bí quyết đạt điểm 10 môn toán chuyên đề phương trình bất phương trình

Trong đó những phân tích để đi tới lời giải và nhận xét, lời bình là những kinh nghiệm quý báu chọ các em Các bài tập luyện tập giúp các em tự đánh giá năng lực của mình sau mỗi phần ị

NGUYỄN PHÚ KHÁNH - ĐẬU THANH KỲ

PHAM KIM CHUNG - NGUYÊN TRUNG KIÊN

me PHONG TRINH

BAT DANG THUG ¢;

BAITOAN MIN, MAX

Ôn tập nâng cao kiến thức, bổi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi Đại học

NHÀ NUẤT BAN GAN HOG QUOC GIA HA NOI

NHÀ XUẤT BẢN DAI HOC QUOC GIA HA NỘI

16 Hang Chuéi - Hai Bà Trưng — Hà Nội Điện thoại: Biên tập - Chế ban: (04) 39714896

Hành chính: (04) 39714899; Tổng Biên tập: (04) 39715011;

Fax: (04) 39729436

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc - Tổng biên tap: TS PHAM TH] TRAM

Biên lập: TRAN ĐĂNG DƯƠNG

Trinh bay bia: NHA SACH HONG AN

Đối tác liên kết xuất bản:

NHÀ SÁCH HỒNG ÂN

SÁCH LIÊN KẾT

BI QUYET BAT BIEN 10 MON TOAN CHUYEN DE PHUGNG TRINH BAT PHUONG TRIN —ˆ

- HỆ PHUONG TRINH - BAT DANG THỨC VA BAI TOAN MIN, MAX

Mã số: 1L- 412ÐH2014

In 2 000 cuốn, khổ 17 x 24cm tại Gông tỉ Gổ phần Văn hoá Văn Lang

Số xuất bản: 1820-2014/0XB/10-231/ÐHQGHN, ngày 4/7/2014,

Quyết định xuất bản số: 416LK-TN/0Đ - NXBĐHQGHN ngày 11/7/2014

In xong và nộp lưu chiếu quý III năm 2014

Các em học sinh thân mến!

Trên tay các em là cuốn sách nằm trong bộ sách luyện thi đại học gồm 04 cuốn

“BÍ QUYẾT ĐẠT ĐIỂM 10 MÔN TOÁN"

Bộ sách này được viết ra nhằm phục vụ đông đảo bạn đọc, đặc biệt là các bạn chuẩn bị bước vào kì thí đại học Giúp các em ôn tập, hệ thống hóa được kiến thức trọng tâm của chương trình toán THPT nằm trong nội dung thi dai học hiện nay Nội dung bệ sách được viết theo trình tự sau:

Nội dung của cuốn sách được chia lam 03 chuyên đề:

Chuyên đề I: Phương trình - bất phương trình

Chuyên đề H: Hệ phương trình Chuyên đề HI: Bất đăng thức tà bài toần mắn, max

Với lối viết khoa học, sinh động, và cách trình bày mới mẻ bộ sách giúp các em tiếp cận môn toán một cách nhẹ nhàng, tự nhiên, khơi nguồn cảm hứng khi tự học Các ví dụ mình họa được tác giá chọn lọc công phụ, sắp xếp một cách hệ thống từ

dé đến khó nhằm giúp các em hứng thú và tiếp cận các kiến thức một cách nhẹ

| nhàng Trong đó những phân tích để đi tới lời giải và nhận xét, lời bình là những

kinh nghiệm quý báu chọ các em

Các bài tập luyện tập giúp các em tự đánh giá năng lực của mình sau mỗi phần

ị

‹ |

iT | học với nhiều bài tập phong phu đa dạng có kèm hướng dẫn giải

= Ị Để sử dụng bộ sách hiệu quả và mang lại kết quả cao nhất, các em cần kiên trì ìm

aK hiểu để nắm chắc lý thuyết, chăm chỉ rèn luyện kỹ năng làm bài thông qua các vi du,

bài tập trình bảy trong bộ sách

Mặc dù tác giá đã dành nhiều tâm huyết cho cuốn sách, song sự sai sót là điều khó tránh khỏi Chúng tôi rất mong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu của quý độc

giả để những lần tái bản sau cuốn sách được hoàn thiện hơn

Các tắc giả

PHUONG TRINH BAT PHUONG TRINH CO BAN

1 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Dinh lí Viết Hai số xị và x; là các nghiệm của phương trình bậc hai

ax? +bx+c=0 khi va chi khi chúng thỏa mãn hé thite x, +x, = -2 VÀ XiX; = : `

Chủ ý: Định lí Viet chủ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ, do đó trước

khi sử dụng định lí Vi-et ta phải tìm điều kiện cho phương trình bậc hai có nghiệm Ứng đụng:

+ Nhãm nghiệm của phương trình bậc hai

© Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f(x)=ax? +bx+c có hai nghiệm xị và

x; thì nó có thể phân tích thành nhân tir £(x) =a(x =x )(x - x) :

« Tim hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tống là 5 và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2 ~5x +P =0 `

« Xét ddu của các nghiệm phương trình bậc hai:

b

a

Cho phương trinh bac hai ax” + bx +c=0 (), kihigu S=-—, P= = khi dd

a + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P <0

420

+ Phuong trinh (*) có hai nghiệm dương khí và chỉ khi {P >0

5>0 A>0 + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi 4P >0

5<0

2, Bất phương trình bậc hai

a) Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2 +bx+c Trong đó a,b,c [a

những số cho trước với a =0 `

Nghiệm của phương trình ax?2+bx+c=0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc

hai ((x)=ax? +bx+c; A= bỄ ~4ac và A'=b2~ac theo thứ tự được gọi là biệt thức

và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai £(x) sax? +bxtc

b) Dau cha tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bang sau

A<0 af(x)>0, VxeR

+ Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x=a là một nghiệm của phương trình

f{x) =0 thì ta luôn có sự phân tich: f(x) = (x ~a)g(x)

cla * Để dự đoán nghiệm ta chú ý các kết quả sau:

1 Cho da thức f(x) = a,x" + xa +~.+†8X+âp

* Để phân tich f(x) ta sử dụng lược đồ Hooc-ne như sau:

Nếu f(x) có nghiệm là x = xạ thì f(x) chứa nhân tử ( x~ Xa) tite 1a:

f(x)=(x~xạ)ø(x}, trong đó g(x)= bạ Tàn ox" 2 + + byxtby

Với hệ số b, được xác định như sau:

Lược đồ Hoócne

An ẨnTg | teste ay ag

a bại =ân | bạ=ããp dâng | bị =a.a; +ai 0

i Vi du: Giai phuong tinh x4 +27 -x-1=0

Lời giải

ị Nhận thấy: a¿ +aa tay +a; +ag=1+1+0+(-1)+(-1)=0

| Vat ag + ay + ag =140+(~1)=a, +a,=1+(-1)

Suy ra phương trình có hai nghiém x, =1, x, =~-1 „

Ta có phương tình thương đương với (x-1)(x+1)* +x+1)=0 «@x=#1

Cách giải Xét x=0 xem có phải là nghiệm của phương trình không

2

Với x «0 ta chia hai vế phương trình cho xẺ ta có pt: a(x2 ye boty +c=0

x

Dat taxt—, tacd xo +—>=(xt—) #2k=E #2k thay vào phương trình ta x x x

quy về phương trình bậc hai a(t? #2k)+bt+c=0

Dạng 2: Phương trình cd dang (x +a)(x+b)(x+c)(x+d)=e trong đồ a +b=c+d

Cách giải: Đặt t= x°+(a+b)x ta quy về phương trình bậc hai (t+ ab)(t + cd) =e

Dạng 3: Phương trình có dạng {x + a) (x + b)( x+ S\( x+ d} =mx" trong đó ab = cả

Cách giải: Kiểm tra xem x =0 có là nghiệm của phương trình hay không

Xét x z0 chia hai vế cho x2 ta được [s-›:»+#|s‹e+a+S#]>n

Dat text ta quy về phương trình bậc hai Ít+a + bÌ(t+ c+ đ)=m

Dang 4: Phirong trinh (x + ay! +(x+b)! =c,

Cách giải Đặt x= L— ae ta đưa về phương trình trùng phương

Phương trình có nghiệm > c> s4

THỊ, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Phương pháp giải chung

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đö\GTTĐ)

ta cần khử dấu GTTĐ Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ

+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ

+ Đặt ẩn phụ là biếu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ

„

h

2, Mộ Sat hiện b

TD)

2 Mt sé phép bién déi trong duong

Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức hiện bằng phép biến đổi tương đương

MOT SO PHUONG PHAP GIAI PHUONG TRINH

_BAT PHUONG TRINH CHUA CAN

+18) =46) ft x) 20 Bất phương Hình:

| PHUONG PHAP BIEN DOi TUONG DUONG

fx)> [sœ)

Loại 1: Sử dụng các phép biến đối tương đương, biến đổi hệ quả

21

° x21 ° xa1 ° x ex-LЊ

Vậy phương trình có nghiệm là x= 18

Vi dụ 2: Giải các bất phương trình sau

4} x+1> Yr? ~1) b) J(x+5)(3x +4) > 4x ~1)

€ d5x~1—x=1>J2x—4 đ) (x~3)\x?~4<x?—9

lời giải a) Bất phương trình

Nhan xét x =3 là nghiệm bất phương trình

ø Với x>3: Bất phương Hình © Jx? ~4 <x+3 © x2 =4 <(x+3) exe 2

Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có tập nghiệm bất phương trình là 5 =(3;+e)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là 5S =(C~ ]0ns)

Ví dị 3)

a)

Mì

Vi

b)

Bat phuong trinh <> vj2(x? ~16) +x~3>7 ~x

© yx? ~16) >10~2x kết hợp với điều kiện x >4 ta có bất phương trình

10~2x <0 —%SŸ tì hoặc J10~2x>0 x24 a)

2(x* -16) > (10 - 2x) Tacs (oof ex»8

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =(10 -ý34;+ø}

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

A)dx+3+l3xz+1=2lx+2x+2 — p)Ÿx-1rŸx-2=Ÿ2x-3

18

Lời giải i °

a) Phân tích: Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được: ¡ — thức (

1+.2l(x+3)(3x+1)=x+2.|x(2x+1), để giải phương trình này đĩ nhiên là hơi 7

tel )(Gx+1)=x+2jx(3x+1), để giải phương y | ot

Nếu ta để ý thấy (3x+1)+(2x+2) =(4x)+ (x+3) thì ta biến đổi phương trình ị Ci:

thanh J3x+1~J2x+2=V4x -Vx4+3 khi dé bink phương lên đưa về phương hình : i

Phương trình tương đương với Äx+1~J2x+2 =3J4x—sÍx+3 : b) Bình phương hai về ta thu được phương trình hệ qua:

16x? +8x +2 = 4x2 +12x c 2x2 — 4x +2 =0» x<1,

Thứ lại x<1 vào phương trình thấy thỏa mãn a):

b) Phương trình tương đương với: 2x—3+ 3ặ( (x~1)(x—2 )\Ñx ~149x- 2)=2x-3 t Ph

=> 2x~ 3438 (x— 1)x~ ~2)Ÿ2x~3=2x-3

“WECTe-TEEB-0se-uaao-E

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1)x = 2;x -5

b) Nhận xét:

1) Nếu phương trình: F(x) + Jg(x) = (x) + f(x)

Ph

Mà có: f(x)+ h(x) = g(x) +k(x), thi ta biến đổi phương trình về dạng:

EO) - J (x) = yk(x) - a(x) sau đó bình phương,giải phương trình hệ quả,

2) © Khi giải phương trình trên chúng ta thường biến đổi như sau

2x~3+ 3Ñ =1)6x=2)(Ÿx =1 +Ÿx =2) 3x4 Ye OK -3) = 0

Thép biến đổi này không phải là phép biến đổi tương đương! Vì ở đây chúng ta „

đã thừa nhận phương trình ban đầu có nghiệm | Do đó để có được phép biến đổi

tương đương thì ta phải đưa về hệ như trên ,

Chang han ta xét phuong trinh sau

ŸI“x+Ÿšx=—1e©2+3Ÿ1—x? (ÑW1<x +ŸTtx) =~1 © Ÿ1— x? <1©x=0, pi

Nhưng thay vào phương trình ban đầu ta thấy x=0 không thoa man phuong trinh!

14

® Với dạng tổng quát Ÿs tt =Ÿc ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng

thức (atb)’ =a° +b? +3abla +b)

1-x20

Phương trình (5x-3)(1-x) + V5x-3 =VI~x41

42 (V5x-3~1)(Vi-x4+1=0 2 Vix-3=1e9x=4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x “=

2x? ~5x+2>0 b) ĐKXĐ: 2x-120 x22

Vậy phương trình có nghiệm x=6 va x=11

Vi dụ 7: Giải các bất phương trình sau:

1) 3]

5)

~3)

z1

Loi giải a) ĐKXĐ: x>2

Bất phương trình tương đương với

b) ĐKXĐ: x24, 2

Bất phương trình tương đương với

x(2x=1)(2x~1~1]+ x+1(V2x-1-1)>0

œ(dx+1+(3x2 ~x)(V2X—1~1)>0 (9)

Vì VXY1+ 2x2 ~x >0 nên BPT()«a J2x—1~1>0 œ x>1

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra tập nghiệm BPT là li“=}

Phương pháp này được áp dụng cho giải phương trình, bất phương trình chứa

căn Cở sở của phương pháp là định lí Bơzu " Nếu x=a lä nghiệm của đa thức P()

nhân cả hai vế với đại lượng liên hợp là (vx+1-1) ˆ

Ta có lời giải như sau:

° (Thoa man DKXD)

ae x=8

Vậy phương trình có nghiệm là x=~1 và x=8

b) ĐKXĐ: x30

Dễ thấy vx+3~vx+2#0,ýx+2—x+1#0,AJx+1~xjx #0 nên phương trình

tương đương với

(W&+s-W+2)3[W+2~-Wx+1)+[Wx+1—=jk)=1

@š+3~x<1e©vx+3<=vdx+1e©x+3=x+2NX +1 es x=1

Vậy phương trình có nghiệm là x=1

Nhận xét: Ở câu a khi nhân với biểu thức ⁄1+x—1 thủ biểu thức đó phải khác

không nên ta phải chia lâm hai trường hợp như trên

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình:

g) BI 3 ¿3>6/2x— 3t ——

T +1 b) 42+? —-2x—12+2x2 -4x—6 >3 jJx+2+3/x+1+1

Nếu phương trình có nghiệm là x= xạ và có biểu thức Qf (x) thì ta thêm bớt vào

để có E(x) F(x) sau đó truc cin thrice dé co duge nhan tir x- xy

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) Jx~1+x+2 =x+1 bì Ÿx+dx+3=3

lồi giải

a) Phân tích: Nhấm thấy x=2 là nghiệm của phương trình Khi x=2 ta có

d=1=1, x+2 =2 do đó ta ghép đưa PT về (Jx-1-1}+ (vx 2-2)=x~2

Từ đây trục cắn thức sẽ xuất hiện nhân tử chưng x2

'Ta có lời giải sau:

Vậy phương trình có nghiệm là x=2

bì Nhẩm thấy x=1 là nghiệm của phương trình Khi x=1 ta có

Do đó PI(*“)©x=1 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=0 và x<-5+ v13

b) Phân tích: Nhận thấy x =1 làm cho dấu đẳng thức xảy ra do đó ta thêm bớt để ghép thành cặp Yx ~1, yx? 43-2 Ta cd loi giải sau:

THE Với x <0 khi đó bất phương trình vô nghiệm vì 2ŸX+x<0 va vx? +341>0 TH2: Voi x >0

Ta có bất phương trình tương đương với:

2

We Meat Vx? 4342

21

Vậy bất phương trình có nghiệm là x21

Nhận xét: Nhiều khi chúng ta cần hạn chế điều kiện của nghiệm để giúp chúng ta

dễ dàng trong việc giải phương trình, bất phương trình còn lại sau khi đặt nhân tử

chung, câu b minh họa cho điều này

Loại 3: Thêm bớt biểu thức để trục căn thức

tử chung -x2 +3x+4, Đối với 5jx+B5 ta ghép thêm với ơx +, như thể sau khí trạc

25(x+5)-(ox+ BỊ 5xx +5 +(œx +

5/-135-(-ø+B}=0 fast

54+5 ~(w4+B}=0 ofr

căn thức ta có 5./x + 5 =(œx +B}=

Như vậy để có đại nhân từ =x? 43x44 thi |

Hoàn toàn tương tự với đại lượng 5V3x+4

Do đó ta lời giải sau:

b) Phân tích: Dễ thấy x = ~1,x =2 là nghiệm do đó ta tìm cách làm xuất hiện nhân

tử chung ~x? +x+2

ĐKXĐ: -2<x<3 Phương trình tương đương với

Do -2<x<3 nén 3V3-x +5-x=3¥3—x+(3~x)+2>0 3/2+x+(x+4)=3Jx+2+(x+2)+2>0

Suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=~l và x=2

c} Phân tích: Dễ nhận thấy phương trình có nghiệm x=1,x=~2 đo đó ta sẽ ghép

Kết hợp với ĐKXĐ ta có nghiệm bpt là xed 1

b) Phan tich: D& thay 3x? ~7x+3~(3x? ~5x-1}=x? ~3x44—(x7 -2) do dé ta ‘ E

ghép cặp day? -ÿx+3—3x2 ~5x~1 và V2 ~2~dx2 ~3x+4 Ta có lời giải Sau:

24

Vậy nghiệm của bpt là x>~5, x<-l

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau

a)3x?~2x+1+4x= 3x? +2x+1 bị Ấx+B+vdy+d=a/2x+3+3x

€ và 2+x~2+x2 <JBÍx >1] +1 d) ŸX⁄+2+È2x~3+3x2 =x2

Lời giải a) Phân tích: Ta thấy (3x7 -2x+1}-(30 +2x)=1 ~4x

Thử lại phương trình chỉ có x=0 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là x=0 và x =

b) Phan tich: Dé thay (2x+3)-(x+4)=x-1

x+8~9x2 x-1 -

Pace deed (+8 + ix)( Sed +3)

9x+8

abe ‘hee (Kravis al

a 9x+8

x= [oso (Wea + Vax](Ji+ 8+ 3x) +

Vậy phương trình có nghiệm duy nhat x=1

€) Phân tích:

Nhận thấy: (2 +x~ -2)- (2x-2) =x? ~x=x(x-1) va x? ~1=(x-1)(x+1), nhe

vậy khi chúng ta thực hiện phép nhân liên hợp sẽ xuất hiện nhân tứ: (x-1)

26

18)

Tuy nhiên khi x = 1, biểu thức Ýx”+x~=2+ J2( x-1) =0

Đo đó biến đổi Vx? + x~ ~2-2( (x- 1) đc một phép biến

“Ve +X

Wo Fea

đổi không có nghĩa

Vì vậy trước khi thực hiện phép nhân liên hợp ta cần chú ý đến biểu thức liên hợp

đã khác 0 hay chưa

Để xử lý các dạng toán này ta có thể chia ra các trường hợp của x làm cho

fe(x) + g(x) =0 va trong hop f(x) +Jg(x) 40

Ta có lời giải sau:

DKXD: x21

s Nhận thấy x=1 là một nghiệm của phương trình đã cho

® Với x>1, phương trình đã cho tương đương với:

2 Ýx°+x~2~—.j X=1) x? -150 9 ee (x- \(x+1 =0

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

d) Phân tích: Nhận thấy (x + 2)+(2x ~3) =3x—1; 3x? —-x? = x? (3x ¬1) và không

có giá trị nào của xe /# làm cho các biểu thức Ÿx+2, Ÿ2x-3 đồng thời bằng 0

Ta có lời giải sau:

Phương trình đã cho tương đương với:

al

Q eị

1 Phuong phap giải

B1: Chọn cách đặt ẩn phụ, tìm điều kiện xác định của ấn phụ

B2: Chuyển phương trình ban đầu về phương trình (bpÐ) ẩn phụ vừa đặt Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì phương trình(pÐ) thu được thường là , nhiing phwong trinh (bpt) mà ta đã biết cách giải

B3: Giải phương trình với ẩn phụ vừa tìm được và kết luận tập nghiệm

Có rất nhiều cách để đặt ẩn phụ Ta đi xét một số dạng phương trình (bpt) ma ta

thường hay gặp

Chú ý:

- Đối với bài toán không chứa tham số thì có thể bỏ qua tìm đkxđ của ẩn phụ hoặc

đặt điều kiện không chặt

- Đổi với bài toán không chứa tham số thì nhất thiết phải đặt điều kiện chặt cho ẩn phụ

Chẳng hạn, t=vx”~2x+3 thì điều kiện ta thường đặt là t>0, điều kiện này

không chặt Điều kiện phải của nó phải là t> V2 vite J(x-Ÿ +222

€) V4x-14 4x? -6x41=0 d) œ~2/ (để ~4z +1]=10

Lãi giải Phân tích: Các phương trình trên khi đặt căn thức làm ẩn phụ t khi đó biếu thức

chứa x còn lại biểu diễn được qua t do đó ta nghĩ đến sử dụng đặt ẩn phụ

a) Dat tavx244, t22e x=? -4,

bậc nhất

Do đó ta sẽ khử bớt căn thức đi bằng cách đặt t~Ÿx~1 (hoặc t=xJ2x~4) khi đó

có thể rút được x = +1 thế vào bpt ta đưa về bpt chỉ chứa một căn bậc hai ẩn t, đến

đây là bpt cơ bản, Ta có lời giải sau:

DK Bat

Da Bat

Vidu a)

a)

vế lên

ĐK

b) Phân tích: Phương trình chứa phân thức do đó chúng ta quy đồng lênđưu ý là

khi nhân cá hai vế với một biểu thức âm thì dấu bpt đối đấu, còn nhân một biểu thức

dương thì được bpt tương đương cùng đấu)

Khi dé ta dat t= _x2 +2x+3 khi đó biểu thức chứa biến còn lại biểu diễn được

qua ẩn phụ t Ta có lời giải sau:

a) Phân tích: Bpt chứa nhiều căn nên ta sẽ khử bớt căn bằng cách bình phương hai

vế lên Khi đó dễ dàng thấy xuất hiện ẩn phụ

ĐKXĐ: 0<x<6

31

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x =3

b) Phân tích: Bpt chứa nhiều căn nên ta sẽ khử bớt căn bằng cách bình phương hai

vế lên Tuy nhiên để như vậy mà bình phương thì không thu về bpt tương đương do

vế bên phải chưa xác định một a

Do dé ta biến đổi về dang wR + —L2Vx+8 khi đó ta đặt căn bởi ẩn phụ t thì

biểu thức chứa x con lai biểu diễn được qua t do đó chuyển được bpt qua ẩn t

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x ==

Vi du 4: Giai cac phương trình sau:

a) ee b) x4 9x? ~x = 2x41

c) 12yx+V¥x-1 = r-6

x

lời giải a) Phân tích: Rõ rằng ở mẫu số chứa hiệu hai căn nên ta sẽ trục căn thức trước khi

đó khai triển ra sẽ xuất hiện ẩn phụ Ta có lời giải sau:

Vậy phương trình có nghiệm Ta x =

b) Phân tích: Chia cả hai vế cho vx thi sé thấy xuất hiện ẩn phụ là t= tt

Tuy nhiên muốn chia được thì số đó phải khác không nên ta phải chia hai trường hợp Ta có lời giải sau:

ĐKXĐ: xz0

Dễ thấy x=0 không phải là nghiệm

Chia cd hai vé cho Vx ta ue

Loại 2: Phương trình chứa tổng, tích các căn thức ụ

Phương trình có dang m(,/f(x) £ atx) + any f(x) B00 +n(f(x)+g(x))+ p=0 : 1 Với dang này ta đặt t= yf(x) + vJg(x) Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn được

những đại lượng còn lai qua t và chuyén phuong trinh (bpt) ban dau vé phuong

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

Vậy phương tình có hai nghiệm x=~S và x=3,

Ví

36

Tài giải ĐKXĐ: x>0

1 1 Bpt 5 rate )aalxe da

L

Ph thể đi

phươ x) nêt

Loại 4: Đặt Ẩn phụ không hoàn toàn

Phương trình dạng, af(x) +g(x)/f0o + hQ@)=0 Với phương trình dạng này ta có thé dat t= JÍ(@) „ khi đó ta được phương trình theo ẩn t: at? + g(x)t+ h(x) = 0, ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để Mục đích để biểu diễn được x thông qua ẩn phụ t(hoặc ngược lại), từ đó đễ dàng giải quyết được bài toán

Vi du 9; Giải phương trình sau xt -3x-2= (x - 1)42z +1

Tacd A’, =(t+a} ~2[-(3-a)? +2t-a-1]=(7~2a)? +2(a~2)t+a? +2a+2

Ay =(a-2) -(y~2a)|z? +2a+2)=28° ~2a? ~14a-10

Dé thay khi a=-1 thi A\=0 lúc đó thì A', có thể biểu diễn dưới dạng bình

phương của một nhị thức bậc nhatla A‘, = 9 -6t+1= (3t- Dị

Đo đó ta có lời giải như sau:

1 1

-=sxs0 =—<x<0

«Với x=~=t lạ có -x=2x+1 c4 2 oy 2 «x=1~2

x°~2x—1=0 x=1#+2 Vậy phương trình có nghiệm là x =3+23 va x=1-V2

Ví dụ 10: Giải các phương trình sau

« Với tex+1 ta có x+1= VxỔ +3 c 4.2

x” —x* -2x42=0

“[Ee-)a°[i su

Vậy phương trình có nghiệm là etx và x=v2

©) Phương trình tương đương với