Chuyên đề: Rút gọn biểu thức (Dùng Cho dạy học ôn thi vào THPT) Các kiến thức cần nhớ 1) Những đẳng thức đáng nhớ: (A + B ) = A + 2AB + B (A B ) = A - 2AB + B A B = (A B ) ( A + B ) (A + B ) = A + 3A B + 3AB + B (A B ) = A - 3A B + 3AB - B A + B = ( A + B )( A AB + B ) A B = ( A B )( A + AB + B ) 2) Các công thức biến đổi thức: A2 = A AB = A B A A = B B (Với A0; B0) (Với A0; B>0) A 2B = A B A B = A 2B (Với B0) (Với A0; B0) A B =- A 2B (Với A0) C ( A mB ) A - B2 = (Với A0; A2B) C( A m B) A- B (Với A0; B0 AB) Bài tập Bài ổ a + a ửổ a- aử ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ữỗ ữ ỗ a + 1ứố a - 1ứ ố ỗ Cho biểu thức: A = ỗ ỗ1+ a) Tìm giá trị a để A có nghĩa A=0; A=6 d) Tìm a để A3 = A Bài 2: b) Rút gọn A c) Tìm a để A=-5; e) Với giá trị a A = A Cho biểu thức:Q = x- + x +2 x 1- x b/ Rút gọn Qc/ Tính giá trị Q x = a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa d/ Tìm x để Q = - + e/ Tìm giá trị nguyên x để giá trị Q nguyên Bài Cho biểu thức: P = nghĩa Bài x x- - b) Rút gọn P x- x- a) Tìm điều kiện x để P có x c) Tìm x để P>0 d) Tìm x để P = P e) Giải phơng trình P = - x ` f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị P nguyên ổa +1 ỗ Cho biểu thức: A = ỗ ỗ ỗ ố a- a +1 ữổ ỗ + aữ aỗ ữ ỗ ữ ữ ố a- ứỗ 1ử ữ ữ ữ ữ aứ a) Tìm điều kiện để A có nghĩaTính giá trị A a = + + 5- 5- b) Tìm giá trị a để A > A A=a2+3 Bài c) Tìm a để A=4; A=-16 5+ d) Giải phơng trình: ổa ửổ ữ a- a a + aữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ M = Cho biểu thức: ữ ữ ỗ ữỗ ữvới a>0; a1 ỗ ỗ a +1 aữ a - 1ữ ố2 ứố ứ a) Rút gọn M b) Tìm giá trị a để M=-4 c) Tính giá trị M a = 6- + + d) Chứng minh M với a > 0; a Bài ộổ ửổ 1- a a 1+ a a ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ + a Cho biểu thức: K = ( 1- a2) : ữ ờỗ ỗ ữ a) Rút gọn K d) Tìm a để K=1 ỗ ởố 1- a b) Tính giá trị K a=9 ữỗ 1+ a ứố ự ữỳ aữ ữ ỳ+ với a > 0; a1 ữ ữ ứỳ ỷ c) Với giá trị a K = K e) Tím giá trị tự nhiên a để giá trị K số tự nhiên Bài Cho biểu thức: Q = x 1- + x x + 1+ x 3- x với x0; x1 x- b/ Chứng minh Q0; x9 ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗx - x x ứ ữố ữ ố3 + x - x ứ b/ Tinh giá trị T x = a/ Rút gọn T 7+ 7- + 7- 7+ d/ Với giá trị x T0; b>0; ab ỗ ữ ữ ỗ b ố a+ b ứ + với x>0; y>0; xy y ổ a - 2ử a + a - a - 1ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ a- ứ ữỗ ữ a ố ứ x +1 x+4 x +3 + x + 10 x +5 x +6 b ữ abữ : a b + ữ ( ) ữ ữ a+ b ứ với a>0; a1 với x0 với a>0; b>0; ab f) F = a a- a- a + ổa +1 1ử a - 1ử ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ + ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ữ a ứố a - a + 1ứ a a +1 ổ - ỗ aỗ ỗ ố a+ a ỗ Bài 1: Thực phép tính( rút gọn biểu thức) a/ b/ ( + ) + ( ) 27 12 + 48 ( ) d/ 11 + g/ 27 48 + 12 ( s/ ( 6+ ) ( k/ 120 + 10 )( r/ ) ( + 28 0,4 14 ) ) + +1 32 3 v/ 2 +1 + +2 2+2 2 w*/ ) ( 6/ + 9/ + 17 + 12 / 15/ ( 10 ) 12 30 15 +3 ) 1/ 28 + ( ( 2 7 +5 ( 2) + ( 13*/ C = )( 2 3 + j/ ) 2 2+ 3 5+ 1 5+ đ/ ( ) + ( ) 8/ B = + + 1 + + + 1+ 3+ 47 + 49 Bài 2:Rút gọn biểu thức sau: a/ 3x 3x + 27 3x với x ) 5/ + + + 3- 2 - + 17/ 18 20 + 2 2+ 3 + 2+ 2/ 3+ 2 + + 10 + 10 ) 5 7/ A = 15 + 33 33 12 10*/ M = + 84 j/ + + 1+ 2 ) l/ 15 50 + 200 450 : 10 2+ 4/ 16/ ( i/ + ( p/ 33 48 75 +5 11 ơ/ + + + 2 ( + ) */ z/ ( ) + + 24 3/ + 60 n/ i/ 2 + 1 4 t/ 2 + 5 ữ ữ: 15 u/ 75 48 + 300 f/ 48 27 75 k/ + 50 h/ 45 + 80 245 n/ + + 12 o/ 18 + 50 q/ c/ e/ 20 + 45 80 m/ 12 27 + 108 với a>0; a1 11*/ N = 2+ + 2- 14*/ 7+4 2+ 3 2+ b/ x x + 18 x + 28 với x c/ a + a a + với a > d/ 9( x 1) ( x < 1) a Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức sau: a/ A = 10a + 25a 4a với a = b/ B = 4x x + 6x + với x = -3 Bài 4: Cho biểu thức: A = x x + x a/ Rút gọn biểu thức b/ tính giái trị A x = c/ Tìm x để A = Bài 5: Cho biểu thức: A = x x x + 4 a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để A = -5 Bài 6*: Cho biểu thức: B = x x + x + x + a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để B = -2 Bài 7*: Cho biểu thức: A = x + x + x x a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để A đạt giá trị lớn 2 Bài 8*: Cho biểu thức: A = x + 10 x + 25 x 14 x + 49 a/ Rút gọn biểu thức b / Tính A x = ; x = 15 17 Bài 9*: Cho biểu thức: B = x x + x 3x a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để B = Bài 10*: Rg: A = a 6a + B = a 6a + a3 Bài 11*:a/ Tính : A = 15a 8a 15 + 16 b/ Cho x = 3+ y = với a = + 3 Tính A = 5x2 + 6xy + y2 3+ 1 x + x + Q = : x x x x Bài 12: Cho biểu thức : a/ Rút gọn biểu thức Q với x > ; x x b/ Tìm giá trị x để Q nhận giá trị dơng 2x +1 x 1+ x Bài 13: Cho biểu thức: B = Với x 0; x x3 -1 - x + x +1 1+ x - x a/ Rút gọn B b/ Tìm x để B =3 a ( a 1)2 ( a + 1) Bài 14: Cho biểu thức: P = a ( a + 1)( a 1) với a > a a/ Rút gọn biểu thức b/ Timg giá trị a để P < B i 15: Rút gọn so sánh giá trị M , N với 1, biết: a +1 M= + : Với a > a ữ a -1 a - a +1 a- a a +1 N= + : Với a > ữ a - 2a + a a a x x + (1 x) Bài 16: Cho biểu thức: P = a/ Rút gọn biểu thức x Bài 17: Cho biểu thức: P = ( ữ x + x +1 a b ) b/ Tìm giá trị lớn P + ab a b b a a+ b ab a/ Tìmm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức x +2 x x Bài 18: Cho biểu thức: P = + ữ: x x x + x + 1 x a/ Rút gọn biểu thức b/ Chứng minh P > x + x x x + x x + Bài 19: Cho biểu thức: C = a/ Rút gọn biểu thức b/ Chứng minh C > -1 1 x + x 2 x +2 x Bài 20: Cho biểu thức: C = a/ Rút gọn biểu thức b/ Tính giá trị C x = c/ Tìm giá trị x để C = Bài 21: Cho biểu thức: A = x +1 : x x x x +x+ x a/ Tìmm điều kiện để A có nghĩa Bài 22: Cho biểu thức: P = a/ Rút gọn biểu thức P b / Rút gọn biểu thức A x x + 26 x 19 x + x + x x x x +3 b/ Tính giá trị P x = x x Bài 23: Cho biểu thức: A = ữ: + ữ x +1 x x x + x x a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị x để A > x x x x + x Bài 24: Cho biểu thức: A = ữ ữ 2 x x + x a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị x để A > Bài 25: Cho biểu thức: E = x2 + x 2x + x +1 x x +1 x a/ Rút gọn biểu thức E c/ Tìm giá trị lớn E b/ Chứng minh E - E =0 với x > + a a a a Bài 26-1: Cho biểu thức: A = ( a ) : + a ữ a ữ + a + a a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị A với a = c/ Với giá trị a A = A a +1 a 1 Bài 26-2: Cho biểu thức: A = + a ữ a ữ a +1 a a b/ Tính giá trị A với a = a/ Rút gọn biểu thức A c/ Tìm giá trị a để x+ y xy b/ Tính giá trị A x = + x y x + y + 2xy : + ữ ữ xy ữ + xy c/ Tìm GTLN P 2+ 1 x + 2ữ ữ x + x x Bài 28: Cho biểu thức: A = a/ Rút gọn biểu thức A 2+ A >A Bài 27: Cho biểu thức: P = a/ Rút gọn biểu thức P 6 ( x 0;x 1) b/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 29: Cho biểu x +2 x A = + + ( x 0;x 1) ữ ữ: x x x x + x + 1 x a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị biểu thức A x = 2 ( Bài 30: Cho biểu thức: P = ) a +3 a +2 ( a +2 )( thức: a ) a+ a ữ : + a ữ x + ữ x b/ Tìm a để a + P a/ Rút gọn biểu thức P x +1 x ( x 0;x 1) x 2 x +2 x x x + ( x 0;y 0;x y ) xy + x xy y Bài 31: Rút gọn biểu thức: P = Bài 32: Cho biểu thức: A = a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị A x = + ;y = Bài 33: Cho biểu thức: A = 1 + ữ: x + x x2 x a/ Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị x để A = -2 x x Bài 34: Cho biểu thức: A = 1ữ ( x 0; x 1) ữ: x +1 x +1 x x + x + x +1 a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị biểu thức A x =32 1a a a Bài 35: Cho biểu thức: A = + a a ữ + ữ + a + a a + a a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị biểu thức A a =32 Bài 36: Cho biểu thức: A = 2x x a/ Rút gọn biểu thức A B Bài 37: Cho biểu thức: A = x ; B= x x + 2x x +2 b/ Tìm tất giá trị x để A = B 1+ 1x 1+x + + 1x + 1x 1+x 1+x 1+x 2 x +2 x x Bài 38: Cho biểu thức: A = với x > 0;x + + ữ ữ: x x x + x + 1 x a/ Rút gọn biểu thức A b/ Chứng minh < A < A a/ Rút gọn biểu thức A b/ So sánh A với Bài 39: Cho biểu thức: A = x x x 1 x + ữ ữ: x x+ x ữ b/ Tính giá trị A x = a/ Rút gọn biểu thức A 2+ c/ Tìm giá trị x thoả mãn : A x = x x x 8x x + : ữ ữ ữ x x ữ x + x x Bài 40: Cho biểu thức: P = a/ Rút gọn biểu thức: P c/ Tìm m để với x > ta có: m Bài 41: Rút gọn: a a a a + a/ A = a a a+ a c/ P = x x+y y x+ y ( x y ) ( b/ Tính giá trị x để P = -1 x P > x +1 ) a + a2 a a2 b*/ C = ữ a a2 a + a2 ữ a2 ( a > 0; a 1) với x 0; y 0;x + y > d*/ 2( a) a + a + 2a + a + a a x + x x x x + x x x ữì x x x x x2 + + x2 b a a b +b a ữì a b a ab ab b g/ k/ Bài 38: Chứng minh: a/ a a + a 14 c/ + x2 + x2 x2 + x2 x +2 x x +1 f/ ữì x x + x + x 3 a e/ ( ) + a x2 + + x2 a b/ a ữ ữ a ữữ = với a > ; a 15 d/ = ữữ : a + a a a e/ + ữ ữ a ữ ữ = a; ( a > 0;a 1) a + (1 + + 3)(1 + 3) = 2 a b a + b + ab ữữ = a b a + b ( a,b 0;a b ) f/ a a + a ữ a ữ = ( a > 0;a 1) a ữ a ữ a+1 a g/ B = + : = ; ( a > ; a 1) ữ a a a a a + a Bài 42 : Rút gọn: 3( x + y ) 2 a/ b/ 5a (1 4a + 4a ) với a > 0,5 v ới x , y x y x y 2a Bài 43 Chứng minh giái trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến 2+ x x x x + x x B = ữữ x -1 x + x +1 x Bài 44*: Cho biểu thức: A = x x y + y a/ Phân tích A thành nhân tử b/ Tính giá trị A x = 1 ;y = +4 Bài 45*: Loại bỏ thức dấu GTTĐ: Bài 46*: Cho biểu thức: A = a 6a + ( a 3) a x x x a/ Tìmm điều kiện để A có nghĩa b/ Tính A2 Bài 47* a/ Cho x = chứng minh x + 3x + = 21 b/ Chứng minh x = 17 + + 17 nghiệm pt: x 6x 10 = + 15 Tính giá trị biểu thức : y = x 3x + 1987 c/ Cho x = 15 Bài 48: Cho A = x + Tìm x để A nhận giá trị nguyên x Bài 49: Cho A = a + a a/ Tìm số nguyên a để A nhận giá trị nguyên b/ Tìm số hữu tỉ a để A nhận giá trị nguyên Bài 50*: Tính giá trị biểu thức A = 2x3 -4x2 +x +1 với x = + Bài 51*: Tìm giá trị lớn biểu thức: Bài 52*: Cho B = a/ A = 12 x x , b/ B = x 10 x + 30 1 1 + + + + chứng tỏ B > 24 Bài 53 : Chứng minh giá trị biểu thức sau số tự nhiên B = 1 24 2+4 Bài 54*: Tìm cặp số nguyên (a,b)thoả mãn pt: Bài 55*: Cho < x 10 a + b = 3200 x + 10 x = k Tính giá trị biểu thức : 10x x A= theo k x5 Bài 56*: a/ Tìm số nguyên m để m2 + m + 20 số hữu tỉ b/ Tìm số nguyên m để m2 + m + 23 số hữu tỉ Bài 57*: a/ Chứng minh b/ Chứng minh ( m + ) ( m + 3) ( m + ) ( m + ) ( m + 1) ( m + ) ( m + ) ( m + ) ( số vô tỉ với số tự nhiên m số vô tỉ với số tự nhiên m ) Bài 58*: Tìm số nguyên lớn không vợt + Bài 59*: Cho a 1; b 1; a + b = Tìm giá trị lớn a + b Bài 60*: So sánh: 2005 + 2007 2006 1 Bài 61*: Chứng minh ax3 = by = cz + + = ax + by + cz = a + b + c x y z Bài 62*: Cho số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz+ zx = 2006 tính tổng: ( 2006 + y ) ( 2006 + z ) + y ì ( 2006 + z ) ( 2006 + x ) + z ì ( 2006 + x ) ( 2006 + y ) S = xì 2 2006 + x 2 2 2006 + y 2006 + z a b c d Bài 63 *: Cho a , b,c, d A,B ,C,D số dơng thoả mãn: = = = A B C D Chứng minh: aA + bB + cC + dD = ( a + b + c + d ) ( A + B + C + D ) Bài 64*: Cho biểu thức: A = a a b + a +b : + ữ a + a + b a b ữ ữ b/ Tìm b biết A = A a/ Rút gọn biểu thức A c/ Tính giá trị A a = + 2;b = + Bài 65*: Biết: ( x2 + + x Bài 66*: Tính hợp lí: a/ 10 + ( c/ )( ) )( ) y + + y = Tính x + y b/ 3+ +2 2 +3 2 + 2 d/ e/ ( ì + ) 29 12 f/ 10 + 24 + 40 + 60 4+ 2+ 2+ 2 2+ 2002 2003 + > 2003 + 2002 Bài 67*: Chứng minh: 2003 2002 10 ... x x + 4 a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để A = -5 Bài 6*: Cho biểu thức: B = x x + x + x + a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để B = -2 Bài 7*: Cho biểu thức: A = x + x + x x a/ Rút gọn biểu thức... x a/ Rút gọn biểu thức b/ Chứng minh P > x + x x x + x x + Bài 19: Cho biểu thức: C = a/ Rút gọn biểu thức b/ Chứng minh C > -1 1 x + x 2 x +2 x Bài 20: Cho biểu thức: C = a/ Rút gọn biểu... thức: P = a/ Rút gọn biểu thức P b / Rút gọn biểu thức A x x + 26 x 19 x + x + x x x x +3 b/ Tính giá trị P x = x x Bài 23: Cho biểu thức: A = ữ: + ữ x +1 x x x + x x a/ Rút gọn biểu