Chuyên đề số phức

THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC S PHC Đ1 S PHC I> Khỏi nim s phc: L biu thc cú dng a + b i , ú a, b l nhng s thc v s i tho i = Kớ hiu l z = a + b i vi a l phn thc, b l phn o, i l n v o Tp hp cỏc s phc kớ hiu l Ê = {a + b i / a, b Ă v i = 1} Ta cú Ă Ê S phc cú phn o bng l mt s thc: z = a + i = a Ă Ê S phc cú phn thc bng l mt s o: z = 0.a + b i = b i c bit i = + i S = + i va l s thc va l s o VD: i cú phn thc l 2, phn o l 3, s i cú phn thc l 0, phn o l II> S phc bng nhau: a = a ' Cho hai s phc z = a + b i v z = a + b i Ta cú z = z b = b ' VD: Tỡm cỏc s thc x, y bit: (2x 3) (3y+1) i = (2y + 1) + (3x 7) i (1) x = y + x y = x = (1) y = x x + y = y = III> Biu din hỡnh hc ca s phc: Mi s phc z = a + b i c xỏc nh bi cp s thc (a; b) Trờn mt phng Oxy, mi im M(a; b) c biu din bi mt s phc v ngc li Mt phng Oxy biu din s phc c gi l mt phng phc Gc ta O biu din s 0, trc honh Ox biu din s thc, trc tung Oy biu din s o VD: Cỏc im A, B, C, D biu din cỏc s phc l: z A = + i , z B = + i , zC = i , zD = i IV> Mụun ca s phc: S phc z = a + b i c biuuuu din u r bi im M(a; b) trờn mt phng Oxy di ca vộct OM c gi l mụun ca s phc z Kớ hiu z = a + bi = a + b VD: z = i cú z = 4i = 32 + (4) = Chỳ ý: z = a b + 2abi = (a b ) + 4a 2b = a + b = z V> S phc liờn hp: Cho s phc z = a + b i , s phc liờn hp ca z l z = a bi z = z z = a + bi z = a - bi ; z = z, Hai im biu din z v z i xng qua trc Ox trờn mt phng Oxy VI> Cng, tr s phc: S i ca s phc z = a + b i l z = a b i Cho z = a + bi v z ' = a '+ b ' i Ta cú z z' = (a a')+ (b b')i Phộp cng s phc cú cỏc tớnh cht nh phộp cng s thc VII> Phộp nhõn s phc: Cho hai s phc z = a + bi v z ' = a '+ b ' i Nhõn hai s phc nh nhõn hai a thc ri thay i = v rỳt gn, ta c: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i k.z = k(a + b i ) = ka + kb i c bit 0.z = z Ê z z = (a + b i )(a b i ) hay z.z = a + b = z VD: Phõn tớch z + thnh nhõn t z + = z (2i ) = (z i )(z + i ) Phộp nhõn s phc cú cỏc tớnh cht nh phộp nhõn s thc VIII> Phộp chia s phc: z -1 a - bi = S nghch o ca s phc z = a + bi l z = z = hay z a + bi a + b Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC Cho hai s phc z = a + bi v z ' = a '+ b ' i thỡ z ' z '.z - bi) = hay a' + b'i = (a' + b'i)(a 2 z z a + bi a +b VD: Tỡm z tho (1 + i )z = 3z i i i (2 + 2i) + 2i 1 z= z= + i Ta cú (3 i )z = i z = z= 2i 4+4 4 IX> Ly tha ca n v o: Cho k N i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ = -1; i 4k+3 = -i VD: Tỡm phn thc v o ca s phc: z = (2 2i )13 z = (2 2i ) (2 2i ) = (8i) (2 2i ) = 86.2 + 86.2i = 219 + 219 i Phn thc a = 219 , phn o b = 219 BI TP Đ1 I> Bi SGK C bn: 1) Tỡm phn thc v phn o ca s phc z, bit: a) z = i; b) z = i ; c) z = 2 d) z = 7i Hng dn: a) 1; b) ; c) 2 ; d) 0; 2) Tỡm cỏc s thc x, y bit: a) (3x 2) + (2y +1)i = (x + 1) (y 5)i; b) (1 2x) i = + (1 3y)i; c) (2x + y) + (2y x)i = (x 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 1+ Hng dn: a) x = , y = b) x = ,y= c) x = 0, y = 3 3) Trờn mt phng ta , tỡm hp im biu din bi s phc z tha: a) Phn thc ca z bng 2; b) Phn o ca z bng 3; c) Phn thc ca z thuc khong (1; 2); d) Phn o ca z thuc on [1; 3]; e) Phn thc v phn o ca z u thuc on [2; 2] Hng dn: a) L ng thng x = 2; b) L ng thng y = 3; c) L gii hn bi hai ng thng song song x = v x = khụng tớnh biờn; d) L gii hn bi hai ng thng song song y = v y = tớnh c biờn; e) L gii hn bi bn ng thng ụi mt song song x = 2, x = v y = 2, y = tớnh c biờn 4) Tớnh |z| vi: a) z = + i ; b) z = 3i c) z = d) z = i Hng dn: a) |z| = b) |z| = 11 c) |z| = d) |z| = 5) Trờn mt phng ta , tỡm hp im biu din bi s phc z tha: a) |z| = 1; b) |z| c) < |z| d) |z| = v phn o ca z bng Hng dn: a) Tp hp cỏc im M(a; b) tha a + b = , l ng trũn tõm O, bỏn kớnh R = 1; b) Tp hp cỏc im M(a; b) tha a + b , l hỡnh trũn tõm O, bỏn kớnh R = tớnh c biờn; c) Tp hp cỏc im M(a; b) tha < a + b , l hỡnh vnh khn tõm O, bỏn kớnh r = khụng tớnh biờn, bỏn kớnh ln R = tớnh biờn; 6) Tỡm z , bit: a) z = i b) z = + i c) z = d) z = 7i; Hng dn: a) z = + i ; b) z = i c) z = d) z = 7i 7) Thc hin cỏc phộp tớnh sau: a) (3 5i) + (2 + 4i); b) (2 3i) + (1 7i); c) (4 + 3i) (5 7i) d) (2 3i) (5 4i) Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC Hng dn: a) i b) 10i c) + 10i 8) Tớnh + , vi: a) = 3, = 2i b) = 2i, = 6i c) = 5i, = 7i Hng dn: a) + 2i, 2i b) + 4i, 8i c) 2i, 12i 9) Thc hin phộp tớnh sau: a) (3 2i)(2 3i) b) (1 + i)(3 + 7i) c) 5(4 + 3i) Hng dn: a) 13i b) 10 4i c) 20 + 15i n 10) Tớnh i , i , i Nờu cỏch tớnh i vi nN Hng dn: i = i , i = 1, i = i Nu n = 4q + r, r < thỡ i n = i r 11) Tớnh: a) (2 + 3i) b) (2 + 3i )3 Hng dn: a) + 12i b) 46 + 9i 12) Thc hin phộp chia: 2+i 5i 2i 1+ i a) b) c) d) 2i 3i i 2+i d) + i d) = 15, = 2i d) 19 2i, 11 + 2i d) (2 5i)4i d) 20 8i 15 10 2+ 2 + i b) c) + i d) 5i + i 13 13 13 13 7 13) Tỡm nghch o ca s phc z, bit: a) z = + 2i b) z = 3i c) z = i d) z = + i 2 Hng dn: a) i b) d) + i c) i i 5 11 11 28 28 14) Thc hin cỏc phộp tớnh sau: + 4i (1 + i ) (2i) a) 2i(3 + i)(2 + 4i)b) c) + 2i + (6 + i)(5 + i) d) 3i + + 6i + i 32 16 219 153 i Hng dn: a) 28 + 4i b) i c) 32 + 13i d) 5 45 45 15) Gii phng trỡnh sau: z + (2 3i) = 2i a) (3 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) (1 + 3i)z (2 + 5i) = (2 + i)z c) 3i Hng dn: a) z = b) z = i c) z = 15 5i 5 II> Bi SGK Nõng cao: 1) Cho cỏc s phc + 3i; + 2i; i a) Biu din cỏc s ú mt phng phc b) Vit s phc ú di dng liờn hp ri biu din trờn mt phng phc c) Vit s i ca mi s phc ú ri biu din chỳng trờn mt phng phc Hng dn: a) M ( 2;3) , M ( 1; ) , M ( 2; 1) Hng dn: a) b) N1 ( 2; 3) , N ( 1; ) , N ( 2;1) c) K1 ( 2; 3) , K ( 1; ) , K ( 2;1) 2) Xỏc nh phn thc v phn o ca mi s sau: a) i + (2 4i) (3 2i) c) ( + 3i ) ( 3i ) b) ( + 3i ) d) i(2 i)(3 + i) Hng dn: a) i b) + 2i c) 13 d) + 7i 3) Xỏc nh cỏc s phc biu din bi cỏc nh ca mt lc giỏc u cú tõm l gc ta O mt phng phc, bit rng mt nh biu din s i Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC Hng dn:Gi A l im biu din s phc i thỡ D biu din s i F cos ;sin ữ nờn F biu 6 3 din s + i C i xng F qua O nờn C biu din s i E i xng F qua Ox nờn E 2 2 3 biu din s i B i xng E qua O nờn B biu din s + i 2 2 1 2i 4i ; ; ; 4) Thc hin phộp tớnh: 3i i 4i i 2 16 13 + i; i 3i ; Hng dn: + i; 13 13 17 17 2 1 3 5) Cho z = + i Hóy tớnh: ; z ; z ; ( z ) ;1 + z + z z 2 Hng dn: Ta cú z = nờn 1 = i=z; z 2 6) Chng minh rng: z2 = i; 2 z = z z = ; 1+ z + z2 = 1 ( z + z ) , phn o ca s phc z bng ( z z ) 2i b) S phc z l s o v ch z = z c) S phc z l s thc v ch z = z z' z' = ữ d) Vi mi s phc z, z, ta cú z + z ' = z + z ', zz ' = z.z ' v nu z thỡ z z Hng dn: z = a + bi, z = a bi (1) a) Ly v cng v Phn thc ca s phc z bng ( z + z ) Ly v tr v phn o ca s phc z bng ( z z ) 2i b) S phc z l s o v ch phn thc bng z + z = z = z c) S phc z l s thc v ch phn o bng z z = z = z d) z = a + bi; z ' = a '+ b ' i; z z = a + b l s thc a) Phn thc ca s phc z bng z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i = (a + a ') (b + b ')i = (a bi ) + (a ' b ' i ) = z + z ' zz ' = (aa ' bb ') + (ab '+ a ' b)i = (aa ' bb ') (ab '+ a ' b)i = (a bi )(a ' b ' i ) = z.z ' z ' z '.z z '.z z '.z z ' = = ữ= ữ= z z z z z z z z 7) Chng minh rng vi mi s nguyờn m > 0, ta cú i m = 1; i m +1 = i; i m + = 1; i m +3 = i Hng dn: Ta cú i = i i = (i ) m = 1m i m = i m i = 1.i i m +1 = i i m +1.i = i.i i m + = i m + i = 1.i i m +3 = i 8) Chng minh rng: r r a) Nu u ca mt phng phc biu din s phc z thỡ | u | = | z | v t ú nu hai im A1 , A2 theo th t uuuur biu din s phc z1 , z2 thỡ A1 A2 = z2 z1 ; b) Vi mi s phc z, z, ta cú |z.z| = |z|.|z| v z thỡ z' z' = z z c) Vi mi s phc z, z, ta cú z + z ' z + z ' Hng dn: Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC r r r r 2 a) z = a + bi thỡ z = a + b , u biu din s phc z thỡ u = (a; b) u = a + b ú | u | = | z | uuuur uuuu r uuur uuuur A1 , A2 theo th t biu din s phc z1 , z2 thỡ A1 A2 = OA2 OA1 = z2 z1 A1 A2 = z2 z1 b) z = a + bi , z ' = a '+ b ' i , z.z ' = ( aa ' bb ') + ( ab '+ a ' b ) i , z = a + b , z ' = a '2 + b '2 2 ( )( 2 2 Ta cú z z ' = a + b a ' + b ' ) 2 2 Ta cú z.z ' = ( aa ' bb ' ) + ( ab '+ a ' b ) = ( aa ' ) + ( bb ' ) + ( ab ' ) + ( a ' b ) = ( a + b ) ( a ' + b ' ) 2 2 2 Vy |z.z| = |z|.|z| z' z z' z z' z' z '.z = = = = Khi z ta cú 2 z z.z z z z r ur r ur r ur c) u biu din z, u ' biu din z thỡ u + u ' biu din z + z v z + z ' = u + u ' r ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur r Khi u , u ' , ta cú u + u ' = u + u ' + u u ' cos u , u ' u + u ' + u u ' = u + u ' r ur r ur u + u ' u + u ' ú z + z ' z + z ' ( ( ) ) 9) Xỏc nh hp cỏc im mt phng phc biu din s phc z tha iu kin sau: z i =1 a) z i = b) c) z = z + 4i z +i Hng dn: Gi M(x; y) l im biu din s phc z trờn mt phng phc a) Vi z = x + yi z i = x + ( y 1)i = x + ( y 1) = x + ( y 1) = Tp hp cỏc im M l ng trũn tõm I(0; 1) bỏn kớnh R = z i 2 = x + ( y 1)i = x + ( y + 1)i x + ( y 1) = x + ( y + 1) y = b) Vi z = x + yi z +i Tp hp cỏc im M l trc thc Ox 2 2 c) Vi z = x + yi z = z + 4i x + yi = ( x 3) + (4 y )i x + y = ( x 3) + (4 y ) x + y 25 = Tp hp cỏc im M l ng thng x + y 25 = z10 10) Chng minh rng vi mi s phc z 1, ta cú + z + z + + z = z Hng dn: 9 10 10 Vi z 1, ( + z + z + + z ) ( z 1) = z + z + + z + z ( + z + z + + z ) = z Chia hai v cho z hng ng thc c chng minh 11) Hi mi s sau õy l s thc hay s o (z l s phc tựy ý cho biu thc xỏc nh)? zz z ( z )2 z + ( z )2 3 z + (z ) + zz Hng dn: Ta cú z = a + bi, z = a bi , z = (a b ) + 2abi, z = (a b ) 2abi, V z = ( a3 3ab ) + (3a 2b b3 )i, z = ( a 3ab ) (3a 2b b )i zz b z ( z )2 4ab = i Vy z + ( z ) = 2(a b ) l s thc; l s o; = i l s o 3 z + (z ) a 3ab + z z + a2 + b2 12) Xỏc nh hp cỏc im mt phng phc biu din s phc z tha iu kin sau: a) z l s thc õm; b) z l s o ; c) z = ( z ) d) l s o z i Hng dn: M(x; y) biu din z thỡ z = x + yi z = x y + xyi; z = x y xyi a) z l s thc õm xy = v x y < x = v y Tp hp cỏc im M l trc Oy tr O b) z l s o x y = y = x Tp hp cỏc im M l ng phõn giỏc ca gc ta c) z = ( z ) xy = x = hoc y = Tp hp cỏc im M l trc ta Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng d) S PHC x ( y 1)i = = l s o x = 0, y Tp hp M l trc Oy b im M(0; 1) z i x + ( y 1)i x + ( y 1) Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC 13) Tỡm nghim phc ca phng trỡnh sau: a) iz + i = c) ( i ) z = b) ( + 3i ) z = z Hng dn: a) z = + 2i b) z = d) ( iz 1) ( z + 3i ) ( z + 3i ) = + i 10 10 c) z = i 5 e) z + = d) i; 3i; + 3i e) z = 2i z +i z i z +i b) Xỏc nh hp cỏc im mt phng phc biu din s phc z tha iu kin l s thc z i dng Hng dn: 2x x2 + y a) Phn thc l 2 , phn o x + ( y 1)2 x + ( y 1) 14) a) Cho s phc z = x + yi (x, yR) Khi z 1, hóy tỡm phn thc v phn o ca s phc b) L s thc dng x = v x + y > Tp hp l trc Oy b on IJ vi I, J l im biu din hai s phc i, i 15) a) Trong mt phng phc cho im A, B, C khụng thng hng theo th t biu din s phc z1 , z2 , z3 Hi trng tõm ABC biu din s phc no? b) Xột im A, B, C ca mt phng phc theo th t biu din s phc z1 , z2 , z3 tha z1 = z = z3 Chng minh rng A, B, C l nh ca mt tam giỏc u v ch z1 + z2 + z3 = Hng dn: uuur uuu r uuu r uuur a) Gi G l trng tõm ABC, ta cú OG = OA + OB + OC = ( z1 + z + z3 ) vy G biu din s phc 3 z = ( z1 + z2 + z3 ) uuu r uuur uuur b) Vỡ OA = OB = OC nờn A, B, C thuc ng trũn tõm O Tam giỏc ABC u trng tõm G trựng ( ) O hay z1 + z2 + z3 = Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC Đ2 CN BC HAI CA S PHC & PHNG TRèNH BC HAI I> Cn bc hai ca s phc: Cho s phc w, mi s phc z = a + b i tho z = w c gi l cn bc hai ca w w l s thc: w = a Ă a = 0: Cn bc hai ca l a > 0: Cú hai cn bc hai i l a v a a i v a i w l s phc: w = a + b i (a, b Ă , b 0) v z = x + y i l cn bc hai ca w x2 - y2 = a z = w (x + yi)2 = a + bi 2xy = b Mi s phc u cú hai cn bc hai i VD: Tớnh cn bc hai ca w = + i x y = 2 Gi z = x + y i l cn bc hai ca w Ta cú z = w ( x + yi ) = + 4i xy = a < 0: Cú hai cn bc hai i l x y = y y = y2 = y = y = hoc 2 x = x = x = y x = y x = y Vy cú cn bc hai ca w l z1 = + i , z2 = i VD: Tớnh cn bc hai ca i x2 y2 = 2 z = i ( x + yi ) = i Gi z = x + y i l cn bc hai ca i Ta cú xy = 2 x2 y2 = y = y = y= y= 2 1 hoc x = x = x = y x = y x = 2y Vy cú cn bc hai ca i l z1 = 2 2 i , z2 = i + 2 2 II> Phng trỡnh bc hai: 1) Phng trỡnh bc hai vi h s thc: ax + bx + c = (a 0), = b 4ac b 2a b | |.i < 0: Phng trỡnh cú nghim phc x1,2 = 2a VD: Gii phng trỡnh x + = x = x + = x3 + 23 = ( x + 2)( x x + 4) = x x + = (1) 0: Phng trỡnh cú nghim thc x1,2 = (1) cú = = = ( 3.i ) nờn cú nghim phc x1,2 = 3.i Do ú phng trỡnh cú nghim x1 = + 3.i, x2 = 3.i, x3 = 2) Phng trỡnh bc hai vi h s phc: Ax + Bx + C = ( A 0), = B AC B = 0: Phng trỡnh cú nghim kộp x = 2A B 0: Phng trỡnh cú nghim x1,2 = vi l cn bc hai ca 2A Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC VD: Gii phng trỡnh: a) 2z iz + = ; b) z + (3 2i ) z + 5i = a) 2z iz + = cú = = = (3i ) i + 3i i 3i = i , z2 = = i Phng trỡnh cú nghim phc z1 = 4 2 b) z + (3 2i) z + 5i = cú = (3 2i ) 4(5 5i) = 12i + 4i 20 + 20i = 15 + 8i = (1 + 4i) + 2i + + 4i + 2i 4i = + 3i ; z2 = = i Phng trỡnh cú nghim phc z1 = 2 BI TP Đ2 I> Bi SGK C bn: 1) Tỡm cỏc cn bc hai phc ca cỏc s sau: 7; 8; 12; 20; 121 Hng dn: i ; 2i ; 2i ; 2i ; 11i 2) Gii cỏc phng trỡnh sau trờn phc: a) z + z = b) z + z + = ; c) z z + 11 = Hng dn: i i 47 i 171 a) b) c) 14 10 3) Gii cỏc phng trỡnh sau trờn phc: a) z + z = b) z + z + 10 = Hng dn: a) 2; i b) i 2; i 4) Cho a, b, c R, a 0, z1 , z2 l hai nghim phng trỡnh az + bz + c = Hóy tớnh z1 + z2 v z1 z2 theo cỏc h s a, b, c b c Hng dn: z1 + z2 = , z1 z2 = a a 5) Cho z = a + bi l mt s phc Hóy tỡm mt phng trỡnh bc hai vi h s thc nhn z, z lm nghim Hng dn: Phng trỡnh n x nhn z, z lm nghim nờn cú (x z)(x z ) = x ( z + z ) x + zz = Vi z + z = 2a, z z = a + b Vy phng trỡnh ú l x 2ax + a + b = II> Bi SGK Nõng cao: 1) Tỡm cỏc cn bc hai ca s phc sau: i; 4i; 4; + 3i Hng dn: Cn bc hai ca i l / + i / 2; / i / Cn bc hai ca 4i l + 2i Cn bc ( ) hai ca l 2i Cn bc hai ca + 3i l (2 + 3i ) 2) Chng minh rng nu z l mt cn bc hai ca w thỡ z = w 2 Hng dn: z = a + bi l mt cn bc hai ca w z = w z = w z = w z = VD: 4i = ( i ) tc z = i l mt cn bc hai ca w = 4i thỡ z = 3) Tỡm nghim phc ca cỏc phng trỡnh sau: a) z = z + b) z + z + = Hng dn: 1 5 a) z 2.z + = z ữ = z = 4 2 w w c) z + (1 3i ) z 2(1 + i ) = b) z + z + = ( z + 1) = ( z + 1) = ( 2i ) z + = 2i z = 2i 2 c) = ( 3i ) + ( + i ) = 2i = ( + i ) Phng trỡnh cú hai nghim phc l z1 = 2i; z2 = + i 4) a) Hi cụng thc Viột v phng trỡnh bc hai vi h s thc cú ỳng cho phng trỡnh bc hai vi h s phc khụng? Vỡ sao? Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC b) Tỡm hai s phc, bit tng ca chỳng bng i v tớch ca chỳng bng 5(1 i) c) Cú phi mi phng trỡnh bc hai z + Bz + C = (B, C l hai s phc) nhn hai nghim l hai s phc liờn hp khụng thc phi cú cỏc h s B, C l hai s thc? Vỡ sao? iu ngc li cú ỳng khụng? Hng dn: B a) Hai nghim ca phng trỡnh bc hai h s phc l z1,2 = ( = = B AC ) nờn 2A B C z1 + z2 = ; z1 z2 = A A b) Hai s cn tỡm l nghim phng trỡnh z ( i ) z + ( i ) = Cú = + 12i = ( 3i ) nờn hai s cn tỡm l z1 = + i; z2 = 2i c) Phng trỡnh z + Bz + C = cú hai nghim l z = a + bi; z = a bi thỡ B = ( z + z ) = 2a l s thc v C = z.z = a + b l s thc iu ngc li khụng ỳng 2 5) a) Gii phng trỡnh sau: ( z + i ) ( z 2iz 1) = b) Tỡm s phc B phng trỡnh z + Bz + 3i = cú tng bỡnh phng hai nghim bng Hng dn: 2 2 2 a) ( z + i ) ( z i ) = cú nghim l i; + i; i 2 2 b) Ta cú z1 + z2 = B; z1.z2 = 3i nờn z12 + z22 = ( z1 + z2 ) z1 z2 = B 6i = B = ( + i ) B = ( + i ) 2 = k cỏc trng hp sau: z a) k = 1; b) k = ; c) k = 2i k Hng dn: z + = k z kz + = cú nghim z1,2 = ( = = k 4) z 2 a) k = thỡ z1,2 = b) k = thỡ z1,2 = c) k = 2i z1,2 = i i i 2 2 7) Gii phng trỡnh v biu din nghim trờn mt phng phc mi phng trỡnh sau: a) z + = ; b) z = ; c) z + = ; d) z + z = z + Hng dn: 3 a) z + = ( z + 1) ( z z + 1) = z = 1, z = + i, z = i 2 2 b) z = z = z = z = 1, z = i 6) Tỡm nghim ca phng trỡnh z + ( ) 4 c) z + = z = z = 2i z = ( i ) , z = ( + i ) 1 d) ( z + 1) ( z 1) = ( z + 1) ( z 1) ( z + z + 1) = z = 1, z = , z = i 4 8) a) Tỡm cỏc s thc b, c phng trỡnh z + bz + c = nhn z = + i lm nghim b) Tỡm cỏc s thc a, b, c phng trỡnh z + az + bz + c = nhn z = + i v z = lm nghim Hng dn: a) ( + i ) + b ( + i ) + c = b + c + ( + b ) i = b + c = vaứ + b = b = 2, c = b) Ln lt thay z = + i v z = vo phng trỡnh, ta c b + c = a = b + c + (2 + 2a + b)i = b = a + b = + 4a + 2b + c = 4a + 2b + c = c = Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang 10 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC Đ3 DNG LNG GIC CA S PHC I> S phc di dng lng giỏc: 1) Acgumen ca s phc z 0: i Cho s u phc zu ur uuu r= a + b c biu din bi im M(a; b) trờn mt phng Oxy S o (raian) ca gúc = (Ox, OM ) c gi l mt acgumen ca z Mi acgumen ca z sai khỏc l k2 tc l cú dng + k2 (k  ) (z v nz sai khỏc k2 vi n l mt s thc khỏc 0) VD: Bit z cú mt acgumen l Hóy tỡm mt acgumen ca mi s phc sau: z; z ; z ; z uuuu r uuuur z biu din bi OM thỡ z biu din bi OM nờn cú acgumen l + (2k + 1) z biu din bi M i xng M qua Ox nờn cú acgumen l + k2 uuuuu r z biu din bi OM ' nờn cú acgumen l + (2k + 1) z 1 = z = , vỡ l mt s thc nờn z cú cựng acgumen vi z l + k2 |z| | z |2 z 2) Dng lng giỏc ca s phc z = a + b i : Dng lng giỏc ca s phc z l z = r (cos + i sin ) vi l mt acgumen ca z a b z = a + bi z = r ( cos + isin ) Vụựi r = a + b ; cos = ; sin = r r VD: S cú mụun l v mt acgumen bng nờn cú dng lng giỏc l z = cos + i sin S + i cú mụun bng v mt acgumen bng tho cos = v sin = Ly = 2 thỡ + i = 2(cos + i sin ) 3 S cú mụun l v mt acgumen tu ý nờn cú dng lng giỏc = 0(cos + i sin ) Chỳ ý: S cos i sin cú dng lng giỏc l cos( + ) + i sin( + ) S cos i sin cú dng lng giỏc l cos( ) + i sin( ) S cos + i sin cú dng lng giỏc l cos( ) + i sin( ) II> Nhõn, chia s phc di dng lng giỏc: Cho z = r (cos + i sin ) v z = r (cos + i sin ) vi r , r z r z.z' = r.r'[cos( + ')+ isin( + ')] v = [cos( - ')+ isin( - ')] ( r 0) z' r' CM: z.z = r r [cos cos sin sin + i (sin cos + sin cos )] = r r [cos( + ) + i sin( + )] 1 = [cos( ') + i sin( ')] Ta cú v z cú cựng acgumen l + k2 nờn z' z' r' z r = [cos( ') + i sin( ')] ( r 0) Do ú z' r' z1 3 5 + i sin + i cos VD: z1 = cos ữ v z2 = sin ữ Tớnh z1.z2 v z 4 12 12 5 + i sin Vi z2 = cos + i sin ữ; z1.z2 = 2 cos 12 12 6 + iữ ữ = 2 ữ = + 2.i 2 z1 2 cos + i sin = + iữ = + i = ữ ữ z2 3 2 2 III> Cụng thc Moavr (Moivre) v ng dng: 1) Cụng thc Moavr: Cho s phc z = r (cos + i sin ) v Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang 11 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC [ r(cos + isin)] = r n (cosn + isinn) (n Ơ * ) n r = 1: ( cos + isin ) = cosn + isinn (n Ơ * ) n 2) Cn bc hai s phc dng lng giỏc:` Mi s phc z = r (cos + i sin ) ( r > 0) cú cn bc hai l r cos + isin ữ v r cos + i sin ữ = r cos + ữ+ isin 2 2 VD: i sang dng lng giỏc ri tớnh: ( + i ) Ta cú + i = 100 + ữ v cn bc hai ca w = + 3.i + i ữ = cos + i sin ữ 4 100 Do ú ( + i ) = cos + i sin ữ = 250 ( cos 25 + i sin 25 ) 4 w = + 3.i = cos + i sin ữ cú cn bc hai l cos + i sin ữ v 3 6 7 cos + i sin ữ 6 100 BI TP Đ3 1) Hóy tỡm dng lng giỏc ca s phc: z ; z; a) z = r ( cos + i sin ) ( r > ) Hng dn: ; kz (k R*) mi trng hp sau: z b) z = + 3i a) z = r ( cos( ) + i sin( ) ) ; z = r ( cos( + ) + i sin( + ) ) ; z = = ( cos + i sin ) z |z| r + i sin b) z = + 3i = cos + i sin ữ; z = cos ữ; 3 3 4 1 4 z = cos + i sin + i sin ữ; = cos + i sin ữ; kz = 2k cos ữ nu k < 3 z 3 3 2) Vit cỏc s phc sau di dng lng giỏc: 1 i a) i 3; + i; i ( + i ) ; c) + 2i 1+ i b) 2i i ; d) z = sin + i cos ( ) ( ) Hng dn: 7 + i sin + i sin + i sin a) cos ữ; cos + i sin ữ; 2 cos ữ; cos ữ 3 4 12 12 12 12 + i sin b) 2i = cos + i sin ữ; i = cos ữ; 2i i = cos + i sin ữ 2 6 3 ( c) 1 i = = + i sin cos ữ + 2i 4 4 ) d) z = sin + i cos = cos ữ+ i sin ữ 3) Dựng cụng thc khai trin nh thc Niutn ( + i ) 19 v cụng thc Moavr tớnh 190 192 + 194 + 1916 1918 Hng dn: + i = cos + i sin ữ 4 Ta cú ( + i ) = 19 Gv: Lờ Hnh Phỏp n =19 i k =0 k k n = 190 i + 191 i1 + 192 i + + 1918i18 + 1919i19 vi phn thc l 190 192 + 194 + 1916 1918 Trang 12 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC 19 2 = + i = 29 + 29 i cú phn thc 29 = 512 ữ ữ ữ 2 16 18 Vy 19 19 + 19 + 19 19 = 512 ( 1+ i) 19 19 19 19 = cos + i sin 4 4) Gi M, M mt phng phc theo th t biu din cỏc s z = + i; z ' = (3 3) + (1 + 3)i z' a) Tớnh ; z b) Chng minh rng hiu s acgumen ca z vi acgumen ca z l mt s o ca gúc lng giỏc (OM, OM) Tớnh s o gúc ú Hng dn: z' = + 3i = cos + i sin ữ cú Acgumen l + k a) z 3 b) Hiu s acgumen ca z vi acgumen ca z l ' = + k Theo nh ngha, s o gúc ( OM , OM ') = sủ ( Ox, OM ' ) sủ ( Ox, OM ) = ' = + k 5) Cho cỏc s phc w = ( + i ) v = + 3i a) Chng minh rng z0 = cos + i sin , z1 = z0 , z = z0 l cỏc nghim ca phng trỡnh z w = 12 12 b) Biu din hỡnh hc cỏc s phc z0 , z1 , z2 ( ) 2 + i sin Hng dn: w = cos + i sin , = cos ; z0 = cos + i sin ữ = cos + i sin = w ; 4 3 12 12 4 z13 = ( z0 ) = z03 = z03 = w ; z23 = ( z0 ) = z03 = z03 = w 3 6) Dựng cụng thc Moavr tớnh sin v cos theo ly tha ca sin v cos Hng dn: cos + i sin = ( cos + i sin ) = cos + cos3 i sin + cos .i sin + cos .i sin + i sin = cos cos sin + sin + ( cos3 sin cos sin ) i Vy cos = cos cos sin + sin v sin = cos3 sin cos sin 7) Tớnh: ( ) 2004 i i ; ữ 1+ i Hng dn: 2004 i ữ 1+ i ( i 2004 1+ i = ữ 21 ) 21 + 3i ; ữ ữ 3i = cos + i sin 6 = cos + i sin ữ 4 6 ữ = [ cos( ) + i sin( ) ] = 2004 = 1002 ( cos + i sin ) = 1002 21 21 + 3i 2 21 21 = + 3i = cos + i sin ữ ữ = ( cos14 + i sin14 ) = ữ 3 3i 8) Cho s phc w = + 3i Tỡm cỏc s nguyờn dng n wn l s thc Hi cú s nguyờn dng m m w l s o? 4 4n 4n + i sin wn = cos + i sin Hng dn: w = + 3i = cos 3 3 4n = , iu ny xy n l bi nguyờn dng ca W l s thc sin Khụng cú m no wm l s o ( ) ( ) ( Gv: Lờ Hnh Phỏp ) Trang 13 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC 9) Vit dng lng giỏc ca s phc z v cỏc cn bc hai ca z cho mi trng hp sau: a) z = v mt acgumen ca iz l ; z b) z = v mt acgumen ca l 1+ i Hng dn: iz a) Ta cú acgumen ca i l v acgumen ca iz l nờn acgumen ca z = l = i 4 3 3 11 11 + i sin + i sin + i sin Vy z = cos ữ v cn bc hai ca z l cos ữ; cos ữ 4 8 8 z b) Gi l mt acgumen ca z thỡ l mt acgumen ca z Vi + i cú acgumen l nờn cú 1+ i acgumen l = = 4 5 cos + i sin ữ; cos + i sin Vy z = cos + i sin ữ v cn bc hai ca z l ữ 2 4 4 BI TP ễN CHNG I> Bi SGK C bn: 1) Trờn mt phng ta , tỡm hp im biu din s phc z tha: a) Phn thc ca z = 1; b) Phn o bng c) Phn thc thuc [1; 2] o thuc [0; 1] d) |z| Hng dn: a) x = b) y = c) x = 1, x = 2; y = 0, y = d) hỡnh trũn (O; 2) 2) Tỡm cỏc s thc x, y cho: a) 3x + yi = 2y + + (2 x)i; b) 2x + y = (x + 2y 5)i Hng dn: a) x = 1, y = b) x = 1, y = 3) Chng t rng vi mi s phc z, ta luụn cú phn thc v phn o khụng vt quỏ mụun ca nú Hng dn: z = a + bi |z| = a + b Ta cú |z| a = a v |z| b = b 4) Thc hin phộp tớnh sau: 1+ i + i 3i a) (3 + 2i)[(2 i) + (3 2i)]i b) (4 3i) + c) (1 + i ) (1 i) d) 2+i 2+i 2i Hng dn: 23 14 i a) 21 + i b) c) 4i d) + i 5 5 5) Gii phng trỡnh sau trờn phc: a) (3 + 4i)z + (1 3i) = + 5i; b) (4 + 7i)z (5 2i) = 6iz Hng dn: 18 13 i a) + i b) 5 7 6) Gii phng trỡnh sau trờn phc: a) z + z + = b) z = c) z = Hng dn: i 47 a) b) , i c) 1, i 7) Tỡm hai s phc, bit tng ca chỳng bng 3, tớch ca chỳng bng Hng dn: z1 + z2 = 3, z1 z2 = z1 , z2 l nghim phng trỡnh z z + = vi = ( 7i) z1,2 = i 8) Cho hai s phc z1 , z2 Bit rng z1 + z2 , z1 z2 l hai s thc Chng t z1 , z l hai nghim mt phng trỡnh bc hai vi h s thc Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang 14 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC Hng dn: t z1 + z2 = a, z1 z2 = b vi a, b R Khi z1 , z2 l hai nghim phng trỡnh ( z z1 )( z z2 ) = hay z ( z1 + z2 ) z + z1 z2 = z az + b = II> Bi SGK Nõng cao: 1) Tỡm phn thc v phn o ca mi s phc sau: 2i i + a) ( 3i ) b) c) ( x + yi ) ( x + yi ) + ( x, y R ) l mt s thc no? i 2i Hng dn: 23 63 + i a) 46 9i b) c) x y x + + y ( x 1)i y = hoc x = 26 26 z+w 2) Chng minh rng nu z = w = thỡ s ( + zw ) l s thc + zw Hng dn: Ta cú z.z = z = 1 + z+w z+w z+w z+w z w z+w = = = nờn ( + zw ) l s thc ữ= + zw + zw + zw + zw + 1 + zw zw 3) Gii phng trỡnh: 2 2 iz + iz + a) ( z + i ) ( z + i ) + 13 = b) c) ( z + 1) + ( z + 3) = 4=0 ữ z 2i z 2i Hng dn: z + i = 2i z = i a) ( z + i ) ( z + i ) + 13 = z + i = + 2i z = 3i iz + = z= + i (1 + i ) z = + i iz + iz + z 2i 2 4=0 b) ữ z 2i z 2i (4 i ) z = 8i iz + = z = + 35 i 17 17 z 2i c) ( z + 1) ( z + 3) i = ( z + ( z + 3)i ) ( z + + ( z + 3)i ) = Phng trỡnh z iz + 3i = cú nghim z1 = + 2i; z2 = i Phng trỡnh z + iz + + 3i = cú nghim z3 = 2i; z4 = i z1 4) Xột cỏc s phc z1 = 2i, z = 2i, z3 = z2 7 a) Vit z1 , z2 , z3 di dng lng giỏc b) Tớnh cos v sin t cõu a) 12 12 Hng dn: 3 7 + i sin + i sin + i sin a) z1 = 2 cos ữ; z2 = 2 cos ữ; z3 = cos 6 4 12 12 2i + 6+ + 6+ b) z3 = v sin = + i ú cos = = 2i 4 12 12 5) Cho z = + + i ( ) ( ) a) Vit z di dng i s v lng giỏc; b) T a) hóy suy dng lng giỏc ca z Hng dn: a) z = + 8i = 16 cos + i sin ữ b) z = cos + i sin ữ 6 12 12 LUYN TP Bi Tỡm cỏc s thc x, y tha: Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang 15 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC a) 2x + 1+ (1 2y) i = x + ( 3y 2) i b) 4x + 3+ (3y 2) i = y + + (x 3) i c) x + 2y + (2x y) i = 2x + y + (x + 2y) i Hng dn: a) x = , y = ; b) x = , y = ; c) x = 0, y = 11 11 Bi Tỡm phn thc v phn o ca s phc z = ( x + yi ) 2( x + yi ) + Vi giỏ tr no ca x, y thỡ s phc trờn l s thc Hng dn: Phn thc l x y x , phn o l 2( xy y ) S phc trờn l s thc y = hoc x = Bi Thc hin cỏc phộp tớnh: a) (1 + 2i ) (2 i )(3 + i ); d) (1 + 2i )3 (1 2i )3 ; g) (1 + i ) 2010 + (1 i) 2009 (1 i ) + (1 + i )(4 3i) ; 3+i (3 4i )(1 + 2i) + 3i ; c) 2i Hng dn: 12 i; a) 15 + i ; b) 5 Bi Tỡm z, bit: + i 1+ i i 2 i (3 i ) (3 + 2i )(3 2i ) f) + 5i i b) a) (1 5i) z + 10 + 2i = 5i ; e) c) 27 + i; 5 d) i ;e) i; f) 1 i; 2 z +i +1+ i = + i i 2+i + 3i z= e) ( i 3) z + i = + 2i ; f) i 2+i i z + i 2iz + 2i = h) z 3i + i) ( + i ) z 5i = 1+ i i i b) (3 2i ) z = i + z c) 3i z + 3i = z ; 1+ i z + 2i g) ( z + 1) ( + i ) 2i = i Hng dn: a) z = 2i ; b) z = + i ; c) z = 3i ; d) z = i ; 5 e) i ; f) i g) z = i h) z = 3i 5 Bi Bit z1 v z2 l hai nghim ca phng trỡnh z + 3z + = Hóy tớnh: z1 z2 2 2 3 + ; a) z1 + z2 ; b) z1 + z ; c) d) z1 + z2 z2 z1 Hng dn: z1 z2 2 2 3 + a) z1 + z2 = 3; b) z1 + z2 = ; c) = 1; d) z1 + z = z2 z1 Bi Tỡm hai s phc, bit tng ca chỳng bng v tớch ca chỳng bng 7 Hng dn: Hai s phc cn tỡm l z1 = + i v z2 = i 2 2 Bi Tỡm cn bc hai ca cỏc s phc: a) + 3i ; b) 17 + 20 2i ; c) 46 14 3i Hng dn: a) z1 = + 3i; z2 = 3i d) b) z1 = + 2i; z2 = 2i Bi Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc: a) x x + = ; b) x + x + = ; e) x + x + = ; f) x + x + 10 = ; Gv: Lờ Hnh Phỏp g) 21004 + 21004 i i) z = + 3i c) z1 = + 3i; z2 = 3i c) x x + = ; g) x (3 + i ) x + + 3i = ; d) x 12 x + 25 = h) x x + 4i = Trang 16 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC Hng dn: a) x = i ; b) x = 2i ; c) x = i; d) x = i 1 e) x = i ; f) x = i ; g) x = + 2i, x = i ; h) x = + i, x = i 3 Bi Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc: a) x x + = ; b) x x + = ; c) x 24 = ; d) x + 3x = e) x + 16 = ; f) x x + = ; g) ix + 3ix = ; h) x (3 i ) x + 3i = Hng dn: 23 4 4 a) b) d) v i ; e) 2i , + 2i i; i ; c) v 3i ; 6 2 6 f) g) i , + i ; h) = [ (1 + 3i )] , nghim + i , 2i i; 6 Bi 10 Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc: a) z + 8(1 i ) z 12 16i = ; b) z ( + i ) z 2i = ; ( ) ( ) 2 c) iz ( i ) z = ; d) z ( i ) z + i = Hng dn: a) z = 2i, z = + 6i ; b) z1 = 2; z2 = i ; c) z1 = 2; z2 = 2i ; d) z1 = + i; z2 = 2i Bi 11 Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc: a) x + x + 25 = ; b) x 16 x + 100 = ; c) x 3x + 3i = d) x 3(1 + 2i) x + 6i = ; e) x + 24i = ; f) x 28 + 96i = Hng dn: a) x = ( 2i ) , x = ( + 2i ) ; b) x = ( i ) , x = ( + i ) ; c) x = ( i ) , x = ( + i ) d) x = ( + i ) , x = ( + i ) ; Bi 12 Tỡm z bit: a) z = z ; e) x = ( + i ) , x = ( 2i ) ; b) z + z = 4i f) x = ( i ) , x = ( + 3i ) c) z + i = z + 2i v 10 = z 10 2 Hng dn: Gi z = x + y i z = x y i v z = x y + xyi x y = x (1) a) z = z xy = y (2) (2) cú nghim y = thay vo (1) x = hoc x = 1 Nu y (2) cú nhim x = thay vo (1) y = 2 , ; Vy nghim ca h l cỏc cp s (0; 0), (1; 0), ; ữ ữ ữ ữ 2 3 Vy phng trỡnh cú cỏc nghim: z = 0; z = 1; z = + i;z= i 2 2 b) z = + 4i c) z = 3i; z = + 3i Bi 13 Trong mt phng Oxy, tỡm hp im biu din s phc z tha: z 3i = ; c) z = z + i ; a) z i = ; b) d) (2 + 3i ) z + 2i m = (m l tham s) z + 3i Hng dn: a) z i = x + ( y 1)i = x + ( y 1) = x + ( y 1) = Tp hp im biu din s phc z l ng trũn tõm I(0; 1), bỏn kớnh R = Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang 17 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng z 3i x + ( y 3)i =1 =1 z + 3i x + ( y + 3)i b) S PHC x + ( y 3) =1 y = x + ( y + 3) Tp hp im biu din s phc z l trc Ox c) z = z + i x + yi = ( x 1) ( y 1)i x + y = ( x 1) + ( y 1) x + y = Tp hp im biu din s phc z l ng thng d: x + y = 2m x = m 2i 2m 3m + 13 z= i 3x + y + = d) (2 + 3i ) z + 2i m = z = m + + 3i 13 13 y = 13 Tp hp im biu din s phc z l ng thng d: 3x + 2y + = Bi 14 Vit cỏc s phc sau di dng lng giỏc: a) z =1 + i; b) z =1 i; c) z = 3; d) z = 5; e) z = I; f) z = 2i g) z = + i ; h) z = i ; i) z = + i Hng dn: a) z = cos + i sin ữ ; b) z = cos ữ+ i sin ữữ ; c) z = ( cos + i sin ) 4 e) z = cos + i sin ữ; f) z = cos ữ+ i sin ữữ 2 2 + i sin g) z = cos + i sin ữ ; h) z = cos ữ+ i sin ữữ ; i) z = cos ữ 3 3 d) z = ( cos + i sin ) ; Bi 15 Dựng cụng thc Moa-vr tớnh (1 + i )5 , Hng dn: ( + i ) Bi 16 Tỡm phn thc v phn o ca s phc ( ( ) i ) +i + i = + iữ = cos + i sin ữ ữ 6 2 Theo cụng thc Moa-vr Hng dn: = 28 cos8 + i sin ữ = 28 cos + ữ+ i sin + ữ = 28 iữ ữ 6 2 Phn thc l 27 , phn o 27 ( +i ) Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang 18 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC CC THI TT NGHIP THPT Bi ( thi TN.THPT nm 2006) Gii phng trỡnh x x + = trờn s phc Hng dn: Ta cú = 25 32 = = ( 7i ) Phng trỡnh cú hai nghim l: + 7i 7i = + i ; x1 = = i 4 4 4 Bi ( thi TN.THPT nm 2007) a) Ln (1 im): Gii phng trỡnh x x + = trờn s phc b) Ln (1 im): Gii phng trỡnh x x + 25 = trờn s phc Hng dn: a) Ta cú = = = ( 3i ) Phng trỡnh cú hai nghim l: x1 = + 3i ; x1 = 3i x1 = b) Ta cú = 25 = 16 = (4i ) Phng trỡnh cú hai nghim l: x1 = + 4i ; x1 = 4i Bi ( thi TN.THPT nm 2008) a) Ln (1 im): Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = (1 + 3i ) + (1 3i ) b) Ln (1 im): Gii phng trỡnh x x + = trờn s phc Hng dn: a) P = (1 + 3i ) + (1 3i ) = (1 + 3i 3) + (1 3i 3) = + 2i 2i = + i ; x2 = = i b) Ta cú = = = (2i ) Phng trỡnh cú hai nghim l: x1 = 2 Bi ( thi TN.THPT nm 2009) a) Chng trỡnh Chun (1 im): Gii phng trỡnh z z + = trờn s phc b) Chng trỡnh Nõng cao (1 im): Gii phng trỡnh z iz + = trờn s phc Hng dn: a) Ta cú = 16 32 = 16 = (4i ) Phng trỡnh cú hai nghim l: + 4i 1 4i 1 z1 = = + i ; z2 = = i 16 4 16 4 i + 3i i 3i = i ; z2 = = i b) Ta cú = = = (3i ) Phng trỡnh cú hai nghim l: z1 = 4 Bi ( thi TN.THPT nm 2010) a) Chng trỡnh Chun (1 im): Cho hai s phc z1 = + 2i v z2 = 3i Xỏc nh phn thc v phn o ca s phc z1 z2 b) Chng trỡnh Nõng cao (1 im): Cho hai s phc z1 = + 5i v z2 = 4i Xỏc nh phn thc v phn o ca s phc z1 z2 Hng dn: a) z1 z2 = (1 4) + (2i + 6i) = + 8i Phn thc l 3, o b) z1 z2 = 8i + 15i 20 i = 26 + 7i Phn thc l 26, o Gv: Lờ Hnh Phỏp Trang 19 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC CC THI I HC CAO NG Bi ( thi Cao ng nm 2009 Khi A, B, D) a) Chng trỡnh Chun (1 im) Cho s phc z tho (1 + i ) (2 i) z = + i + (1 + 2i ) z Tỡm phn thc v phn o ca z z 7i = z 2i trờn Ê b) Chng trỡnh Nõng cao (1 im) Gii phng trỡnh z i Hng dn: a) (1 + i ) (2 i) z = + i + (1 + 2i) z (1 + i) (2 i ) (1 + 2i ) z = + i [ 2i(2 i ) 2i ] z = + i 8+i (8 + i )(1 2i ) 10 15i = 3i Phn thc l 2, phn o z= z= + 2i 1+ z 7i = z 2i z (4 + 3i) z + + 7i = b) z i 2 Ta cú = (4 + 3i ) 4(1 + 7i) = 4i = (2 i) Phng trỡnh cú nghim: + 3i + i + 3i + i z1 = = + i v z2 = = + 2i 2 Bi ( thi i hc nm 2009 Khi D) Chng trỡnh Chun (1 im) Trong mt phng ta Oxy, tỡm hp im biu din cỏc s phc z tho iu kin | z (3 4i ) |= Hng dn: t z = x + y i (x, y Ă ) z (3 4i ) = x + yi + 4i = ( x 3) + ( y + 4)i z= Ta cú | z (3 4i) |= ( x 3) + ( y + 4) = ( x 3) + ( y + 4) = Tp hp im biu din cỏc s phc z l ng trũn tõm I(3; 4), bỏn kớnh R = Bi ( thi i hc nm 2009 Khi B) Chng trỡnh Chun (1 im) Tỡm s phc z tho: | z (2 + i ) |= 10 v z.z = 25 Hng dn: t z = x + y i (x, y Ă ) z (2 + i ) = x + yi i = ( x 2) + ( y 1)i Ta cú | z (2 + i ) |= 10 ( x 2) + ( y 1) = 10 x + y x y = (1) Ta cú z.z = 25 (x + y i )( x y i ) = 25 x + y = 25 (2) x + y x y = y = 10 x y = 10 x x = T (1) v (2), ta cú hoc 2 2 x + y = 25 y = x + y = 25 x x 15 = x = Vy z = + i hoc z = + i y = Bi ( thi i hc nm 2009 Khi A) Chng trỡnh Chun (1 im) Gi z1 v z2 l hai nghim phc ca 2 phng trỡnh z + z + 10 = Tớnh giỏ tr ca biu thc A = z1 + z2 Hng dn: z + z + 10 = cú = 10 = = (3i ) Nghim l z1 = + 3i , z2 = 3i 2 Ta cú: z1 = + = 10 v z2 = + = 10 nờn A = z1 + z2 = 20 Bi 10 ( thi Cao ng nm 2010 Khi A, B, D) a) Chng trỡnh Chun (1 im) Tỡm phn thc, o ca s phc z tha: ( 3i ) z + ( + i ) z = ( + 3i ) b) Chng trỡnh Nõng Cao (1 im) Gii phng trỡnh z ( + i ) z + + 3i = Hng dn: a) Gi z = a + bi, ta cú: ( 3i ) z + ( + i ) z = ( + 3i ) ( 3i ) (a + bi) + ( + i ) (a bi) = ( + 3i ) Vy phn thc a = 2, phn o b = Gv: Lờ Hnh Phỏp 6a + 4b = a = 6a + 4b (2a + 2b)i = 6i 2a + 2b = b = Trang 20 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng S PHC b) z ( + i ) z + + 3i = cú = (1 + i ) 4(6 + 3i) = 24 10i = (1 5i ) + i + 5i + i + 5i = 2i ; z2 = = 3i Do ú phng trỡnh cú nghim: z1 = 2 Bi 11 ( thi i hc nm 2010 Khi D) Chng trỡnh Chun (1 im) Tỡm s phc z tha: z = v z l s thun o Hng dn: z = a + b Gi z = a + bi Theo ta cú: 2 z = a b + 2abi 2 a + b = a = a = a + b = a = 2 hoaởc 2 b = b = a b = a b = a b = a = a = a = a = hoaởc hoaởc hoaởc b = b = b = b = Vy z = + i hoc z = i hoc z = + i hoc z = i Bi 12 ( thi i hc nm 2010 Khi B) Chng trỡnh Chun (1 im) Trong mt phng Oxy, tỡm hp im biu din bi s phc z tha z = (1 + i ) z Hng dn: Gi z = x + yi, ta cú x + ( y 1)i = (1 + i)( x + yi ) x + ( y 1) = ( x y ) + ( x + y ) x + y + y = x + ( y + 1) = Tp hp l ng trũn tõm I(0; 1), bỏn kớnh R = Bi 13 ( thi i hc nm 2010 Khi A) a) Chng trỡnh Chun (1 im) Tỡm phn o ca s phc z tha: z = ( + i ) (1 2i ) b) Chng trỡnh Nõng Cao (1 im) Cho s phc z tha: z = Hng dn: (1 3i )3 Tỡm mụun ca s phc z + iz i ( )( ) a) Gi z = a + bi, ta cú: z = ( + i ) (1 2i ) a bi = + 2i 2i a bi = + 2i a = 5, b = Vy phn phn o b = b) Gi z = a + bi, ta cú: z = (1 3i )3 3i + 3i 8(1 + i ) = = = = 4i i i i 1+1 z = + 4i v iz = 4i z + iz = 8i Do ú : z + iz = Gv: Lờ Hnh Phỏp ( 8) + ( ) = Trang 21 [...]... Bình – Bình Dương SỐ PHỨC §3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I> Số phức dưới dạng lượng giác: 1) Acgumen của số phức z ≠ 0: i  Cho số u phức zu ur uuu r= a + b ≠ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Số đo (rađian) của góc ϕ = (Ox, OM ) được gọi là một acgumen của z  Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2π tức là có dạng ϕ + k2π (k∈ ¢ ) (z và nz sai khác nhau k2π với n là một số thực khác 0)... 3i  1 8) Cho số phức w = − 1 + 3i Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực Hỏi có số nguyên dương 2 m m để w là số ảo? 1 4π 4π 4nπ 4nπ + i sin ⇒ wn = cos + i sin  Hướng dẫn: w = − 1 + 3i = cos 2 3 3 3 3 4nπ = 0 , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3 W là số thực khi sin 3 Không có m nào để wm là số ảo ( ) ( ) ( Gv: Lê Hành Pháp ) Trang 13 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC 9) Viết dạng... III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: 1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) và Gv: Lê Hành Pháp Trang 11 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC [ r(cosφ + isinφ)] = r n (cosnφ + isinnφ) (n∈ ¥ * ) n r = 1: ( cosφ + isinφ ) = cosnφ + isinnφ (n∈ ¥ * ) n   2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là ϕ ϕ  φ φ φ... dẫn: 1 3 7 6 a) x = , y = ; b) x = − , y = − ; c) x = 0, y = 0 3 5 11 11 Bài 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( x + yi ) 2 − 2( x + yi ) + 5 Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực  Hướng dẫn: Phần thực là x 2 − y 2 − 2 x − 5 , phần ảo là 2( xy − y ) Số phức trên là số thực khi y = 0 hoặc x = 1 Bài 3 Thực hiện các phép tính: a) (1 + 2i ) 2 – (2 – 3 i )(3 + 2 i ); d) (1 + 2i... z1 + z 2 = 6 z2 z1 Bài 6 Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4 3 7 3 7  Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là z1 = + i và z2 = − i 2 2 2 2 Bài 7 Tìm căn bậc hai của các số phức: a) 1 + 4 3i ; b) 17 + 20 2i ; c) 46 − 14 3i  Hướng dẫn: a) z1 = 2 + 3i; z2 = −2 − 3i d) b) z1 = 5 + 2 2i; z2 = −5 − 2 2i Bài 8 Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) x 2 − 4 x + 5 = 0 ; b)... biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2 Gv: Lê Hành Pháp Trang 17 THPT Tân Bình – Bình Dương z − 3i x + ( y − 3)i =1⇔ =1⇔ z + 3i x + ( y + 3)i b) SỐ PHỨC x 2 + ( y − 3) 2 =1⇔ y = 0 x 2 + ( y + 3) 2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox c) z = z − 1 + i ⇔ x + yi = ( x − 1) − ( y − 1)i ⇔ x 2 + y 2 = ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 ⇔ x + y − 1 = 0 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là... THPT Bài 1 (Đề thi TN.THPT năm 2006) Giải phương trình 2 x 2 − 5 x + 4 = 0 trên tập số phức  Hướng dẫn: Ta có ∆ = 25 – 32 = –7 = ( 7i ) 2 Phương trình có hai nghiệm là: 5 + 7i 5 7 5 − 7i 5 7 = + i ; x1 = = − i 4 4 4 4 4 4 Bài 2 (Đề thi TN.THPT năm 2007) a) Lần 1 (1 điểm): Giải phương trình x 2 − 4 x + 7 = 0 trên tập số phức b) Lần 2 (1 điểm): Giải phương trình x 2 − 6 x + 25 = 0 trên tập số phức  Hướng... hai nghiệm là: z1 = 4 4 2 Bài 5 (Đề thi TN.THPT năm 2010) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 − 2 z2 b) Chương trình Nâng cao (1 điểm): Cho hai số phức z1 = 2 + 5i và z2 = 3 − 4i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 z2  Hướng dẫn: a) z1 − 2 z2 = (1 – 4) + (2i + 6i) = –3 + 8i Phần thực là –3, ảo 8 b) z1 z2... Bình – Bình Dương SỐ PHỨC 2 b) z − ( 1 + i ) z + 6 + 3i = 0 có ∆ = (1 + i ) 2 − 4(6 + 3i) = −24 − 10i = (1 − 5i ) 2 1 + i + 1 − 5i 1 + i − 1 + 5i = 1 − 2i ; z2 = = 3i Do đó phương trình có 2 nghiệm: z1 = 2 2 Bài 11 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thỏa: z = 2 và z 2 là số thuần ảo  Hướng dẫn:  z = a 2 + b 2 Gọi z = a + bi ⇒  2 Theo đề ta có: 2 2  z... Bình – Bình Dương SỐ PHỨC 19  2 2  = 2 − + i = −29 + 29 i có phần thực −29 = −512  ÷ ÷  ÷ 2    2 0 2 4 16 18 Vậy ð19 − ð19 + ð19 − + ð19 − ð19 = –512 ( 1+ i) 19 19  19π 19π = 2  cos + i sin 4 4  4) Gọi M, M′ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số z = 3 + i; z ' = (3 − 3) + (1 + 3 3)i z' a) Tính ; z b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z′ với acgumen của z là một số đo của góc lượng