ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC TOÁN (13)

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề số 13) Câu 1:Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ (Cm); (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số m = Xác đònh m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0, 1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vuông góc với Câu 2: Giải phương trình: 2cos3x + sinx + cosx =  x + 91 = y − + y (1) Giải hệ phương trình   y + 91 = x − + x (2) Câu 3: Cho số thực b ≥ ln2 Tính J = ex dx ln10 ∫b x e −2 tìm lim J b→ln Câu 4: Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên lại tạo với đáy góc 90 o Câu 5: Ch x, y, z dương thoả P= 1 + + = 2009 Tìm GTLN biểu thức x y z 1 + + x + y + z x + y + z x + y + 2z II.PHẦN TỰ CHỌN: 1.Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu 6: 1a/ 1.Phương trình hai cạnh tam giác mặt phẳng tọa ®é :5x - 2y + = 0; 4x + 7y – 21 = viết phương trình cạnh thứ ba tam giac đó, biết trực tâm no trung với gốc tọa độ O Tìm Ox điểm A cách đ.thẳng (d) : x −1 y z + = = mp(P) : 2x – y – 2z = 2 Câu 6.2a/ Cho tập hợp X = { 0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số tự nhiªn gồm chữ số khác đôi từ X, cho ba chữ số phải Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu 6b 1b/ Cho đường trßn (C): x + y2 – 6x + = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẽ hai tiếp tuyến (C) cho góc hai tiếp tuyến 600 x = t  Cho hai đường thẳng: (d1) : y = t z =  ; x = − t  (d2) :  y = t CM (d1) (d2) chéo Viết z =  phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vuông góc chung (d 1) (d2) Câu 6b.2b/ Giải phương trình sau C: Z4 – Z3 + 6Z2 – 8Z – 16 = HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 13) I PHẦN CHUNG: Câu 1: : Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x = x3 + 3x2 + mx + = ⇔ x(x2 + 3x + m) = ⇔  (2)  x + 3x + m = * (Cm) cắt đường thẳng y = C(0, 1), D, E phân biệt: ⇔ Phương trình (2) có nghiệm xD, xE ≠ m ≠  ∆ = − 4m >  ⇔ ⇔  m < 0 + × + m ≠  Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD = y’(xD) = 3x 2D + 6x D + m = −(x D + 2m); kE = y’(xE) = 3x 2E + 6x E + m = −(x E + 2m) Các tiếp tuyến D, E vuông góc khi: kDkE = –1 ⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 ⇔ 9m + 6m × (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo đònh lý Vi-ét) ⇔ 4m2 – 9m + = ⇔ m = m 65 1 ĐS: m = − 65 hay m = m 65 8 ( ( ) ) ( ) Câu 2: π π sin sinx + cos cosx = – cos3x 3 π  ⇔ cos  x −  = cos(π − 3x) 3  sin x + cos x + cos3x = ⇔ π  cos  x −  = − cos3x 3   π kπ x = + π kπ (k ∈ Z) ⇔ x = + ⇔ (k ∈ Z)  π  x = + kπ  Điều kiện: x ≥ y ≥ : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: ⇔ x + 91 − y + 91 = ⇔ x2 − y x + 91 + y + 91 = y − − x − + y − x2 y−x + ( y − x )( y + x ) y−2 + x−2  x+y ⇔ ( x − y)  +  x + 91 + y = 91   + x + y ÷= ÷ x −2 + y −2  ⇔ x = y (trong ngoặc ln dương x vay lớn 2) Vậy từ hệ ta có: ⇔ x2 − x + 91 + 10 = x + 91 = x − + x ⇔ x + 91 − 10 = x − − + x −     x −3 1 + ( x − 3)( x + 3) ⇔ ( x − 3)  ( x + 3)  − 1÷− =0 ÷  ÷ x − +1 x − + x + 91 + 10     ⇔ x=3 Vậy nghiệm hệ x = y = ln10 Câu 3: J  ∫ b ex dx ex − = ∫ e b −2 du 1/ u =  u2 /  b =   − (e b − 2)2 /  ; với u = ex – 2, du = exdx)  e −2  3 2 3 − (e b − 2)2 /  = (4) =  b→ln 2  Suy ra: lim J = lim b→ln Câu 4: Dựng SH ⊥ AB ° Ta có: ° ° S (SAB) ⊥ (ABC), (SAB) ∩ (ABC) = AB, SH ⊂ (SAB) ⇒ SH ⊥ (ABC) SH đường cao hình chóp Dựng HN ⊥ BC, HP ⊥ AC · · ⇒ SN ⊥ BC, SP ⊥ AC ⇒ SPH = SNH =α SHN = SHP ⇒ HN = HP B H ϕ a P ° AHP vuông có: HP = HA.sin 60 = A a ° SHP vuông có: SH = HP.tgα = tgα 1 a a2 a3 Thể tích hình chóp S.ABC : V = SH.SABC = tgα = tgα 3 4 16 o ° N Câu 5: Áp dụng bất đẳng thức Cơ- Si, ta có: 4ab ≤ (a + b)2 ⇔ Ta có: 1 1   1  1   1  ≤  + + ÷ ÷ ≤  +  + ÷ =  + x + y + z  x y + z   x  y z   x y z  Tương tự: Vậy 11 1 a+b ⇔  + ÷ (∀a, b > 0) ≤ 4a b a + b 4ab 1 1  1 1 1 ≤  + + ÷ ≤  + + ÷ x + y + z  2x y 2z  x + y + 2z  2x y z  1 1  1  2009 + + ≤  + + ÷= 2x + y + z x + y + z x + y + 2z  x y z  Vậy MaxP = 2009 12 x = y = z = 2009 II.PHẦN TỰ CHỌN: Phần 1: Phần dành cho chương trình Câu 6a.1a 1.Giả sử AB: 5x - 2y + = 0; AC: 4x + 7y –r 21 = Vậy A(0;3) Đường cao đỉnh BO qua O nhận VTCP a = (7; - 4) AC làm VTPT Vây BO: 7x - 4y = B(-4;-7) A nằm Oy, đường cao AO trục OY, Vậy AC: y + = Gọi A(a; 0; 0) ∈ Ox ° ° ° Khoảng cách từ A đến mặt phẳng () : d(A; α) = 2a 22 + 12 + 22 r () qua M (1; 0; − 2) có vectơ phương u = (1; 2; 2) uuuuuur r Đặt M M1 = u = 2a C ° Do đó: d(A; ) đường cao vẽ từ A tam giác AM M1 ⇒ d(A; ∆ ) = ° 2.SAM0M1 M M1 uuuuur r [AM ; u] 8a2 − 24a + 36 = = r u Theo giả thiết: d(A; ) = d(A; ) 2a 8a2 − 24a + 36 = ⇔ 4a2 = 8a2 − 24a + 36 ⇔ 4a2 − 24a + 36 = 3 ⇔ 4(a − 3) = ⇔ a = ⇔ ° Vậy, có điểm Câu 6a.2a n = a b c d e A(3; 0; 0) * Xem số hình thức a b c d e , kể a = Có cách chọn vò trí cho (1 a b c) Sau chọn trò khác cho vò trí lại từ X \ { 1} : số cách chọn A 74 Như có x (7 x x x 4) = 2520 số hình thức thỏa yêu cầu đề * Xem số hình thức 0b c d e * Loại số dạng hình thức 0b c d e ra, ta 2520 – 240 = 2280 số n thỏa yêu cầu đề Phần 2: Phần dành cho chương trình nâng cao: Câu 6b.1b (C) có tâm I(3;0) bán kính R = M ∈ Oy ⇒ M(0;m) Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm)  ·AMB = 600 (1) Vậy   ·AMB = 1200 (2) Vì MI phân giác ·AMB IA (1) ⇔ ·AMI = 300 ⇔ MI = ⇔ MI = 2R ⇔ m + = ⇔ m = m sin 300 IA (2) ⇔ ·AMI = 600 ⇔ MI = R ⇔ m2 + = Vơ nghiệm ⇔ MI = sin 60 3 Vậy có hai điểm M1(0; ) M2(0;- ) r 2.- (d1) qua điểm A(0; 0; 4) có vectơ phương u1 = (2; 1; 0) r - (d2) qua điểm B(3; 0; 0) có vectơ phương u2 = (3; − 3; 0) uuur AB = (3; 0; − 4) ° uuur r r uuur r r AB.[u1; u2 ] = 36 ≠ ⇒ AB, u1 , u không đồng phẳng ° ° Vậy, (d1) (d2) chéo Gọi MN đường vuông góc chung (d1) (d2) ° ° M ∈ (d1 ) ⇒ M(2t; t; 4) , N ∈ (d ) ⇒ N(3 + t / ; − t / ; 0) uuuu r ⇒ MN = (3 + t / − 2t; − t / − t; − 4) uuuu r r / / MN ⊥ u1  t / = −1 M(2; 1; 4) 2(3 + t − 2) − (t + t) = ⇔ ⇒ r r ⇒ Ta có:  uuuu / / N(2; 1; 0) 3 + t − 2t + (t + t) = MN ⊥ u2 t = ° MN = 2 Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = Tọa độ trung điểm I MN: I(2; 1; 2), bán kính R = ° Câu 6b.2b Xét phương trình Z4 – Z3 + 6Z2 – 8Z – 16 = Dễ dàng nhận thấy phương trình có nghiệm Z = –1, sau cách chia đa thức ta thấy phương trình có nghiệm thứ hai Z2 = Vậy phương trình trở thành: (Z + 1)(Z – 2)(Z2 + 8) = Suy ra: Z3 = 2 i Z4 = – 2 i { } Đáp số: −1,2, − 2 i, − 2 i -Hết - ... x x x 4) = 2520 số hình thức thỏa yêu cầu đề * Xem số hình thức 0b c d e * Loại số dạng hình thức 0b c d e ra, ta 2520 – 240 = 2280 số n thỏa yêu cầu đề Phần 2: Phần dành cho chương trình nâng... A tam giác AM M1 ⇒ d(A; ∆ ) = ° 2.SAM0M1 M M1 uuuuur r [AM ; u] 8a2 − 24a + 36 = = r u Theo giả thi t: d(A; ) = d(A; ) 2a 8a2 − 24a + 36 = ⇔ 4a2 = 8a2 − 24a + 36 ⇔ 4a2 − 24a + 36 = 3 ⇔ 4(a −...HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 13) I PHẦN CHUNG: Câu 1: : Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x = x3