SỞ GD & ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT MÔN: TOÁN Thời gian làm 120 phút ( không kể giao đề ) Bài ( điểm) Cho biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A Bài ( 1,5 điểm) Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : x2 + 2kx + = 2 x x Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức : ÷ + ÷ ≥ x2 x1 Bài ( điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy > 1 Tìm giá trị lớn biểu thức : M = x + y Bài ( điểm) Cho phương trình : 2+ x + 2+ x + 2− x − 2− x = a) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa b) Giải phương trình Bài ( điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD AB ⊥ BD Hai đường chéo AC BD cắt G Trên đường thẳng vuông góc với AC C lấy điểm E cho CE = AG đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F cho DF = GB a) Chứng minh ∆FDG đồng dạng với ∆ECG b) Chứng minh GF ⊥ EF HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Bài ( điểm) Cho biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A Điều kiện : x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x A= = = = = ( x −9 x −3 )( x −9− x −2 ( ) x +3 ( − x + x +1 + x −2 x −3 )( x − + x +1 x −3 ) ( )( )( x −2 )= x − 2) x +1 x −3 x −2 ) ) x − − x + + 2x + x − x − ( x −3 )( x −2 ( ( x − 3) ( x − ) ( x− x −2 = ) )( x − 3) ( x +1 x −2 Bài ( 1,5 điểm) Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : x2 + 2kx + = 2 x x Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức : ÷ + ÷ ≥ x2 x1 Phương trình : x2 + 2kx + = có hai nghiệm x1 ; x2 ⇔ ∆, = k − > ⇔ k > 4(*) x1 + x2 = −2k Khi ta có : Vậy : x1 x2 = 2 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 x1 x2 x12 + x22 ≥3 ÷ + ÷ ≥ 3⇔ ÷ ≥3⇔ x1 x2 x2 x1 x1 x2 k − ≤ − 4k − ⇔ ≥ ⇔ k − ≥ ⇔ ( ) ÷ k − ≥ k ≤ − ⇔ (**) k ≥ + k ≤ −2 k ≥ 2 Kết hợp (*) (**) ta có : k ≥ ⇔ 2 x x Vậy để phương trình : x + 2kx + = có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa : ÷ + ÷ ≥ : x2 x1 x < −2 x > Bài ( 1,5 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy > 1 Tìm giá trị lớn biểu thức : M = x + y Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = ⇔ x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + + x + y + = ⇔ (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = ⇔ (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = (*) Vì (x + 1) – ( x + 1) ( y + 1) + ( y + 1) + 2 2 = ( x + 1) − ( y + 1) + ( y + 1) + > Nên (*) ⇔ x + y + = ⇔ x + y = - 1 x + y −2 −2 Ta có : M = + = = ( x + y ) ≥ xy ⇒ ≥ xy ⇒ ≥ ⇒ ≤ −2 x y xy xy xy xy Vậy MaxM = -2 ⇔ x = y = -1 Bài ( điểm) Cho phương trình : 2+ x + 2+ x + 2− x − 2− x = a) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa b) Giải phương trình a) điều kiện : < x ≤ 2+ x b) + 2+ x ⇔ 2+ x 2+ 4+ x + + 2− x − 2− x 2− x 2− 4−2 x = = (1) Đặt + x = a ; − x = b ( a ; b ≥ 0) a + b = Ta có : a b2 + =2 2 + a −b a + b = 2 2 ( a + b ) − ab ( a − b ) = + ( a − b ) − 2ab a + b = ⇔ ( a − b ) ( ab + ) − ( ab + ) = a + b = ⇔ (I) ( a − b − ) ( ab + ) = Vì ab + > nên : ( a − b ) + 2ab = ab = ⇔ ( I) ⇔ a − b = a − b = 2 b= b = a b = a ⇔ ⇔ ⇔ a a = 1+ a − = a − 2a − = a = − (loai a < 0) a + x = +1 a = + ⇔ ⇔ ⇔ x=3 b = − − x = − Bài ( điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD AB ⊥ BD Hai đường chéo AC BD cắt G Trên đường thẳng vuông góc với AC C lấy điểm E cho CE = AG đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F cho DF = GB c) Chứng minh ∆FDG đồng dạng với ∆ECG d) Chứng minh GF ⊥ EF ABCD : AB // CD ; CD > AB ; B A AB ⊥ BD X AB ⊥ BD ; AG = CE ; BG = DF // E G \\ Chứng minh : a) ∆FDG ~ ∆ECG b) GF ⊥ EF X D F C Chứng minh : BG GD DF GD = = , mà AG = CE ; BG = DF ⇒ AG GC CE GC DF GD · · = ; GDF = GCE = 900 ⇒ ∆FDG ~ ∆ECG ( c-g-c) Xét ∆FDG ∆ECG có : CE GC · · · · » ⇒ GFCE nội tiếp ⇒ GCE b) Ta có ∆FDG ~ ∆ECG ⇒ GFD = GEC chắn GE = GFE · · mà GCE = 900 ⇒ GFE = 900 ⇒ GF ⊥ FE a) Ta có AB // CD ⇒ ... x −2 Bài ( 1,5 điểm) Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : x2 + 2kx + = 2 x x Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức : ÷ + ÷ ≥ x2 x1 Phương trình : x2 + 2kx + = có hai nghiệm... x2 x1 x < −2 x > Bài ( 1,5 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy > 1 Tìm giá trị lớn biểu thức : M = x + y Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = ⇔ x3 + 3x2 + 3x +1 + y3