Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Quảng Ninh năm 2012 - 2013

S GIO DC V O TO QUNG NINH THI CHNH THC K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT NM HC 2012 2013 MễN : TON ( BNG A ) Ngy thi : 23/10/2012 Thi gian lm bi : 180 phỳt (Khụng k thi gian giao ủ) H v tờn,ch ký ca giỏm th s ( thi ny cú 01 trang) Bi (6 ủim) : Cho hm s y = x+2 cú ủ th (C), gi I l giao hai tim cn Vit phng trỡnh x tip tuyn vi ủ th (C) bit tip tuyn y ct hai ủng tim cn ca ủ th ti hai ủim A, B cho bỏn kớnh ủng trũn ni tip tam giỏc IAB ln nht Tớnh gii hn sau : lim x ( x + 2012) x 2012 x Bi (3 ủim) : Tỡm m ủ phng trỡnh sau ủõy cú nghim : x x + m( x 4) x+2 + + x x 14 m = 4x Bi (3 ủim) : Cho tam giỏc ABC vuụng A, gi I l tõm ủng trũn ni tip tam giỏc t IA = x , IB = y , IC = z Chng minh rng : 1 = 2+ 2+ x y z yz Bi (5 ủim) : Trong mt phng (P) cho ủng trũn ủng kớnh BC c ủnh M l mt ủim di ủng trờn ủng trũn y Trờn ủng thng d vuụng gúc vi mt phng (P) ti B ly mt ủim A c ủnh Gi H, K ln lt l hỡnh chiu ca B trờn AM v AC Chng minh rng M di ủng mt phng (BHK) c ủnh Xỏc ủnh v trớ ca M ủ din tớch tam giỏc BHK ln nht Bi (3 ủim) : Cho ba s thc a,b,c tha abc = 2 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : P= a + b6 b6 + c c6 + a6 + + a + b4 + a 2b b4 + c + b c c + a + c a Ht H v tờn thớ sinh : S bỏo danh: S GIO DC V O TO QUNG NINH HNG DN CHM THI HC SINH GII LP 12 NM HC 2012 2013 Mụn Toỏn Bng A (ủ thi chớnh thc) Bi S lc li gii Bi 1 Giao hai tim cn I( 1;1) 6ủim Gi s tip tuyn cn lp tip xỳc vi ủ th ti ủim cú honh ủ x0 x +2 ( x x0 ) + =>phng trỡnh tip tuyn cú dng: y = x0 ( x0 1) Tip tuyn ct tim cn ủng ti A( 1; im 0,5 x0 + ) x0 0,5 Tip tuyn ct tim cn ngang ti B( x0 1;1 ) Ta cú IA = x0 + ; = x0 x0 IB = x0 1) = x0 0,5 x0 = 12 Nờn IA IB = x0 1 Do vy din tớch tam giỏc IAB : S = IA IB = Gi p l na chu vi IAB => bỏn kớnh ủng trũn ni tip IAB : r = S = p p 0,5 => r ln nht p nh nht Mt khỏc IAB vuụng ti I nờn p = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB IA IB + IA IB = + Du = xy IA = IB ( x0 1) = x = Vi x = ta cú tip tuyn d1 : y = x 2( 1) Vi x = + ta cú tip tuyn d2 : 0,5 y = 2( + 1) x ( x + 2012) x ( x + 2012) + x x 2x ( x + 2012) + x = lim x x L = lim x Ta cú L1 = lim( x + 2012) = 2012 ; x Tớnh L2 = lim x 2x x t 0,5 L3 = lim x = x x = t => x = t7 V x thỡ t => L2 = lim t 2(t 1) 2 = lim = t 1 t 1+ t + t + t + t + t + t 4024 Vy L = 2012 + = 7 x + x x < iu kin: x + x x Bi 3ủim 0,5 Vi ủ/k ủú phng trỡnh ủó cho tng ủng vi ( x + x + 8) m + x x + + x x m = 0,5 (1) t t = + 2x x ; Khi x [ 2; 4) thỡ t [ 0; 3] Phng trỡnh tr thnh : t2 mt + 2t m = (2) t + 2t t +1 t + 2t t 2t + Xột hm s f (t ) = ; t [ 0;3] ; f(t) = t +1 (t + 1)2 0,5 m= 0,5 t = t = f(t) = Bng bin thiờn ca hm s f(t) trờn ủon [ ; ] t f(t) + + + -2 + 0,5 f(t) Phng trỡnh ủó cho cú nghim x [2; 4) Phng trỡnh (2) cú nghim t [0; 3] ng thng y = m ct ủ th hm s f(t) , t [ 0; ] m 0,5 Vy vi m thi phng trỡnh cú nghim Bi Ta cú: r 3ủim x= o sin 45 y= r B sin r z= C sin = r B+C sin ; A r ; B r r I C Suy ra: B+C B C C B sin sin cos + sin cos 2 yz 2 2 = ( r + r ) = a => a = y z (1) =r =r B C B C B C x x2 sin sin sin sin tg tg 2 2 2 Ngoi ủnh lý hm cos tam giỏc BIC cho : a = y + z yz cos BIC a = y + z yzcos (180 a = y + z yzcos135o a = y + z + yz 2 (2) y z2 1 = y + z + yz = + + x x y z yz T (1) v (2) ta cú : Bi 5ủim B+C ) a) A CM BM => CM ( ABM ) BH CM AB BH CM => => BH ( ACM ) AC BH AM AC BH => => AC ( BHK ) AC BK K H B Mt phng (BHK) ủi qua B c ủnh v vuụng gúc vi AC c ủnh nờn mp(BHK) c ủnh C M BHK vuụng ti H => SBHK= (1/2) BH.HK vy BHK cú din tớch ln nht Khi ủú BH = 0,5 BH + HK BK = (const) 4 BH = HK BHK vuụng cõn BK 1 1 1 = + = + 2 2 BK AB BC BH AB BM 1 1 1 = + = + => 2 2 BK BH AB BC AB BM M 1 1 1 h2 + 2R = + = + = BM BC 2 AB 4R2 h2 4h R => BM = 4h R BM = h2 + 2R2 hR h2 + R (vi R l bỏn kớnh ủng trũn (C), AB = h ) M B c ủnh => M thuc ủng trũn tõm B bỏn kớnh hR h2 + R => cú hai v trớ ca M lm cho din tớch BHK ủt GTLN ủú l giao ca ủng trũn (C) v ủng trũn (B;BM) 0,5 Bi (a + b2 )(a + b a 2b ) (b + c )(b + c b 2c ) ( c + a )( c + a c 2a ) P= + + 3ủim a + b + a 2b b4 + c + b2c c + a + c 2a Nhn xét: Do abc = 2 nên a2, b2, c2 l số thực dơng Xét : A = 0,5 x + y xy vi x,y > x + y + xy 0,5 x t2 t +1 Chia tử v mẫu cho y v đặt t = ta đợc A = với t > y t + t +1 Xét hm số f(t) = t2 t +1 (0;+) t2 + t +1 Ta có : f(t) = 2(t 1) = t =1 (t + t + 1) 2 Da vo bng bin thiờn ta cú f (t ) T ủú A = Bảng biến thiên: t f (t) 1 f(t) + + 1 vi mi t > x + y xy vi x,y > 0; du bng xy t = nờn x = y x + y + xy a + b a 2b2 p dng vi x = a , y = b ta cú 4 2 a +b +a b 0,5 0,5 b + c b2 c c + a c 2a , b4 + c + b c c + a + c 2a 1 => P (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) = (a + b + c ) 3 3 Tng t 0,5 p dng BT Cụsi ta cú a + b + c 3 a 2b 2c = vi abc = 2 => P du ủng thc xy chng hn a = b = c = Vy Pmin = chng hn a = b = c = 2 0,5 Chỳ ý: Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc bi gii Bi lm ca hc sinh phi chi tit,lp lun cht ch,tớnh toỏn chớnh xỏc mi ủc ủim ti Cỏc cỏch gii khỏc nu ủỳng cho ủim T chm trao ủi v thụng nht chi tit nhng khụng ủc quỏ s ủim dnh cho cõu, phn ủú Cú th chia ủim thnh tng phn nhng khụng di 0,25 ủim v phi thng nht c t chm im ton bi l tng s ủim cỏc phn ủó chm Khụng lm trũn ủim Mi ủ phỏt sinh quỏ trỡnh chm phi ủc trao ủi trng t chm v ch cho ủim theo s thng nht ca c t sở giáo dục đào tạo quảng ninh kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2012-2013 Đề thi thức môn : Toán H v tờn, ch ký ca giỏm th s ( bảng B ) Ngày thi : 23/10/2012 Thời gian làm : 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Bài (4 điểm): Tớnh gii hn sau : lim x + 2x + 3x x2 Bài (3 điểm): Cho tam giác ABC có C = , B = với < , trung tuyn AM Gọi góc nhọn tạo AM với cạnh BC, chng minh rng: 2cot = cot - cot Bài (4 điểm): Gii bt phng trỡnh: x + x + x + < 18 Bài (6 điểm): Cho tam giỏc ủu ABC cnh a, ủng thng (d) qua A vuụng gúc vi mt phng (ABC) Trờn (d) ly ủim M Gi I l trc tõm ca tam giỏc MBC, H l trc tõm ca tam giỏc ABC, giao ủim ca ủng thng HI vi (d) l N Chng minh rng t din MNBC cú cỏc cp cnh ủi vuụng gúc vi Chng minh rng M di chuyn trờn (d) thỡ tớch AM.AN khụng ủi Bài (3 điểm): a4 b4 a2 b2 a b Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = + + + + b a b a b a vi a, b l cỏc s thc tha a 0, b - Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: MA TRN THI CHN HSG LP 12 NM HC 2012-2013 MễN TON BNG B THI CHNH THC ( t lun) Mc ủ nhn thc Vn dng Nhn bit Ch ủ kin thc Gii hn ca hm s Thụng hiu Mc ủ thp Tng Mc ủ cao (lp 11) H thc lng giỏc 4,0 hỡnh hc phng (lp 11) Gii phng trỡnh, bt 3,0 1 phng trỡnh, h cú s dng tớnh cht ca hm s (lp 10, 12) Hỡnh hc khụng gian (lp 11) 4,0 2 Tỡm giỏ tr ln nht, nh 6,0 nht ca biu thc cú dựng tớnh cht ca hm s (lp 10, lp 12) 0,0 8,0 7,0 3,0 5,0 20,0 S GIO DC V O TO QUNG NINH HNG DN CHM THI CHN HSG LP 12 NM HC 2012-2013 MễN TON BNG B CHNH THC (Hng dn chm ny cú 03 trang) Bài Bi ủim Sơ lợc lời giải + x ( x + 1) + ( x + 1) + x + x + 3x Cú : lim = lim 2 x x x x x2 x ( x + 3) = lim + x 2 x + x + ( x + 1) x ( x + 1) + ( x + 1) + x + (1 + x) x+3 = lim + = +1 = x 2 + x + ( x + 1) ( x + 1) + ( x + 1) + x + (1 + x) Bi ủim * Trng hp gúc nhn: Kẻ AH BC, < nờn BH 2HM/AH = CH/AH - BH/AH , hay cot = cot - cot Ta cú ủpcm ! Cho điểm 1,5 1,5 1,0 0,5 0,5 0,5 A B Bi ủim H M C * Trng hp gúc tự: Chng minh tng t TX: x (-2; +) Nu x [-2; 0] thỡ: BPT ủó cho cú VT + + < 18 = VP Suy x [-2; 0] ủu l nghim ca BPT ủó cho Nu x > 0, xột hm s y = f(x) = x + x + x + vi x (0; +) Cú f(x) = 2x + + 3/ x + > x (0; +) => f(x) ủng bin trờn (0; +) M f(2) = 18 nờn vi x(0; +) ta cú: BPT ủó cho f(x) < f(2) x IH ct (d) ti N Theo gi thit (d)mp(ABC) => (d)BC hay MNBC Chng minh ủc BHmp(MAC) ri suy BHMC M BIMC nờn MC mp(BHI), t ủú suy MCBN Chng minh tng t, ủc MBCN Vy t din MNBC cú cỏc cp cnh ủi vuụng gúc vi (ủpcm !) 4.2 (2 ủim) Chng minh ủc: BCmp(MAE) => BCIH v MCmp(BKF) => MCIH suy IHMB 1,0 Trong tam giỏc MNE, cú: ANH = AEM (gúc cú cnh tng ng vuụng gúc) suy ANH AEM 0,5 ủú: AN AH a a a2 = => AM.AN = AE.AH = = AE AM 2 Vy tớch AM.AN khụng ủi (ủpcm !) M A B I F H E K C N 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 Bi S lc li gii Bi ủim a b a2 b2 a b2 a4 b4 2 t: t = + => t ; t = + + + = t => + = t 4t + b a b a b a b a Khi ủú: P = Cho ủim 0,5 a4 b4 a2 b2 a b + + + + = t 4t + (t 2) + t = t 5t + t + 4 b a b a b a Xột hm: f (t ) = t 5t + t + vi t , cú: f '(t ) = 4t 10t + ; f "(t ) = 12t 10 0,75 Vi t thỡ f(t) > => hm f(t) ủng bin trờn (- ; -2] v [2; +) Nờn : t > => f(t) > f(2) = 13 > 0; t < => f(t) < f(2) = -11 < Ta cú bng bin thiờn : t 2 + f(t) + + + f(t) 2 0,75 M f(-2) = - < = f(2), suy : f(t) = ; ủt t = a = b Vy giỏ tr nh nht ca P l -2, ủt ủc a = - b Các ý chấm: Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc bi gii Bi lm ca hc sinh phi chi tit, lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc mi ủc ủim ti Cỏc cỏch gii khỏc nu ủỳng cho ủim T chm trao ủi v thụng nht chi tit nhng khụng ủc quỏ s ủim dnh cho cõu, phn ủú Cú th chia ủim thnh tng phn nhng khụng di 0,25 ủim v phi thng nht c t chm im ton bi l tng s ủim cỏc phn ủó chm Khụng lm trũn ủim Mi ủ phỏt sinh quỏ trỡnh chm phi ủc trao ủi t chm v ch cho ủim theo s thng nht ca c t S GIO DC V O TO QUNG NINH ... ủ phỏt sinh quỏ trỡnh chm phi ủc trao ủi trng t chm v ch cho ủim theo s thng nht ca c t sở giáo dục đào tạo quảng ninh kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2 01 2- 2013 Đề thi thức... ta cú tip tuyn d2 : 0,5 y = 2( + 1) x ( x + 2 012) x ( x + 2 012) + x x 2x ( x + 2 012) + x = lim x x L = lim x Ta cú L1 = lim( x + 2 012) = 2 012 ; x Tớnh L2 = lim x 2x x t 0,5 L3 = lim... l cỏc s thc tha a 0, b - Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: MA TRN THI CHN HSG LP 12 NM HC 2 01 2- 2013 MễN TON BNG B THI CHNH THC ( t lun) Mc ủ nhn thc Vn