ubnd huyện quế võ phòng gd- đt *** đề thi giáo viên giỏi cấp huyện Năm học: 2008- 2009 Môn thi: Toán (THCS) ( Thời gian làm : 120 phút) Bài 1: ( điểm ) a/ Chứng minh với số tự nhiên n n5 n có chữ số tận giống b/ Chứng minh phân số 12n + phân số tối giản ( n N ) 30n + Bài 2: ( điểm ) a/ Chứng minh Nếu a, b, c ba số thoả mãn: a + b + c = 2008 (1) 1 1 (2) ba số a, b, c phải có số 2008 + + = a b c 2008 1 1 b/ Giải phơng trình : + = + 2x + x x + 2x Bài 3: ( 1,5 điểm ) Cho phơng trình: x 5mx 4m = ( m tham số ) a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm b/ Chứng minh : x12 + 5mx2 4m ( x1, x2 nghiệm phơng trình ) Bài : ( điểm ) Hớng dẫn học sinh giải tập sau: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định H điểm thuộc đoạn OB cho HB = 2HO Kẻ dây CD vuông góc với AB H Gọi E điểm di động cung nhỏ CB cho E không trùng với C B Nối A với E cắt CD I a/ Chứng minh AD2 = AI.AE b/ Tính AI.AE HA.HB theo R c/ Xác định vị trí điểm E để khoảng cách từ H đến tâm đờng tròn ngoại tiếp DIE ngắn Bài 5: ( 1, điểm ) Cho tam giác có số đo ba đờng cao số nguyên, bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác (Đề dự bị - đề thi gồm 01 trang) đáp án đề thi giáo viên giỏi cấp huyện môn toán THCS Bài 1: a/ Ta có n5 n = 5(n-1)n(n+1)+(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) Chia hết cho (1 điểm ) n5 n M 10 n5 n có chữ số tận giống b/ Gọi d ớc chung lớn 12n+1 30n +2 12n + 1Md ,30n + 2Md 24n + 2Md ( 30n + ) ( 24n + ) Md 6nMd 12n Md mà 12n + 1Md 1Md d = 12n + phân số tối giản 30n + ( điểm ) Bài 2: 1 1 + + = ( a + b) ( b + c) ( c + a ) = a b c a+b+c a+b = kết hợp với (1) c = 2008 b+c = kết hợp với (1) a = 2008 a+c = kết hợp với (1) b = 2008 a/ Từ (1) (2) suy Vậy ba số a , b, c có số = 2008 b/ ( điểm ) 1 1 1 1 (*) đkxđ: x 1; 2; + = + + + = 2x +1 x x + 2x 2x + x x 2x 2 Đặt a = 2x + 1, b = x - 1, c = - x- a + b + c = 2x - 1 1 Phơng trình (*) trở thành + + = theo kết câu a ta có a b c a+b+c ( a + b) ( b + c) ( c + a ) = a + b = x + + x = x = 0(t / m) b + c = x x = ( vô lí) a + c = x + x = x = x = ( loại) Vậy phơng trình có nghiệm là: x = Bài 3: a/ Ta có = 25m + 16m ( điểm ) 16 ( 0,5 điểm ) 25 b/ Vì x1 nghiệm phơng trình nên ta có x12 5mx1 4m = x12 = 5mx1 + 4m Để phơng trình có nghiệm = 25m + 16m m m x12 + 5mx2 4m = 5mx1 + 4m + 5mx2 4m = 5m ( x1 + x2 ) = 5m.5m = 25m Bài 4: ( Vì theo viet ta có x1 + x2 = 5m ) ( điểm ) AD = AH AB (htl ) a/ AD = AE.AI đồng dạng) AE AI = AH AB (AIH , ABE ( điểm ) R b/ Ta có AI.AE HA.HB = AD2 HD2 = AH2 = ( OA+OH)2 =( R+ )2 = 16 R ( điểm ) c/ Kẻ Dx DI D cắt EB kéo dài F Tứ giác DIEF nội tiếp (tổng hai góc đối = 1800) đờng tròn ngoại tiếp DIE trùng với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DIEF có đờng kính IF Gọi K giao điểm IF BD K tâm đờng tròn ngoại tiếp DIE HK ngắn HK BD K KD = với ( K; 4R ) 3 4R E giao điểm (O;R) 3 ( E cung nhỏ BC đờng tròn tâm O ) ( điểm ) Bài 5: Gọi a, b, c ba cạnh tam giác ha, hb, hc ba đờng cao ứng với cạnh a, b, c r bán kính đờng tròn nội tiếp, S diện tích tam giác Đặt = x, hb= y, hc =z ( x,y,z N*) Ta có 2S = ax = by = cz = r(a+b+c)= a + b + c ( r = 1) b + c > a ( t/c bất đẳng thức tam giác ) a + b + c > 2a ax > 2a x > tơng tự y >2, z >2 x y z z a b c a +b+c 1 = = = + + = 1(*) Ta lại có ax = by = cz = 1/ x 1/ y 1/ z 1/ x + 1/ y + 1/ z x y z z mà z > z =3 thay vào ( *) ta đợc x = y = z Giả sử : x y z > + + Vậy tam giác cho tam giác ( 1,5 điểm )