./x + 5 =(œx +B}=
Trang 23ing ta tân tử t trục 1 Ti (™) xed
Vậy phương trình có nghiệm là x=-~1 và x =4
b) Phân tích: Dễ thấy x = ~1,x =2 là nghiệm do đó ta tìm cách làm xuất hiện nhân tử chung ~x? +x+2 ĐKXĐ: -2<x<3 Phương trình tương đương với LJ3/8=x+@&~8)|+2[3j2+x - tx+9]=x?~x~2 3 3 « Dễ thấy x=-1, x=2 đều là nghiệm của phương trình « Xét x#-—1,x#2:ta có 3/3~x #~(x=5) và 3/2+x #(x+ 4) @36- a = ae „3G+x)-(&+4)ˆ 9(2+x)- (x44)? =x? —x¬2 _ 32+x+( x+4) 2 2 Xxˆ+Xx+2 — †XY2 ad X“+Xx+2 yd ooh — THẺ „ - '3/3—x~(x~5) "3 3/21+x+@œ+4) " ————:——————+3 = 3J3—x=(x-5) 3J2+x+(x+4) 1 1 yy? Âc- +—————+†3=0() (vì -xˆ+x+2#0) 3V3-x~(x-5) 342+x+(x+4) Or Do -2<x<3 nén 3V3-x +5-x=3¥3—x+(3~x)+2>0 3/2+x+(x+4)=3Jx+2+(x+2)+2>0
Suy ra phương trình (*) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=~l và x=2
Trang 24x3 +3x2 ~4 2 ———— =8: _—h¬ +ĐŸ(3x+B5Ỷ * &x-1)&+2#|1+——————————l- (x+Ð#+(@œ+103x+5 + Ÿ(3x +5)? x=1 „ 3 “[E= 2m „ (x+ ĐỀ +(x+1)Ÿ3x+5 + Ñ(x + BỀP >9)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x= -1 va x=-2 ị Kí Nhận xét: Chúng ta cần chú ý khi nhân đại lượng liên hợp thì để thu về phương :
trình tương đương thì nó phải khác không, ở câu b ta không để ý tới điều này thì sẽ = © mắc sai lầm trong trình bày lời giải đù cho kết quá đúng Ỹ Loại 4: Ghép cặp trục căn thức B Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau: ° a) V4x—3 4-V5x43 200424 ¥2048 by 3x2 72434 Vx? 3x44 > ox? —2 4 Vax? —5x-1 v c) Äz+2+Ÿx+1 <Ÿ2zˆ +23? +1 Loi giải a) Phân tích: Dễ thấy (4x ~3)~(x+2) =(5x+3)~(2x +8) N Do đó ta ghép cặp 44x—3~x+2 và v5x4+3-V2x48 Từ đó ta có lời giải sau: v DIOD: x22 vid Bpt <> V4x~3~Vx+2+V5x+3 -V2x+820 * —_ 34-5 - — 3x5 s “y-3+dxt2 3+vx+2 ‘Terai ixe8 5 œ(3x-5)ÌÌ———————+———=———= |>0©3x-5>0©©x>= a ( lasts mi 3 E
Kết hợp với ĐKXĐ ta có nghiệm bpt là xed 1
b) Phan tich: D& thay 3x? ~7x+3~(3x? ~5x-1}=x? ~3x44—(x7 -2) do dé ta ‘ E
ghép cặp day? -ÿx+3—3x2 ~5x~1 và V2 ~2~dx2 ~3x+4 Ta có lời giải Sau:
ĐKXP: xe(~—m; ~v2|u ee “Ì I
Trang 25ương thì sẽ đó ta * Bpteo Vax 7x43 - Ve? 5-1) (vi? =2 để =3x +4]>0 = -2x+4 3x-6 3x2 -7x434V3x2 —5x-1 Vx2~2+x2+3x+4 2 3 <9 (2-x + >0 ( lone | ©2-x»>Œœx<2 >9 Kết hợp ĐKXĐ ta có tập nghiệm bpt là $= (= -/} tr 2} c) Phân tích: Dễ thấy 2x? -(x+1)= 2x? +1~(x+2) do đó ta có lời giải sau: Bpte(ẤfÐx2 +1-Ÿx+2)+(ể ~ŸX 77) >0 o 2x?~x~1 + 2x? x —1 Sax? +17 + Ya? + Dce2)+Yocs2y? Yard +¥ax26041) Hora? 1 : 1 Hart +1)? + Aare yx+2+Yexraye Yat Jaton Weary? >0) Vì >0 1 Nên bptf*)es2x2~x~1>0e|*>?”1, 1
Vậy nghiệm của bpt là x>~5, x<-l
Trang 26— 1 eyed V3x? ~2x+1+ 3x2 +2x 1 =-—(IM =(s-llt- 1 206)" gM) dfx? 2x41 + VBx" + 2x ax? 2x41 4 V3? 42x =109) Từ () kết hợp với phương trình ban dau ta có [a2 5,24 x=0 2 ¥3x? 2x41 = 1-2x = 3x? KHOAN 2 2 2 = V3x2 -2x +1 + V3x? + 2x =1 a3 3x2 =2x+1+4x=2 3x? 2x41 4 4x = V8x? 42x 41
Thử lại phương trình chỉ có x=0 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm là x=0 và x = b) Phan tich: Dé thay (2x+3)-(x+4)=x-1 va (3 x8) (Wx) =x+8~9x? =(1~x)(9x+8) Đo đó ta ghép cặp: 2x+3-jx+4, Ÿx+8-—2/3x từ đó sẽ có nhân tử chung là x—1 DKXD: x20 -1 vx+8-3x PTe©s2x+3~vJx+4=Ÿx+8 ~3x c——————————= d2xt3+dx+4 fx+8+âx x+8~9x2 x-1 - Pace deed (+8 + ix)( Sed +3) 9x+8 abe ‘hee (Kravis al a 9x+8
x= [oso (Wea + Vax](Ji+ 8+ 3x) +
Vậy phương trình có nghiệm duy nhat x=1 €) Phân tích:
Nhận thấy: (2 +x~ -2)- (2x-2) =x? ~x=x(x-1) va x? ~1=(x-1)(x+1), nhe
vậy khi chúng ta thực hiện phép nhân liên hợp sẽ xuất hiện nhân tứ: (x-1)
Trang 2718)
Tuy nhiên khi x = 1, biểu thức Ýx”+x~=2+ J2( x-1) =0
Đo đó biến đổi Vx? + x~ ~2-2( (x- 1) đc một phép biến
“Ve +X
Wo Fea
đổi không có nghĩa
Vì vậy trước khi thực hiện phép nhân liên hợp ta cần chú ý đến biểu thức liên hợp
đã khác 0 hay chưa
Để xử lý các dạng toán này ta có thể chia ra các trường hợp của x làm cho
fe(x) + g(x) =0 va trong hop f(x) +Jg(x) 40 Ta có lời giải sau:
DKXD: x21
s Nhận thấy x=1 là một nghiệm của phương trình đã cho ® Với x>1, phương trình đã cho tương đương với: 2 Ýx°+x~2~—.j X=1) x? -150 9 ee (x- \(x+1 =0 ( ) Vx?+x-— z+(B({ (x- 1) ) ote pt eee Ũ Khi x>1 thi x-1>0 va eee TO nen phuong trinh (*) Vx? ¢x-24 f2(x-1) khơng có nghiệm x>1
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1
d) Phân tích: Nhận thấy (x + 2)+(2x ~3) =3x—1; 3x? —-x? = x? (3x ¬1) và không
có giá trị nào của xe /# làm cho các biểu thức Ÿx+2, Ÿ2x-3 đồng thời bằng 0 Ta có lời giải sau:
Trang 29-45 b) 2x3 - 2x? + x~6 = (x~ Ly 2x(x? -x +2) @ Ÿ2x~1 +2x=vx2+1 +x đ) Ä 12x? + 46x ~15 ~ 9x3 5x41 = (x41) Bài 1.10: Giải các phương trình, bất phương trình sau a) Ÿx?~1+x=JxŠ~2 b) V4x+6~ Ÿxà +7x2 +12x+6 >x2 —2 ` 2 ta] (4x+3)(Vx-1-vx+3) <16 đ) Jx—2+4~x>x?—6x+11 e} Jx—2+4—x <2x?T—5x ~1 Ð J5x~1+Ÿ9—x >2x? +3x—1 8 2 ;as<2ÄX+Gx-9S 7+3 PHUONG PHAP 3 PHUONG PHAP DAT AN PHU
1 Phuong phap giải
B1: Chọn cách đặt ẩn phụ, tìm điều kiện xác định của ấn phụ
B2: Chuyển phương trình ban đầu về phương trình (bpÐ) ẩn phụ vừa đặt
Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì phương trình(pÐ) thu được thường là , nhiing phwong trinh (bpt) mà ta đã biết cách giải
B3: Giải phương trình với ẩn phụ vừa tìm được và kết luận tập nghiệm
Có rất nhiều cách để đặt ẩn phụ Ta đi xét một số dạng phương trình (bpt) ma ta
thường hay gặp Chú ý:
- Đối với bài tốn khơng chứa tham số thì có thể bỏ qua tìm đkxđ của ẩn phụ hoặc
đặt điều kiện không chặt
- Đổi với bài tốn khơng chứa tham số thì nhất thiết phải đặt điều kiện chặt cho ẩn phụ
Chẳng hạn, t=vx”~2x+3 thì điều kiện ta thường đặt là t>0, điều kiện này
không chặt Điều kiện phải của nó phải là t> V2 vite J(x-Ÿ +222
2 Các ví du minh hoa
Loai 1: Phrong trình có dang g(Wf(x)) =0, với đạng này ta dat t= YE(x) Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: af(x)+ byf(x) +¢=0 , Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) 2x7 43x? +4 =6 b) (x+2) =3 zx+4)+2
Trang 30€) V4x-14 4x? -6x41=0 d) œ~2/ (để ~4z +1]=10
Lãi giải
Phân tích: Các phương trình trên khi đặt căn thức làm ẩn phụ t khi đó biếu thức chứa x còn lại biểu diễn được qua t do đó ta nghĩ đến sử dụng đặt ẩn phụ
a) Dat tavx244, t22e x=? -4, Khú đó phương trình đã cho trở thành: - 2((Ê ~4)+ 3k6 <2 +t~14.=0 co t=2 (thỏa mãn) hoặc t=~2 (oạ) Với L=2 ta có x2 =0 © x=0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =0 b) Phương trình « x? +4x-3Vx" +4x +2=0 t=1 Dat te Vx? 44x, t20 Phuong trình đã cho trở thành t?~-3t+2<0œ ten" Với t=1: Jx? +4x =1© x2 +4x~1=<0 œ x=~2 +5: Với t=2: {x? +áx <2 cx? +4x<4=0© x=-2£2/2 Vậy phương trình có nghiệm là x=-24V5 va x=-242V2 €) Đặt t= V4x—1, tacd tt ~ 4E +4E—1=0 œ(t— ĐỀ +21—1) =0 1 2-2 Đã: x=—,x= 2 2 đ) Đặt t= Jx? —4x,t>0 Suy ra (x-3Ÿ ax? -dx¢4aP 4 Ta ¢6 phurong trinh (t7 +4)(t+1)=10 P47 44t-6=0 ©(t~( +2t+6)=<0 c z1 c Và? —4x =1@ x? ~4x~1=0 co x=2£/5 Ví dụ 2; Giải các bất phương trình sau: a) {2x~4<2ÄŸX~1~2 b) x2-2y—3<— 1-2 L2 Jz+1)(3~z) Lời giải a) Phân tích: Bất phương trình chứa hai loại căn là căn bậc hai và căn ba chứa biến bậc nhất
Trang 311C biển 1 đó , đến DKXD: xed 2 Đặt t=Ÿx-1=xe PP +1, Bất phương trình trở thành ple t +1) t21 t>1 K= a(t +1)- ~4<40-8L+4ˆ” |B ~4” +8E~6<0 > t tài =1 °®lt-0fse =at+6)<ð ter<p 9” Với t=1 ta có x=2(TM) Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 5 = {2} oO
b) Phân tích: Phương trình chứa phân thức do đó chúng ta quy đồng lênđưu ý là
khi nhân cá hai vế với một biểu thức âm thì dấu bpt đối đấu, còn nhân một biểu thức
dương thì được bpt tương đương cùng đấu)
Khi dé ta dat t= _x2 +2x+3 khi đó biểu thức chứa biến còn lại biểu diễn được
qua ẩn phụ t Ta có lời giải sau: ĐKXĐ: -x2+2x+3>0 @-1<x<3 Bất phương trình > (x2 ~2x-3)¥—-x? 42x43 <1 -x? 42x Đặt L={-x?+2x+3, t>0=5 -xà +2x = E2 =3, Bất phương trình trở thành ~ <~2+t @œ2+t!~2>0 œ©(t~D(!+2t+2)>0 @©E>1 Đo đó ta cóv-x2 +2x+3 >1 œ~x”+2x+3>1 ex?~2x~2<0@1~l3<x<1+43, Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm bất phương trình là =[t-;1+ ð} Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a) Vx + 6—w >v|—x? +6x +3 9 222 ýcvg ni : x lời giải
a) Phân tích: Bpt chứa nhiều căn nên ta sẽ khử bớt căn bằng cách bình phương hai vế lên Khi đó dễ dàng thấy xuất hiện ẩn phụ
ĐKXĐ: 0<x<6
Trang 32Bất phương trình đã cho {œ6+2J6xS—x2 s—x2 +6x+3 @6x—x2~2|6x—x2 ~3>0 t23 Đặt t= {6x — x2, t>0, bất phương trình trở thành: @-2-a200 12 1 DGi chiéu diéu kién voi t20 tadugc t23 khi dd tacd Al6x~x? >3 x2 ~6x+9<0x=3 (Thỏa mãn)
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x =3
b) Phân tích: Bpt chứa nhiều căn nên ta sẽ khử bớt căn bằng cách bình phương hai vế lên Tuy nhiên để như vậy mà bình phương thì không thu về bpt tương đương do
vế bên phải chưa xác định một a
Do dé ta biến đổi về dang wR + —L2Vx+8 khi đó ta đặt căn bởi ẩn phụ t thì
biểu thức chứa x con lai biểu diễn được qua t do đó chuyển được bpt qua ẩn t ĐKXĐ: x>1 2(x-1 Pre ead 2-1) renee oo oad, ›.2>»g x x x x Dat t= g-2 trom 222-2 x x Phương trình trở thành 42-#)+át>e S4Ê~4L2140 =2 1 21 2 8 S uy ta 7 —=/l2-—~@—=2-— v1 vn 7M) ==Œ
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x == Vi du 4: Giai cac phương trình sau:
a) ee b) x4 9x? ~x = 2x41 c) 12yx+V¥x-1 = r-6
x
lời giải
Trang 33ag hai ng do ut thi ớc khi Dit t=V-x? +4x, t20 t=-20) Phương trình trở thành t=~2t +6 20 +t-6=00] 3 2 4+7 Với t= 5 ta có “` n (TM DKXD) 427 2
Vậy phương trình có nghiệm Ta x =
b) Phân tích: Chia cả hai vế cho vx thi sé thấy xuất hiện ẩn phụ là t= tt
* x
Tuy nhiên muốn chia được thì số đó phải khác không nên ta phải chia hai trường hợp Ta có lời giải sau:
ĐKXĐ: xz0
Trang 34- 848-62 +5t-120 e9(t-1) (1? +3t~1]=0 | t== (loa) b t= 4 +13 3 đó t 1 qua
Với t=1 ta có 1= = (phuong trinh vé nghiém) : ' Voi t= 3 +18 tes ta 5 ae Bt 3+ aa mãn điều kiện) ì E
Vậy phương trình có nghiệm duy nhat x= ae có : 4
Loại 2: Phương trình chứa tổng, tích các căn thức ụ
Phương trình có dang m(,/f(x) £ atx) + any f(x) B00 +n(f(x)+g(x))+ p=0 : 1 Với dang này ta đặt t= yf(x) + vJg(x) Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn được
những đại lượng còn lai qua t và chuyén phuong trinh (bpt) ban dau vé phuong
trình (bpÐ) bậc hai đối với L : 1
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: Vic a) ¥3+2x4+V6-2x =3+-4x? +6x+18 b) V3xz~2+vx—1=4x~9+243x” ~ 5x +2 : 1 Lời giải te: a) Phân tích: Nhận thấy (3+2x)(6~2x)=~4x” +6x+18 và (3+2x)+(6~2x)=9 1 do đó t=3+2x + 6~2x ĩ
Trang 35Vậy phương tình có hai nghiệm x=~S và x=3,
b) Phân tích: Nhận thấy (3x~2)(x~1)=3x” =5x+2 và (3x~2)+(x~1)=4x=3 do
đó t=x3x~2+xx~1 khi đó bình phương lên thì sẽ biển diễn được 4x 42V3x? ~5x+2 quat Ta có lời giải sau: DKXD: nee pat t= V3x—2+Vx-1, £20 =2 =4x~3+2|(3x~2)(x=1) hay 4x—9+2443x7 ~5x+2 = tP ~6 (9 Khi đó phương trình trở thành: t=t-6 ` @œt?—t~6 =0 œ t=3(TM) hoặc t= ~2 (loại) Thay t=3 vào (*) ta được: 6~2x = 3x? ~5x42 được | x<3 re 2° 3 3 Oyo <= x=2 (tm) ương 36~ 24x + 4x“ = 3x” =5x+2 x* -19x+34=0 Vậy phương trình có nghiệm là x=2 Ví dụ 6: Giải phương trình: x35 — x?( + Ÿ35~2) =30 Loi giải
Phân tích: Phương trình chứa tổng và tích biểu thức chứa cần bậc ba do đó ta đặt t=x+Ÿ35~—x Khi đó lập phương lên ta sẽ biểu điễn được tích 58 thông qua
Trang 37
Loại 4: Đặt Ẩn phụ khơng hồn tồn
Phương trình dạng, af(x) +g(x)/f0o + hQ@)=0 Với phương trình dạng này ta có thé dat t= JÍ(@) „ khi đó ta được phương trình theo ẩn t: at? + g(x)t+ h(x) = 0, ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để Mục đích để biểu diễn được x thông qua ẩn phụ t(hoặc ngược lại), từ đó đễ dàng giải quyết được bài toán Vi du 9; Giải phương trình sau xt -3x-2= (x - 1)42z +1 Phân tích: f mat Đặt V2x+1=t> x= ta sẽ tách như sau x2 =x(2x+1+a]+Ý2x+1~(3~a)x~2=0 2 cost ax(tea)+t- (8-2) 4-2-0 e023? +2x(t+a)-(B-a)t? +2t-a-1=0
Tacd A’, =(t+a} ~2[-(3-a)? +2t-a-1]=(7~2a)? +2(a~2)t+a? +2a+2
Ay =(a-2) -(y~2a)|z? +2a+2)=28° ~2a? ~14a-10
Dé thay khi a=-1 thi A\=0 lúc đó thì A', có thể biểu diễn dưới dạng bình
phương của một nhị thức bậc nhatla A‘, = 9 -6t+1= (3t- Dị
Trang 381 1
-=sxs0 =—<x<0
«Với x=~=t lạ có -x=2x+1 c4 2 oy 2 «x=1~2 x°~2x—1=0 x=1#+2
Trang 39x20 + Với t=2x tạ có rdf 9-457 4350 x20 x20 Xe1 x=] ®I(-0#-s-3)-0” | aa an — ™ xe 2 x2-1 « Với tex+1 ta có x+1= VxỔ +3 c 4.2 x” —x* -2x42=0 x>-1 x>~i Kel “[Ee-)a°[i su
Vậy phương trình có nghiệm là etx và x=v2