Bài tập Bất đẳng thức

Bài tập bồi dưỡng HSG : CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập Cho a + b + c = ab + bc + ca = 1; chứng minh: ≤ a, b, c ≤ 1 1 1 + + ≥ + + Bài tập Cho a, b, c > Chứng minh 3a 3b 3c 2a + b 2b + c 2c + a Bài tập Cho số a; b; c dương thoả mãn abc = 1 1 + + ≤ a+b+c Chứng minh: 2 a − ab + b b − bc + c c − ca + a ≥3 Bài tập Cho x > y > 0, chứng minh x + ( x − y) y Bài tập Chứng minh: a2014 > 2014(a – 1) với a > Bài tập Cho a + b + c = Chứng minh a4 + b4 + c4 ≥ 1 25 Bài tập a) Cho a, b > thỏa mãn a + b = Chứng minh: (a + )(b + ) ≥ a b a b a b + + = 16ab + + + − 15ab HD: Nhân phá ngoặc: VT = ab + ab b a ab b a a b 15 15 25 ≥ 8; + ≥ 2; −15ab = −15a (1 − a) = − + 15(a − ) ≥ − Ta có: 16ab + => VT ≥ ab b a 4 2 25 b) Cho a, b > thỏa mãn a + b = Chứng minh: (a + ) + (b + ) ≥ (1) b a 1 1 25 HD: VT ≥ 2(a + )(b + ) Vậy (1)  (a + )(b + ) ≥ Tương tự 7a b a b a Bài tập a) Cho a, b > a + b = 1; chứng minh + ≥ 14 ab a + b 2 b) Cho a, b > thảo mãn a + b ≤ Chứng minh a + b + ab + 4ab ≥ 11 1 Bài tập a) Cho a, b, c dương a + b + c = 1; chứng minh (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ 64 a b c 1 b) Cho a; b; c > thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh rằng: ( − 1)( − 1)( − 1) ≥ a b c 1 Bài tập 10 Cho x, y, z không âm x + y + z ≤ Chứng minh x + y + z + + + ≥ 10 x y z 1 1 Bài tập 11 a) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 18126 Chứng minh + + ≥ a b c 2014 1 + + ≥ b) Cho x, y, z > thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ Chứng minh: + xy + yz + zx 1 11 1 + + ≤  + + ÷ Bài tập 12 Cho a, b, c > 0, chứng minh: a+b b+c c+a 2 a b c Bài tập 13 a) Cho x, y số thực thỏa mãn: x + y = Chứng minh: xy(x2 + y2) ≤ 2 2 b) Cho x, y > thỏa mãn: x + y = Chứng minh: x y ( x + y ) ≤ Bài tập 14 a) Cho x, y dương x2 + y2 = 52; chứng minh 2x + 3y ≤ 26 b) Cho 4x - 3y = ; chứng minh: 2x2 + 5y2 ≥ 45 c) cho 2a − 3b = chứng minh 3a2 + 5b2 ≥ Bài 15 Cho a, b, c > thỏa mãn: HD: GT ta có: 725 47 1 + + = Chứng minh abc ≤ 1+ a 1+ b 1+ c 1 b c bc = 2− − = + ≥2 Tương tự nhân vế 1+ a 1+ b 1+ c 1+ b 1+ c (1 + b)(1 + c) bđt ta có Đpcm Bài tập 15 Cho a,b,c > thỏa mãn a + b + c = Bài tập 16 Cho a, b, c >0 chứng minh: 2 1 1 + − < Chứng minh a b c abc 1 1 + 3 + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc HD: Áp dụng: a3 + b3 ≥ ab(a + b) ta có: 1 1  1  + + = + + ÷ = VT ≤ ab(a + b) + abc bc (b + c) + abc ca (c + a ) + abc  ab bc ca  a + b + c abc Bài 13 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y + ≥ (với x y dấu) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  x y x2 y2 + −  + ÷+ y x  y x (với x ≠ 0, y ≠ ) HD -BẤT ĐẲNG THỨC HD: GT ta có: a(b + c) + bc = mà b + c = − a => bc = − a(2 − a) = (a − 1)2 Vì (b + c)2 ≥ 4bc nên (2 − a)2 ≥ 4(a − 1)2 => a(4 − 3a) ≥ => ≤ a, b, c ≤ Tương tự với b c 1 1 1 + + ≥ + + Bài tập Cho a, b, c > Chứng minh 3a 3b 3c 2a + b 2b + c 2c + a Bài tập Cho a + b + c = ab + bc + ca = 1; chứng minh: ≤ a, b, c ≤ 1 + + ≥ (*) x y z x+ y+z 1 + + Đặt A = 2a + b 2b + c 2c + a 9 1 = ≤ + + Áp dụng (*) ta có: 2a + b a + a + b a a b 9 1 = ≤ + + 2b + c b + b + c b b c HD: Dễ dàng CM bdt: 9 1 = ≤ + + 2c + a c + c + a c c a Cộng vế với vế : 9A ≤ 3 1 + +  A≤ + + => Đpcm a b c 3a 3b 3c Bài tập Cho số a; b; c dương thoả mãn abc = 1 1 + + ≤ a+b+c Chứng minh: 2 a − ab + b b − bc + c c − ca + a HD: Áp dụng a2 + b ≥ 2ab => a2 – ab + b ≥ ab 1 ≤ = c (Do abc = nên c = 1/ab) => 2 a − ab + b ab Tương tự cho cộng lại Bài tập Cho x > y > 0, chứng minh x + HD: VT = ( x − y ) + y + ≥3 ( x − y) y ( x − y) y ≥ 33 =3 ( x − y) y ( x − y) y Bài tập Chứng minh: a2014 > 2014(a – 1) với a > HD: Áp dụng cô si cho 2014 số a2014 + 2013 = a2014 + + +…+ ≥ 2014a  A2014 ≥ 2014a – 2013 > 2014a – 2014 =2014(a – 1) Bài tập Cho a + b + c = Chứng minh a4 + b4 + c4 ≥ Áp dụng Cô si: (a4 ; 1) (b4 ; 1) (c4 ; 1) A + = a4 + + b4 + +c4 + ≥ 2a2 + 2b2 + 2c2 Áp dụng cô si tiếp: A + + ≥ 2a2 + + 2b2 + + 2c2 + = 2(a2 + 1) + 2(b2 + 1) + 2(c2 +1) ≥ 4a + 4b + 4c = 12 => A ≥ 12 - = dau = xay a =b =c =1 3 Bài tập Tìm số dương x, y thỏa mãn x + y = xy − 27 1 3 x + y + = xy HD: x + y = xy − 27 27 1 Vì x, y > nên áp dụng bđt cosi cho số ta có x + y + ≥ 3 x3 y = xy 27 27 => Dấu “=” xảy x = y = 1/3 Bài tập Cho a, b > a + b = 1; chứng minh 1 + ≥6 ab a + b2 1 + ≥ xy ≤ ( x + y ) với x, y dương x y x+ y 1 1 + = + + ≥ + = 4+2 = Ta có: 2 ab a + b 2ab a + b 4ab (a + b) (a + b) Áp dụng: + Bài tập Cho a, b > thảo mãn a + b ≤ Chứng minh a + b ab + 4ab ≥ 11 1 Bài tập a) Cho a, b, c dương a + b + c = 1; chứng minh (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ 64 a b c 1 1 1 a+b+c = 1+ + HD: Nhân phá ngoặc VT = + ( + + ) + ( + + ) + a b c ab bc ca abc abc abc VT = + 1 + + + a b c abc Ta có: a + b + c ≥ 3 abc => abc ≤ Và (1) 27 1 + + ≥ = (2) a b c a+b+c Từ (1) (2) ta có: VT + 1 + + + ≥ + + 2.27 = 64 a b c abc 1 − 1).( − 1).( − 1) ≥ a b c 1 Bài tập 10 Cho x, y, z không âm x + y + z ≤ Chứng minh x + y + z + + + ≥ 10 x y z 1 HD: Áp dụng + + ≥ x y z x+ y+z 1 => x + y + z + + + ≥ x + y + z + x y z x+ y+z   =>  x + y + z + ≥ + = 10 ÷+ x+ y+z x+ y+z  1 1 Bài tập 11 a) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 18126 Chứng minh + + ≥ a b c 2014 1 1 1 = HD: Ta có: ( a + b + c )  + + ÷ ≥ + + ≥ a b c a + b + c 2014 a b c 1 + + ≥ b) Cho x, y, z > thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ Chứng minh: + xy + yz + zx b) Cho a; b; c > thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh rằng: ( Bài tập 12 Cho a, b, c > 0, chứng minh: 1 11 1 + + ≤  + + ÷ a+b b+c c+a 2 a b c 1 1 1 + ≥ ; + ≥ ; + ≥ a b a+b b c b+c c a c+a 1  1 1  + + cộng lại:  + + ÷ ≥  ÷ a b c  a +b b+c c+a  11 1 1 + +   + + ÷≥ ; dấu = khi: a = b = c 2 a b c  a +b b+c c+a HD: Ta có: Bài tập 13 a) Cho x, y số thực thỏa mãn: x + y = Chứng minh: xy(x2 + y2) ≤ Áp dụng BĐT xy ≤ (x + y)2/4 Ta có 2xy(x2 + y2) ≤ (2xy + x2 + y2)2/4 = (x + y)4/4 = 16/4 = => xy(x2 + y2) ≤ 4/2 =2 Đẳng thức xảy x = y = 2 2 b) Cho x, y > thỏa mãn: x + y = Chứng minh: x y ( x + y ) ≤ xy + x + y ) ( x + y ( ) 1 2 HD: xy ( x + y ) = xy ( x + y ) ≤ = =2 2 x + y) ( Mặt khác lại có : xy ≤ = Từ điều => đpcm 2 Bài tập 14 a) Cho x + 2y = chung minh x2 + y2 ≥ HD: Cách Thay x = - 2y vào ta có (5 – 2y)2 + y2 = … = (… )2 + Cách : Áp dụng Bunhia cho cặp số 25 = (x + 2y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 4) = 5(x2 + y2) =>x2 + y2 ≥ b) Cho x, y dương x2 + y2 = 52; chứng minh 2x + 3y ≤ 26 Áp dụng Bu nhi a với cặp số x,y 2,3 c) Cho 4x - 3y = ; chứng minh: 2x2 + 5y2 ≥ 45 Cách 1: Rút x theo y; Cách 2: Dùng Bunhi a d) cho 3a − 4b = chứng minh 3a2 + 4b2 ≥ e) cho 2a − 3b = chứng minh 3a2 + 5b2 ≥ 725/47 f) cho 3a − 5b = chứng minh 7a2 + 11b2 ≥ 2464/137 Bài tập 15 Cho a,b,c > thỏa mãn a + b + c = 2 1 1 + − < Chứng minh a b c abc HD: Ta có: (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab - ac - bc) 〉 2 ( a + b + c ) ⇒ ac + bc - ab ≤ 〈 1 1 + − 〈 Chia hai vế cho abc > ta có a b c abc 1 1 + 3 + ≤ Bài tập 16 Cho a, b, c >0 chứng minh: 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc HD: Áp dụng: a3 + b3 ≥ ab(a + b) ta có: 1 1  1  + + = + + ÷ = VT ≤ ab(a + b) + abc bc (b + c) + abc ca (c + a ) + abc  ab bc ca  a + b + c abc ⇒ ac + bc - ab 〈 Bài 13 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y + ≥ (với x y dấu) y x  x y x2 y2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + −  + ÷+ y x  y x (với x ≠ 0, y ≠ ) ... abc Bài 13 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y + ≥ (với x y dấu) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  x y x2 y2 + −  + ÷+ y x  y x (với x ≠ 0, y ≠ ) HD -BẤT...  ab bc ca  a + b + c abc ⇒ ac + bc - ab 〈 Bài 13 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y + ≥ (với x y dấu) y x  x y x2 y2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + −  + ÷+ y x  y x (với x ≠ 0, y... => a(4 − 3a) ≥ => ≤ a, b, c ≤ Tương tự với b c 1 1 1 + + ≥ + + Bài tập Cho a, b, c > Chứng minh 3a 3b 3c 2a + b 2b + c 2c + a Bài tập Cho a + b + c = ab + bc + ca = 1; chứng minh: ≤ a, b, c ≤