kien thuc co ban giaitich ngau nhien

ụ ụ ệ ề ý tết st q trì tí t ủ ố ộ ữ ột tụ ộ ữ ột tụ tr ộ ữ ột tụ ị ý tí t ủ ỳ ọ ó ề ệ ệ ữ ể ộ tụ ế {n } ộ tụ ề {n } ộ tụ t st ề ị ý ị ý ế {n } ộ tụ t ì tr ì ề st ề ế tì tì {n } ộ tụ t {n } ộ tụ t st ề {n } ộ tụ ế ề ề ộ tụ t st ề ộ tụ ị ý ổ ề t ị ý ộ tụ ị s ứ t tứ ị ý ộ tụ ệ tì r ọ tí t tứ r t tứ s t tứ s t tứ ổ ề rt t ị ý ị ý ủ r tí tụ ế {t }tT q trì số ộ tì {t }tT q trì r ứ tí t ủ tờ ể r í ụ ề tờ ể r rt tr tờ rờ r tụ ột số í ụ ề rt ị ý ị ý ệ q t tứ r ệ q ệ q ột số t tr tr s ì st ứ ụ trì r í t P trì ột số t tr tr s ì st ứ ụ trì ệ ề ý tết st q trì tí t ủ ố F (x1 ) F (x2 ) x1 x2 tụ tr tr R F () = lim F (x) = 0, F (+) = lim F (x) = x x+ ứ rớ ết t ứ tí t ế t ó rõ r ó tì P (A) P (B) B = A (B \ A) ó P (B) = P (A) + P (B \ A) P (A) x1 x2 tì { : () < x1 } { : () < x2 } F (x1 ) F (x2 ) x1 x2 x0 R tù ý t ứ lim F (x) = F (x0 ) ết t ì AB xx0 F (x) = P ( (, x)) = P (, x) {xn } tỏ x1 < x2 < ã ã ã < xn < ã ã ã < x0 Bn = (, xn ) xn x0 B0 = (, x0 ) P ộ ộ tụ F (xn ) = P (Bn ) F (x0 ) P (B0 ) = ệ ề t ó {xn } tỏ x1 > x2 > ã ã ã > xn > ã ã ã ứ P () = F () = lim F (x) = x tự {xn } tỏ x1 < x2 < ã ã ã < xn < ã ã ã Dn = (, xn ) ì P (Dn ) ứ F (+) = lim F (x) = + P (, +) = x+ : F R ộ ữ ộ ữ ột tụ tr ứ sử ó {An } F tỏ A A2 ã ã ã An ã ã ã A0 = Bn = An \ An1 , n = 1, 2, ó xn ộ ữ ột tụ sử t (, +) ó xn Cn = (, xn ) P (Cn ) Bi Bj = , i = j Bn = n=1 An = A n=1 à(A) = à( Bn ) = n=1 à(Bn ) n=1 n = lim n à(Bk ) k=1 n = lim n Bk k=1 = lim à(An ) n r ọ An A ệ ề ộ ữ ột tụ ứ sử A A2 ã ã ã An ã ã ã An A A= ó An = n=1 An = Ak kn (Ak AC k+1 ) Ak kn kn à(An ) = à( à(Ak AC k+1 ) Ak ) + kn k=n à(Ak AC k+1 ) = à(A) + k=n n à(Ak AC k+1 ) < ) à(A) (ì ỗ n=1 ị ý sử P sup n dQ dQ = n n dQ lim > sup t I = sup dQ K (A) = 0, A F r ọ n dQ = I n n ệ ề tỏ dQ, A F P (A) = t t ĩ t A t , 2 dQ = P (A), A F dQ = tỏ A A (1 )dQ = = (h.k.n) A tí t ủ ỳ ọ ó ề ệ E(|G) 0, 0; ế số tì E(a1 + b2 |G) = aE(1 |G) + bE(2 |G) P G ợ E(), E() tì E(|G) = E(|G) P ế ế G1 G2 ế G E(c|G) = c P tì E[E(|G2 )|G1 ] = E(|G1 ) P ộ tì E(|G = E E(|Gmin ) = E, E(|Gmax ) = P Gmin = {, }, Gmax = ứ ó A G tì A E(|G)dP = A dP E(|G) P ó A G A E(c|G)dP = A cdP, A G E(c|G) = c P t ó E(a1 + b2 |G)dP = A (a1 + b2 )dP A =a dP + b A E(1 |G)dP + b =a A E(2 |G)dP A [aE(1 |G) + bE(2 |G)] = A r ọ dP A ệ ề E(a1 + b2 |G) = aE(1 |G) + bE(2 |G) P sử , : n xk Ak tr ó xk R, Ak = { : () = xk } G = k=1 ó A G t ó n E(|G)dP = n xk Ak E(|G)dP = A A k=1 n = E(|G)dP AAk k=1 n xk dP = AAk k=1 n xk k=1 n n Ak dP = A xk Ak dP A k=1 E(|G)dP dP = = xk A k=1 A k=1 E(|G) = E(|G)(P h.c.c) G ợ t ỳ ó {n } t tỏ n tr tì n E(|G) = E(n |G) n E(|G) E(|G) E(n |G) E(|G) tí t ủ rờ ợ , E(|G) = E(|G) P tù ý = + = + E(|G) = E[( + )( + )|G)] = E( + + |G) E( + |G) E( + |G) + E( |G) = + E( + |G) + E( |G) E( + |G) + E( |G) = + E[( + )|G] E[( + )|G] = ( + )E[( + )|G] = E(|G) A G1 A t ó A G2 E[E(|G2 )|G1 ]dP = A E(|G2 )dP = E[E(|G2 )|G1 ] = E(|G1 ) P r ọ A dP = A E(|G1 )dP ệ ề G ì ó = E A ộ E(|G)dP = A dP = E E(|G) = E A Gmin A dP = A A A dP = E(A ) = EEA A ộ EdP E(|Gmin )dP = E(|Gmin )dP = A E(|Gmin ) = E dP = A = A = tì A = tì A Gmax A A tì P A = tì ì A G t ó A A dP = = A dP = E = EdP A EdP P E(|Gmax )dP = A A dP Gmax ợ E(|Gmax ) = P ệ ữ ể ộ tụ {n } ợ ế ợ {n } ộ tụ ề tì {n } ộ tụ t st ề ó ứ k=n {|k | } An = t {|k | }] 0, > P[ k=n Bn = {|n | } An t ó P (Bn ) P (An ) lim Bn = n P n t ề ợ ó ú ế ị ý P n n ( ) tì n P t t tí tổ qt t ét n r ọ P , ì ế n P , tì n P , ệ ề > : P{ 0(P h.c.c) n P ứ sử {k }} > > kn ì {n } {k } {n } kn ó P P {n } P ( {k }) > > t n kn ế ị ý P n tì {nk } {n } : nk (P h.c.c) { n} t 0; {n } : n < n=1 ì P n t ọ ợ nk s P {|nk | k} k t {|nk | Rj = k} k=j P[ {|nk | k} {|nk | = lim P ( j j=1 k=j lim j k=j k} k=j P {|nk | k} lim j k=j k = {|nk | P[ k} = ứ nk (P h.c.c) j=1 k=j ế {n } ộ tụ t ì tr ì ề t st ề ứ tì {n } n = l.i.mn n ứ E(|n |2 ) = |n |2 dP tù ý t ó Bn = { : |n | } E(|n |2 ) = Bn Bn |n |2 dP + |n |2 dP Bn C Bn |n |2 dP dP = P (Bn ) lim Bn = n P n ế ứ {n } ộ tụ t st ề ứ x , x R tỏ x < x < x tì {n } ộ tụ ế ề Fn (x) F (x), x C(F ) ứ F (x ) lim Fn (x) lim Fn (x) F (x ) r ọ () ộ tụ rt tr tờ rờ r tụ {n L}n1 , En = 1, pn := í ụ ợ ộ n i , Fn := (1 , , n ) ó X := {(pn , Fn )}1nN rt i=1 n m t ó ứ n n E(pn |Fm ) = E(pm i |Fm ) = pm E( i=m+1 n = pm E( i |Fm ) i=m+1 n Ei = pm , n i ) = p m i=m+1 i=m+1 í ụ ợ {n L}n1 , Sn = n i , Fn := i=1 (1 , , n ) ó X := {(Sn , Fn )}1nN ứ s rt n m t ó m E(Sn |Fm ) = E[( n i + i=1 m = i )|Fm ] i=m+1 n i + E( i=1 i )|Fm ) i=m+1 Sm X := {(xn , Fn )}1nN í ụ ế , n tì Y := {(f (xn ), Fn )}1nN ứ rt f : R R E|f (xn )| < s rt n m ụ t tứ s t ó E(f (xn )|Fm ) f (E(xn |Fm )) = f (xm ) í ụ ế ế X := {(xn , Fn )}1nN E|f (xn )| < , n X := {(xn , Fn )}1nN r ọ tì s rt Y := {(f (xn ), Fn )}1nN rt tì f :RR s rt ệt {E|xn |p }1nN rt tr tờ rờ r tụ n m ụ t tứ s t ó ứ E(f (xn )|Fm ) f (E(xn |Fm )) f (xm ) Y := {(f (xn ), Fn )}1nN ó s rt f (x) = |x|p p ó {|xn |p , Fn } s rt E|xn |p E|xm |p , n m ứ s ĩ {E|xn |p }1nN ế ị ý {(xn , Fn )} s rt tì {Exn } ứ m n t ó Exm E(E(xn |Fm )) = Exn {Exn } ị ý sử X := {(xn , Fn )}1nN s rt ó P {max xn } nN > t ó xN dP + Ex N {max xn } nN P {min xn } Ex1 + xN dP nN { xn >} nN ứ P {maxnN xn } {max xn } xN dP Ex+ N trì rồ nN tí t () = tờ ể r ì tì inf{n N : xn () }, ế max xn N, ế max xn < xn () tờ ể r r ọ tứ xn () [, +) nN nN t ó ó t í ụ rt tr tờ rờ r tụ P {min xn } Ex1 + nN xN dP { xn >} nN tự ét tờ ể r s () = inf{n N : xn () }, ế xn N, ế xn > nN nN B = {min xn } t nN ó Ex1 Ex = x dP + x dP BC B P (B) + xN dP BC P {min xn } Ex1 + nN xN dP { xn >} nN ệ q t tứ r sử X := {(xn , Fn )}1nN s rt ứ ó rt ì tí ó > t ó P {max |xn | } nN {(x2n , Fn )}1nN {(x2n , Fn )}1nN Ex2N s rt ó t t tứ tr ị ý t ợ P {max x2n a} nN a = t ợ t tứ ứ E|xn |p < , n, p ExPN s rt > t ó P {max |xn | } nN p ổ qt ế {(|xn |p , Fn )}1nN Ex2N , a > a X := {(xn , Fn )}1nN rt ệ q sử X := {(xn , Fn )}1nN rt ì tí ó E{max x2n } 4Ex2N nN r ọ tì rt tr tờ rờ r tụ ó ứ {(|xn |, Fn )}1nN s rt ụ t tứ tr ị ý t ợ E{max x2n } = E{max |xn |}2 4Ex2N nN nN ệ q ế X := {(xn , Fn )}1n< tồ t ế x := lim xn n s rt sr rt tì P X := {(xn , Fn }1n< s rt sr rt tì tồ t x := lim xn n P F := ( Fn ) X := {(xn , Fn )}1n ũ n=1 s rt sr rt t ứ ế X := {(xn , Fn )}1n< s rt tì sup Ex+ n < sup E|xn | < n1 n1 ứ {(xn , Fn )}1n< sử ó s rt sup Ex+ n = n1 t ị ý t s r tồ t tự ế {(xn , Fn )}1n< x = lim xn n P sr rt tì {(xn , Fn )}1n< s rt ó t tr tì sử n X := {(xn , Fn }1n< ể ứ x = lim (xn ) P x = lim xn n s rt X := {(xn , Fn )}1n E(x |Fm ) xm P ũ s rt tì t ỉ ứ ủ t ụ ết q ổ ề t t ó E(x |Fm ) = E( lim xn |Fm ) lim E(xn |Fm ) xm n ế n {(xn , Fn }1n< sr rt tì {(xn , Fn }1n< s rt r ọ rt tr tờ rờ r tụ ó t ết q tr {(xn , Fn }1n {(xn , Fn )}1n s rt sr rt (=) ể (=) sử sup Ex+ n < n1 xn > E|xn | = Exn , Ex+ n = Exn E|xn | = Ex+ n < xn E|xn | = Exn ì {(xn , Fn )}1n< Exn Ex0 s rt {Exn } E|xn | = Exn Ex0 < ột số t tr tr s ì st ứ ụ sử tờ ể ố {Fn } ỗ ý ệ (n) số é t p s { = n} Fp ứ (n) tờ ể t { = n} Fn (n) n < P {(n) = p} = { = n} Fp \ p1 l=1 Fl Fp {n }nN t n d0 = , dn = n E(n |0 , , n1 ), Xn = dk , k=0 ứ {Xn }nN r ọ rt n N rt tr tờ rờ r tụ ứ n m t ó n E(Xn |Fm ) = E( dk |Fm ) k=0 n (k E(k |0 , , k1 ))|Fm ] = E[0 + k=1 n = E(0 |Fm ) + n E(k |Fm ) k=1 m = + n m E(k |Fm ) k + k=1 m k=m+1 m k = + E(k |0 , , k1 ) k=1 E(k |0 , , k1 ) k=1 E(k |0 , , k1 ) k=1 k=1 = Xm {Xn } rt EX1 = ứ r > tì n : P {Xn > } ụ t tứ r t ó ứ 1 EX1+ = ế ó EXN = tì t ũ ó P {max Xn > } nN P {X1 > } n sử dk Xn = ứ n=1 k=1 Ed2n < rt ì tí s {Xn } ộ tụ ụ ệ q t ó ứ P { sup |Xn+p Xn | } n+pN 2 E|XN Xn | = {Xn }n1 ộ tụ r ọ dk |2 E| N n N N Ed2k k=n+1 N k=n+1 {Xn }n1 Ed2n < ) (ì n=1 trì r í t P trì ột số t tr tr s ì st ứ ụ ể tr Xt s ó rt Xt = Wt + 4t Xt = Wt2 ể tr E(Xt |Fs ) = Xs , t s? E(Xt Xs |Fs ) = E(Wt Ws |Fs ) + 4(t s) = 4(t s) = Xt ú t>s q trì rt ể tr E(Xt |Fs ) = Xs , t s E(Xt Xs |Fs ) = E(Wt2 Ws2 |Fs ) = E[(Wt Ws )2 |Fs ] + E[2Ws (Wt Ws )|Fs ] = t s + 2Ws E[(Wt Ws )|Fs ] = ts=0 Xt ú q trì rt t>s r P t PP ứ Mt = Wt2 t rt Mt ó q trì rr t E(Mt Ms |Fs ) = E[(Wt2 Ws2 (t s))|Fs ] = E[(Wt2 Ws2 )|Fs ] (t s) = t s (t s) = tr t ó ể tr Mt E[(Wt2 Ws2 )|Fs ] = t s ó q trì rr E(Mt Ms )2 |Fs ] = E[(Wt2 Ws2 (t s))2 |Fs ] = E[(Wt2 Ws2 )2 |Fs ] 2(t s)E[(Wt2 Ws2 )|Fs ] + (t s)2 = E [(Wt Ws )2 + 2Ws (Wt Ws ) |Fs ] 2(t s)2 + (t s)2 = E[(Wt Ws )4 |Fs ] + 4Ws E[(Wt Ws )3 |Fs ]+ + 4Ws2 E(Wt Ws )]2 |Fs ] (t s)2 = 3!!(t s)2 + 4Ws + 4Ws2 (t s) (t s)2 = 2(t s)2 + 4Ws2 (t s) = t s Mt q trì rr ứ Nt = Wt3 3tWt rt t t ó E(Nt |Fs ) = E(Wt3 3tWt |Fs ) = E[(Wt Ws + Ws )3 |Fs ] 3tE[(Wt Ws + Ws )|Fs ] = E[(Wt Ws )3 |Fs ] + 3Ws E[(Wt Ws )2 |Fs ] + 3Ws2 E[(Wt Ws )|Fs ] + Ws3 3tE[(Wt Ws )|Fs ] 3tWs = 3Ws (t s) + Ws3 3tWs = Ws3 3sWs = Ns r ọ r P t PP q trì số ộ X0 = 0, EXt = 0, F (t) = E|Xt |2 < sử {Xt }, t F (t) ứ ứ ứ F (t) F (s) 0, t s E|Xt |2 E|Xs |2 E(Xt2 Xs2 ) E[(Xt Xs + Xs )2 Xs2 ] E(Xt Xs )2 + 2E[Xs (Xt Xs )] E(Xt Xs )2 + 2EXs E(Xt Xs ) E(Xt Xs )2 ú trì dyt = yt dWt y0 = u, u > P ọ ệ yt ó yt = C(t).et dt = a(t)dt + b(t)dWt ó yt C (t) = yt t C(t) yt yt = = yt t t2 tứ t t ó dyt = ( s C (t) yt + yt a(t) + yt b2 (t))dt + yt b(t)dWt C(t) dyt = yt dWt t s r C + a(t) + b2 (t) = C b(t) = r ọ C + a(t) + = 0(1) C b(t) = r P t PP a(t) = C = yt = et y0 = e = u = lnu d = dt + dW t t t yt = e = lnu r ọ dy = y dt + y dW t t t t y = u, u > P ọ ệ yt ó yt = C(t).et dt = a(t)dt + b(t)dWt ó yt C (t) = yt t C(t) yt yt = = yt t t2 tứ t t ó dyt = ( s C (t) yt + yt a(t) + yt b2 (t))dt + yt b(t)dWt C(t) dyt = 21 yt dt + yt dWt C + a(t) + b2 (t) = C b(t) = t s r C = a(t) C b(t) = 1 ọ a(t) = C=1 b(t) = yt = et y0 = e0 = u = lnu yt = et dt = dWt = lnu t2 dyt = yt dt + tyt dWt y = u, u > P ọ ệ yt ó yt = C(t).et r ọ r P t PP dt = a(t)dt + b(t)dWt ó C (t) yt = yt t C(t) yt yt = = yt t t2 tứ t t ó dyt = ( s dyt = t2 y dt t C (t) yt + yt a(t) + yt b2 (t))dt + yt b(t)dWt C(t) + tyt dWt C + a(t) + b2 (t) = C b(t) = t t s r C = a(t) C b(t) = t t2 ọ a(t) = C=1 b(t) = t yt = et y0 = e0 = u = lnu yt = et dt = tdWt = lnu dy = y dt + y dW t t t t y = u, u > P ọ ệ yt ó yt = C(t).et dt = a(t)dt + b(t)dWt ó yt C (t) = yt t C(t) yt yt = = yt t t2 tứ t t ó dyt = ( r ọ C (t) yt + yt a(t) + yt b2 (t))dt + yt b(t)dWt C(t) r P t PP s dyt = yt dt + yt dWt C + a(t) + b2 (t) = C b(t) = t s r C = a(t) + C b(t) = ọ a(t) = C=1 b(t) = yt = et y0 = e0 = u = lnu yt = et dt = dt + dWt = lnu dyt = dt + dWt y0 = u ọ ệ yt ó yt = C(t).tm dt = a(t)dt + b(t)dWt ó C (t) yt = yt t C(t) m1 yt = mC m yt m t m2 yt m y m = m(m 1)C t t2 tứ t t ó dyt = ( m1 m2 m1 C (t) yt +mC m yt m a(t)+ m(m1)C m yt m b2 (t))dt+mC m yt m b(t)dWt C(t) s dyt = dt + dWt t s r m2 C (t) y + mC m1 y m1 m m y m b (t) = a(t) + m(m 1)C t t t C(t) m1 mC m1 y m b(t) = t ọ b(t) = m2 C (t) yt + a(t) + 12 m(m 1)C m yt m = C(t) C (t) ọ m = : yt + a(t) = C(t) r ọ r P t PP ọ a(t) = C = yt = t y0 = = u yt = t dt = dt + dWt = u dyt = (yt + et )dt + et dWt y0 = u ọ ệ yt ó yt = C(t).tm dt = a(t)dt + b(t)dWt ó C (t) yt = yt t C(t) m1 yt = mC m yt m t m2 yt m y m = m(m 1)C t t2 tứ t t ó dyt = ( m1 m2 m1 C (t) yt +mC m yt m a(t)+ m(m1)C m yt m b2 (t))dt+mC m yt m b(t)dWt C(t) s dyt = (yt + et )dt + et dWt t s r m2 C (t) y + mC m1 y m1 t m m y m b (t) = y + e (1) a(t) + m(m 1)C t t t t C(t) m1 mC m1 y m b(t) = et (2) t (2) m=1 C.b(t) = et C =1 (1) C C.a(t) = et C = et a(t) = yt = et t y0 = = u r ọ yt = et t dt = dt + dWt = u r P t PP m1 m m2 dy = (y m1 m m m + y )dt + y dWt t t t 2m t y = u (u > ế m = 2k, k N ọ ệ yt ó yt = C(t).tn dt = a(t)dt + b(t)dWt ó C (t) yt = yt t C(t) n1 yt = nC n yt n t n2 yt n y n = n(n 1)C t t2 tứ t t ó dyt = ( n1 n2 n1 1 C (t) yt + nC n yt n a(t) + n(n 1)C n yt n b2 (t))dt + nC n yt n b(t)dWt C(t) m1 s dyt = (yt m + m1 m m2 yt m )dt + yt m dWt 2m t s r n2 m1 m m2 C (t) y + nC n1 y n1 n n y n b (t) = y m yt m a(t) + n(n 1)C + t t t t C(t) 2m m1 nC n1 y n1 n b(t) = y m t ọ t n = m t s r C(t) = b(t) = m a(t) = m yt = tm y0 = 0m = u = m u d = dt + dW t t m yt = t m m = m u dyt = [a(t)yt + b(t)]dt + n(t)dWt y0 = u r ọ r P t PP ọ ệ yt ó yt = C(t).tm dt = g(t)dt + h(t)dWt ó C (t) yt = yt t C(t) m1 yt = mC m yt m t m2 yt = m(m 1)C m yt m t tứ t t ó dyt = ( m1 m2 m1 1 C (t) yt +mC m yt m g(t)+ m(m1)C m yt m h2 (t))dt+mC m yt m h(t)dWt C(t) s dyt = [a(t)yt + b(t)]dt + n(t)dWt t s r m2 C (t) y + mC m1 y m1 m g(t) + 12 m(m 1)C m yt m h2 (t) = a(t)yt + b(t) t C(t) t m1 mC m1 y m h(t) = n(t) t ọ m = s r C C = a(t) C.g(t) = b(t) C.h(t) = n(t) yt = t e y0 = e C = e a(t)dt b(t) g(t) = e a(t)dt h(t) = n(t) e a(t)dt a(t)dt a(t)dt = u.e a(t)dt = u.e a(t)dt b(t) n(t) dt = a(t)dt dt + a(t)dt dWt a(t)dt yt = t e e e = u.e a(t)dt r ọ