đề thi hsg môn toán thời gian : 90p Họ tên Lớp Điểm Lời phê thầy giáo Đề Bi : Cho biu thc A= 4xy y x2 : + 2 y + xy + x y x a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ tr ca A c xỏc nh b) Rỳt gn A Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x + x + b) x + 2008 x + 2007 x + 2008 c) x + ( + 2) x + Bi a) Gii phng trỡnh : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc s x, y, z bit : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v x 2009 + y 2009 + z 2009 = 2010 Bài 4: Tìm số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy + x + 15y 44 = Bi Cho tam giỏc ABC cú gúc nhn Cỏc ng cao AD, BE v CF ct ti H Chng minh rng : a ) ãAEF = ãABC b) EB l phõn giỏc ca gúc DEF Bài làm Câu Đáp án đề toán Hớng dẫn chấm (1đ) a)iu kin: x y; b)A = 2x(x+y) (2đ) 2 a) x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) Điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ = ( x + 1) ( x + ) b) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1) 2 2 1đ = ( x + x + 1) ( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 2008 ) c) x + ( + 2) x + = ( x + 3x ) + ( x + 6) 0,5đ = x( x + 3) + 2( x + 3) = ( x + 3)( x + 2) (2đ) x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 a) 0,5đ x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + =0 115 104 93 82 x + 126 = x = 126 2 0,5đ b) x + y + z = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 2xy 2yz 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = x y = y z = z x = 0,5đ x=y=z x2009 = y2009 = z2009 Thay vo iu kin (2) ta cú 3z2009 = 32010 z2009 = 32009 z =3 Vy x = y = z = 3xy + x + 15y 44 = 3xy + x + 15y + 49 = (1,5đ) ( x + 5) ( 3y + 1) = 49 0,5đ 0,5đ x, y nghuyêndơng x + 5, 3y + nguyên dơng lớn Thoả mãn yêu cầu toán x + 5, 3y + ớc lớn 49 0,5đ nên có: x+5 = x = 3y + = y = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên x = y = 0,5đ A (3,5đ) E 0,5đ F H C B D a) AEB đồng dạng AFC (g-g) AEF v ABC AE AF = AB AC 0,5đ AE AF = (cmt ) cú : àAchung , AB AC Suy : AEF đồng dạng ABC (c-g-c) => ãAEF = ãABC ã ã b)Chng minh tng t trờn, ta cú: CED = CBA ã (cựng bng gúc ABC) ãAEF = CED ã ã ã = 900 ; CED + DEB = 900 M: ãAEF + FEB ã ã hay EB l phõn giỏc ca gúc DEF FEB = DEB 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ... + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 a) 0,5đ x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + =0 115 104 93 82 x + 126 = x = 126 2 0,5đ b) x +... CED = CBA ã (cựng bng gúc ABC) ãAEF = CED ã ã ã = 900 ; CED + DEB = 900 M: ãAEF + FEB ã ã hay EB l phõn giỏc ca gúc DEF FEB = DEB 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ... = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) Điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ = ( x + 1) ( x + ) b) x + 20 08 x + 2007 x + 20 08 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007