XẮC XUẤT THỐNG KÊ VÀ ỨNG DỤNG

Việc thực hiện các hành động đó được gọi là phép thử hay thí nghiệm.Chẳng hạn, tung một đồng xu để nghiên cứu sự xuất hiện mặt sấp hay mặtngữa; lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ một lô hàng

Trường đại học sư phạm đà nẵng Khoa toán - Z Y -

Bài giảng Xác suất & Thống kê ứng dụng

Giảng viên: Lê Văn Dũng http://levdung.co.cc

Đà Nẵng, 2009

1.1 Không gian mẫu và biến cố

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên

Khi nghiên cứu một hiện tượng hay một vấn đề nào đó ta cần phải tiến hànhthực hiện một hoặc một số hàng động để quan sát hiện tượng đó xảy ra nhưthế nào Việc thực hiện các hành động đó được gọi là phép thử hay thí nghiệm.Chẳng hạn, tung một đồng xu để nghiên cứu sự xuất hiện mặt sấp hay mặtngữa; lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ một lô hàng để nghiên cứu chất lượngsản phẩm, chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp và tiến hành đo chiều cao,v.v

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử có ít nhất hai khả năng có thể xảy ra vàbiết được tất cả các kết quả sẽ xảy ra nhưng không biết chắc chắn kết quả nào

Ví dụ 2 Tung một con xúc xắc để xem số chấm xuất hiện,

Ví dụ 3 Gieo một đồng xu liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặtsấp thì dừng lại

Trò chơi ném phi tiêu1.1.3 Sự kiện (Biến cố)

Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một sự kiện

- Sự kiện rỗng gọi là sự kiện không thể, không gian mẫu gọi là biến cố chắcchắn, sự kiện chỉ chứa một phần tử gọi là sự kiện sơ cấp

cùng xảy ra

- Sự kiện E = Ω\E được gọi là sự kiện đối của E

khắc

Các phép toán của sự kiện

Ví dụ 1 Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất, khi đó có thể xuất hiện mặt1chấm, 2 chấm, 3 chấm, , 6 chấm

Ví dụ 2 Ném trúng phi tiêu vào một tấm bìa hình tròn tâm O bán kính 20cm

Kí hiệu d(ω, O) là khoảng cách từ điểm ném trúng tới tâm bài O GọiA là sựkiện ném trúng tấm bìa có khoảng cách từ điểm ném trúng tới tâm bé hơn hoặcbằng 10 cm,

a) Cả hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu

b) Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu

c) Có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu

d) có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu

1.2 Khái niệm xác suất

1.2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Xét ví dụ: một hộp đựng 5 viên bi đỏ (D1, D2, D3, D5, D5) và 2 viên bi xanh(X1, X2) Các viên bi này bằng nhau về kích thước và khối lượng Nếu lấy

Định nghĩa Giả sử không gian mẫu Ω gồm N sự kiện sơ cấp cùng khảnăng xảy ra, tức là

Khi đó, xác suất mỗi sự kiện sơ cấp là 1/N

Nếu E là 1 sự kiện bất kì thì xác suất của biến cố E, kí hiệu P (E), xác

1) Với E là sự kiện bất kì, 0 ≤ P (E) ≤ 1,

Ví dụ 1 Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh giống nhau hoàn toàn về kích thước

và trọng lượng Ta lấy ngẫu nhiên 2 viên bi, tìm xác suất để lấy được hai viên

10

2 4

10

Ví dụ 2 Một hộp đựng 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên

5 sản phẩm Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 phế phẩm.Giải

Kí hiệu A là sự kiện trong 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 phế phẩm

Giáo trình Xác suất-Thống kê Lê Văn Dũng

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề

Cho không gian mẫu Ω (hữu hạn hoặc vô hạn) Với mỗi sự kiện E, xácsuất của sự kiện E là 1 số P (E) thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) Với E là một sự kiện bất kì, 0 ≤ P (E) ≤ 1;

Bây giờ với mỗi sự kiện E, ta định nghĩa xác suất của sự kiện E là

Công thức tính xác suất này thỏa mãn 3 tiên đề trên Gọi A là sự kiện némtrúng phi tiêu vào tấm bìa mà khoảng cách từ điểm ném trúng tới tâm của tấmbìa bé hơn hoặc bằng 5 cm Khi đó

a) Sinh viên đó biết ít nhất 1 ngoại ngữ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp;

b) Sinh viên đó không biết ngoại ngữ (tiếng Anh và tiếng Pháp)

Giải

Kí hiệu A là sự kiện sinh viên được gọi biết tiếng Anh, B là sự kiện sinh viên

được gọi biết tiếng Pháp

1.4 Xác suất có điều kiện

Xét ví dụ sau: trong 1 lớp học gồm 28 nam và 22 nữ, trong đó có 5 nam bị cậnthị và 7 nữ bị cận thị

Nam Nữ Tổng

Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh

Xác suất để học sinh được chọn bị cận thị (A) là P (A) = 13/50 Nhưng nếubây giờ ta chỉ chọn học sinh nam (B), khi đó xác suất để học sinh này bị cậnthị, kí hiệu P (A/B), sẽ là là

Kí hiệu A là sự kiện người được chọn hút thuốc (P (A) = 0, 6), B là sự kiệnngười được chọn bị viêm phổi Xác suất để người này bị viêm phổi là

0, 35

m·n hai ®iÒu kiÖn

P (B) = P (B/E1).P (E1)+P (B/E2).P (E2)+P (B/E3).P (E3)+P (B/E4).P (E4).

và 2 phế phẩm Từ hộp I lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm bỏ vào hộp II sau đó

từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra hai sản phẩm Tính xác suất để hai sản phẩm lấy

ra lần 2 là 1 chính phẩm và 1 phế phẩm

Giải

Kí hiệu E là sự kiện sản phẩm lấy từ hộp I bỏ vào hộp II là chính phẩm Khi

đó {E; E} là một hệ đầy đủ

Kí hiệu A là sự kiện hai sản phẩm lấy ra lần 2 là 1 chính phẩm và 1 phế phẩm

P (A) = P (A/E).P (E) + P (A/E).P (E)

Ví dụ 2 Có 3 hộp bi giống nhau: hộp I chứa 20 bi trắng; hộp II chứa 15 bitrắng và 5 bi đen; hộp III chứa 10 bi trắng và 10 bi đen Chọn hú họa ra mộthộp rồi từ đó rút hú họa ra 1 viên bi

a) Tính xác suất để lấy được bi trắng;

b) Biết lấy ra được bi trắng, tính xác suất để viên bi đó của hộp I

Giáo trình Xác suất-Thống kê Lê Văn Dũng

Giải

A là sự kiện viên bi lấy ra màu trắng

4b) áp dụng định lí Bayes ta có

3 4

Ví dụ 3 Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất Phân xưởng I sản xuất 50%sản phẩm, phân xưởng II sản xuất 30% sản phẩm, phân xưởng III sản xuất20% sản phẩm Biết rằng tỉ lệ phế phẩm do phân xưởng I, phân xưởng II, phânxưởng III sản xuất ra tương ứng là 2%, 1% và 3% Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩmcủa nhà máy

1 Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập nếu P (A/B) = P (A)

Tức là, hai sự kiện A và B độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra sự kiệnnày không làm thay đổi xác suất xảy ra của sự kiện kia

Kí hiệu A là sự kiện viên bi lấy từ hộp 1 có màu đỏ, B là sự kiện viên bi lấy

Đức, 10% học tiếng Anh và tiếng Đức, 7% học cả ba thứ tiếng Anh, Pháp và

Đức Chọn ngẫu nhiên ra một sinh viên Tìm xác suất để

a) Sinh viên đó học ít nhất 1 trong 3 ngoại ngữ kể trên

b) Sinh viên đó chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức

c) Sinh viên đó học tiếng Pháp, biết sinh viên đó học tiếng Anh

Giáo trình Xác suất-Thống kê Lê Văn Dũng

5) Để nhập kho, sản phẩm của nhà máy phải qua 3 vòng kiểm tra chất lượng,xác suất phát hiện phế phẩm ở các phòng ttheo thứ tự là 0,8; 0,9; 0,99 Tínhxác suất để phế phẩm được nhập kho (các phòng kiểm tra hoạt động độc lập)6) Hai người cùng bắn vào một mục tiêu Khả năng bắn trúng của từng người

b) Lấy được ít nhất 1 chính phẩm

9) Một lô có 9 sản phẩm Mỗi lần kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 3 sảnphẩm Sau khi kiểm tra xong lại trả vào lô hàng Tính xác suất để sau 3 lầnkiểm tra lô hàng, tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra

10) Hai máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 3%

và của máy II là 2% Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của máy I và 1/3 sảnphẩm của máy II lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm

a) Biết người đó viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc

b) Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất để người đó nghiệnthuốc

12) Trong 1 trường đại học có 40% sinh viên học tiếng Anh, 30% sinh viênhọc tiếng Pháp, trong số sinh viên không học tiếng Anh có 50% sinh viên họctiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên, biết sinh viên đó học tiếng Pháp.Tính xác suất để sinh viên đó học cả tiếng Anh

13) Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II Hộp thứ hai có

5 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiờn một sản phẩm ở hộpthứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra một

thứ hai là sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ vào.

14) Hộp thứ nhất có 10 bi đỏ Hộp thứ hai có 5 bi đỏ và 5 bi xanh; Hộp thứ 3

có 10 bi xanh Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên khônghoàn lại ra 2 bi thì được 2 bi xanh Sau đó cũng từ hộp này lấy ngẫu nhiên ramột bi Tính xác suất để lấy được bi xanh?

15) Có hai lô sản phẩm Lô thứ nhất có tỷ lệ sản phẩm loại I là 90%; Lô thứhai có tỷ lệ sản phẩm loại I là 70%; Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đó lấyngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được sản phẩm loại I Trả lại sản phẩm đó vàolô hàng đó chọn rồi cũng từ lô đó lấy tiếp một sản phẩm nữa Tính xác suất đểsản phẩm lấy lần thứ hai là loại I

16) Bắn ba viên đạn độc lập vào 1 mục tiêu Xác suất trúng mục tiêu của mỗiviên lần lượt là 0,7; 0,8; 0,9 Biết rằng nếu chỉ 1 viên trúng hoặc 2 viên trúngthì mục tiêu bị phá hủy với xác suất lần lượt là 0,4 và 0,6 còn nếu 3 viên trúngthì mục tiêu bị phá hủy Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy

Ta cã b¶ng c¸c gi¸ trÞ cña X nh­ sau:

Định nghĩa Cho Ω là một không gian mẫu Đại lượng ngẫu nhiên rời

Ví dụ Một rổ trứng có 10 quả, trong đó có 4 quả hỏng Ta mua ngẫu nhiên 3quả Gọi X là số trứng hỏng trong 3 quả ta mua Lập bảng phân phối xác suấtcủa X

P 1/6 1/2 3/10 1/302.2.3 Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu F (x), đượcxác định bởi

xi<x

2.3 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập

- Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y xác định trên cùng một không gian

Điểm trung bình môn xác suất thống kê của lớp này là bao nhiêu?

Điểm trung bình môn xác suất thống kê của lớp này là

Định nghĩa Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phốixác suất

2) E(cX) = cE(X) với c là hằng số;

3) E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y );

2.4.2 Phương sai và độ lệch chuẩn

Có hai máy sản suất bi, viên bi đạt yêu cầu phải có đường kính 5 cm với sai

số cho phép không vượt quá 0, 1 cm Qua quá trình sản xuất ta thu kết quả sảnxuất thử nghiệm của hai máy như sau:

Máy 1 (X là đường kính viên bi):

Hãy kết luận máy nào có chất lượng tốt hơn?

Ta thấy rằng E(X) ≈ E(Y ) = 5cm nhưng tỉ lệ các giá trị của X nằm gần

rồi sau đó lấy căn bậc hai của giá trị này.

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối

rạc X càng nhỏ thì mức độ tập trung các giá trị của X gần xung quanh giá trịtrung bình E(X) càng lớn.

2.5 Phân phối 0 − 1

Phép thử chỉ có 2 sự kiện có thể xảy ra được gọi là phép thử Bernoulli Nếu

kí hiệu A và A là hai sự kiện của phép thử Bernoulli thì không gian mẫu củaphép thử Bernoulli sẽ là Ω = {A; A}

Gọi X là số lần xuất hiện sự kiện A trong phép thử Bernoulli và P (A) = p, ta

có bảng phân phối xác suất của X

sẽ tìm hàm khối xác suất f(x) của X, tính E(X) và V (X)

Giáo trình Xác suất-Thống kê Lê Văn Dũng

Tiến hành n phép thử Bernoulli thỏa mãn 3 điều kiện

1 Các phép thử độc lập (phép thử này không ảnh hưởng tới kết quả củaphép thử kia);

2 Mỗi phép thử chỉ có 2 sự kiện, kí hiệu là A và A;

3 Xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗ phép thử là như nhau, kí hiệu

Gọi X là số lần xuất hiện sự kiện A, khi đó X là 1 đại lượng ngẫu nhiên

và gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số n và

a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X (lập bảng phân phối xác suất).b) Thiết lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị của nó

2) Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau Xác suất trong thờigian t các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3 Gọi X là số bộ phận

bị hỏng trong thời gian t

a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X

b) Tính xác suất trong thời gian t có không quá 2 bộ phận bị hỏng

3) Xác suất để một người bắn trúng bia là 0,8 Người ấy được phát từng viên

đạn để bắn cho đến khi trúng bia Gọi X là số viên đạn bắn trượt, tìm quy luậtphân phối của X

4) Có hai lô sản phẩm Lô 1 có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm, lô 2 có 7 chínhphẩm và 3 phế phẩm Từ lô 1 lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ vào lô 2, sau đó

chính phẩm được lấy ra ở lần 2.

5) Tại một cửa hàng bán xe máy Honda người ta thống kê được số xe máy bán

ra hàng tháng (X) với bảng phân phối xác suất như sau:

a) Tìm xác suất để người đó bán được hàng ở hai nơi

b) Tìm xác suất để người đó bán được hàng ở ít nhất 1 nơi

7) Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5% Tìm xác suất để trong 12 sản phẩm

do nhà máy đó sản xuất ra có

a) 2 phế phẩm

b) Không quá 2 phế phẩm

8) Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 5 cách trả lời, trong đó chỉ có

1 cách trả lời đúng Một thí sinh chọn cách trả lời một cách hoàn toàn hú họa.Tìm xác suất để thí sinh đó thi đỗ, biết rằng để thi đỗ phải trả lời đúng ít nhất

8 câu

9) Bắn 5 viên đạn vào mục tiêu Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn là nhưnhau và bằng 0,2 Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên đạn trúngmục tiêu Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy

10) Một nữ công nhân quản lí 12 máy dệt Xác suất để mỗi máy trong khoảngthời gian t cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân là 1/3 Tính xác suất đểa) Trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ côngnhân

b) Trong khoảng thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần đến sự chăm sóc của nữcông nhân

Chương 3

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Trong chương trước ta đã nghiên cứu các đại lượng ngẫu nhiên mà miền giá trị

nhiên trọng cuộc sống ra còn gặp những đại lượng mà tập giá trị của nó không

đếm được, chẳng hạn như khi ta đo chiều dài của một chi tiết máy, cân trọnglượng của một sản phẩm,

Ví dụ 1 Gọi X là độ thời tiết đo được hàng ngày của của một trạm khí tượngthủy văn thì miền giá trị của nó có thể là [-100; 100]

Ví dụ 2 Gọi Y là cân nặng (gam) đo được của trẻ sơ sinh tại một cơ sở bệnhviện thì miền giá trị của Y có thể có là (0; 1000)

3.1 Định nghĩa

Cho Ω là không giam mẫu Một ánh xạ X : Ω → R được gọi là đạilượng ngẫu nhiên liên tục nếu thỏa mãn hai điều kiện

(1) ∀a ∈ R, {ω ∈ Ω/X(ω) < a} là sự kiện;

(2) Miền giá trị của X là một khoảng trên trục số

3.2 Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (nếu tồn tại) là hàm

Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu F (x), đượcxác định bởi

2) E(cX) = cE(X) với c là hằng số;

3) E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y );

4) Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = E(X).E(Y )

3.7 Đại lượng ngẫu nhiên chuẩn

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X gọi là phân phối theo quy luật chuẩn

a) Một nam thanh niên được coi là lùn nếu có chiều cao nhỏ hơn 155cm Tìm

tỉ lệ nam thanh niên lùn ở vùng đó

b) Tìm tỉ lệ nam thanh niên có chiều cao nằm trong khoảng từ 155 cm đến 170cm

d) Tìm E(X) và V (X).

3) Trọng lượng sản phẩm X do một nhà máy tự động sản xuất là đại lượng

là đạt tiêu chuẩn kỹ thuật nếu trọng lượng của nó đạt từ 98 đến 102 gama) Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy

b) Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy

4) Trong hệ thống tỉ giá hối đoái thả nổi, sự biến động của tỉ giá hối đoái chịu

sự tác động của nhiều nhân tố và có thể xem như đại lượng ngẫu nhiên tuântheo quy luật phân phối chuẩn Giả sử ở một giai đoạn nào đó tỉ giá USD vớiVND có trung bình là 15.000đ và độ lệch chuẩn là 500đ Tìm xác suất để trongmột ngày nào đó

a) Tỉ giá sẽ cao hơn 16.000đ

b) Tỉ giá sẽ thấp hơn 14.500đ

5) Việc tiêu thụ điện hàng tháng của các hộ gia đình ở Đà Nẵng là đại lượng

xác suất để chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình thì hộ đó có

b) Mức tiêu thụ điện hàng tháng dưới 180 KWh.

Chương 4

Mẫu thực nghiệm

Để nghiên cứu chiều cao trung bình của thanh niên Việt Nam, nếu tiến hành

đo toàn bộ thanh niên thì rất tốn kém, mất thời gian và cũng không đảm bảo

là không bị bỏ sót Do đó ta có thể lấy ngẫu nhiên 200 thanh niên đại diện chotất cả vùng miền rồi tiến hành đo và tính toán trên các kết quả thu được để suy

ra chiều cao trung bình của thanh niên Việt Nam

Để nghiên cứu chất lượng sữa hộp trong 1 kho hàng nếu kiểm tra toàn bộ khohàng thì toàn bộ sữa bị phá hủy Do đó ta sẽ lấy ngẫu nhiên khoảng 30 hộp vàkiểm tra chất lượng 30 hộp sữa này rồi từ đó suy ra chất lượng sữa cho toàn

bộ kho hàng

Tổng quát: để nghiên cứu tính chất X nào đó của một tổng thể, ta sẽ rút ra từtổng thể một mẫu gồm n phần tử của tổng thể và tiến hành nghiên cứu trênmẫu này Từ kết quả nghiên cứu trên mẫu ta đưa ra kết luận cho tổng thể.Chương này sẽ giới thiệu cách trình bày, mô tả và xử lí các số liệu thu được(mẫu thực nghiệm) rút ra từ tổng thể

2 Kiểu chia lớp có dạng như sau

Ta có thể vẽ minh họa phân phối tần số chia lớp bằng biểu đồ có dạng như sau:

Như vậy từ kiểu chia lớp ta có thể đưa về kiểu không chia lớp

Ví dụ Để nghiên cứu chiều cao thanh niên của huyện A người ta tiến hành đongẫu nhiên 125 thanh niên của vùng đó thu được số liệu như sau: