15 đề luyện thi cấp tốc môn Toán

ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 PHẦN I TĨM TẮT GIÁO KHOA A ðẠI SỐ I PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = (a ≠ 0) (3) có ∆ = b2 − 4ac 2) ∆ = : (3) có nghiệm kép x = − 1) ∆ < : (3) vơ nghiệm 3) ∆ > : (3) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = b 2a −b ± ∆ −b ± b2 − 4ac = 2a 2a ðịnh lý Vi–et (thuận đảo)   S = x + x = − b 2 a 1) Cho phương trình ax + bx + c = có hai nghiệm x1, x2    c  P = x1 x2 =  a  S = x + y x, y nghiệm phương trình X2 − SX + P = 2) Nếu biết    P = x.y  Bảng xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0, ∆ > : 2) a < 0, ∆ > : x −∞ x1 x2 +∞ x −∞ x1 x2 +∞ f(x) + – + f(x) – + – 3) a > 0, ∆ = : x −∞ f(x) + 5) a > 0, ∆ < : x −∞ f(x) xkép +∞ + +∞ + 4) a < 0, ∆ = : x −∞ f(x) – xkép 6) a < 0, ∆ < : x −∞ f(x) – Bảng biến thiên hàm số bậc hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0: 2) a < 0: b x −∞ − +∞ x −∞ 2a f(x) +∞ +∞ f(x) CT −∞ +∞ – +∞ b 2a Cð − +∞ −∞ So sánh nghiệm tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với số  x < α < x2 < β 2) f(α ).f(β) < ⇔   α < x1 < β < x2    ∆ > 4)   af(α) > ⇔ x1 < x2 < α   S  < α 2 1) af(α) < ⇔ x1 < α < x    ∆ > 3)   af(α) > ⇔ α < x1 < x2   S  > α 2 Phương trình đại số bậc cao Phương trình bậc n tổng qt có dạng a x n + a1x n−1 + + a n −1x + a n = (a ≠ 0) Thơng thường ta giải phương trình bậc trở lên cách nhẩm nghiệm 7.1 Phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = ( a ≠ ) (4) 1) Phương pháp giải Bước Nhẩm nghiệm x = α (4) (bấm máy tính) Bước Chia ax + bx2 + cx + d cho ( x − α ) (dùng sơ đồ Horner), đưa (4) phương trình tích: (x − α)(ax2 + Bx + C) = 2) Sơ đồ Horner α a a b αa+b=B c αB+c=C Trang d αC+d=0 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 7.2 Phương trình bậc bốn đặc biệt a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = ( a ≠ ) (5) Phương pháp giải: ðặt t = x2, t ≥ (5) ⇔ at2 + bt + c = b) Phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + c = b + d (6) Phương pháp giải: ðặt t = (x + a)(x + c), đưa (6) phương trình bậc theo t c) Phương trình có dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (7) a+b Phương pháp giải: ðặt t = x + , đưa (7) phương trình trùng phương theo t d) Phương trình trùng phương ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = ( a ≠ ) (8) Phương pháp giải    1 Bước Chia vế cho x2, (8) ⇔ a  x2 +  + b  x ±  + c = 2     x  x , đưa (8) phương trình bậc hai theo t x P(x) >0 Bất phương trình hữu tỉ Q(x) Bước Lập trục xét dấu chung cho P(x) Q(x) Bước Dựa vào trục xét dấu để kết luận nghiệm ðiều kiện để phương trình có nghiệm khoảng (a; b) a) ðịnh lý Hàm số f(x) liên tục [a; b] thỏa f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm (a; b) (ngược lại khơng đúng) b) ðịnh lý Bước ðặt t = x ± Hàm số f(x) liên tục [a; b] có f / (x) > (hoặc f / (x) < ) khoảng (a, b) phương trình f(x) = có khơng q nghiệm (a, b) II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Các đẳng thức cần nhớ  A, A ≥  B  3B2 2  ; 2) A AB B A ; 1) A2 = A =  ± + = ±  +    −    A, A <  b  ∆  4) ax + bx + c = a  x +  −   2a  4a 3) (A ± B) = A ± B ± 3AB ( A ± B ) ; 3 2 Phương trình bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối  B ≥ 1) A = B ⇔ A2 = B2 ⇔ A = ±B ; 2) A = B ⇔  ; 3) A < B ⇔ − B < A < B ;   A = ±B   B >  B ≥ 4) A < B ⇔  ; 5) A > B ⇔ B < ∨    −  A < −B ∨ A > B  B < A < B  Phương trình bất phương trình vơ tỉ  A ≥ ∨ B ≥ 1) A = B ⇔  ; 2) A = B ⇔ B ≥ ∧ A = B2 ; 3) A + B = ⇔ A = B = ;   A = B   A ≥ ∧ B ≥ ∧ C ≥  B ≥  4) A + B = C ⇔  đưa dạng A = B ; 5) A > B ⇔  ;    A + B = C  A > B   ( 6) 9) )  A ≥ ∧ B > A < B ⇔  ;  A < B2  2n +1 A = B ⇔ A = B2n +1 ;  B <  B ≥ A > B ⇔  ∨ ;  A ≥  A > B2    A ≥ ∨ B ≥ 10) 2n A = 2n B ⇔  ;   A = B  7) 8) 11) A< 2n  B ≥ A = B ⇔   A = B2n  III PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Hàm số mũ y = ax (a > 0) 1) Miền xác định D = ℝ 3) 0< a< 1: Hàm nghịch biến ℝ lim a x = +∞, x →−∞ 2) Miền giá trị G = (0; +∞) 4) a > 1: Hàm số đồng biến ℝ lim a x = x →+∞ Trang lim a x = 0, x →−∞ lim a x = +∞ x →+∞ B ⇔ A < B; ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 Một số cơng thức cần nhớ (giả sử điều kiện thỏa) 1) a = (a ≠ 0) ; 2) a−n = ; 3) a m a n = a m + n ; an 4) a m : a n = a m−n ; m  a m am n 5) ( a ) = a ; 6) (ab) = a b ; 7)   = ; 8) a n = a m m  b  b Hàm số logarit y = logax (0 < a ≠ 1) : y = logax ⇔ x = ay 2) Miền giá trị G = ℝ 1) Miền xác định D = (0; +∞) 4) a > 1: Hàm số đồng biến D 3) < a < 1: Hàm nghịch biến D lim y = +∞, lim y = −∞ lim y = −∞, lim y = +∞ m n m.n m m m x → 0+ x →+∞ x → 0+ x →+∞ Một số cơng thức cần nhớ (giả sử điều kiện thỏa) 1) a loga x = x ; 5) log aα b β = 2) eln x = x ; β log a b ; 6) log a b = ; α log b a 9) log a (bc) = log a b + log a c ; 3) a logb c = c logb a ; 7) log a b = log c b ; log c a 4) log a x2n = 2n log a x ; 8) log a b.log b c = log a c ; b 10) log a   = log a b − log a c  c  Phương trình bất phương trình mũ  a f(x) = b  b > 1)  ⇔  ;   < a ≠  f(x) = log a b  b >     f(x) < log b  a f(x) > b a 3)  ⇔   ;    < a <  b ≤     ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ  a f(x) > a g(x) 5)  ⇔ f(x) < g(x) ;   < a <  Phương trình bất phương trình logarit  log a f(x) = b 1)  ⇔ f(x) = a b ;   < a ≠   log a f(x) > b 3)  ⇔ < f(x) < a b ;   < a <   log a f(x) > log a g(x) 5)  ⇔ < f(x) < g(x);   < a <   a =     ∀x ∈ ℝ : f(x), g(x) ∈ ℝ  2) a f(x) = a g(x) ⇔   ;   < a ≠   f(x) = g(x)  b >     f(x) > log b  a f(x) > b a 4)  ⇔   ;    a >  b ≤     ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ   a f(x) > a g(x) 6)  ⇔ f(x) > g(x)   a >   log a f(x) = log a g(x)  f(x) > 2)  ⇔  ;   < a ≠  f(x) = g(x)    log a f(x) > b 4)  ⇔ f(x) > a b ;   a >   log a f(x) > log a g(x) 6)  ⇔ f(x) > g(x) >   a >  IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH  a1x + b1y = c1 Nhắc lại: Hệ phương trình bậc hai ẩn    a 2x + b2 y = c  Trang ThS Đoàn Vương Nguyên ðặt D = a1 a2 b1 c , Dx = b2 c2 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 b1 a , Dy = b2 a2 c1 c2  x = Dx / D 1) D ≠ : Hệ phương trình có nghiệm    y = Dy / D  2) D = 0, Dx ≠ Dy ≠ : Hệ phương trình vơ nghiệm 3) D = Dx = Dy = 0: Hệ có vơ số nghiệm thỏa a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Hệ phương trình đẳng cấp Phương pháp chung 1) Nhận xét y = có thỏa hệ phương trình khơng, có tìm x thu nghiệm 2) Với y ≠ , đặt x = ty thay vào hệ phương trình giải tìm t, y x 3) Thử lại nghiệm  x + xy + y =  y − x = Ví dụ:  ,    2x − xy + y2 =  2x y + 3xy = 16   Hệ phương trình đối xứng loại I (cả phương trình đối xứng) Phương pháp chung 1) Xét điều kiện, đặt S = x + y, P = xy (S2 ≥ 4P) 2) Giải hệ tìm S, P dùng Vi–et đảo tìm x, y  x y + xy2 = 30 Ví dụ:    x + y = 35  Hệ phương trình đối xứng loại II a Dạng (đổi vị trí x y phương trình trở thành phương trình kia) Phương pháp chung Cách Trừ hai phương trình cho nhau, đưa phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) vào hai phương trình hệ  x + 2x = y  2x + + − y = Ví dụ:  ,    y + 2y = x  2y + + − x =   Cách (nếu cách khơng thực được) Cộng trừ hai phương trình đưa hệ tương đương gồm hai phương trình tích (thơng thường tương đương với hệ mới)  x − 2x = y Ví dụ:    y − 2y = x  Cách Sử dụng hàm số đơn điệu để suy x = y  2x + + − y =  x = sin y  Ví dụ:  ,   2y + + − x =  y = sin x   b Dạng (chỉ có phương trình đối xứng) Cách ðưa phương trình đối xứng dạng tích, giải y theo x vào phương trình lại   x − = y − Ví dụ:  x y   2x − xy − = Cách Thường đưa dạng f(x) = f(y) ⇔ x = y với hàm f(x) đơn điệu  e x − e y = y − x Ví dụ:    x y − 3y − 18 =  Hệ phương trình chứa mũ – logarit dạng khác Tùy trường hợp cụ thể chọn phương pháp thích hợp (thường dùng phương pháp thế) V BẤT ðẲNG THỨC CAUCHY Bất đẳng thức Cauchy hai số Cho hai số khơng âm a b, ta có: a+b ≥ ab ðẳng thức xảy a = b Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 Bất đẳng thức Cauchy n số Cho n số khơng âm a1, a2,…, an ta có: a1 + a + + a n ≥ n n a1.a a n ðẳng thức a1 = a2 = … = an Chú ý:  a + a2 + + a n n  Bất đẳng thức Cauchy ngược a1 a2 a n ≤   n  VI SỐ PHỨC Số phức phép tính a) ðịnh nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi , a, b ∈ ℝ , i2 = −1 gọi số phức ðối với số phức z = a + bi , ta nói a phần thực, b phần ảo z Tập hợp số phức ký hiệu ℂ = { a + bi b) Số phức a, b ∈ ℝ, i2 = −1 } a + bi = c + di ⇔ a = c b = d c) Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức z = a + bi hồn tồn xác cặp số thực (a; b) ðiểm M(a; b) hệ tọa độ vng góc Oxy gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi d) Mơđun số phức Giả sử số phức z = a + bi biễu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng tọa độ Oxy ðộ dài OM gọi mơđun số phức z ký hiệu z Vậy a + bi = a + b2 e) Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Ta gọi a − bi số phức liên hợp z ký hiệu z = a − bi NHẬN XÉT 1) Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn hai số phức liên hợp đối xứng với qua trục Ox 2) z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z = a + bi hay z = z 3) z = a2 + (−b)2 = a + b2 = z f) Các phép tính 1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; 2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i 4) z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a ; 3) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; 5) z.z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = z ; 6) z1 z z z z = = , z2 ≠ z2 z2 z2 z2 Chú ý i) Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i2 = −1 kết nhận ii) Phép cộng phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng phép nhân số thực c + di iii) Trong thực hành, để tính thương , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp a + bi a + bi 4i) Số thực a âm có hai bậc hai ±i a g) Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với a, b, c ∈ ℝ , a ≠ Biệt số phương trình ∆ = b2 − 4ac a) Khi ∆ = , phương trình có nghiệm thực x = − b 2a Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 −b ± ∆ 2a b) Khi ∆ > , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt xác định cơng thức x1,2 = c) Khi ∆ < , phương trình có hai nghiệm phức phân biệt xác định cơng thức x1,2 = −b ± i ∆ 2a Dạng lượng giác số phức ứng dụng a) Dạng lượng giác số phức i) Cho số phức z khác có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ M Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z ii) Cho số phức z có mun r acgumen φ z = r(cosφ + isinφ) gọi dạng lượng giác z b) Nhân chia hai số phức Cho hai số phức z = r(cosφ + isinφ) z’ = r’(cosφ’ + isinφ’), ta có: z' r' zz’ = r.r’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)] = [cos(ϕ '− ϕ) + i sin(ϕ '− ϕ)] (r > 0) z r c) Cơng thức Moivre: zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) d) Căn bậc hai số phức   ϕ  ϕ  ϕ ϕ r  cos + i sin  r  cos  + π  + i sin  + π         2 2  2    ……………………………………………………… Số phức z dạng lượng giác (r > 0) có hai bậc hai là: B LƯỢNG GIÁC I CUNG VÀ GĨC – CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Quan hệ độ radial (rad)  180 0 π = rad, rad =    π  180 Bảng chuyển đổi thường dùng 300 450 ðộ π π Radial Biểu diễn cung – góc lượng giác 600 π Nếu cung (hoặc góc) lượng giác AM có số đo α + đường tròn lượng giác cách Bảng giá trị lượng giác cung (góc) đặc biệt Cung (góc) α 900 π 1200 2π 1350 3π 1800 π k2π k.360 (hoặc a + ) với k ∈ ℤ , n ∈ ℕ+ có n điểm M n n π π π 2 sin α cos α 2 2 tan α 3 3 3 cot α 1500 5π π 0 Cung (góc) liên kết 5.1 Cung (góc) đối 1) cos(−x) = cos x ; 2) sin(−x) = − sin x ; 5.2 Cung (góc) bù 1) cos(π − x) = − cos x ; 2) sin(π − x) = sin x ; 5.3 Cung (góc) phụ π  π  1) cos  − x  = sin x ; 2) sin  − x  = cos x ;     5.4 Cung (góc) π 1) cos(x + π) = − cos x ; 2) sin(x + π) = − sin x ; 3) tan(−x) = − tan x ; 4) cot(−x) = − cot x 3) tan(π − x) = − tan x ; 4) cot(π − x) = − cot x π  π  3) tan  − x  = cot x ; 4) cot  − x  = tan x     3) tan(x + π) = tan x ; 4) cot(x + π) = cot x Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 5.5 Cung (góc) 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 π  π 1) cos  x +  = − sin x ;   Cơng thức   π π 2) sin  x +  = cos x ; 3) tan  x +  = − cot x ;     1) sin2x + cos2x = 1; 2) tgx.cotgx = 1; 3) + tan x = cos x  π 4) cot  x +  = − tan x   4) + cot2 x = ; sin x Cơng thức cộng 1) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ; 2) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y ; 3) tan(x ± y) = tan x ± tan y ∓ tan x.tan y Cơng thức nhân đơi 1) cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – = – 2sin2x; 2) sin2x = 2sinxcosx; 3) tan 2x = tan x − tan x Cơng thức nhân ba 1) cos3x = 4cos3x – 3cosx; 2) sin3x = 3sinx – 4sin3x; 3) tan 3x = tan x − tan x − tan x 10 Cơng thức hạ bậc + cos 2x − cos 2x cos x + cos 3x sin x − sin 3x 1) cos2 x = ; 2) sin2 x = ; 3) cos3 x = ; 4) sin x = 2 4 x 11 Cơng thức biểu diễn sinx, cosx, tgx theo t = tg 2t − t2 2t 1) sin x = ; 2) cos x = ; 3) tan x = 2 1+ t 1+ t − t2 12 Cơng thức biến đổi tích thành tổng 1 1) cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] ; 2) sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] ; 2 3) sin x cos y = [sin(x − y) + sin(x + y)] 13 Cơng thức biến đổi tổng thành tích x+y x−y x+y x−y 1) cos x + cos y = cos cos ; 2) cos x − cos y = −2 sin sin ; 2 2 x+y x−y x+y x−y 3) sin x + sin y = sin cos ; 4) sin x − sin y = cos sin ; 2 2 sin(x ± y) sin(y ± x) 5) tan x ± tan y = ; 6) cot x ± cot y = cos x cos y sin x sin y 14 Cơng thức đặc biệt cần nhớ 1) + sin2x = (sinx + cosx)2; 2) – sin2x = (sinx – cosx)2; 3) sin4x + cos4x = – sin22x; 4) sin6x + cos6x = – sin22x 5) sin x + cos x = sin ( x + π / ) = cos ( x − π / ) ; 6) sin x − cos x = sin ( x − π / ) = − cos ( x + π / ) II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác  x = α + k2π 1) cos x = cos α ⇔  ,k ∈ Z  x = −α + k2π 3) tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z Phương trình đặc biệt cần nhớ π 1) cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z 2) cos x = ⇔ x = k2π, k ∈ Z 3) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z  x = α + k2π 2) sin x = sin α ⇔  ,k ∈ Z  x = π − α+k2π 4) cot x = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z 4) sin x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z π + k2π, k ∈ Z π 6) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π, k ∈ Z 5) sin x = ⇔ x = Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 Các dạng phương trình lượng giác 2.1 Dạng bậc hai theo hàm số lượng giác 1) acos2x + bcosx + c = 3) a.tan2x + b.tanx + c = 2) asin x + bsinx + c = 4) a.cot2x + b.cotx + c = Phương pháp giải tốn Bước ðặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tanx, t = cotx) điều kiện t (nếu có) Bước ðưa phương trình dạng at2 + bt + c = Chú ý Nếu phương trình lượng giác biến đổi thành phương trình trở lên sau giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có) 2.2 Dạng bậc theo sinx cosx asinx + bcosx + c = (*) (a b khác 0) Phương pháp giải tốn b Cách Chia hai vế (*) cho a đặt = tan α a c c (*) ⇔ sin x + tan α cos x = ⇔ sin(x + α) = cos α a a a b Cách Chia hai vế (*) cho a2 + b2 đặt = cos α, = sin α 2 a +b a + b2 (*) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = c a +b Chú ý: ðiều kiện để phương trình có nghiệm là: 2 ⇔ sin(x + α ) = c a + b2 a2 + b ≥ c2 2.3 Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx cosx a) ðẳng cấp bậc hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = (*) Phương pháp giải tốn π Cách Kiểm tra x = + kπ có nghiệm (*) khơng (nếu có ta thu nghiệm) π Với x ≠ + kπ , chia hai vế (*) cho cos2x: (*) ⇔ atan2x + btanx + c = Cách Dùng cơng thức hạ bậc nhân đơi, ta đưa (*) bậc theo sin2x cos2x b) ðẳng cấp bậc cao (giải tương tự) 2.4 Dạng đối xứng sinx cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = (*) Phương pháp giải tốn  π t2 − Bước ðặt t = sinx + cosx = sin  x +  ⇒ − ≤ t ≤ sin x cos x =   Bước Thay vào (*) ta giải phương trình bậc hai theo t Chú ý Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = có cách giải tương tự với t = sinx – cosx 2.5 Dạng phương trình khác Khơng có cách giải tổng qt, tùy tốn cụ thể ta dùng cơng thức biến đổi để đưa dạng biết cách giải III GIẢI TỐN TRONG TAM GIÁC Liên hệ góc tam giác ABC  A = π − (B + C)  1) A + B + C = π ⇒  B = π − (C + A)  C = π − (A + B)  A π B+C  = − 2 2 B A+B+C π π C+A  2) = ⇒ = − 2 2 2 C π A+B  = −  2 2 Các định lý tam giác ABC Trong ∆ABC , ta ký hiệu: 4) ma, mb, mc độ dài trung tuyến xuất phát từ 1) a, b, c cạnh đối diện góc A, B, C đỉnh A, B, C 5) ha, hb, hc độ dài đường cao xuất phát từ 2) R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp đỉnh A, B, C a+b+c nửa chu vi ∆ABC 3) p = 6) S diện tích ∆ABC Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 2.1 ðịnh lý Phythagore (Pitago) Cho ∆ABC vng A đường cao AH, ta có: a2 = b + c2 Hệ 1) BA2 = BH.BC, CA2 = CH.CB 3) 2) AH.BC = AB.AC 2.2 ðịnh lý hàm số cosin 1) a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 2.3 ðịnh lý hàm số sin 2) b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB AH = AB + AC2 3) c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC a b c = = = 2R sin A sin B sin C Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến 2b2 + 2c2 − a2 ; 1) m a = 2a2 + 2c2 − b2 ; 2) m b = 2a2 + 2b2 − c2 ; 4 Cơng thức tính diện tích 1 1) S = ah a = bh b = ch c ; 2 3) m c = 4) m2a + m2b + m 2c = 2) S = (a + b2 + c2 ) 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B ; 2 abc ; 5) S = p(p − a)(p − b)(p − c) 4R …………………………………………… 4) S = 3) S = p.r; C GIẢI TÍCH I TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ ðịnh nghĩa 1) Tập hợp D ⊂ ℝ gọi đối xứng ⇔ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D 2) Cho hàm số y = f(x) có MXð D ⊂ ℝ đối xứng a) f(x) gọi hàm số chẵn ⇔ f(−x) = f(x), ∀x ∈ D b) f(x) gọi hàm số lẻ ⇔ f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D Chú ý ðồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ ðồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung II ðẠO HÀM – VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Quy tắc tính đạo hàm Cho u(x), v(x), w(x) hàm số theo biến số x có đạo hàm Ta có: 1) (a.u)/ = a.u/ (a ∈ ℝ) 2) (u ± v)/ = u/ ± v/ 3) (u.v)/ = u/ v + u.v/ , (u.v.w)/ = u/ v.w + u.v/ w + u.v.w/  u /  a / u/ v − u.v/ v/ 4)   = (v ≠ 0) ,   = −a (v ≠ 0, a ∈ ℝ)  v   v  v2 v2 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp (hàm số cho cơng thức) ðạo hàm hàm số sơ cấp ðạo hàm hàm số hợp u = u(x) 1) ( xα ) = α.xα−1 1) ( uα ) = α.u/ u α−1  / 2)   = −  x  x2  / u/ 2)   = −  u  u2 / 3) ( x) / = / 3) x ( u) / = u/ u 4) ( sin x ) = cos x 4) ( sin u ) = u/ cos u 5) ( cos x ) = − sin x 5) ( cos u ) = −u/ sin u / / / 6) ( tan x ) = / cos2 x / = + tan2 x 6) ( tan u ) = / Trang u/ cos2 u = u/ (1 + tan u) ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 7) ( cot x ) = −1 / sin x 7) ( cot u ) = −u / = −(1 + cot2 x) / sin2 u = −u/ (1 + cot2u) 8) ( e x ) = ex 8) ( eu ) = u/ eu 9) ( a x ) = a x ln a 9) ( a u ) = u/ a u ln a / / / 10) ( ln x ) / 11) ( log a x = x ) = / / 10) ( ln u x.ln a ) / 11) ( log a u = u/ u ) = / u/ u.ln a Vi phân df(x) = f / (x)dx hay dy = y/dx III HÀM SỐ ðƠN ðIỆU – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số đơn điệu ax + b Trừ y = , hàm số lại (bậc 3, bậc 4, bậc 2/1) ta dùng kết sau: cx + d f(x) đồng biến khoảng (a; b) ⇔ f / (x) ≥ ∀x ∈ (a; b) f(x) nghịch biến khoảng (a; b) ⇔ f / (x) ≤ ∀x ∈ (a; b) Cực trị hàm số ðịnh lý Cho y = f(x) xác định khoảng (a; b) chứa x0 Nếu f(x) đạt cực trị x0 có đạo hàm x0 f / (x ) = Chú ý a) Hàm số đạt cực trị x0 khơng có đạo hàm x0 b) Hàm số có f / (x ) = khơng đạt cực trị x0 ðịnh lý Cho hàm số f(x) có đạo hàm khoảng chứa x0 a) Nếu f / (x) đổi dấu từ + sang – x = x f(x) đạt cực đại x0 b) Nếu f / (x) đổi dấu từ – sang + x = x f(x) đạt cực tiểu x0 ðịnh lý Cho hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp hai liên tục khoảng chứa x0  f / (x ) =  f / (x ) = 0  a) Nếu  f(x) đạt cực tiểu x ; b) Nếu f(x) đạt cực tiểu x0  //  f (x ) >  f // (x ) >   ðường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (tham khảo) a) Hàm số bậc ba Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị (C) Giả sử (C) có hai điểm cực trị A(x1; y1) B(x2; y2) x1, x2 nghiệm phương trình y/ = , để viết phương trình đường thẳng qua A B ta thực bước sau: Bước Chia y cho y/ ta y = (px + q)y/ + αx + β (*)  y = (px + q).y/ ( x ) + αx + β  y1 = αx1 + β 1   Bước Thế tọa độ A B vào (*) ta có:  ⇔   y2 = (px2 + q).y/ ( x ) + αx2 + β  y2 = αx + β   Bước ðường thẳng (AB) : y = αx + β Chú ý: Giá trị cực trị yCT = αxCT + β b) Hàm số hữu tỉ y = Cho hàm số y = ax + bx + c (tham khảo) dx + e ax + bx + c có đồ thị (C) Giả sử (C) có hai điểm cực trị A(x1; y1) B(x2; y2) x1, x2 nghiệm dx + e phương trình y/ = , để viết phương trình đường thẳng qua A B ta thực bước sau: Bước ðặt U = ax2 + bx + c, V = dx + e ta có y/ = U/ V − UV/ V2 (*) Bước Thế tọa độ A B vào (*) ta có: y/ (x1,2 ) = U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/(x1,2 ) V (x1,2 ) ⇒ U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/ (x1,2 ) = Trang 10 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 PHẦN II 15 BỘ ðỀ LUYỆN TẬP ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) mx + Cho hàm số y = (1), m tham số x−m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm điều kiện tham số m để hàm số (1) nghịch biến tập xác định Câu II (2,0 điểm) Tìm nghiệm x ∈ [1; 3] phương trình: sin 2x + cos 2x + sin x − cos x − = 2 Giải bất phương trình: 3log x + 2x log3 x ≤ 243 Câu III (1,0 điểm) π Tính tích phân I = ∫ tgx − x + cos2 x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a Trên hai đường tròn đáy tâm O O’ lấy hai điểm A, B cho AB = a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB theo a Câu V (1,0 điểm) Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1 + log (4y − 3x − 3) = log (4y)   x + − x2 − 2y − y2 + m =  II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1) đường thẳng (d): x – y = Tìm điểm B thuộc (d) cho cos OAB = − Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 6; 2), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4), D(5; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCD) Tìm tọa độ tiếp điểm Câu VII.a (1,0 điểm) 1 1 Rút gọn tổng S = + + + + , với n ≥ 2, n ∈ ℤ A2 A A An Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC vng A Biết tọa độ đỉnh B(1; 1) đường tròn đường kính AB (C) : x + y − 4x − 2y + = cắt cạnh BC H cho BC = 4BH Tìm tọa độ đỉnh A C  x =  Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d :  y = −t điểm A(1; 0; 0)   z = t Tìm điểm B thuộc đường thẳng d cho cos OAB = − Câu VII.b (1,0 điểm) Chứng minh: Ckn + 4Ckn−1 + 6Cnk −2 + 4Ckn−3 + Ckn−4 = Ckn + , với ≤ k ≤ n n, k ∈ ℤ ……………………Hết…………………… Trang 26 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x + (m − 1)x − m (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = –2 Tìm điều kiện tham số m để phương trình x + (m − 1)x − m = có nghiệm phân biệt Câu II (2,0 điểm) cos6 x + sin6 x − sin 2x = Giải phương trình: − sin x Giải phương trình: x − 3x.9log2 x + 2.27log2 x = Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x − − dx −2 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA a đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a Gọi M, N trung điểm AD SC K giao điểm AC BM Chứng tỏ BK ⊥ (ANK) tính diện tích ∆ANK theo a Câu V (1,0 điểm) Cho x, y khơng âm thỏa x + y = Tìm max, P = + x 2009 + + y 2009 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(–2; 3) đường thẳng (d): 2x – 3y + = Chứng tỏ đường thẳng (d) cắt đoạn thẳng AB Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng: x y −1 z +1 x +1 y−3 z d1 : = = , d2 : = = −1 −2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A song song với hai đường thẳng d1, d2 Câu VII.a (1,0 điểm) Một hộp có 12 viên phấn gồm: viên màu xanh, viên màu trắng viên màu đỏ Chọn từ hộp viên, tính số cách chọn cho viên chọn phải có đủ màu Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có điểm M(–1; 1) trung điểm cạnh AB (AC) : 2x + y − = , (BC) : x + 3y − = Tìm tọa độ đỉnh A, B ∆ABC Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng: x y −1 z +1 x +1 y−3 z d1 : = = , d2 : = = −1 −2 Tìm điểm M d1, N d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng Câu VII.b (1,0 điểm) Chọn ngẫu nhiên (có hồn lại) sản phẩm từ kho hàng gặp phế phẩm dừng Biết xác suất chọn phế phẩm lần chọn 3% Tính xác suất cho phải chọn đến lần thứ 5? ……………………Hết…………………… Trang 27 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) x+3 Cho hàm số y = (1) x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm m để (C) cắt (d) : y = x − m điểm phân biệt A, B AB nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: 5(1 + cos x) = + sin x − cos4 x Giải bất phương trình: log2 x − 2x + + log (x2 − 2x + 2) ≤ Câu III (1,0 điểm) π Tính tích phân I = sin x ∫ cos 2x − cos x dx π Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện S.ABC có đường cao SA 2a ∆ABC có AB = AC = a, C = 300 Gọi M, N hình chiếu A SB, SC Tính thể tích khối AMBCN theo a Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z, t thỏa x + y + z + t ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức:     1 P =  x +   y +   z +   t +   y  z  t  x  II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4y = đường thẳng (d): x – y – = Tìm điểm M (d) cho đường tròn tâm M, bán kính tiếp xúc ngồi với (C) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng: x y +1 z−2 x y−3 z d1 : = = , d2 : = = −1 1 −2 −1 Tìm điểm B đối xứng điểm A qua đường thẳng d1 Câu VII.a (1,0 điểm) − 2i Cho số phức z = (1 + i)2 Tính z + 2i Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4y = đường thẳng (d): x – y = Tìm điểm M (d) cho đường tròn tâm M, bán kính tiếp xúc với (C) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng: x y +1 z−2 x y−3 z d1 : = = , d2 : = = −1 1 −2 −1 Viết phương trình đường thẳng d3 qua A, vng góc d1 cắt d2 Câu VII.b (1,0 điểm) 1−i Viết số phức z =  + + i −  dạng lượng giác   − 3i ……………………Hết…………………… ( ) Trang 28 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 8x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm điều kiện tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) : y = mx − Câu II (2,0 điểm)   tan2 x + tan x  x + π  Giải phương trình: sin =   tan x + Giải hệ phương trình:  33x +1 + 5.8x − 2.6x =    2.27 x + 3.8x + 3.6x =  Câu III (1,0 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng S giới hạn 4y = x2 y = x quay quanh Ox Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm ∆SAC khoảng a Tính khoảng cách từ tâm O đáy đến (SCD) thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z  P = 4(x + y ) + 4(y + z3 ) + 4(z3 + x ) +  + +   y z x  cách từ G đến (SCD) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1) (d1): x – y – = 0, (d2): x – 2y – = Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với (d1) A có tâm thuộc (d2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O(0; 0; 0) đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S 0; 0; 2 Gọi M trung điểm cạnh bên SA ( ) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC DM Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số x4 khai triển ( − 3x ) , biết A2n + C2n = 315 với n ∈ ℕ, n ≥ n Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A(2;–7) Biết trung tuyến CM đường cao BK có phương trình x + 2y + = 0, 3x + y + 11 = Tìm tọa độ đỉnh B C Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O(0; 0; 0) đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S 0; 0; 2 Gọi M trung điểm cạnh bên SA ( ) Mặt phẳng (CDM) cắt SB điểm N Tính thể tích khối tứ diện S.CMN Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm hệ số lớn khai triển ( 2x + ) 19 ……………………Hết…………………… Trang 29 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x + 3x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Gọi (d) đường thẳng qua điểm M(–1; 5) có hệ số góc k Tìm điều kiện k để đồ thị (C) cắt (d) điểm phân biệt Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình:  π − sin x tan2  x −  = 2 sin x  Giải phương trình: + log 27 x + log x = + log x + log 81 x Câu III (1,0 điểm) π Tính tích phân I = sin 2x ∫ + sin x − cos 2x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, AB = BC = CA = AD = DB = a Gọi I, K trung điểm cạnh AB, CD Chứng tỏ IK đoạn vng góc chung AB, CD tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Câu V (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: P= 1+x + 1+ y II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (d1): 3x + 4y + = 0, (d2): 4x – 3y – = Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với (d1), (d2) có tâm thuộc (d3): x – 6y – 10 = Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – = Tìm tọa độ điểm M cách A, B, C (P) Câu VII.a (1,0 điểm) 15    Tìm hệ số x khai triển  x +   x Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (C) : x + y − 4x = (d) : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C), biết đỉnh A thuộc (d) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3; 1; 2) B(1; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B tạo với mp(Oxy) góc ϕ thỏa cos ϕ = Câu VII.b (1,0 điểm) 2008 2009 Rút gọn tổng S = 2011C2009 + 2010C12009 + 2009C2009 + + 3C2009 + 2C2009 ……………………Hết…………………… Trang 30 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) ( 3m + ) x − m Cho hàm số y = (1), m tham số x+m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm điều kiện m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) giao điểm M với trục hồnh song song đường thẳng (d): y = – x – Câu II (2,0 điểm)    + tgxtg x  Giải phương trình: − tgx − = sin x  cos2 x   3 x3 Giải phương trình:  log  log x − log = + log  x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ln ( x ) x + − x dx −1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA’ = h, AB = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, AC CC’ Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh BB’ Q Tính thể tích V khối đa diện PQBCNM theo a h Câu V (1,0 điểm) ( + 42x −y ) 51−2x + y = + 22x −y +1  Giải hệ phương trình:   y + 4x + + ln ( y + 2x ) =  II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d1): x – 2y + = (d2): 4x + 3y – = Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I (d1), tiếp xúc (d2) bán kính R =  x = t  Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 :  y = t điểm M(2; 2; 0)   z = Viết phương trình đường thẳng d2 qua M, vng góc với d1 nằm (P): x – y + z = Câu VII.a (1,0 điểm) () Cho số phức z = + i Tính z2 + z Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) x + (2m + 1)x + m2 + m + Cho hàm số y = (1), m tham số 2(x + m) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, cực tiểu tính khoảng cách hai điểm Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M thuộc mặt cầu (S): x + y2 + z2 − 2x + 4y + 2z − = Tìm tọa độ điểm M để khoảng cách từ đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = Câu VII.b (1,0 điểm) Viết số phức z = ( 3−i ) 2009 dạng lượng giác ……………………Hết…………………… Trang 31 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) 2x + Cho hàm số y = x−2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt cho tiếp tuyến (C) hai điểm song song với Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: 3(2 cos2 x + cos x − 2) + (3 − cos x) sin x = Giải bất phương trình: 2log3 x +1 − 5.2log3 x + ≤ Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x ln2 (x + 1) , trục tung, trục hồnh x2 + đường thẳng x = e − Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân với AB = AC = 5cm Biết (SBC) ⊥ (ABC), cạnh SA = 6cm SB = SC = 3cm Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Câu V (1,0 điểm) Tìm tất giá trị m để bất phương trình x + 3x − ≤ m ( x − x −1 ) có nghiệm II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I(1; 2) đường thẳng (d): 3x + 4y – = Viết phương trình đường tròn (C) tâm I cắt (d) hai điểm A, B cho ∆IAB vng cân x y−2 z Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1;–1) đường thẳng d : = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với đường thẳng d Câu VII.a (1,0 điểm) Từ nhóm gồm nam nữ chọn liên tiếp lần (có hồn lại) người Tìm xác suất cho lần chọn có lần chọn nhiều người nữ ? Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d1): x – 2y + = điểm M(1; 1) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua M tạo với (d1) góc ϕ thỏa cos ϕ = 65 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:    x = m + mt  x = 3t d1 :  y = −1 + t d2 :  y = − mt    z = t  z = + t Tìm giá trị m để hai đường thẳng d1 d2 cắt Câu VII.b (1,0 điểm) Một lơ hàng chứa 20 sản phẩm có phế phẩm Chọn từ lơ hàng sản phẩm Lập cơng thức tính xác suất chọn k phế phẩm, với ≤ k ≤ 8 Chứng minh C80C12 + C18C12 + C82C12 + + C87C12 + C88C12 = C20 ……………………Hết…………………… Trang 32 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x + 3x + (m − 1)x − m2 (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc bé Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình: sin x + cos4 x = sin 2x  3.22x + 6x − 2.3y = Giải hệ phương trình:   y = 21+log x  Câu III (1,0 điểm) π Tính tích phân I = cot xdx x +1 ∫ sin π Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3cm Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Biết (AMN) ⊥ (SBC) , tính thể tích khối chóp S.ABC Câu V (1,0 điểm) Chứng tỏ phương trình ln(x + 1) − ln(x + 2) + = −1 có nghiệm thực x+2 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho biết tiếp tuyến chung ngồi hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 4x + 2y – = (C2): x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = cắt đường thẳng nối tâm điểm M Tìm tọa độ điểm M Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;–1; 1) Viết phương trình đường thẳng x −1 y z−3 x+2 y−3 z qua M cắt hai đường thẳng d1 : = = d2 : = = −1 −2 Câu VII.a (1,0 điểm) Từ nhóm gồm 25 người, có cặp vợ chồng người ta chọn người cho khơng có cặp vợ chồng Tính số cách chọn Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ∆OAB vng A Biết phương trình cạnh OA 3x − y = , B ∈ Ox bán kính đường tròn nội tiếp ∆OAB Tìm tọa độ A, B Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng x −1 y z−3 x+2 y−3 z d1 : = = d2 : = = đồng thời vng góc với mp(Oxy) −1 −2 Câu VII.b (1,0 điểm)  10   +  Tìm số hạng hữu tỉ khai triển Nhị thức    ……………………Hết…………………… Trang 33 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x + 3x − có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên hàm số vẽ đồ thị (C) Tìm điều kiện m để phương trình: x − 3x + − log m = có nghiệm thực phân biệt Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: sin x + sin x − = sin 2x +  x − y = xy(ln y − ln x) Giải hệ phương trình:  x  − 3y +1 + =  Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = sin 2x − (x + 1)2007 ∫ (x + 2)2009 dx Câu IV (1,0 điểm) Cho đường tròn (C) có đường kính AB = 20cm M trung điểm cung AB Trên tia Ax vng góc với mặt phẳng chứa (C) lấy điểm S cho AS = 15cm Mặt phẳng (P) qua A vng góc với SB, cắt SB SM H K Tính thể tích khối chóp S.AHK Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa x + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 1 P = 4(x + y)(y + z)(z + x) +  + +   x y z  II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 điểm M(7; 3) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) A, B phân biệt cho AB = Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm O(0; 0; 0), A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z + = Chứng tỏ mặt phẳng (P) khơng cắt đoạn thẳng AB Câu VII.a (1,0 điểm) Một tập thể gồm 14 người có A B Từ tập thể người ta chọn tổ cơng tác gồm người cho tổ phải có tổ trưởng, A B khơng đồng thời có mặt Tính số cách chọn Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + y – = 0, (d2) : x + y – = điểm A(2; 2) Tìm tọa độ điểm B thuộc (d1) C thuộc (d2) để ∆ ABC vng cân A Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm O(0; 0; 0), A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z + = Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm O, A, B có khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Câu VII.b (1,0 điểm) 1.C0n 2.C1n 3.C2n (n + 1).Cnn Cho biết C + C + C = 211 Tính tổng S = + + + + A1 A2 A3 A1n +1 ……………………Hết…………………… n n n Trang 34 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 10 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) 2x − Cho hàm số y = có đồ thị (C) 1−x Khảo sát biến thiên hàm số vẽ đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm hai nhánh (C) hai điểm A, B cho AB vng góc với đường thẳng OI có độ dài AB ngắn Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: cotgx + + tgx + 2cotg2x − = Giải bất phương trình: log 20,5 x + log x ≤ ( − log16 x ) Câu III (1,0 điểm) π Tính tích phân I = ∫ cos x π tan x + cos2 x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt phẳng (SAC) vng góc với đáy, ASC = 900 SA tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa đẳng thức x + y − x − + y + − = ( Tìm giá trị lớn nhỏ A = ) (x − 2)(y + 1) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ∆ABC cân có đáy BC ðỉnh A có tọa độ số dương, hai điểm B C nằm trục Ox, phương trình AB : y = 7(x − 1) Cho biết chu vi ∆ABC 18 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) mặt phẳng ( P ) : 3x − 8y + 7z − = Tìm tọa độ điểm C (P) cho ∆ABC Câu VII.a (1,0 điểm) Lớp 12A gồm 45 học sinh, có 29 nữ Từ lớp người ta chọn bí thư đồn, phó bí thư ủy viên Hỏi có cách chọn cho người chọn phải có nữ Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) x2 + x − có hai điểm A, B phân biệt mà tiếp tuyến song x −1 song với Chứng tỏ A B đối xứng qua giao điểm I tiệm cận Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 20 + 131 = ba điểm A(1; 1; 0), B(3;–1; 0), C(–3; 3; 0) Tìm tọa độ điểm M cách A, B, C (P) Câu VII.b (1,0 điểm) Trên đồ thị hàm số y = Viết số phức sau dạng lượng giác: z = (1 − i)2008 ( 3+i ) 2009 ……………………Hết…………………… Trang 35 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 11 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) − 2x Cho hàm số y = có đồ thị (C) x +1 Khảo sát biến thiên hàm số vẽ đồ thị (C) 2a Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ O(0; 0) b Tìm điểm (C) có tổng khoảng cách từ đến tiệm cận (C) nhỏ Câu II (2,0 điểm)   π π Giải phương trình: cos3  x −  − sin 2x + sin  x +  − = 4 4   Giải phương trình: log 3−2x (2x − 9x + 9) + log 3−x (4x − 12x + 9) − = Câu III (1,0 điểm) dx Tính tích phân I = ∫ −2x − 4x + −1 Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích đáy S = 30cm2 AA’ = 10cm Một mặt phẳng (P) cắt cạnh AA’, BB’, CC’ A1, B1, C1 Biết AA1 = 3cm, BB1 = 4cm CC1 = 5cm Tính thể tích hai phần khối lăng trụ phân chia (P) Câu V (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa x2 + y2 + xy = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: M = x + y + x y − 2xy(x + y)2 + 3xy II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ∆ABC có cạnh AC qua điểm M(0;– 1) Cho biết AB = 2AM, đường phân giác (AD): x – y = 0, đường cao (CH): 2x + y + = Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(3;–1;–4) cắt trục Oy song song với mặt phẳng (P): 2x + y = Câu VII.a (1,0 điểm) Cho tập hợp A có n phần tử (n > 6), biết số tập hợp chứa phần tử A 21 lần số tập hợp chứa phần tử A Tính số tập hợp lớn chứa k ( ≤ k ≤ n ) phần tử A Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:   x = + 3t x −1 y+2 z−5 d1 :  y = + 2t d2 : = =  −3  z = − 2t Chứng minh d1 d2 đồng phẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 d2 Tính thể tích khối tứ diện giới hạn (P) mặt phẳng tọa độ Câu VII.b (1,0 điểm) Xét tổng S = (n + 3)C0n + (n + 2)C1n + (n + 1)C2n + + 3Cnn với n ≥ 4, n ∈ Z Tính n, biết S = 8192 ……………………Hết…………………… Trang 36 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 12 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x + 2x + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên hàm số vẽ đồ thị (C) Tìm điểm M trục tung cho từ vẽ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: + sin 2x + − = ( cotgx + ) sin 2x cos x Giải bất phương trình: Câu III (1,0 điểm) log2 x 2x Tính tích phân I = ∫ x+ ≥ x3 x +1 log x 2 dx Câu IV (1,0 điểm) Cho ∆ABC cân A, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 10cm A = 1200 Trên đường thẳng vng góc với mp(ABC) A lấy điểm S cho SA = 3cm Gọi I trung điểm BC Tính số đo góc SI với (ABC) bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Câu V (1,0 điểm) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm thực thuộc đoạn  1; +  :   m x − 2x + + + x(2 − x) = ( ) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1 ) : x + y − 10x = (C2 ) : x + y + 4x − = Viết phương trình tiếp tuyến chung ngồi (C1) (C2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – y + = hai điểm A(0; 1; 2), B(– 1; 1; 0) Tìm tọa độ điểm M nằm mặt phẳng (P) cho ∆MAB vng cân B Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x3 khai triển nhị thức ( x − 3x − ) 12 Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)  x = −t  x = t   Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 :  y = 3t d2 :  y = 3t cắt    z =  z = mặt phẳng (P): y – = A, B Tính S∆OAB chứng tỏ hai đường thẳng d1 d2 chéo Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1, d2 có khoảng cách đến d1 gấp lần khoảng cách đến d2 Câu VII.b (1,0 điểm) +1+ i 1− Tìm số phức z thỏa đẳng thức: z2 = 1+i ……………………Hết…………………… ( Trang 37 ) ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 13 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − (2m − 1)x2 + (m2 − 6m)x + m2 − 4m (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm đường thẳng x =1 điểm từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: 2cos3x + sin x cos x + = 2(sin x + cos x)  x + log y = Giải hệ phương trình:   ( 2y − y + 12 ) 3x = 81y  Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = ex + , trục hồnh hai đường thẳng x = ln3, x = ln8 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = SB = a Mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABD Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (a + b − c) P= 4c (b + c − a) + 4a (c + a − b) + 4b II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(3; −1) đường thẳng (d): x − 2y −1 = Tìm điểm C thuộc (d) cho diện tích tam giác ABC Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x y z x +1 y z d1 : = = , d2 : = = mặt phẳng ( P ) : x − y + z = 1 −2 1 Tìm tọa độ hai điểm M ∈ d1 , N ∈ d2 cho MN ( P ) MN = Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (1 + x)10(x + 1)10 Từ suy giá trị tổng S = ( C10 ) + ( C110 ) + ( C102 ) + + ( C1010 ) 2 2 Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ∆ ABC với B(– 6; 0), C(6; 0) Tìm tọa độ đỉnh A biết cos A = − độ dài đường cao AH = 10  x =  x = t   Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng chéo d1 :  y = t d2 :  y = t    z =  z = + t Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung d1 d2 Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa: z3 = −i ……………………Hết…………………… Trang 38 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 14 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x − 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng (d): y = x + Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: + sin 2x + cos3 2x = sin 4x x x +1 Giải phương trình: log 3(2 + 1) log (2 + 2) + log 23 = Câu III (1,0 điểm) e3 Tính tích phân I = ∫ e − ln x ln2 x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 3a ðáy ABCD hình bình hành, AB = a, BC = 2a ABC = 600 Gọi M, N trung điểm BC SD Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SAB) Tính thể tích khối tứ diện ACMN theo a Câu V (1,0 điểm) 1 Cho số thực dương x, y, z thỏa đẳng thức + + = x y z Chứng minh bất đẳng thức: x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ x + yz y + zx z + xy II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x = Từ điểm M(1; 4) vẽ tiếp tuyến MA, MB với (C) (A, B tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB tính độ dài dây cung AB Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;–1; 3), B(2; 4; 0) mặt cầu (S) : x + y + z2 − 2x + 4z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn có bán kính Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số hạng chứa x khai triển (1 + x + x + x )10 Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (C1): x2 + y2 = 16 (C2): x2 + y2 – 2x = Viết phương trình đường tròn tâm I, xI = tiếp xúc với (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2 + y + z2 − 2x − 4y − 6z = Gọi giao điểm (S) với trục tọa độ A, B, C (khác O) Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Câu VII.b (1,0 điểm) −1 2n Cho đẳng thức: Cn2n++11 + Cn2n++21 + Cn2n++31 + + C2n 2n +1 + C2n +1 = − ( n ∈ ℕ, n ≥ ) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển rút gọn biểu thức (1 − x + x − x )n ……………………Hết…………………… Trang 39 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 15 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) 2x − Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −1 Khảo sát biến thiên hàm số vẽ đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng IM Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình: cos8 x + sin8 x =  log x + − log y = Giải hệ phương trình:    log2 x − − log y = −1 Câu III (1,0 điểm) e Tính tích phân I = ln x ∫ (x + 1)2 dx e Câu IV (1,0 điểm) Cho hình nón có bán kính đáy R = 10cm thiết diện qua trục tam giác Một hình trụ nội tiếp hình nón có thiết diện qua trục hình chữ nhật có hai cạnh song song với trục hình trụ dài gấp đơi hai cạnh lại Tính thể tích khối trụ Câu V (1,0 điểm) Cho số thực khơng âm x, y, z thỏa x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= xy yz zx + + 1+z 1+x 1+ y II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC vng A(1; 0) (BC): y – = ðường tròn (C) tâm A tiếp xúc (BC) cắt cạnh AC trung điểm M Tìm tọa độ B C Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x y z+4 x −1 y z−1 d1 : = = d2 : = = −1 −2 −1 Viết phương trình hai mp chứa d1, d2 song song với Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa: z2 = − 3.i Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d1): x – 3y = 0, (d2 ) : 2x + y − = (d3): x – y = Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết A, C thuộc (d1), (d2) hai đỉnh lại thuộc (d3) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba đường thẳng: x y z+4 x −1 y z−1 x y z d1 : = = , d2 : = = d3 : = = −1 −2 −1 −3 Viết phương trình đường thẳng cắt d1, d2 song song với d3 Câu VII.b (1,0 điểm) 2009 2009 Chứng minh rằng: ( C2009 ) + ( C12009 ) + + ( C2008 2009 ) + ( C2009 ) = C4018 2 ……………………Hết…………………… Trang 40 [...]... hệ số lớn nhất là Ckn0 a n−k0 bk0   u k ≥ u k−1  ………………………………………………… Trang 25 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 PHẦN II 15 BỘ ðỀ LUYỆN TẬP ðỀ SỐ 1 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) mx + 1 Cho hàm số y = (1), m là tham số x−m 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 2 Tìm điều kiện tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên tập xác... xC y A + y B + yC zA + zB + zC   14) Tọa độ trọng tâm G của ∆ABC : G  A ; ;  3 3 3  15) Trọng tâm G của tứ diện ABCD thỏa GA + GB + GC + GD = 0 và có tọa độ:  x + x B + xC + x D y A + y B + yC + y D zA + zB + zC + zD  G  A ; ;   4 4 4  Trang 15 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 16) Diện tích ∆ABC là S∆ABC = 1 2  AB, AC    17) Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’:... 0) Tìm tọa độ điểm M cách đều A, B, C và (P) Câu VII.b (1,0 điểm) 1 Trên đồ thị của hàm số y = Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (1 − i)2008 ( 3+i ) 2009 ……………………Hết…………………… Trang 35 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 11 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) 1 − 2x Cho hàm số y = có đồ thị là (C) x +1 1 Khảo sát sự biến thi n của hàm số và vẽ đồ... 2) Ckn + Ckn−1 = Ckn +1 (1 ≤ k ≤ n) Trang 24 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 1 Dạng khai triển Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau 1) Khai triển ( a + b ) hoặc ( a − b ) n n 2) Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên 2 Dạng đạo hàm cấp 1 Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa... b  ⇒ ∫ f(x)dx ≤ 0 ; b ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx ; a a b 8) m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈  a; b  ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) ; a t 9) Nếu t biến thi n trên [a; b] thì G(t)=∫ f(x)dx là một ngun hàm của f(t) thỏa G(a) = 0 a Trang 19 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 3 Các kết quả cần nhớ a 1) Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì ∫ f(x)dx = 0 −a a 2) Với a > 0 , hàm... 6Cnk −2 + 4Ckn−3 + Ckn−4 = Ckn + 4 , với 4 ≤ k ≤ n và n, k ∈ ℤ ……………………Hết…………………… Trang 26 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 2 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 + (m − 1)x 2 − m (1), m là tham số 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = –2 2 Tìm điều kiện tham số m để phương trình x 3 + (m − 1)x 2 − m = 0 có... được phế phẩm mỗi lần chọn là 3% Tính xác suất sao cho phải chọn đến lần thứ 5? ……………………Hết…………………… Trang 27 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 3 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) x+3 Cho hàm số y = (1) x+2 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 1 2 Tìm m để (C) cắt (d) : y = x − m tại 2 điểm phân biệt A, B và AB nhỏ nhất 2 Câu II (2,0... số phức z =  4 3 + 1 + i 3 − 4  dưới dạng lượng giác   5 − 3i ……………………Hết…………………… ( ) Trang 28 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 4 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 8x 2 + 7 (1) 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2 Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) : y = mx − 9... Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ( 2x + 1 ) 19 ……………………Hết…………………… Trang 29 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 5 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 1 (1) 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2 Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(–1; 5) và có hệ số góc k Tìm điều kiện của k để... = 2011C2009 + 2010C12009 + 2009C2009 + + 3C2009 + 2C2009 ……………………Hết…………………… Trang 30 1 3 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 6 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) ( 3m + 1 ) x − m Cho hàm số y = (1), m là tham số x+m 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2 Tìm điều kiện của m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại giao điểm ... Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 PHẦN II 15 BỘ ðỀ LUYỆN TẬP ðỀ SỐ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) mx + Cho hàm số y = (1), m tham số x−m Khảo sát biến thi n vẽ... Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ðỀ SỐ 15 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) 2x − Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −1 Khảo sát biến thi n hàm số vẽ đồ... a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) ; a t 9) Nếu t biến thi n [a; b] G(t)=∫ f(x)dx ngun hàm f(t) thỏa G(a) = a Trang 19 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 Các kết cần nhớ a 1) Với a > ,