Bài giảng toán kinh tế Phạm Thị Oanh

1.2 Cấu trúc mô hình toán kinh tế 1.2.1 Các biến số Biến là biểu hiện bằng ngôn ngữ toán học của 1 yếu tố, 1 chỉ tiêu hay 1 mặt của đối tượng hay vấn đề kinh tế cần nghiên cứu để mô tả

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

KHOA KINH TẾ -o0o -

MỤC LỤC

Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1

1.1 Một số khái niệm 1

1.1.1 Mô hình 1

1.1.2 Mô hình toán 1

1.1.3 Mô hình toán kinh tế 2

1.2 Cấu trúc mô hình toán kinh tế 2

1.2.1 Các biến số 2

1.2.2 Mối quan hệ giữa biến số 3

1.2.3 Phân loại mô hình toán kinh tế 4

1.3 Các bước thành lập mô hình 5

1.3.1 Đặt vấn đề 5

1.3.2 Mô hình hóa 5

1.3.3 Phân tích mô hình 6

1.3.4 Giải thích kết quả 6

1.4 Một số phương pháp phân tích và sử dụng mô hình 6

1.4.1 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo các biến ngoại sinh 6

1.4.2 T ính ra hệ số thay thế 7

1.4.4 Vấn đề tăng quy mô hiệu quả 8

Chương 2: PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH Error! Bookmark not defined 2.1 Mô hình thị trường Error! Bookmark not defined 2.2.1 Mô hình thị trường 1 loại hàng hóa – mô hình tuyến tính Error! Bookmark not defined 2.2.2 Mô hình thị trường 1 loại hàng hóa- mô hình phi tuyến Error! Bookmark not defined 2.2.3 Mô hình thị trường nhiều loại hàng hóa Error! Bookmark not defined 2.2 Cân bằng mô hình thu nhập quốc dân Error! Bookmark not defined 2.2.1 Mô hình giản đơn Error! Bookmark not defined 2.2.2 Mô hình thu nhập quốc dân có tính đến thuế Error! Bookmark not defined Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Error! Bookmark not defined 3.1 Ứng dụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế Error! Bookmark not defined 3.1.1 Mối quan hệ giữa chi phí biên và chi phí trung bình Error! Bookmark not defined 3.1.2 Mối quan hệ giữa doanh thu biên và doanh thu trung bình Error! Bookmark not defined 3.1.3 ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế Error! Bookmark not defined 3.2 ứng dụng của vi phân trong phân tích kinh tế Error! Bookmark not defined 3.2.1 Vi phân tổng Error! Bookmark not defined 3.2.2 Hệ số co giãn Error! Bookmark not defined Chương 4: TỐI ƯU HÓA SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG 10

4.1.1 Bài toán sản xuất 10

4.2.1 Mô hình bài toán 12

4.2.2 Kiểm tra tính cực trị bằng đạo hàm 13

4.2.3.Ứng dụng trong phân tích kinh tế 14

4.3 Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn 15

4.3.1 Trường hợp bài toán có 2 biến 15 4.3.1.1 Trường hợp bài toán có 1 biến – sử dụng vi phân để khảo sát tính cực trị 15

4.3.2.1 Bài toán có 3 biến lựa chọn 17

4.3.2.2 Bài toán có n biến lựa chọn 19

4.3.3 ứng dụng trong phân tích kinh tế 20

4.3.3.1 Tìm lợi nhuận cực đại trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại sản phẩm ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo 20

4.3.3.2 Tìm lợi nhuận cực đại trong doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm ở thị trường cạnh tranh không hoàn hảo 21

4.4 Tối ưu hóa với ràng buộc đẳng thức 25

4.4.1 Ảnh hưởng của ràng buộc 25

4.4.1.1 Ví dụ 25

4.4.1.2 Liên hệ với cực trị tự do 26

4.4.2 Phương pháp nhân tử Lagrange 26

4.4.2.1.Bài toán 2 biến 26

Mức lợi ích cực đại mà người tiêu dùng có thể đạt được là 611 đơn vị 28

4.4.2.2 Bài toán n biến 28

4.4.3.Ứng dụng trong phân tích kinh tế 29

4.4.3.1.Tối ưu hóa lợi ích và nhu cầu của người tiêu dùng 29

4.4.3.2 Tổ hợp chi phí tối thiểu của các đầu vào trong sản xuất 31

Chương 5: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 33

5.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT 33

5.1.1 Bài toán lập khẩu phần thức ăn 33

5.1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 34

5.1.3.Bài toán phối hợp sử dụng các tài nguyên trong nông nghiệp 35

5.1.4 Bài toán phân bổ vốn đầu tư 36

5.2 Bài toán QHTT 37

5.2.1 Bài toán QHTT tổng quát 37

5.2.2 Các dạng cơ bản của bài toán QHTT 38

5.3.Phương pháp đồ thị 41

5.4 Phương pháp đơn hình 42

5.4.1 Xây dựng bảng đơn hình xuất phát 43

5.4.2 Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu 43

5.4.3 Cải tiến P.A 44

5.5 Bài toán M 47

5.6 Bài toán đối ngẫu 49

5.6.1 Ví dụ về bài toán đối ngẫu 49

5.6.2 Cách viết bài toán đối ngẫu 51

5.6.3 Các tính chất của bài toán đối ngẫu 52

5.6.4 Tìm lời giải tối ưu của bài toán gốc thông qua lời giải tối ưu của bài toán đối ngẫu 53

5.7 Phân tích đối ngẫu Error! Bookmark not defined 5.7.1.Ví dụ Error! Bookmark not defined 5.7.2 Phân tích lời giải tối ưu Error! Bookmark not defined 5.7.3 Phân tích tình hình sử dụng các nguồn lực Error! Bookmark not defined 5.7.4 Giá đối ngẫu Error! Bookmark not defined Chương 6: BÀI TOÁN VẬN TẢI 56

6.1 Giới thiệu về bài toán vận tải 56

6.1.1 Đặt bài toán 56

6.1.2 Lập mô hình bài toán 57

6.1.3.Ví dụ thực tế của bài toán vận tải 59

6.1.4 Các trường hợp của bài toán vận tải 60

6.2 Sử dụng phương pháp thế vị để giải bài toán vận tải 62

6.2.1 Tìm phương án xuất phát ban đầu 62

6.2.1.1 Phương pháp Tây – Bắc 63

6.2.1.2 Phương pháp chi phí tối thiểu 64

6.2.1.3 Phương pháp Volgel 65

6.2.2 Kiểm tra điều kiện tối ưu, tìm ô đi vào tập hợp ô chọn 68

6.2.2.1 Xây dựng hệ thống thế vị ui và vj (ui ≠vj) 68

6.2.2.2 Tiêu chuẩn tối ưu 68

6.2.2.3 Tìm ô đi vào tập hợp ô chọn 68

6.2.3 Tìm ô đi ra khỏi tập hợp ô chọn Cải tiến P.A 68

6.2.3.1 Xác định vòng điều chỉnh 68

6.2.3.2.Đánh các dấu (+) và (-) cho vòng điều chỉnh 69

6.2.3.3 Ô đi ra khỏi tập hợp ô chọn 69

6.2.3.4 Cải tiến phương án 69

6.3 Các dạng khác của bài toán Vận tải 72

6.3.1 Bài toán vận tải có ô cấm 72

6.3.2 Trường hợp bài toán có hàm mục tiêu →max 74

BÀI TẬP (7 tiết) 78

Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

1.1 Một số khái niệm

1.1.1 Mô hình

Có rất nhiều quan niệm về mô hình của đối tượng từ hình thức đơn giản, trực quan đến hình thức khái quát, có sử dụng các khái niệm toán học trừu tượng Với yêu cầu bước đầu làm quen với phương pháp mô hình, chúng ta sẽ đề cập đến quan điểm khá đơn giản về mô hình Theo quan điểm này thì : “Mô hình của một đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách quan của đối tượng, sự hình dung tưởng tượng đối tượng đó bằng những ý nghĩ của người nghiên cứu và việc trình bày, thể hiện, diễn đạt những ý nghĩ đó qua lời văn , chữ viết, sơ đồ, hình vẽ…hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành”

Mô hình phụ thuộc vào 2 yếu tố:

+ Trình độ nhận thức của người nghiên cứu

+ Phương pháp diễn đạt của người nghiên cứu

Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình bao gồm:

+ Xây dựng, xác định mô hình của đối tượng Quá trình này gọi là mô hình hóa đối tượng

+ Dùng mô hình làm công cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu Quá trình này gọi là phân tích mô hình

1.1.2 Mô hình toán

Nói về mô hình toán trong kinh tế, trước hết phải hiểu "Mô hình toán là gì?" Một cách đơn giản có thể hiểu mô hình toán là mô tả các hiện tượng bằng ngôn ngữ toán Theo cách hiểu này thì chúng ta đã gặp rất nhiều mô hình toán như vậy ngay

từ khi mới bắt đầu làm quen với môn toán Có thể nêu ra đây một ví dụ hết sức đơn giản Xét bài toán sau “Một người đi từ A đến B với vận tốc 5km/h, hỏi thời gian cần thiết để tới B là bao nhiêu nếu quãng đường từ A đến B dài 10km” Các yếu tố được miêu tả trong bài toán là một hiện tượng Để giải bài toán trên chúng ta diễn đạt theo ngôn ngữ toán như sau: “Gọi khoảng cách từ A đến B là s, vận tốc của người đó là v Thời gian cần thiểt là đi từ A đến B là t Khi đó ta có quan hệ sau: s=vt” Quan hệ (phương trình) nhận được miêu tả chính xác hiện tượng nêu ra trong bài toán Có thể gọi nó là một mô hình toán Với mô hình nhận được ta không chỉ

giải quyết một bài toán cụ thể mà có thể giải một lớp các bài toán khác nhau

1.1.3 Mô hình toán kinh tế

“Là 1 mô hình toán được ứng dụng trong phân tích kinh tế” Một câu hỏi có thể đặt ra là, những hiện tượng nào có thể mô tả theo ngôn ngữ toán học? Toán học

có ứng dụng rất nhiều trong thực tế Từ những vấn đề đơn giản như trong ví dụ trên đến phức tạp như các vấn đề trong tự nhiên, xã hội Ở đây chúng ta đề cập đến các ứng dụng của toán học trong kinh tế Một vấn đề đầu tiên trong kinh tế là quan hệ sản xuất, đây là mối liên hệ giữa chi phí và khối lượng sản phẩm tạo ra Quan hệ này chúng ta có thể miêu tả bằng một hàm số y=f(x), trong đó x là các nguyên liệu đầu vào, y là sản phẩm tạo ra Có rất nhiều câu hỏi được đặt ra

-Tìm cách kết hợp các nguyên liệu đầu vào để thu được nhiều sản phẩm nhất f(x)->max

- Trong điều kiện giá thị trường của mặt hàng y là p, giá nguyên liệu x là q,

và chúng ta chỉ có một lượng vốn nhất định Tìm cách tối ưu hóa lợi nhuận u =

yp-xq

Bên cạnh đó còn rất nhiều vấn đề khác như quá trình hình thành giá trong điều kiện cạnh tranh tự do hoặc độc quyền, việc phân bố hàng hóa, đổi mới công nghệ sản xuất

luận, phân tích toán học và kế thừa các thành tựu trong lĩnh vực này cũng như trong các lĩnh vực khoa học có liên quan Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối quan

hệ đan xen mà chúng ta cần nghiên cứu, phân tích về mặt định tính lẫn định lượng thì phương pháp suy luận thông thường, phân tích đơn giản không đủ hiệu lực để giải quyết Chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học Đây chính là điểm mạnh của mô hình toán kinh tế

1.2 Cấu trúc mô hình toán kinh tế

1.2.1 Các biến số

Biến là biểu hiện bằng ngôn ngữ toán học của 1 yếu tố, 1 chỉ tiêu hay 1 mặt của đối tượng hay vấn đề kinh tế cần nghiên cứu để mô tả và phân tích các hiện tượng về mặt định lượng, ta phải xem xét lựa chọn 1 số yếu tố cơ bản đặc trưng cho hiện tượng và vấn đề lượng hóa chúng

Tùy vào mục đích nghiên cứu mà biến số được phân làm 2 loại:

+ Biến ngoại sinh( biến giải thích): Là những biến có 1 mức độ độc lập nhất định đối với mô hình và được xem là tồn tại bên ngoài mô hình Việc thêm hay bớt biến ngoại sinh sẽ quyết định mức độ phù hợp của mô hình so với thực tiễn

Ví dụ: Các chính sách của chính phủ

+ Biến nội sinh( biến được giải thích): Là biến tồn tại trong bản thân mô hình, chúng phụ thuộc khăng khít lẫn nhau và chịu tác động của biến ngoại sinh Nếu biết giá trị của các biến khác trong mô hình, ta có thể xác định giá trị cụ thể của các biến nội sinh bằng cách giải các hệ thức

Ví dụ: Y = C + I0 +G0

C = a + b*Y

I0, G0: Là biến ngoại sinh

C, Y: Là biến nội sinh Khi C thay đổi dẫn đến Y thay đổi và ngược lại khi Y thay đổi dẫn đến C thay đổi

+ Tham số: Là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể giả thiết là như vậy Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng của các biến tới biến nội sinh

1.2.2 Mối quan hệ giữa biến số

Đây là 1 vấn đề cốt lõi nhất của 1 mô hình toán kinh tế, nó phản ánh các quan hệ định lượng thể hiện sự tương tác ảnh hưởng qua lại giữa các biến trong mô hình

Các quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể kinh tế (tác nhân kinh tế), giữa chủ thể với Nhà nước, giữa các khu vực, bộ phận của nền kinh tế và giữa nền kinh tế của các quốc gia tạo ra quan hệ giữa các biến số liên quan Các mối quan hệ này là sự phản ánh, thể hiện tác động của các quy luật trong hoạt động kinh tế Chúng ta có thể dùng các biểu thức, các hệ thức toán học một cách thích hợp từ đơn giản đến phức tạp để thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong mô hình Hệ thức thường được sử dụng phổ biến là phương trình Phương trình của mô hình có thể tồn tại dưới dạng các hàm số, phương trình đại số

Tùy thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của mối quan hệ giữa các biến có trong phương trình, chúng ta có thể phân loại các phương trình trong mô hình như sau:

+ Phương trình định nghĩa: Là phương trình thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các biến số hoặc giữa hai biểu thức ở 2 vế của phương trình

Ví dụ: Lợi nhuận (LN) được định nghĩa là phần chênh lệch giữa tổng doanh thu (TR) và tổng chi phí (TC), ta có thể viết: LN = TR - TC Hay 1 ví dụ khác, xuất khẩu ròng (NX) của 1 quốc gia là khoản chênh lệch giữa xuất khẩu (EX) và nhập khẩu (IM) của quốc gia đó Thông thường xuất, nhập khẩu phụ thuộc vào thu nhập (Y), mức giá cả (P), tỷ giá hối đoái (ER) do đó theo định nghĩa của xuất khẩu ròng ta có thể viết:

NX = EX(Y, P, ER) – IM(Y, P, ER)

+ Phương trình hành vi:Là phương trình mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của các quy luật hoặc do giả định Từ phương trình hành vi ta có thể biết sự biến động của các biến nội sinh khi các biến số khác thay đổi Sự biến động này có thể là sự phản ứng trong hành vi của con người

Ví dụ: Trong hành vi tiêu dùng, nếu thu nhập tăng lên thì người tiêu dùng sẽ

có xu hướng chi tiêu nhiều hơn

Nó còn thể hiện mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến số

Ví dụ: Hàm cung và hàm cầu S = S(P), D = D(P) là các phương trình hành vi

vì nó thể hiện phản ứng của người sản xuất và người tiêu dùng trước sự thay đổi của giá cả

+ Phương trình điều kiện: Là phương trình mô tả quan hệ giữa các biến số trong các tình huống có điều kiện mà mô hình đề cập

Ví dụ: Phương trình Qs = Qd là phương trình điều kiện vì nó thể hiện điều kiện cân bằng thị trường

1.2.3 Phân loại mô hình toán kinh tế

* Phân loại theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng

+ Mô hình tối ưu: Mô hình phản ánh sự lựa chọn cách thức hoạt động nhằm tối ưu hóa một hoặc một số chỉ tiêu định trước

+ Mô hình tĩnh là mô hình mô tả hiện tượng kinh tế tồn tại ở 1 thời điểm hay

ở 1 khoảng thời gian đã xác định

+ Mô hình động: là mô hình nghiên cứu các hiện tượng kinh tế trong đó các biến phụ thuộc vào thời gian

+ Mô hình toán kinh tế và mô hình kinh tế lượng: Về mặt hình thức ta có thể xem mô hình kinh tế lượng cũng là mô hình toán kinh tế Tuy nhiên trong thực tế người ta thường phân biệt chúng vì lý do kỹ thuật phân tích và ứng dụng Đối với các mô hình toán kinh tế, các tham số của mô hình hoặc là cho trước hoặc được giả định rằng đã biết và khi phân tích ta sử dụng các phương pháp toán học thuần túy Trong khi đó đối với mô hình kinh tế lượng các tham số lại chính là các ẩn số, giá trị của chúng được xác định nhờ các phương pháp suy đoán thống kê căn cứ vào giá trị trước đó của các biến khác trong mô hình

* Phân theo quy mô hiện tượng

+ Mô hình vi mô: Nghiên cứu các hiện tượng kinh tế trong phạm vi nhỏ hoặc các hiện tượng kinh tế với các yếu tố ảnh hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức

độ chi tiết

+ Mô hình vĩ mô: Mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh

tế, một khu vực kinh tế gồm một số nước

* Phân loai theo thời gian

- Lượng hóa các yếu tố này và coi chúng là các biến của mô hình, xác định đơn vị đo lường thích hợp (đối với các yếu tố định lượng), đối với các yếu tố định tính cần sử dụng các phương pháp trong thống kê, kinh tế lượng để lượng hóa

- Xem xét vai trò của các biến số và thiết lập các hệ thức toán học – chủ yếu

là các phương trình, mô tả quan hệ giữa các biến (đây là bước rất quan trọng và khó khăn) Vì vậy phải dựa vào cơ sở lý luận đủ mạnh và đáng tin cậy cả về phương diện kinh tế lẫn toán học Kết thúc công việc ta có mô hình ban đầu

1.3.3 Phân tích mô hình

Sử dụng các phương pháp phân tích mô hình (sẽ được trình bày ở các chương tiếp theo) để phân tích Kết quả phân tích có thể dùng để hiệu chỉnh mô hình ( thay đổi vai trò của biến, thêm bớt biến, thay đổi định dạng phương trình…) cho phù hợp với thực tiễn

1.3.4 Giải thích kết quả

Dựa vào kết quả phân tích mô hình ta đưa ra giải đáp cho vấn đề nghiên cứu Nếu ta thay đổi vấn đề hoặc mục tiêu nghiên cứu nhưng đối tượng liên quan không thay đổi thì vẫn có thể sử dụng mô hình sẵn có

Ví dụ: Nhà nước điều chỉnh sắc thuế đánh vào việc sản xuất 1 loại hàng hóa

A (tăng thuế suất)

1.4 Một số phương pháp phân tích và sử dụng mô hình

1.4.1 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo các biến ngoại sinh

a) Đo lường sự thay đổi về lượng tuyệt đối

Y = f( X1, X2 …Xn)

Trong đó: Y là biến nội sinh

X1, X2,…., Xn là các biến ngoại sinh

Giả sử biến ngoại sinh Xi ( i=1,n) thay đổi 1 lượng Δi

Gọi ΔY là sự thay đổi của Y do sự thay đổi của Xi đem lại

Y

∂

∂

Xi tăng lên 1 đơn vị dẫn đến Y thay đổi 1 lượng đúng bằng Pi đơn vị

Ví dụ: TRQ doanh thu theo sản lượng

Doanh thu biên MR=TR’Q =

dQ dTR

Trong trường hợp xét sự thay đổi của 1 biến thì phải cố định các biến còn lại Còn khi tất cả các biến đều thay đổi thì ta sử dụng vi phân toàn phần

f

∂

∂

dXn

dy lượng thay đổi của y

dX1, dX2,… dXn: lượng thay đổi của X1, X2 …Xn

b) Đo lường về mặt tương đối

+ Sử dụng hệ số co giãn

εD/P =

P P

Q

Q d d

/

/ Δ

P P

Độ co giãn của cầu so với giá

Ý nghĩa: Khi P tăng lên 1% thì Q thay đổi bao nhiêu %?

Trong trường hợp tất cả các biến ngoại sinh cùng tăng lên 1% thì Y sẽ thay đổi như thế nào? Khi đó ta sử dụng hệ số co giãn chung hay còn gọi là hệ số co giãn toàn phần

X f

X f

X f

X f

∂

∂

∂

∂/

/

đơn vị

1.4.3 Hệ số tăng trưởng ry: Dùng để đo tốc độ tăng của 1 biến số kinh tế xã hội

trong 1 khoảng thời gian

e r V

So sánh giữa (1) và (2) có 3 trường hợp xảy ra

+ Nếu (1) = (2): Việc tăng quy mô không thay đổi hiệu quả

+ Nếu (1) >(2): Việc tăng quy mô có hiệu quả

+ Nếu (1) < (2): Việc tăng quy mô không có hiệu quả

+ Nếu α+ β =1: Việc tăng quy mô không thay đổi hiệu quả

+ Nếu α+ β >1: Việc tăng quy mô có hiệu quả

+Nếu α+ β <1: Việc tăng quy mô không mang lại hiệu quả

* Chú ý: Hiệu quả ở đây chỉ phản ánh về mặt kỹ thuật, nó không đồng nhất

về mặt kinh tế

Chương 2: TỐI ƯU HÓA SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG

2.1 Đặt bài toán

Trong thực tế sản xuất các doanh nghiệp, các công ty luôn luôn quan tâm đến vấn đề tối ưu hóa sản xuất tức là tìm phương án để sử dụng hợp lý các nguồn lực sao cho thu được lợi nhuận tối đa từ quá trình sản xuất

Đối với người tiêu dùng, họ luôn quan tâm đến lợi ích đạt được từ việc chi tiêu mang lại, tức là tìm cách đạt dược lợi ích cực đại từ việc sử dụng ngân sách (thu nhập) của mình

2.1.1 Bài toán sản xuất

Đối với một hãng sản xuất mục tiêu thường đặt ra là tối đa hóa lợi nhuận, tối

đa hóa sản lượng hoặc tối thiểu hóa chi phí Nói cách khác họ thường phải đối mặt với một trong 2 tình huống sau đây:

Với nguồn lực đã xác định trước mục tiêu của doanh nghiệp là tổ chức quá trình sản xuất để sao cho làm ra càng nhiều sản phẩm càng tốt

Yêu cầu về khối lượng sản phẩm đã xác định tổ chức sản xuất ra khối lượng sản phẩm đó với tổng chi phí là nhỏ nhất

Sau đây ta lần lượt xét 2 trường hợp đó:

a) Trường hợp 1: Với cùng nguồn chi phí biết trước B = B0, mục tiêu của doanh nghiệp là sản xuất ra càng nhiều sản phẩm càng tốt

Giả sử doanh nghiệp sản xuất ra 1 loại sản phẩm có khối lượng Q Để sản xuất ra Q cần phải sử dụng n yếu tố đầu vào có khối lượng lần lượt là

X1, X2,… Xn giá tương ứng của các yếu tố đầu vào là P1, P2,… Pn

Chi phí để sản xuất ra Q:

0 2

2 1

max )

X1, X2,… Xn : Khối lượng các loại đầu vào sử dụng trong sản xuất

P1, P2,… Pn: Giá của 1 đơn vị đầu vào tương ứng

b) Trường hợp 2: Trong trường hợp doanh nghiệp xác định được cầu về sản phẩm

là Q0, mục tiêu của doanh nghiệp là sản xuất ra Q0 sao cho chi phí là nhỏ nhất:

HMT:P1X1+P2X2 + +P n X n →min

RB: Q = Q ( X1, X2, Xn) = Q0

Trong đó: Q0 là khối lượng sản phẩm cần sản xuất ra

X1, X2,… Xn : Khối lượng các loại đầu vào sử dụng trong sản xuất

P1, P2,… Pn: Giá của 1 đơn vị đầu vào tương ứng

2.1.2 Bài toán tiêu dùng

Đối với người tiêu dùng mục tiêu thường đặt ra là tối đa hóa lợi ích đạt được

từ việc chi tiêu của mình hoặc tối thiểu hóa chi phí để đạt được mức lợi ích đã xác định trước Nói cách khác họ thường phải đối mặt với một trong 2 tình huống sau đây:

Với mức chi tiêu đã xác định trước, tìm cách đạt được lợi ích tối đa từ việc chi tiêu số tiền trên

Cần đạt được mức lợi ích đã xác định với tổng chi tiêu nhỏ nhất

Sau đây ta lần lượt xét 2 trường hợp đó:

2.1.2.1 Trường hợp 1: Biết khả năng chi tiêu của người tiêu dùng là có hạn (B0) Mục đích là tổ chức thu mua và tiêu dùng sao cho lợi ích đạt được là lớn nhất (Umax)

Giả sử 1 người tiêu dùng n loại hàng hoá X1, X2,… Xn với giá tương ứng là

P1, P2,… Pn

Ta có mô hình:

HMT: U(X1,X2, X n)→max

RB: P1X1+P2X2 + +P n X n =B0

Trong đó: U: Tổng độ thỏa dụng (tổng lợi ích)

B0: Khả năng chi tiêu (giới hạn chi tiêu đã được xác định trước)

X1, X2,… Xn : Khối lượng các loại hang hóa đưa vào tiêu dung

P1, P2,… Pn: Giá tương ứng của 1 đơn vị hàng hóa đưa vào tiêu dùng

2.1.2.2 Trường hợp 2: Trong trường hợp người tiêu dùng muốn đạt được độ thỏa

Trong đó: U0: Là mức lợi ích xác định trước

X1, X2,… Xn : Khối lượng các loại hàng hóa đưa vào tiêu dùng

P1, P2,… Pn: Giá tương ứng của 1 đơn vị hàng hóa đưa vào tiêu dùng

2.2 Trường hợp bài toán chỉ có một biến lựa chọn

2.2.1 Mô hình bài toán

Trong bài toán này chúng ta chỉ có 1 biến lựa chọn duy nhất và ta tìm cách đạt được mục tiêu đề ra trên cơ sở xác định giá trị của biến lựa chọn này

Ví dụ: Một doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm duy nhất, họ tìm cách để đạt lợi nhuận cực đại từ quá trình sản xuất của mình (tìm πmax)

Lợi nhuận là sự chênh lệch giữa tổng doanh thu và tổng chi phí

TR là hàm của khối lượng sản phẩm sản xuất ra TR(Q)

TClà hàm của khối lượng sản phẩm sản xuất ra TC(Q)

Vậy π (Q)= TR – TC = TR(Q) – TC(Q): cũng là hàm của khối lượng sản phẩm sản xuất ra

Như vậy bài toán tìm lợi nhuận cực đại của doanh nghiệp sẽ chuyển thành bài toán tìm Q để sao cho: π (Q) = TR(Q) – TC(Q) → Max

Trong đó: π (Q): Là hàm mục tiêu (hàm lợi nhuận)

TR(Q): là hàm tổng doanh thu

TC(Q): là hàm tổng chi phí

Q: là biến lựa chọn (sản lượng)

Bài toán tối ưu hóa ở đây là xác định mức sản lượng tối ưu Q* để sao cho

π (Q*

) lớn nhất

Tổng quát : Bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn là bài toán có dạng:

Y = f(x)

2.2.2 Kiểm tra tính cực trị bằng đạo hàm

Đạt cực đại tại x = x0 nếu f”(x0) <0

Đạt cực tiểu tại x = x0 nếu f”(x0) >0

Điều kiện đủ: TCQ”

>0

0108Q6C

0102108

1

*6C

010210835

*6C

Q 1 = 1

Q 2 = 35

Vậy Q = 35 thoả mãn điều kiện cần và đủ Để tổng chi phí sản xuất nhỏ nhất thì doanh nghiệp nên sản xuất khối lượng sản phẩm là Q = 35 đơn vị

2.2.3.Ứng dụng trong phân tích kinh tế

Tìm điều kiện cần và đủ để DN sản xuất ra 1 loại sản phẩm có lợi nhuận cực đại Về lý thuyết kinh tế ta biết rằng điều kiện cần để đạt lợi nhuận cực đại là MR bằng MC, ta xét điều kiện này dưới góc độ toán học

Giả sử khối lượng sản phẩm sản xuất ra là Q

Tổng doanh thu của DN là TR(Q)

Tổng chi phí sản xuất là TC(Q)

Theo định nghĩa hàm lợi nhuận của DN là: π (Q) = TR(Q) - TC(Q)

Như vậy lợi nhuận của DN cũng là hàm của khối lượng sản phẩm → vấn đề đặt ra

là DN cần sản xuất khối lượng sản phẩm bằng bao nhiêu để đạt lợi nhuận cực đại khảo sát hàm số:π(Q) =TR(Q)−TC(Q)→max

Điều kiện cần: Để hàm số có cực trị thì điều kiện cần là: πQ' =0

Trong đó: TR’(Q) = MR là hàm doanh thu biên

TC’(Q) = MC là hàm chi phí biên

Theo điều kiện cần ta phải có πQ' =0 do đó MR=MC tại Q = Q0

Như vậy, điều kiện cần để DN đạt lợi nhuận tối đa là phải sản xuất ra khối lượng sản phẩm mà tại đó doanh thu biên bằng chi phí biên

Điều kiện đủ để hàm lợi nhuận đạt cực đại là: π”

(Q) < 0

Ta có: πQ′′ =M R′−M C′<0M R′<M C′

Theo điều kiện đủ ta phải có π”

(Q) < 0 Do đó MR’ < MC’ Điều đó có nghĩa là để đạt lợi nhuận cực đại thì DN cần sản xuất ra khối lượng sản phẩm mà tại đó MR =

MC và tốc độ tăng của đường doanh thu biên nhỏ hơn tốc độ tăng của đường chi phí biên Mức sản lượng mà tại đó DN đạt lợi nhuận cực đại gọi là mức sản lượng tối ưu

Ví dụ: Một DN sản xuất 1 loại sản phẩm có hàm doanh thu và chi phí như sau:

TR(Q)=PQ = 1200Q

TC(Q)=Q3– 54Q2 +144Q

Câu hỏi đặt ra là DN cần phải tổ chức quá trình sản xuất thế nào để đạt lợi nhuận tối đa

Q Q

Q Q TC

TR− =1200 − 3+54 2 −144

=

π

Q Q

Q = 44 thỏa mãn điều kiện đủ để DN đạt lợi nhuận cực đại

Kết luận: Để đạt lợi nhuận cực đại DN cần sản xuất khối lượng sản phẩm Q

= 44 đơn vị

Mức lợi nhuận cực đại mà DN có thể đạt được là πmax= 65.824 đơn vị tiền tệ

2.3 Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn

2.3.1 Trường hợp bài toán có 2 biến

2.3.1.1 Trường hợp bài toán có 1 biến – sử dụng vi phân để khảo sát tính cực trị

2 2 1

1

=

∂

∂+

x

f f

2 2 1 2

1 1 2 1

1

x d x

f dx dx x

f dx dx x

f x d x

f

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

2 21 2

1 12 1

1

x

f f x

f f x

f f x

11

) (

0

f f f

11

) (

0

f f f

=

∂

∂

X X x

f

02

−

0 2

2

8 2

6

2 1

2 1

X X

X X

86

1620

28

822

26

16 ,

2 8

2 1

A

A X A

A X

Điều kiện đủ: Xét d2

y

2 ,

2 ,

6

2

2 22 21

2

1 12 1

f X

f f

X

f f

Ta có f11 =-6 < 0

f11f22 > (f12)2

Thỏa mãn điều kiện đủ để d2y < 0 Hàm số có cực đại tại X1 = 2, X2 = 2,

maxY = 9

2.3.2 Bài toán có nhiều hơn 2 biến lựa chọn

2.3.2.1 Bài toán có 3 biến lựa chọn

Cho hàm số Y = f(X1, X2, X3)

Điều kiện cần: dy = 0

0

3 3 2 2 1 1

=

∂

∂+

∂

∂+

f dx X

f dy

0 ,

0 ,

3 2 3 2

3 1 3 1

3 3 2 3

2 2 2 2

2 1

2

1

2

3 1 3

1 2 1 2

1 1 2 1

1 3

3 2 2 1 1

2

)(

X d X

f dX dX X

f dX dX X

f dX dX X

f X d X

f dX

dX

X

f

dX dX X

f dX dX X

f X d X

f dX

f dX f dX

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+

+

=

Theo tính chất đối xứng: f12 = f21, f13 = f31, f23 = f32

- Lập định thức Hessian(H)

33 32 31

23 22 21

13 12 11

f f f

f f f

f f f

- Lập các định thức con Hk được tạo từ k dòng đầu và k cột đầu của định thức H

H H f

f

f f H f

22 21

12 11 2 11

Ví dụ: Xét cực trị của hàm số sau

1010

32

22

2

0 2 2 3

0 10 2

4

3 2 3

3

3 1 2 2

2

2 1 1

1

= +

Y f

X X X X

Y f

X X X

Y f

−

=

− +

−

=

−

0 6 2

0 2

3 2

10 2

4

3 2

3 2 1

2 1

X X

X X X

X X

40020

032

1024

1206

00

202

0104,

1406

20

230

0210

32241672620

232

024

3

2 1

A

32

40,

32

120,

32

140

3 2

0 ,

0 8 3 2

2 4 ,

0 4 ,

0 32 6 2

0

2 3

2

0 2

4

3 2

23.2.2 Bài toán có n biến lựa chọn

n

n n

f f

f

f f

f

f f

2 1

2 22

21

1 12

11

=

- Lập định thức con Hk dòng đầu và được rạo từ K dòng đầu và K cột đầu của định thức H

2.3.3 ứng dụng trong phân tích kinh tế

2.3.3.1 Tìm lợi nhuận cực đại trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại sản phẩm ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo

ngoại sinh (DN không có đủ sức mạnh làm thay đổi giá sản phẩm)

Mục tiêu của DN là tìm mọi biện pháp nhằm thu lợi nhuận tối đa trên cơ

sở sử dụng hợp lý các yếu tố đầu vào

Giả sử dn sản xuất 2 loại sản phẩm ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo có khối lượng lần lượt Q1 và Q2

Ta gọi giá của loại sản phẩm thứ nhất là P10

Giá của loại sản phẩm thứ 2 là P20

Tổng doanh thu của DN là: TR(Q1Q2) = TR(Q1) + TR(Q2) = P10Q1 + P20Q2

Để sản xuất ra lượng sản phẩm Q1, Q2 cần tổng chi phí là TC(Q1Q2)

Mục tiêu của DN là tối đa hóa lợi nhuận:

Ta có hàm lợi nhuận:

π(Q1Q2) = TR(Q1Q2) – TC(Q1Q2) = P10Q1 + P20Q2 – TC(Q1Q2)

Vấn đề dặt ra là xác định khối lượng mỗi loại sản phẩm cần phải sản xuất

để đạt lợi nhuận tối đa từ quá trình sản xuất

Giả sử hàm tổng chi phí của DN là

0 4 12

2 1

20

2 1 10

Q Q

P

Q Q

= +

20 2 1

10 2 1 6 4

4 12

P Q Q

P Q Q

Đây là hệ 2 phương trình, 2 ẩn bậc nhất ta áp dụng phương pháp Cramer để giải

4 12 ,

56

4 6

4 12 4

12

4 6 6 4

56 16 72 6 4

4 12

10 20 2

2 20 10 1

1

10 20 20

10 2

20 10 20

10

1

P P A

A Q P P A

A

Q

P P P

P A

P P P

4 12

6 ,

4 ,

Mục tiêu của DN là tìm mọi biện pháp để thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở

sử dụng hợp lý các yếu tố đầu vào

Ví dụ: DN sản xuất 2 loại sản phẩm có khối lượng Q1 Q2 để sản xuất ra 2 loại sản phẩm doanh nghiệp phải bỏ ra 1 lượng chi phí là TC(Q1Q2)=Q21+Q1Q2+Q22Qua điều tra thị trường , DN đã xác định được cầu về sản phẩm của DN như sau:

Q1=14-P1+P2

Q2=24+P1-2P2

0 1

.

1 2 1

2 2

1 2

p P

Q p

Q

ε

Nhận xét: Hai loại hàng hóa trên là hàng hóa thay thế Bởi vì khi tăng giá hàng hóa thứ nhất sẽ làm tăng lượng cầu hàng hóa thứ 2 và ngược lại

Ta tìm cách biểu diễn P1 và P2 thông qua Q1 và Q2 (tìm hàm cầu ngược)

−

24 2

14 2 2

1

1 2

1

Q P

P

Q P

24(

1

141

522

2)24(

114

121

11

2 1 2

1 2

2 1 2

Q A

Q Q Q

Q

A

A

max38

2513

3

3852

22

38_

522

38

522

2 2

1 2

1 1 2

1 2

1

2

2 1

2 2 1 1 2

1 1 2

2 1 1

2

1

2

2 1

1

1

2 1

2

1

→+

−+

−

−

−

=+

=+

Q Q

Q Q

Q TCQ Q

TRQ

Q Q

Q Q Q Q

Q Q

Q

Q

Q Q

Q Q Q

P Q P TR TR

3

523

6

2 1 2

2

2 1 1

Q Q Q

−

−

= +

−

−

0 38 4

3

0 52 3

3

52 3

94 114 208 4 38

3 52

15 9 24 4 3

3 6

15

94

72 156 228 38 3

52 6

2 1

A

ĐK đủ: Để hàm đạt cực đại thì vi phân cấp 2 định dạng âm (dπ2 < 0) hay π11 <0,

π22 <0, H >0

0 15 9 24 4 3

3 6

4 ,

3 ,

6 12 2211

π

Thỏa mãn điều kiện đủ để dπ2 < 0

2.3.3.3.Tìm lợi nhuận cực đại trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm bán ở 3 thị trường phân biệt

Giả sử 1 doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm khối lượn g là Q và đem bán ở 3 thị trường khác nhau, với khối lượng tương ứng là Q1, Q2, Q3 Lượng chi phí bỏ ra để sản xuất là TCQ

Vấn đề đặt ra là xác định khối lượng sản phẩm sản xuất ra cũng như mức sản phẩm bán ở từng thị trường để đạt lợi nhuận cực đại

3 2

+ ĐK cần: dπ =0π1 =π2 =π3 =0

0

1 1

MR MR

MC MR

C T Q R T Q

MC MR

C T Q R T Q

1

3 3

3

3

2 2

+ ĐK đủ: dπ < 0

Khi H1 < 0 , H2 > 0 , H3 < 0

C M C

M

C M R M C

M R

M

C M C

M R

12

3 33

2 22

32 23 1

11

,,,

πππ

π

ππ

πππ

Sau đó ta lập định thức H, H1 , H2 , H3

Ví dụ: 1 doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm có khối lượng là Q và đem bán ở 3 thị trưởng với khối lượng là Q1, Q2, Q3 với tổng chi phí là TCQ=15+5Q Qua điều tra thị trường, DN xác định cầu ở 3 thị trường như sau:

10,

10,

0 0

0 10 0

0 0 8

1 = − <

H

.080100

08

H

Thỏa mãn điều kiện để dπ2 < 0 hay lợi nhuận đạt cực đại tại Q1 = 5, Q2 = 9,

Q3 = 8

2.4 Tối ưu hóa với ràng buộc đẳng thức

2.4.1 Ảnh hưởng của ràng buộc

Trong phần trên ta đã xét các bài toán cực trị không có ràng buộc về các biến

có nghĩa là DN không bị ràng buộc bởi các điều kiện sản xuất như vốn, lao động, đất đai …

Trong thực tế nhiều khi ta phải lựa chọn phương án tối ưu trong điều kiện các biến lựa chọn bị giới hạn bởi những ràng buộc nhất định

2.4.1.1 Ví dụ

1 người tiêu dùng 2 loại hàng hóa X1, X2 và giá tương ứng của 2 loại hàng hóa là P1= 6 đv, P2 = 12 đv

2 1 2

Trong thực tế, người tiêu dùng bị hạn chế bởi khả năng chi tiêu (do thu nhập

có giới hạn) nên mức độ thỏa mãn có giới hạn, do vậy nếu mua nhiều hàng hóa này thì phải tiêu dùng ít hơn hàng hóa kia

Bài toán đặt ra là trong giới hạn khả năng chi tiêu cho phép, người tiêu dùng phải quyết định mua mỗi loại hàng hóa bao nhiêu đơn vị để đạt lợi ích cực đại từ quá trình tiêu dùng của mình

Giả sử khả năng tiêu dùng : B0= 288

Tìm X1, X2 để U => max

288 12

6 :

max 4

10 :

2 1

2 2 1 1 )

,

(

2 1 2

1

2

1 = + = + =

→ +

+

=

X X

X P X P g

RB

X X X

2.4.1.2 Liên hệ với cực trị tự do

Từ ràng buộc ta có thể viết lại: X1= 48- 2X2

thay X1= 48 – 2X2 vào hàm mục tiêu:

max 4

20 480 2

−

=

32

8 0

32 4

1

2 2

'

X X

2.4.2 Phương pháp nhân tử Lagrange

2.4.2.1.Bài toán 2 biến

0

2 1

2

1

:

max(min) )

, (

B g

RB

X X

[),

Bước 2: Tính các đạo hàm bậc nhất theo X1, X2,và λ

Bước 3: Cho các đạo hàm tính ở bước 2 = 0

L1= L2= Lλ= 0 => X1, X2, λ

Chú ý : Từ bước 1 đến bước 3 chỉ là điều kiện cần

Bước 4: Điều kiện đủ

2

1 =

> d g X X H

2

1 =

< d g X X H

Cách tìm H

- Từ ràng buộc bài toán tính đạo hàm theo X , X

2 2 1

X

g g

2 22 2

1 12 1

1

X

L L

X

L L

X

L L

12 11 1

2 1 0

L L g

L L g

g g

− +

+ +

=

= +

=

→ +

+

=

3 8 32

288 12

6

4 12

10 6

0 12

6 288

0 12 4

0 6 10

max )

12 6

( 288 [ 4

10

288 12

6

max 4

10

2 1

2 1

1

2

2 1

1 2

2

2 1

1

2 1

2 1 2

2 1 2

λ

λ

λλ

λ

λ

λ

X X

X X X

X

L

X X

g

X X X

12

1 0

6

12 6

0

0 ,

1 ,

L

L

g

g

Thỏa mãn đk đủ để Umax tại X1=32, X2=8 , λ=3 với độ thỏa dụng U=608

Ở ví dụ trên nếu ta tăng khả năng chi tiêu thêm 1 đơn vị khi đó ta có :

− +

+ +

=

= +

=

→ +

+

=

042 , 8

083 , 32 289

12 6

4 12

10 6

0 12

6 289

0 12 4

0 6 10

max )

12 6

( 289 [ 4

10

289 12

6

max 4

10

2 1

2 1

1

2

2 1

1 2 2

2 1 1

2 1

2 1 2

1 ) ,

(

2 1

2 1 2

1

2 1

X

X

X

X X

L L

X X

L L

X X

L L

X X

X X X

X L

X X

g

X X X

X U

λλ

λ

λ

λ

Mức lợi ích cực đại mà người tiêu dùng có thể đạt được là 611 đơn vị

2.4.2.2 Bài toán n biến

0 2

1

2 1

) ,,

(

:

max(min))

,,

,(

:

B X X

X

g

RB

X X

X f

X

L L

,

2 2

1 ( , 0 ,.

, 0 0

0 ) , ,

, ( 0

4 3

2 2

2 1 2

n g

L

H H

H H

khi d

X X

X d d

Các định thức con đổi dấu luân phiên từ dương sang âm

+ Cực tiểu: dL2 định dạng dương

0 ,

,

0 ,

0 0

0 ) , ,

, ( 0

3 2

2

2 1 2

n g

L

H H

H khi d

X X

X d d

Các định thức con luôn âm

• Cách xác định định dạng âm và dương

- Từ ràng buộc ta tính đạo hàm cấp 1 theo X1, X2,….,Xn

., ,

,

2 2 1

1

n n

X

g g

X

g g

L L

X

L L

1

11

- Lập định thức Hessian

nn n

n n

n n n

L L

L g

L L

L g

L L

L g

g g

g

H

.

.

0

2 1

2 22

21 2

1 12

11 1

2 1

=

Lập các định thức con Hk được tạo từ K dòng đầu và K cột đầu của định thức H ( không kể dòng đầu và cột đầu tiên) và K bắt đầu bằng 2

H H H L L g

L L g

g g

H = , , n =

0

3 22 21 2

12 11 1

2 1 2

2.4.3.Ứng dụng trong phân tích kinh tế

2.4.3.1.Tối ưu hóa lợi ích và nhu cầu của người tiêu dùng

Phần này đề cập một cách tổng quan về lý thuyết lựa chọn của người tiêu dùng

Để đơn giản ta xét trường hợp bài toán người tiêu dùng lựa chọn tiêu dùng 2 loại hàng hóa và hàm lợi ích cận biên của 2 hàng hóa này là liên tục và xác định dương Giả sử khả năng chi tiêu tối đa của người tiêu dùng đó là B

Vấn đề đặt ra với người tiêu dùng trên là:

U = U(x,y) )→ max

RB: xPx + yPy = B

Điều kiện cần:

Lập hàm Lagrange: L = U(x,y) + λ(B – xPx – yPy) → max

Tìm đạo hàm cấp 1 theo các biến và λ

Lx = Ux – λPx

)1(0

x

x P

U P U

Để tối đa hóa lợi ích thì người tiêu dùng cần phải phân bổ ngân sách chi tiêu sao cho tỷ số giữa lợi ích cận biên của hàng hóa và giá của chúng phải bằng nhau đối với tất cả các loại hàng hóa được lựa chọn tiêu dùng

Giá trị tối ưu của λ (nhân tử Lagrange) được gọi là lợi ích cận biên của ngân sách Nó cho biết tại điểm tiêu dùng tối ưu nếu người tiêu dùng tăng khả năng chi tiêu thêm 1 đơn vị nữa thì tổng lợi ích sẽ tăng thêm 1 lượng đúng bằng λ Biểu thức (*) có thể viết lại như sau:

Nghĩa là: dU = Uxdx + Uydy = 0 → =− <0

y

x U

U dy

dx

(vì Ux >0, Uy >0)

Vì Ux/Uy < 0 mà Ux/Uy chính là hệ số góc của đường đồng lợi ích, do vậy đường đồng lợi ích có hệ số góc âm và đó chính là tỷ lệ thay thế của 2 hàng hóa Mặt khác (Px/Py) chính là hệ số góc của đường giới hạn khả năng chi tiêu (đường ràng buộc ngân sách) của người tiêu dùng

Hay nói cách khác, để tối đa hóa lợi ích thì người tiêu dùng phải phân bổ ngân sách của mình sao cho hệ số góc của đường giới hạn khả năng chi tiêu bằng hệ số góc của đường đồng lợi ích

Từ đạo hàm bậc nhất của hàm Lagrange ta tính đạo hàm riêng bậc 2 theo các biến

yy y yy yx y yx xy x xy xx

x

y

L L

U x

L L U y

L L

U x

yy yx y

xy xx x

y x

U P U P U P P U

U P

U U P

P P

Hàm có cực đại khi d2L định dạng âm nghĩa là H > 0

2.4.3.2 Tổ hợp chi phí tối thiểu của các đầu vào trong sản xuất

Giả sử DN lập kế hoạch sản xuất 1 lượng sản phẩm cố định Q0 = Q(X1X2), trong đó X1, X2 là các đầu vào trong sản xuất

Mục tiêu của DN là tối thiểu hóa chi phí sản xuất ra khối lượng sản phẩm Q0 Vấn đề đặt ra với DN trên là:

0 2 1

2 2 1 1

),

(

:

min:

Q X

X

Q

RB

X P X P

C

=

→+

) 2 ( 0

) 1 ( 0

2 1 0

2 2

1 1

X X

x x

λ

λ

Từ phương trình (1) và (2) của hệ phương trình trên ta có:

(*) 2

Tại điểm kết hợp tối ưu các đầu vào, tỷ số giữa giá của đầu vào với sản phẩm biên phải bằng nhau đối với tất cả các loại đầu vào được lựa chọn sử dụng trong sản xuất

Giá trị tối ưu của λ (nhân tử Lagrange) được gọi là chi phí cận biên của sản lượng Nó cho biết tại điểm sản xuất tối ưu nếu DN tăng mức sản xuất thêm 1 đơn vị nữa thì chi phí sản xuất sẽ tăng thêm 1 lượng đúng bằng λ

Biểu thức (*) có thể viết lại như sau:

(**) 2

2 1 2

x

x Q

Q dx

dx

(vì Qx1 >0, Qx2 >0)

Qx1/Qx2 chính là hệ số góc của đường đồng lượng , do vậy đường đồng lượng

có hệ số góc âm và đó chính là tỷ lệ thay thế kỹ thuật của đầu vào X1 cho X2 Mặt khác –(Px1/Px2) chính là hệ số góc của đường đồng phí (là tổ hợp các đầu vào với cùng 1 mức chi phí)

Hay nói cách khác, để tối thiểu hóa chi phí thì DN phải Kết hợp các đầu vào sao cho hệ số góc của đường đồng lượng bằng hệ số góc của đường đồng phí Điều kện đủ:

22 1 2 2

21 2 1 1

12 1

1 1

11

2

; 1

2

;

L L

Q x

L L Q

x

L L

Q x

(

0

2 1 2 2 2 1 2 1 2

2 1 1 2

2 1

2 2

2 1 1

1 1

2 1

x x x x x x x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

Q Q Q Q Q Q

Q Q

Q Q

Q Q

Q

Q Q

λλ

Chương 3: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

3.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT

3.1.1 Bài toán lập khẩu phần thức ăn

1 cơ sở chăn nuôi lợn thịt dự kiến xây dựng khẩu phần thức ăn cho đàn lợn

vỗ béo trước khi xuất chuồng Cơ sở dự kiến sử dụng 2 loại thức ăn I và II có chứa

3 chất Protein, Canxi, Vitamin A Yêu cầu tăng trọng bình quân hàng ngày phải đạt

tối thiểu 0,7kg/con.Cho biết định mức kinh tế kỹ thuật và yêu cầu dinh dưỡng tối

thiểu hàng ngày của 1 con trong nhóm lợn trên cho ở bảng sau:

I 3 4 5 1

II 6 7 8 2

Yêu cầu: Anh chị hãy tư vấn cho cơ sở trên xây dựng khẩu phần thức ăn

thích hợp nhằm đảm bảo về dinh dưỡng cho gia súc phát triển bình thường và tăng

trọng như dự kiến, đồng thời chi phí để sản xuất ra 1 khẩu phần thức ăn là thấp

nhất

Mô hình bài toán:

Gọi x1 là lượng thức ăn loại I có trong 1 khẩu phần thức ăn (x1≥ 0)

Gọi x2 là lượng thức ăn loại II có trong 1 khẩu phần thức ăn (x2≥ 0)

Chi phí khẩu phần thức ăn là: TC = 1x1 + 2x2

Để đàn lợn tăng trọng theo đúng yêu cầu đặt ra thì lượng dinh dưỡng cung

cấp hằng ngày phải không nhỏ hơn nhu cầu dinh dưỡng tối thiểu theo yêu cầu kỹ

thuật như sau:

Về Protein : 3x1 + 6x2 ≥ 18

Về Canxi : 4x1 + 7x2 ≥ 19

Về Vitamin A : 5x1 + 8x2 ≥ 20

5

197

4

186

3

2 1

2 1

2 1

2 1

≥

≥+

≥+

≥+

xx x

x x

x x

x x

Bài toán trên được gọi là bài toán qui hoạch tuyến tính, giải bài toán trên ta

sẽ tìm được phương án tối ưu đó là phương án phối hợp sử dụng các loại thức ăn để vừa đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng vừa có chi phí thấp nhất

3.1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Giả sử nhà máy sản xuất ra 2 loại sản phẩm là A và B Để sản xuất ra 2 loại sản phẩm này nhà máy phải sử dụng đến 3 loại nguyên liệu I, II, III Số đơn vị nguyên liệu từng loại để sản xuất ra A và B, số nguyên liệu hiện có từng loại được cho ở bảng sau Biết rằng lợi nhuận thu được khi sản xuất 1 dơn vị sản phẩm A là 20.000đ và 1 đơn vị sản phẩm B là 30.000đ

Yêu cầu: Anh chị hãy tư vấn cho nhà máy trên tím phương án sản xuất tối

ưu để đạt được lợi nhuận lớn nhất trong khuôn khổ nguồn nguyên liệu hiện có Gọi x1 là số lượng của sản phẩm A cần sản xuất (x1≥ 0)

Gọi x2 là số lượng của sản phẩm B cần sản xuất (x2 ≥ 0)

Lợi nhuận mà nhà máy có thể thu được là: 20x1 + 30x2

Phương án sản xuất chỉ có thẻ chấp nhận được khi sử dụng không vượt quá nguyên liệu nhà máy hiện có Nói cách khác phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

Lượng nguyên liệu loại I được sử dụng: 2x1 + 3x2 ≤ 19

Lượng nguyên liệu loại II được sử dụng: 3x1 + 5x2 ≤ 23

Lượng nguyên liệu loại III được sử dụng: x1 + 4x2 ≤ 15

Ta có mô hình toán: 20x1 + 30x2 →Max

≤ +

≤ +

0 ,

15 4

23 5

3

19 3

2

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

3.1.3.Bài toán phối hợp sử dụng các tài nguyên trong nông nghiệp

Một hộ nông dân có 10 sào đất, 2 lao động và 10 triệu vốn lưu động Đất rẫy mỗi năm có thể gieo trồng 2 vụ

Vụ 1 có thể trồng khoai, lạc và đậu tương Vụ 2 có thể trồng sắn, ngô và cà chua trên 70% diện tích đất canh tác Mỗi lao động có thể làm việc tối đa 280 ngày/năm Các định mức kinh tế kỹ thuật được cho ở bảng sau:

(000đ/sào)

Chi phí lao động (Ngày công/sào)

Thu nhập hỗn hợp(000đ/sào)

Lập mô hình bài toán

Gọi x1, x2, x3, x4, x5, x6 lần lượt là diện tích đất gieo trồng khoai, lạc, đậu tương, sắn, ngô, cà chua (x1, x2 … x6 ≥ 0)

Thu nhập hỗn hợp mà hộ gia đình có thể có được là:

500x1 + 645x2 + 565x3 + 525x4 + 470x5 + 910x6

Phương án sản xuất chỉ có thể được chấp nhận khi yêu cầu về nguồn lực cho sản xuất không vượt quá khả năng tối đa có thể huy động được Nói cách khác phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

Ràng buộc về đất đai:

Vụ 1: x1 + x2 + x3 ≤ 10

Vụ 2: x4 + x5 + x6 ≤ 7 (10 * 70%)

3.1.4 Bài toán phân bổ vốn đầu tư

Một nhà đầu tư có 2 tỷ đồng, muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực: Chứng khoán, công trái, gởi tiết kiệm và bất động sản Biết lãi suất hàng năm của các lĩnh vực đầu

tư như sau:

Gởi tiết kiệm 10%

Bất động sản 15%

Ngài ra, để giảm thiểu mức độ rủi ro, nhà tư vấn khuyên rằng không nên đầu

tư vào chứng khoán vượt quá 40% tổng số vốn đầu tư, còn đầu tư vào công trái và gửi tiết kiệm phải ít nhất là 25% tổng số vốn đầu tư, và tiền gửi tiết kiệm ít nhất là

100 tr đồng

lớn nhất trong điều kiện giảm thiểu rủi ro đến mức thấp nhất

Gọi x1, x2, x3, x4 tương ứng là số tiền (tr đồng) đầu tư vào các lĩnh vực chứng khoán, công trái, gởi tiết kiệm và bất động sản

Ta có tổng thu nhập hàng năm: f(x) = 0,2x1 + 0,12x2 + 0,1x3 +0,15x4