DE 3 +DAP AN THI THU DH

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH - ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 2x + Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x+2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm đường tiệm cận (C) Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Câu II (2 điểm) 3π  2(sin x + cos x )  = 1) Giải phương trình: tan 2x + sin 2x −  +  sin x − cos x  2) Giải phương trình: 2(2 + x − − x ) − − x = 3x + (x ∈ R) π Câu III (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ π cos x π sin x sin( x + ) dx Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ′B ′C ′ có A ′.ABC hình chóp tam giác cạnh đáy AB = a Biết độ dài đoạn vuông góc chung AA ′ BC a Tính thể tích khối chóp A ′.BB ′C ′C sin x cos x  +4 Câu V (1 điểm) Tìm tất số thực x thỏa mãn phương trình 16   log 2010 = 2010 PHẦN RIÊNG (Thí sinh làm hai phần: PHẦN A PHẦN B) PHẦN A Câu VIa (2 điểm) 1) (C ) : (x − 2) + (y − 2) = Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (C ) cắt Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : (x − 1) + y = đường tròn (C ) điểm M, N cho MN = 2 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB tọa độ đỉnh A(1;−1;−2) ; B (−1; 1; 0) C(0;−1; 2) Xác định tọa độ đỉnh D Câu VIIa (1 điểm) Tính tổng S = C 12010 − C 32010 + C 52010 − + 2009 C 2009 2010 PHẦN B Câu VIb (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I( ; ) trung 2 điểm cạnh AD M(3; 0) Xác định toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H(− ; ; ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua H 11 11 11 cắt trục tọa độ A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Câu VIIb (1 điểm) Giải phương trình log (x + 1) + = x +1 − (x ∈ R) Hết http://kinhhoa.violet.vn SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2010 NỘI DUNG ĐIỂM Câu I 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = điểm điểm 2x + x+2 * Tập xác định: D = R\{-2} > ∀x ∈ D ( x + 2) * Tiệm cận: lim = +∞, lim = −∞; lim = 0,25đ ⇒ Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x = −2 tiệm cận ngang y = * Bảng biến thiên 0,25 đ * Chiều biến thiên: y ′ = x → − 2− x y’ x → −2+ x → ±∞ -∞ +∞ -2 + + +∞ 0,25đ y -∞ * Vẽ đồ thị 2) Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M cắt  2x +   ∈ (C ); x ≠ −2 phương trình tiếp tuyến với (C) M có dạng Lấy M x ; x +   2x + y= (x − x ) + (d) x0 + ( x + 2) 2x + ) Gọi B giao (d) x0 + tiệm cận ngang y = Tìm B (2x + 2; 2) Từ suy M trung điểm AB Ta thấy tam giác IAB vuông I nên IM bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IAB Vậy đường tròn 0,25đ điểm 0,25đ Gọi A giao (d) tiệm cận đứng x = −2 Tìm A(−2; ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích π.IM nhỏ ⇔ IM nhỏ 0,25đ 0,25đ  2x +  −  = (x + 2) + ≥ Vậy IM nhỏ Ta có I( −2; 2) IM = (x + 2) +  ( x + 2)  x0 +   x + =1  x = −1 ⇒ M(−1; 1) (x + 2) = ⇔  ⇔  ( x + 2) x + = −1  x = −3 ⇒ M(−3; 3) 2 Câu II 0,25đ điểm 3π  2(sin x + cos x )  1) Giải phương trình tan 2x + sin 2x −  + =  sin x − cos x  Điều kiện: cos 2x ≠ 2(sin x + cos x) Phương trình ⇔ tan 2x + cos 2x + =1 sin x − cos x ⇔ sin 2x + cos 2x − 2(sin x + cos x) = cos 2x điểm 0,25đ 0,25đ ⇔ sin 2x + cos 2x − − sin 2x = cos 2x ⇔ cos 2x − cos 2x − = ⇔ cos 2x = −2 (loại) cos 2x = −1 ⇔ x = 0,25đ π + kπ ( k ∈ Z) (thỏa mãn) 0,25đ 2) Giải phương trình: 2(2 + x − − x ) − − x = 3x + (x ∈ R) Đặt u = + x 2 2 điểm ≥ v = − x ≥ ⇒ x = u − u + v = 4u − v − uv = 3u − (1) Phương trình ⇔  u + v =2 ( 2) Thay (2) vào (1) ta phương trình: ( u ≥ 1; v ≥ ) 0,25đ 4u − 2v − uv = 3u − (u + v ) ⇔ v − v( u + 2) + 4u − 2u = 0,25đ 0,25đ Ta có ∆ = (3u − 2) ⇒ v = 2u v = − u * Với v = 2u ⇔ − x = + x ⇔ 5x = −3 (vô nghiệm) * Vớ i v = − u ⇔ − x = − + x ⇔ − x + + x = ⇔ − x = ⇔ x = Câu III π Tính tích phân I = ∫ π π cos x π sin x sin( x + ) π cot x cot x dx = ∫ dx π sin x(sin x + cos x) π sin x(1 + cot x) cot x Ta có I = ∫ dx π 2 dx = ∫ π sin x sin( x + ) π π dx Đặt t = cotx dt = − x = ⇒ t = 3; x = ⇒ t = sin x π V ậy I = ∫ t2 dt = t +1  0,25đ điểm 0,25đ 0,25đ  0,25đ ∫  t − + t + dt  t2   +  =  − t + ln t +  =  − + ln        0,25đ Câu IV Tính thể tích khối chóp A ′.BB ′C ′C điểm A’ C’ B’ N A C O M B Gọi O tâm đáy ABC M trung điểm cạnh BC Hạ MN ⊥ A ′A Do BC ⊥ (A ′AM ) nên MN đoạn vuông góc chung A ′A BC ⇒ MN = a 3a A ′O AO MN.AO a Hai tam giác A ′OA MNA đồng dạng nên = ⇒ A ′O = = MN AN AN 2 a a2 a3 VA′.BB′C′C = VA′B′C′.ABC − VA′.ABC = A ′O.S ABC − A ′O.S ABC = A ′O.S ABC = = 3 3 18 Ta có AM = a a ; AO = AM = ; 3 AN = AM − MN = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu V điểm sin x cos x  Tìm tất số thực x thỏa mãn phương trình 16 +4   sin x log 2010 = 2010 cos x Lấy log 2010 vế phương trình ⇔ 16 +4 =5 Ta có cos x cos x cos x cos x 4( sin x + cos x −1) sin x cos x sin x 16 +4 =4 + + + + ≥5 ≥5 4 4 sin x + cos x ≥ sin x + cos x =  sin x cos x = 4 ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈ Z ) Dấu xảy ⇔   sin x + cos x = Câu VIa 1) Viết phương trình đường thẳng (d) Đường tròn (C ) có tâm I1 (1; 0) bán kính R1 = Đường tròn (C ) có tâm I (2; 2) bán kính R = 0,25đ 0,5đ 0,25đ điểm điểm  MN  Ta cần có (d) tiếp tuyến (C ) cách tâm I2 khoảng IH = R 22 −   =   0,25đ  1 − c = * TH1: Nếu (d) có dạng x = c Ta có hệ  ⇒ vô nghiệm c 2 − c =  0,25đ * TH2: Nếu (d) có dạng y = ax + b  a+b = (1)  4a + 3b = 2  a +1 Ta có hệ  ⇒ a + b = 2a − + b ⇔   b = −2  2a − + b = ( 2)   a +1 Khi 4a + 3b = thay vào (1) giải a = −1 a = − ⇒ (d): x + y − = x + y − = Khi b = −2 thay vào (1) giải a = a = ⇒ (d): x − y − = x − y − = -2) Xác định tọa độ đỉnh D 0,25đ 0,25đ điểm Ta có BC = Do ABCD hình thang cân nên AD = BC = Gọi ∆ đường thẳng qua C song song với AB (S) mặt cầu tâm A, bán kính R = D giao ∆ (S)  x = − 2m  Đường thẳng ∆ qua C có vtcp AB (−2; 2; 2) nên ta có phương trình ∆ :  y = −1 + 2m (1) z = + m  → Mặt cầu (S) có phương trình: (x − 1) + (y + 1) + (z + 2) = (2) Giải hệ (1), (2) tìm m = −1 m = − Khi m = -1 ta có D(2;−3; 0) (loại CD = AB = nên ABCD hình bình hành) Khi m = − ta có D( ;− ; ) (thỏa mãn) 3 3 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu VIIa Tính tổng S Khai triển điểm = C 12010 −3 (1 + x ) C 32010 2010 + C 52010 − + 2009 C 2009 2010 2010 = C 02010 + C 12010 x + C 22010 x + C 32010 x + + C 2010 2010 x 2009 x ) 2009 = C 12010 + 2C 22010 x + 3C 32010 x + + 2010C 2010 2010 x Đạo hàm vế ⇒ 2010(1 + Nhân vế với x đạo hàm ta 2009 2010 (1 + x) 2009 + 2009x(1 + x ) 2008 = C 12010 + 2 C 22010 x + C 32010 x + + 2010 C 2010 2010 x Thay x = i vào vế ta có [ ] Vế trái = 2010.(1 + i) 2008 (1 + 2010i) = 2010.(2i)1004 (1 + 2010i) = 2010.21004 (1 + 2010i) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 2010 Vế phải = (C 12010 − C 32010 + C 52010 − + 2009 C 2009 2010 ) + i( C 2010 − + 2010 C 2010 ) Vậy S = 2010.21004 Câu VIb 1) Xác định toạ độ đỉnh hình chữ nhật S Ta có AB = IM = AD = ABCD = 2 ⇒ MA = MD = AB → 3 Đường thẳng AD qua M ( 3; 0) nhận MI( ; ) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình 2  x + y −3=0 x + y − = Vì MA = MD = nên tọa độ A, D nghiệm hệ  2 (x − 3) + y = Giải hệ tìm A( 2; 1), D( 4; -1) Vì I trung điểm AC BD nên từ có C(7; 2) B(5; 4) Vậy toạ độ đỉnh hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A x y z Giả sử A(a; 0; 0); B(0; b; 0) C(0; 0; c) ⇒ ( P ) : + + = Từ H ∈ ( P ) suy a b c 2 − + + = ⇔ − + + = 11 (1) 11a 11b 11c a b c Ta có: → → AH(− − a; ; ) ; BC(0; − b; c) Vì AH ⊥ BC ⇒ − 6b + 2c = (2) 11 11 11 → → BH(− ; − b; ) ; AC (−a; 0; c) Vì BH ⊥ AC ⇒ 2a + 2c = (3) 11 11 11 Giải hệ (1), (2), (3) tìm a = −2; b = ; c = từ có phương trình ( P ) : x − 3y − z + = Câu VIIb Giải phương trình log (x + 1) + = x +1 − (x ∈ R) 0,25đ điểm điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ điểm Đặt t = x + − ≥ Phương trình trở thành log (t + 1) + = t 0,25đ 3 y = t + Đặt y = log (t + 1) ta có hệ  t ⇒ 3y − 3t = t − y ⇔ t = y 3 = y + 0,25đ Vậy ta có t = t + Xét hàm f (t ) = t − t − với t ≥ ta thấy phương trình f(t) = có nghiệm t = 0,25đ Từ suy t = x + − = ⇔ x = 0,25đ ... −1  x = 3 ⇒ M( 3; 3) 2 Câu II 0,25đ điểm 3  2(sin x + cos x )  1) Giải phương trình tan 2x + sin 2x −  + =  sin x − cos x  Điều kiện: cos 2x ≠ 2(sin x + cos x) Phương trình ⇔ tan 2x +... BC ⇒ MN = a 3a A ′O AO MN.AO a Hai tam giác A ′OA MNA đồng dạng nên = ⇒ A ′O = = MN AN AN 2 a a2 a3 VA′.BB′C′C = VA′B′C′.ABC − VA′.ABC = A ′O.S ABC − A ′O.S ABC = A ′O.S ABC = = 3 3 18 Ta có... ta có D(2; 3; 0) (loại CD = AB = nên ABCD hình bình hành) Khi m = − ta có D( ;− ; ) (thỏa mãn) 3 3 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu VIIa Tính tổng S Khai triển điểm = C 12010 3 (1 + x ) C 32 010 2010