Đề thi thử đại học - năm 2011( số ) Môn: toán ( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) I phần chung cho tất thí sinh Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x +1 x ( ) có đồ thị (C ) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ( 1) Chứng minh đờng thẳng (d ) : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn sin x + co s x 1 = cot x Câu II (2 điểm) Giải phơng trình: 5sin x 8sin x x + y x + y = Giải hệ phơng trình: x + y + x y = Câu III (1 điểm) Tính I = x + sin x + 2011 dx + cosx Câu IV (1 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có cạnh a Trên tia Bx, Cy vuông góc nằm phía với mặt phẳng (P) lấy lần lợt điểm M, N cho BM = 2CN = a Tính thể tích khối chóp A.BCNM; Tính góc tạo mặt phẳng (ABC) mặt phẳng (ANM) Câu V (1 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: 9x 9y 9z 3x + y + 3z + + 3x + y + z y + 3z + x 3z + 3x + y PHầN RIÊNG (Thí sinh đợc chọn hai phần, không bắt buộc chọn phần cả) Theo chơng trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hai đờng thẳng: (d1 ) : x y + = 0; (d ) : x + y 17 = Đờng thẳng (d) qua giao điểm (d1 ) (d ) cắt hai tia Ox, Oy lần lợt A B Viết phơng trình đờng thẳng (d) cho: 1 + nhỏ OA OB 2 Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1, 2, 1) vuông góc với hai mặt phẳng có phơng trình ( P1 ) : x y + z 13 = ( P2 ) : 3x + y 12 z + 2011 = VIIa (1 điểm) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z + 3i = Tìm số phức z có mô đun nhỏ Theo chơng trình nâng cao Câu VIb (2 điểm) Cho tam giác ABC, có A(3; 4), B(1; 2) , có diện tích S = (đvdt) có trọng tâm thuộc đờng thẳng (d ) : x y + = Tìm tọa độ đỉnh C Cho n số nguyên dơng Tính tổng: S = Cn0 + 2 1 23 2n +1 n Cn + Cn + + Cn n +1 VIIb (1 điểm) Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + mx = x + Họ tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh khối D không làm phần in đậm câu 1b Còn thí sinh khối lại làm tất câu.( Giám thị không giải thích thêm) Câu Đáp án vắn tắt Câu I Chứng minh đờng thẳng (d ) : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn Để đờng thẳng (d) cắt ( C ) hai điểm phân biệt phơng trình x +1 = x + m có hai nghiệm phân biệt với m x1 < < x2 x x + = ( x 1)(2 x + m) có hai nghiệm phân biệt x1 < < x2 x x + (m 3) x m = (*) có hai nghiệm phân biệt x1 < < x2 x = (m + 1) + 16 > m > f (1) < f (1) = + (m 3) m = < Vậy với giá trị m thìđờng thẳng (d ) : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác Gọi A( x1; x1 + m), B( x2 ; x2 + m) hai điểm giao (d) (C).( x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình (*)) uuur Ta có AB = ( x2 x1; 2( x2 x1 )) AB = ( x2 x1 ) + (2( x2 x1 )) = 5( x2 x1 ) Theo Vi ét ta có AB = (m + 1) + 16 m AB = m = Vậy với m = -1 giá trị cần tìm (R) Câu II sin x + co s x 1 = cot x Giải phơng trình: 5sin x 8sin x Điều kiện: sin 2x x k (k  ) 1 sin 2 x 1 Khi đó, phơng trình cho tơng đơng với: = cot x 5sin x 8sin x cos x = (loai ) 8(1 sin 2x) = 20 cos 2x x = + k (k  ) ( R) cos x = x + y x + y = Giải hệ phơng trình: x + y + x y = x + y Điều kiện: 3x + 2y x + y + = x + y Khi đó, hệ phơng trình cho tơng đơng với ( x + y + 1) = ( x + y ) x + y + x y = x + y + x y = 1 1 x+ y = x+ y y x = x + y 2 2 x+ y = yx x+ y = yx Điể m y = x x = y = x x = x y = x + y = y x Câu III (R ) 0 x + 2011 x + 2011 sin x dx = dx + dx = K + L Tính I = x + sin + cosx + cos x + cos x Tính K = x + 2011dx + cos x K= + 2011 ln 2 u = x + 2011 du = dx Đặt dx x dv = + cos x v = tan Tính L = sin x dx = ln + cos x I = K + L = + 2011 (R ) Câu IV Hạ đờng cao AH tam giác ABC Suy AH đờng cao hình chóp A.BCNM Đáy BCNM hình chóp hình thang vuông có diện tích: a a 3 , AH = S= a = a 2 3a Thể tích khối chóp A.BCNM V = (đvtt) a 3+ MN, BC kéo dài cắt K C trung điểm BK ABK vuông ã A AK AM Từ suy MAB góc hợp hai mặt phẳng (P ) (ABC) ã = Ta có tan MAB MB ã = MAB = 600 Vậy góc hai mặt phẳng (P) MA (AMN) 600 (R) Câu V Đặt 3x = a,3 y = b,3z = c a, b, c > Do : ab + bc + ac = abc a2 a3 a3 a3 = = = Ta có a + bc a + abc a + ab + ac + bc (a + b)(a + c ) b2 b3 b3 b3 = = = a + ac b + abc b + ab + ac + bc (b + c )(b + a ) c2 c3 c3 c3 = = = c + ab c + abc c + ab + ac + bc (c + a )(b + c ) a3 a + b a + c 3a + + áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có : (a + b)(a + c) 8 b a + b b + c 3b + + (a + b)(b + c) 8 c3 a + c b + c 3c + + (a + c )(b + c ) 8 2 a b c a +b+c + + Cộng vế với vế ta có (đpcm) a + bc b + ac c + ba Đẳng thức xãy a = b = c x = y = z Câu VIa VIa2 Gọi M giao điểm hai đờng thẳng (d1 ), (d ) M (4;3) Xét tam giác 1 + = ( H chân đờng cao hạ từ O 2 OA OB OH 1 + xuống AB tam giác OAB ) Để nhỏ 2 nhỏ OA OB uuuur OH OH lớn H M Khi (d) nhận véc tơ OM làm véc tơ pháp tuyến uuuur OM = (4;3) Phơng trình đờng thẳng (d) là: x + y 25 = ( R) OAB vuông O ta có: uur n Ta có: p1 = (1, 1,1) , phẳng có phơng trình ( P1 ) : x y + z 13 = ( P2 ) : 3x + y 12 z + 2011 = uur uur uuur nên n p = n p ; n p = (10, 15, 5) = 5(2,3,1) Phơng trình mặt phẳng ( P ) là: x +3 y +z =0 ( R) Câu VIIa uuur n p2 = (3, 2, 12) Vì ( P ) vuông góc với hai mặt Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z + 3i = Tìm số phức z có mô đun nhỏ Gọi z = x + yi ( x, y Ă ) ta có z + 3i = ( x + 4) + ( y 3)i = ( x + 4) + ( y 3) = đờng tròn (C) tâm I(-4;3) bán kính R = 2 z = x + y z = x + y ( C1 ) Đặt z = r Để r nhỏ ( C) ( C1 )tiếp xúc Tọa độ điểm tiếp xúc hai đờng tròn giao điểm đờng tròn (C) đờng x = 4t (t Ă ) Tọa độ y = 3t uur thẳng IO Mà OI = (4;3) Phơng trình đờng thẳng OI 12 x = 4t M ( ; ) 5 giao điểm OI ( C) nghiệm hệ: y = 3t M ( 28 ; 21) ( x + 4) + ( y 3) = 5 Ta thấy với M ( Câu VIb 12 12 ; ) z đạt giá trị nhỏ z = + i 5 5 Tọa độ trung điểm AB I (1;3) (R) uuur uuur Ta có AB = (4; 2) nAB = (1; 2) Phơng trình đờng thẳng AB là: x y + = 3 Ta có d (C; AB) = 3d (G; AB) Mà S ABC = AB.d (C; AB) = d (C ; AB) = 2 d (G; AB ) = G ( x0 ; Điểm G nằm đờng thẳng (d ) : x y + = nên x0 + ) Ta có d (G; AB ) = x0 2( x0 + )+5 12 + (2) 25 x0 = x0 + = = x = 31 83 33 25 G ( ; ) C ( ; ) ( R) G ( 31 ; ) C ( 101 ; 39 ) 4 4 Cho n số nguyên dơng Tính tổng: 2 1 23 2n +1 n S =C + Cn + Cn + + Cn n Xét (1 + x) n = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + + x nCnn Lấy tích phân hai vế đoạn [ 1; 2] ta có n (1 + x) 2 n dx = (Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + + x nCnn )dx n (1 + x) dx = Cn + 2 1 23 2n +1 n 3n +1 2n+1 Cn + Cn + + Cn = S S = n n +1 Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + mx = x + (*) Đặt t = x+1 suy x = t 1, với x t Phơng trình (*) trở thành: Câu t + (m 4)t (m + 1) = (**) Để phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt VII b x phơng trình (**) phải có hai nghiệm phân biệt t > (m 4) + 4(m + 1) > m f (0) (m + 1) S m Chú ý: Thí sinh sử dụng cách khác để giải toán Tính giới hạn sau: I = lim x tan x 1 cos x Cho < x, y v x + y = Tìm giá trị nhỏ P = 1 + x +y xy ... Tính I = x + sin + cosx + cos x + cos x Tính K = x + 2011dx + cos x K= + 2011 ln 2 u = x + 2011 du = dx Đặt dx x dv = + cos x v = tan Tính L = sin x dx = ln + cos x I = K + L =... Câu II sin x + co s x 1 = cot x Giải phơng trình: 5sin x 8sin x Điều kiện: sin 2x x k (k  ) 1 sin 2 x 1 Khi đó, phơng trình cho tơng đơng với: = cot x 5sin x 8sin x cos x = (loai )... cho tơng đơng với: = cot x 5sin x 8sin x cos x = (loai ) 8(1 sin 2x) = 20 cos 2x x = + k (k  ) ( R) cos x = x + y x + y = Giải hệ phơng trình: x + y + x y = x + y Điều kiện: