BOI DUONG HSG TOAN

NỘI DUNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho biểu thức 1 a2 + + − P= 2(1 + a ) 2(1 − a ) − a a) Rút gọn P b) Tìm Min P Bài 2: Cho x, y hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x + y + xy Tính giá trị biểu thức : P = xy - Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x-y x+y Biết x2 -2y2 = xy x ≠ 0; x + y ≠ Bài 4: Cho biểu thức 15 x − 11 x − 2 x + + − P= x +3 x + x − 1- x a) Tìm giá trị x cho P = b) Chứng minh P ≤ 2 Bài 5: Cho biểu thức 3a + 9a − a +1 a −2 − + P= a+ a −2 a + 1− a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nguyên Bài 6: Cho biểu thức P= a +4 a-4 + a −4 a-4 16 1- + a a2 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a (a >8) để P nguyên Bài 7: Cho biểu thức  a    − : − P =      a − a − a   a + a − 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P a = + 2 c) T ìm giá trị a cho P < Bài 8: Cho biểu thức  x 8x   x −  − : − P =    x  2+ x 4−x x−2 x a) Rút gọn P b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với giá trị x > ta có m( x - 3)P > x + Bài 9: Cho biểu thức    y x + y  x  x − y - xy  :  + − P=  x + y   xy + y xy − x xy   a) Tìm x, y để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm giá trị P với x = 3, y = + Bài 10: Cho biểu thức  x + x - x − 4x −  x + 2007   − + P=    x −1 x + x x −   a) Tìm x để P xác định b) Rút gọn P c) Tìm giá trị nguyên x để P nguyên Bài 11: Rút gọn P P=   a + a − b2 a − a − b2 −   a − a − b2 a + a − b2    a − a 2b :  b2  Với | a | >| b | > Bài 12: Cho biểu thức  x −2 x +   − x    −  P=     x − x + x +   a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > c) Tìm GTLN P Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức 2x x +1 x + 10 + + P= x +3 x +2 x +4 x +3 x +5 x +6 Không phụ thuộc vào biến số x Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức P= x+ − +4 −x −4 + + x Không phụ thuộc vào biến số x Bài 15: Cho biểu thức x2 − x x2 + x − +x +1 x + x +1 x − x +1 P= Rút gọn P với ≤ x ≤ Bài 16: Cho biểu thức P= x2 − x 2x + x 2(x −1) − + x + x +1 x x −1 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN P c) Tìm x để biểu thức Q = Bài 17: x nhận giá trị số nguyên P Cho biểu thức  2x x + x − x x + x  x −1 x ⋅ − + P =   x −  2x + x − x − x x −1  a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Với giá trị x biểu thức P đạt GTNN tìm GTNN Bài 18: Rút gọn biểu thức 3+ 3− − P= 10 + + 10 + − Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = 4+ − 4− b) B = + 10 + + − 10 + c) C = + 15 + − 15 − − Bài 20: Tính giá trị biểu thức P = x + 24 + x − + x + − x − 1 Với ≤ x ≤ Bài 21: Chứng minh rằng: P = + − 13 + 48 6+ số nguyên Bài 22: Chứng minh đẳng thức: 1+ 3 1+ 1+ + 1− 3 1− 1− =1 Bài 23: Cho x = + − − Tính giá trị biểu thức f(x) = x3 + 3x + xy − xy Bài 24: Cho E = x + y − x − y Tính giá trị E biết: x= y= + + + − + − 12 + 20 18 − 27 + 45 Bài 25: Tính P = + 20072+ Bài 26: Rút gọn biểu thức sau: P= + 1+ 20072 2007 + 2008 2008 1 + + 5+ 2001 + 2005 Bài 27: Tính giá rẹi biểu thức: P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết x = 3+ 2 + 3− 2 y = 17 + 12 + 17 − 12 Bài 28:  a +1  a −1  − + a  a −  Cho biểu thức A =  a −1 a +1 a    a) Rút gọn A b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - ) − 15 Bài 29: Cho biểu thức A= x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1)   ⋅ 1 −  x −   x − 4( x − 1) a) x = ? A có nghĩa b) Rút gọn A Bài 30: Cho biểu thức P= 1+ 1− x 1− 1+ x + + 1− x + 1− x 1+ x + 1+ x 1+ x a) Rút gọn P b) So sánh P với Bài 31: Cho biểu thức P= − + x +1 x x +1 x− x +1 a) Rút gọn P b) Chứng minh: ≤ P ≤ Bài 32: Cho biểu thức a −9 a + a +1 − − P= a−5 a +6 a − 3− a a) Rút gọn P b) a = ? P < c) Với giá trị nguyên a P nguyên Bài 33: Cho biểu thức x x 1− x − − P= xy − y x + x − xy − y − x a) Rút gọn P b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Bài 34: Cho biểu thức x x 1− x − − P= xy − y x + x − xy − y − x a) Rút gọn P b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Bài 35: Cho biểu thức  1  + + + P =  y  x + y x  x 1 : y  x3 + y x + x y + y xy + x y a) Rút gọn P b) Cho xy = 16 Tìm Min P DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài 1: Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức: P= Bài 2: Cho x > y > 2x2 +2y2 = 5xy a −b a +b x−y Tính giá trị biểu thức E = x + y Bài 3: 1) Cho a + b + c = CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức: yz xz xy + + x2 y2 z Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức:  a  b  c  P = 1 + 1 + 1 +   b  c  a  Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y -z3 b) Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: P = a + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị biểu thức P = a2007 + b2007 xy x y x3 y3 = −2 Tính + Bài 8: Cho + = a b ab a b Bài 9: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức M= P= 1 + + b + c − a a + c − b a +b − c x4 y4 + = ; x2 + y2 = Chứng minh rằng: a b a+b 2 a) bx = ay ; Bài 10: Cho x 2008 y 2008 b) 1004 + 1004 = a b (a + b)1004 Bài 11: Chứng minh xyz = thì: 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + xz Bài 12: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đôi khác Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 + + P= (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − b)(c − a ) Bài 14: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác cho tam giác Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác thì: b−c c−b a−b 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p 1 1 abc Chứng minh rằng: p − a + p − b + p − c − p = p( p − a)( p − b)( p − c) Bài 17: Cho a, b khác thỏa mãn a + b = Chứng minh : a b 2( ab − 2) + = 2 b −1 a −1 a b + a b c x y z Bài 18: Cho + + = x + y + z = a b c x2 y z Tính giá trị biểu thức A = + + a b c a b c + + =0 Bài 19: Cho a, b, c đôi khác b−c c−a a−b a b c Tính giá trị P = (b − c) + (c − a) + (a − c)2 Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) khác Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d ab + = cd Chứng minh: c = d Bài 23: Cho x , y số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2 x− y Tính giá trị biểu thức: A = x + y Bài 24: Cho x, y số khác khác cho 3x2 – y2 = 2xy xy Tính giá trị phân thức A = − x + xy + y Bài 25: Cho x, y, z khác a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = a + b +c = 2007 ax + by + cz P= bc ( y − z ) + ac( x − z ) + ab( x − y ) Tính giá trị biểu thức: Bài 26: Cho x, y, z khác x + y + z = 2008 Tính giá trị biểu thức: x3 y3 z3 + + P= ( x − y )( x − z ) ( y − x)( y − z ) ( z − y )( z − x) x + y + z =  2 Bài 27: Cho  x + y + z =  x3 + y + z =  Tính giá trị biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 Bài 28: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tính giá trị biểu thức: P= [a ] − (b + c ) (a + b − c) (a + b + c ) (a − c) − b 2 [ ] Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2 Chứng minh a, b, c ba cạnh tam giác P < Bài 30: Cho số dương x, y ,z thỏa mãn:  xy + y + z =   yz + y + z =  zx + x + z = 15  Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z Bài 31: Cho số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:  x + y + z =   x + y + z = Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ x− y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x + y Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = Biết x2 – 2y2 = xy y ≠ , x + y ≠ (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh nếu: x + y + z = thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2 a) So sánh a b + c b) So sánh a3 b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 2) Tính A = 20 + 14 + 20 − 14 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – – m = (1) a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m c) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn điều kiện x12 + x22 ≥ 10 c > Bài 2: Cho số a, b, c thỏa điều kiện:  ( c + a ) < ab + bc − 2ac Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = luôn có nghiệm Bài 3: Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai  x1 − x = nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  3  x1 − x = 35 Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = có nghiệm Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm biết 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm 2b c ≥ +4 a a Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x12 - x22 = Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN c) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 11: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - = Tính theo c giá trị biểu thức: 1 S = x3 + x3 Bài 12: Cho phương trình : x2 - x + = Có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình tính giá trị biểu thức: x12 + x1 x + x 22 A= x1 x 23 + x13 x Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – = (1) 1) CMR phương trình (1) có hai nghiệm với giá trị a 2) Tìm giá trị a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – = (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm GTNN M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 + = a b CMR hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = x2 + bx + a = Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = (1) a) Giải biện luận số nghiệm phương trình (1) theo m b) Tìm m cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN Bài 17: Chứng minh với số a, b, c khác 0, tồn phương trình 10 sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – = (1) a) CMR phương trình (1) luôn có nghiệm trái dấu với giá trị m b) Với giá trị m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – - m = (1) 1) CMR phương trình (1) có hai nghiệm với giá trị m 2) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 ≥ 10 3) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + = có hai nghiệm nguyên dương CMR: a2 + b2 hợp số DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + 2 x + 2 Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + = b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + = c) x4 - 3x3 + 3x + = Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + = x−8 + x −9 =1 Bài 10: Bài 11: Bài 12: 2x 7x − =1 3x − x + 3x + 5x + 4x 2 = 12 x + ( x + 2) 2 Bài 13: Bài 14: x2 −  x −2  x + 2 =0 20   − 5  + 48 x −1  x +1   x −1  3x 7x + = −4 a) x − 3x + x + x + x − 10 x + 15 4x = b) x − x + 15 x − 12 x + 15 11 Bài 15: x − 3x + x − x + − =− x − 4x + x − 6x + 81x = 40 a) x2 + ( x + 9) x2 = 15 b) x + ( x + 1) Bài 16: 40  x −1  x −1  a)   +  =  x   x −2 c) 2 2 x2 −  x + 2  x −2 =0 b)   +  − x2 −1  x +1   x −1  8− x 8− x x−  = 15 c) x x −1  x −1  Bài 17: Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Bài 29:  x −1 x +  = 8( Đề thi HSG V1 2004)  x  x − − x − = 3x − x +1 + − x = 2 x + x −1 + x − x −1 = 3x2 + 21x + 18 + x +7 x + = a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = c) x4 + 10x3 + 26x2 + = (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 a) x3 - 6x + = b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - = a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = x 48  x 4 + − 10 −  = x 3 x a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x + ( Đề thi HSG 1998) x−5 − x − 14 3+ x −5 =3 Bài 30: x4 - x -5 = ( Đề thi HSG 2000) Bài 31: x4 + − 5x = x2 − Bài 32: Bài 33: ( Đề thi HSG V2 2003) a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = (x + x + 2)(x + x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) 12 Bài 34: a) x2 + 4x + = 2 x + b) x + = 2x2 - 6x + 4 c) − x + Bài 35: Bài 36: =2 2− x +3 x +1 + x + + x + = Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện a, b, c để phương trình có nghiệm Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - = Bài 39: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = Bài 40: x2 + 9x + 20 = 3x + 10 Bài 41: x2 + 3x + = (x + 3) x +1 Bài 42: x2 + x + 2006 =2006 DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1) Với a, b > a+b ≥ ab Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 2) CMR với số a, b, x, y ta có: (a + b )( x + y ) ≥ (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > Cm: ab + cd ≤ ( a + c )( b + d ) Bài 4) CM bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) + ( b + d ) Bài 5) Cho a, b, c số dương cm bất đẳng thức: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b Bài 6) CM với n nguyên dương thì: 1 1 + + + > n +1 n + 2n Bài 7) Cho a3 + b3 = Cmr: a + b ≤ Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = (2) −  CMR số a, b, c thuộc đoạn  ;0 biễu diễn trục số   Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = CMR: 2a2 + 3b2 ≥ Bài 10) Cho a, b hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = CM: a2 + 4b2 ≥ Dấu đẳng thức xảy nào? (Đề thi HSG 2003) 13 Bài 11) Chứng minh: 2− 2+ 2+ 2+ < 2− 2+ 2+ (Đề thi HSG 2001) Bài 12) Chứng minh: a) (a + b )( x + y ) ≥ (ax + by)2 b) < x − + − x ≤ a b c + + ≥ b+c c+a a+b 1 + + + Bài 14) Cho S = + 100 Bài 13) Cho a, b, c > Cm: CMR: S không số tự nhiên 1 Bài 15) a) Cho x, y dương CMR: x + y ≥ x + y Dấu xảy nào? a+b+c 1 1 1 Cm: p − a + p − b + p − c ≥ 2 a + b + c    b) Tam giác ABC có chu vi P = Dấu xảy tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 16) a) CM x > ta có: x x −1 ≥2 b) Cho a > 1, b > Tìm GTNN của: P = a2 b2 + b −1 a −1 Bài 17) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)  1 1 Bài 18) CMR a, b, c > a + b + c =  + +  ≥ a b c Bài 19) CMR a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c có chu vi CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005) Bài 21) Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = Cm: a + 2b ≤ 10 Bài 22) Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = + ab CMR: ≤ a2 + b2 ≤ Dấu xảy nào? Bài 23) CMR với a, b > thỏa mãn ab = Ta có BĐT: Bài 24) CMR nếu: a) ≤ a ≤ a − + − a ≤ 10 b) a + b ≥ 0; b + ≥ 0; a + b = a + + b + ≤ 2 1 + + ≥3 a b a+b 14 Bài 25) Cho biểu thức P = CMR: < P < x − x + x −1 − 32 với ∀x ≠ ±1 Bài 26) a) Cho a, b, k số dương x + x − x −1 − x − x + x − x2 + x −1 a a a+k < 1.Cmr : < b b b+k b) Cmr a, b, c độ dài cạnh tam giác thì: a b c + + < b+c c+a a+b Bài 27) Cho số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b =    a  1 b Chứng minh rằng: 1 + 1 +  ≥ (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y số thực khác 0:  x y x2 y2 + + ≥ 3 +  y x  y x ( Đề thi HSG V2 2006 - 2007) DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức A = x + y  Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = Tìm GTNN P = 1 − ( x + x + 1)    1− ÷ ÷ x  y  Bài 3) Cho P = x2 + Tìm GTNN, GTLN P giá trị tương ứng x Bài 4) Tìm GTLN GTNN biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y ≥ 0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN GTNN biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ Bài 6) Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x2 + y2 Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = x2 − x + Bài 7) Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x + x +1 Bài 8) Tìm GTLN A = x + − x x y z Bài 9) Tìm GTLN P = y + z + x với x, y, z > Bài 10) Tìm GTLN P = ( x − 1990) + ( x − 1991) Bài 11) Cho M = a + − a − + a + 15 − a − a) Tìm điều kiện a để M xác định b) Tìm GTNN M giá trị A tương ứng Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 + + ≥ Tìm GTNN P = x.y.z 1+ x 1+ y 1+ z 15 Bài 13) Tìm GTNN P = + 1− x x Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x + 2y Bài 15) Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Bài 16) Cho x > 0, y > thỏa mãn: x + y ≤ Tìm GTNN biểu thức P = x + y + xy + 4xy x2 + x + với x x2 + Bài 18) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y ≤ Tìm GTNN biểu thức A = x + y + xy Bài 17) Tìm GTLN GTNN của: P = 2 1  1  Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P =  x + ÷ +  y + ÷ x  y  Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy    Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 1 + ÷1 + ÷ y  x  Bài 22) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 2  1  1 Tìm GTNN biểu thức P =  x + ÷ +  y + ÷ y  x  Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: 2 1  1  1  E = a + ÷ + b + ÷ + c + ÷ a  b  c  Bài 24) Cho a, b hai số thực có tổng Tìm GTNN của: P = a + b3 Bài 25) Cho a, b hai số dương thỏa a + b = Tìm GTNN P = 1 + a +1 b +1 x2 + y Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = Tìm GTNN P = x− y Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = Tìm GTNN P = 8(x4 + y4) + xy Bài 28) Cho x, y liên hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x + y + Bài 29) Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x x + y y biết x + y = x − x + 2000 Bài 30) Tìm GTNN biểu thức P = x2 16 17 [...]... 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3 + 1 ( Đề thi HSG 1998) x−5 − x − 14 3+ x −5 =3 Bài 30: x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) Bài 31: x4 + 4 − 5x = 0 x2 − 2 Bài 32: Bài 33: ( Đề thi HSG V2 2003) a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) 12 Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x + 3 b) 3 x 3 + 8 = 2x2... 24: Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Bài 29:  x −1 x +  = 8( Đề thi HSG V1 2004)  x  x − 1 − 5 x − 1 = 3x − 2 3 x +1 + 3 7 − x = 2 2 x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 +7 x + 7 = 2 a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 +... c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5 CMR: 2a2 + 3b2 ≥ 5 Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1 CM: a2 + 4b2 ≥ 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003) 5 13 Bài 11) Chứng minh: 2− 2+ 2+ 2+ 2 < 2− 2+ 2+ 2 1 3 (Đề thi HSG 2001) Bài 12) Chứng minh: a) (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ≥ (ax + by)2 b) 0 < x − 2 + 4 − x ≤ 2 a b c 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 1 1 1 + + + Bài 14) Cho S = 1 + 2 3 100... Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1   1  a  1 b Chứng minh rằng: 1 + 1 +  ≥ 9 (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:  x y x2 y2 + 2 + 4 ≥ 3 +  2 y x  y x ( Đề thi HSG V2 2006 - 2007) DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1 Tìm GTLN và GTNN của biểu... b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2 CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005) Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5 Cm: a + 2b ≤ 10 Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab CMR: 8 ≤ a2 + b2 ≤ 8 3 Dấu ... phương trình: 2(x2 + 2) = x + ( Đề thi HSG 1998) x−5 − x − 14 3+ x −5 =3 Bài 30: x4 - x -5 = ( Đề thi HSG 2000) Bài 31: x4 + − 5x = x2 − Bài 32: Bài 33: ( Đề thi HSG V2 2003) a) x4 - 4x3 - 19x2 +... = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2 a) So sánh a b + c b) So sánh a3 b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1)... thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ x− y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x + y Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = Biết x2 – 2y2 = xy y ≠ , x + y ≠ (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)