ễN THI TT NGHIP K THI TT NGHIP TRUNG HC PH THễNG 2011 s 15 Mụn thi: TON Giỏo dc trung hc ph thụng GV: Dng Phc Sang Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao - I PHN CHUNG DNH CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I (3,0 im): Cho hm s: y = f (x ) = x + x 18 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C ) ca hm s 2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C ) ti cỏc im thuc (C ) cú honh l nghim ca phng trỡnh f (x ) = 143 Cõu II (3,0 im): 1) Gii phng trỡnh: log2 (x 5) + log x +2 = 2) Tỡm nguyờn hm F (x ) ca hm s f (x ) = e 3x ex bit rng F (0) = 3) Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s y = 2x trờn on [1; 4] x +1 Cõu III (1,0 im): Cho hỡnh lng tr ABC A B C cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh bng a Hỡnh chiu vuụng gúc ca A xung mt phng (ABC) l trung im ca AB Mt bờn (AA C C ) to vi ỏy mt gúc bng 45 Tớnh th tớch ca lng tr ny II PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c chn mt hai phn di õy Theo chng trỡnh chun x y z Cõu IVa (2,0 im): Trong khụng gian (O, i , j , k ) , cho ng thng : = = v hai im A, B tho OB = i 5k v AB = (1; 1; 1) 1) Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh AB v tip din vi mt cu ti B 2) Chng minh rng, hai ng thng AB v chộo Vit phng trỡnh mt phng cha hai im A v B ng thi song song vi ng thng Cõu Va (1,0 im): Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi: y = x 12x + 36 v y = 6x x 2 Theo chng trỡnh nõng cao Cõu IVb (2,0 im): Trong khụng gian Oxyz, cho hai ng thng: x = + t x y z : y = t : = = z = 1) Chng minh v chộo Vit phng trỡnh mp(P) cha v song song 2) Tỡm im A trờn v im B trờn cho di on AB ngn nht Cõu Vb (1,0 im): Trờn s phc, tỡm B phng trỡnh bc hai z + Bz + i = cú tng bỡnh phng hai nghim bng 4i Ht -Thớ sinh khụng c s dng ti liu Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Ch ký ca giỏm th 1: Ch ký ca giỏm th 2: BI GII CHI TIT Cõu I: 2 x + x (1) Tp xỏc nh: D = ằ 18 2 o hm: y = x + x = x x + 9 x = x = 2 Cho y = x x + = x + = x = Gii hn: lim y = ; lim y = Hm s y = ( ( ) ) x x + Bng bin thiờn x y + 0 + y + 23 Hm s (1) ng bin trờn cỏc khong (; 6),(0; 6) v nghch bin trờn cỏc khong ( 6; 0),( 6; +) Hm s (1) t cc i yCẹ = ti x Cẹ = v t cc tiu yCT = 23 ti x CT = Giao vi Ox: y = x + x = 18 x = x = x = x = Giao vi Oy: x = y = 23 Bng giỏ tr: x y 23 th hm s: nh hỡnh v bờn õy 4 y = f (x ) = x + x f (x ) = x + 3 y 0,5 -3 O - 6 -1,5 x = y = x = y = Vi x = ; y = ta cú f (x ) = f (3) = v phng trỡnh tip tuyn ti A(3; 0) l y = 2(x 3) y = 2x + Vi x = ; y = ta cú f (x ) = f (3) = v phng trỡnh tip tuyn ti B(3; 0) l y = 2(x + 3) y = 2x + Vy, cú hai tip tip tho l : y = 2x + v y = 2x + f (x ) = Cõu II: 14 14 x2 + = x2 = 3 3 log2 (x 5) + log x + = (*) x > x > iu kin: x >5 x + > x > Khi ú, (*) log2 (x 5) + log2 (x + 2) = log2 (x 5)(x + 2) = (x 5)(x + 2) = x = (nhaọn) x + 2x 5x 10 = x 3x 18 = x = (loaùi) Vy, phng trỡnh (*) cú nghim nht l x = x e 3x e 2x e 2x x + e + C = + x +C ex 2 e e 1 Do F (0) = nờn + +C = + +C = C = e 2 e 2x 1 Vy, F (x ) = + x 2 e 2x 2x + = liờn tc trờn on [1; 4] Hm s y = x +1 x +1 y = < 0, x [1; 4] (x + 1)2 F (x ) = f (1) = dx = (e 2x ) e x dx = v f (4) = Vy, y = x = , max y = [1;4] [1;4] Cõu III x = Gi H,M,I ln lt l trung im cỏc on AB,AC,AM Theo gi thit, A H (ABC ), BM AC Do IH l ng trung bỡnh tam giỏc ABM nờn IH || BM IH AC Ta cú, AC IH , AC A H AC IA Suy gúc gia (ABC ) v (ACC A) l A IH = 45 A' B' C' A o H I a M B C a A H = IH tan 45 = IH = MB = o Vy, th tớch lng tr l: V = B.h = THEO CHNG TRèNH CHUN 1 a a 3a a = BM AC A H = (vdt) 2 2 Cõu IVa: Theo gi thit OB = (1; 0; 5) nờn B(1; 0; 5) v AB = (1 x A; yA ; z A ) = (1; 1; 1) Do ú, A(0;1; 4) x y z = = 1 Gi (S ) l mt cu ng kớnh AB thỡ (S ) cú tõm I ( ; ; 92 ) l trung im on AB Nh vy, A(0;1; 4), B(1; 0; 5) v : V bỏn kớnh R = 12 + (1)2 + (1)2 AB = = 2 Vy, phng trỡnh mt cu (S ) : (x 21 ) + (y 21 ) + (z + 2 ) = Tip din vi (S ) ti B hin nhiờn i qua B(1; 0; 5) v cú vộct phỏp tuyn l n = AB , ú cú phng trỡnh: 1(x 1) 1(y 0) 1(z + 5) = x y z = ng thng AB i qua im A(0;1; 4) , cú vộct ch phng u = AB = (1; 1; 1) ng thng i qua im M (1; 4;1) , cú vộct ch phng u = (1; 4; 2) 1 1 1 Ta cú, [u, u ] = ; ; = (2;1; 3) 2 1 AM = (1; 3;5) [u, u ].AM = 2.1 + 1.3 3.5 = 14 Vy, AB v chộo Gi (P) l mt phng cha hai im A,B ng thi song song vi ng thng im trờn mp(P) l: A(0;1; 4) Vỡ (P) cha A,B v song song vi nờn cú vộct phỏp tuyn: n = [u, u ] = (2;1; 3) PTTQ ca (P): 2(x 0) + 1(y 1) 3(z + 4) = 2x y + 3z + 13 = Cõu Va: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi: y = x 12x + 36 v y = 6x x Cho x 12x + 36 = 6x x 2x 18x + 36 = x = 3, x = Din tớch cn tỡm l: S = 2x 18x + 36 dx = (2x 18x + 36)dx 2x = 9x + 36x = = (vdt) THEO CHNG TRèNH NNG CAO Cõu IVb: i qua im M 1(1; 1;2) , cú vtcp u1 = (1; 1; 0) i qua im M (3;1; 0) , cú vtcp u2 = (1;2;1) 0 1 Ta cú, [u1, u2 ] = ; ; = (1; 1;1) 1 1 M 1M = (2;2; 2) [u1, u2 ].M 1M = 1.2 1.2 + 1.(2) = Suy ra, v chộo mp(P) cha v song song nờn i qua M 1(1; 1;2) , cú vtpt n1 = [u1, u2 ] = (1; 1;1) Vy, PTTQ mp(P): 1(x 1) 1(y + 1) + 1(z 2) = x + y z + = Vỡ A 1, B nờn to ca chỳng cú dng: A(1 + a; a;2), B(3 b;1 + 2b;b) AB = (2 a b;2 + a + 2b;b 2) AB ngn nht AB l ng vuụng gúc chung ca v (2 a b ).1 + (2 + a + 2b ).(1) + (b 2).0 = AB.u1 = AB.u = (2 a b ).(1) + (2 + a + 2b ).2 + (b 2).1 = a b a 2b = 2a 3b = a = + a + b + + 2a + 4b + b = 3a + 6b = b = Vy, A(1; 1;2), B(3;1; 0) Cõu Vb: z + Bz + i = cú tng bỡnh phng hai nghim bng 4i Gi s z1 v z2 l nghim phc ca phng trỡnh trờn Da vo cụng thc nghim phng b c trỡnh bc hai, ta suy ra: z1 + z = = B vaứ z1.z = = i 2a a 2 Theo gi thit, z + z1 = 4i (z1 + z ) 2z1z = 4i B 2i = 4i B = 2i B = (1 i )2 B = (1 i ) Vy, B = (1 i )