Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2009 2010 Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Trường THPT Lê Quý Đôn ********* Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (6 điểm) 1/ Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số: y x x m có x điểm cực trị Khi chứng minh điểm cực trị nằm đường cong có phương trình: y 3( x 1)2 2/ Cho đồ thị (C) có phương trình: y x x x Tìm trục tung điểm A cho qua A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 2: (3 điểm) Cho góc tam giác ABC thoả mãn: sin A sin B 2005 sin C Biết góc A, B nhọn Tính góc C Bài 3: (4 điểm) Trong hệ trục toạ độ 0xy cho điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với a>0, b>0 1/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB B 2/ Gọi M điểm đường tròn câu 1/ Gọi d1, d2, d3 khoảng cách từ M tới AB, AC BC Chứng minh rằng: d1 d d32 Bài 4: (5 điểm) 1/ Giải phương trình: 2004 x 2006 x 2.2005x 2/ Với giá trị m bất phương trình: log x 2x m log (x 2x m) nghiệm với x 0;2 Bài 5: (2 điểm) Xét số thực x, y thoả mãn: x x y y Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P x y Đáp án biểu điểm Bài Nội dung Bài 1: 1/ Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số: y x 3x điểm 3đ m có điểm cực trị x Khi chứng minh điểm cực trị nằm đường cong có phương trình: y 3( x 1)2 1/ + TXĐ: D R \ m 2x 3x m + Tính y ' 2x xác định x D x x + Hàm số có ba cực trị y ' có ba nghiệm phân biệt x1 , x , x đổi dấu qua nghiệm phương trình f(x) 2x 3x m có ba nghiệm phân biệt x1 , x , x3 khác f(0) f(x)có có CĐ, CT mà fCĐ fCT Xét f(x) m m Xét f(x) 2x 3x m x Có f '(x) 6x 6x f '(x) x x - 0 f(x) + 0 Hàm số đạt cực đại x fCĐ f(0) m Hàm số đạt cực tiểu x fCT f)(1) m 2 + + fCĐ fCT m(m 1) m Do hàm số có cực trị * Gọi điểm cực trị A(x1 ;y1 ), B(x ;y );C(x ;y ) với x1 , x , x 2 ba nghiệm f(x) 2x 3x m + Chứng minh: Với hàm số y (x) u(x) , x TXĐ, y'(x0 ) 0, v '(x0 ) v(x) u '(x ) v '(x ) Từ y1 y (x1 ) 3x12 6x1 y (x0 ) y y (x2 ) 3x 22 6x y y (x3 ) 3x32 6x3 thì: Chứng tỏ toạ độ điểm cực trị thoả mãn phương trình: y 3x 6x y 3(x 1) 2 2/ Cho đồ thị (C) có phương trình: y x x x Tìm trục tung điểm A cho qua A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Vì 4x 2x (x 1)2 3x 0x R + TXĐ: R 4x + Tính y ' 3đ 4 4x 2x + Lấy điểm M(x ;y ) (C) y x 4x 20 2x Tiếp tuyến (d) (C) M có phương trình dạng: y y y '(x0 ) (x x ) 4x (x x ) x 4x 20 2x y 4x 20 2x + Gọi A d 0y A(0;a) 4x ( x ) x 4x 20 2x a 4x 2x x0 4x 20 2x x0 + Xét hàm số: a f(x0 ) TXĐ: R 4x 2x 3x Có f '(x0 ) f '(x0 ) x 2 (4x 2x 1) 4x 2x 1 lim f(x0 ) ; lim f(x0 ) x x x0 - + f '(x0 ) 0 2 + - f(x0 ) 2 Bi Với x TXĐ - a Kết luận: Điểm A(0;a) với - a Cho sin A sin B 2 góc 2005 tam giác ABC thoả mãn: 3đ sin C Biết góc A, B nhọn Tính góc C + Do C l góc tam giác nên sin C 2005 sin C sin C (1) sin A sin B sin C 4R sin A 4R sin B 4R sin C a b c2 a b a b 2.a.b.cosC cosC (2) + Chứng minh: sin A sin B sin C 2.cos A.cos B.cosC sin C sin C 2.cos A.cos B.cosC (*) Có: 2005 sin C sin C 2.cos A.cos B.cosC cos A.cos B.cosC cosC (3) (vì A, B nhọn cosA>0, cosB>0) Từ (2) (3) cos C C 90 Do đó: Bài 3: 1 2005 Trong hệ trục toạ độ 0xy cho điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với a>0, b>0 1/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB B Giả sử đường tròn (C): (x )2 (y )2 R thoả mãn đầu + Có AB, AC đối xứng qua 0y I( ; ) 0y nên =0 b2 IB.AB a + (C) tiếp xúc với AB B R AB R b b2 a R b b a2 2 2đ b2 Vậy đường tròn (C) có phương trình: x y a b4 b a 2- Gọi M điểm đường tròn câu 1/ Gọi d1 , d , d3 khoảng cách từ M đến AB, AC BC x y ax by ab b a x y Phương trình đường thẳng AC: ax by ab b a 2đ + Phương trình đường thẳng AB: Phương trình BC: y=0 2 b2 b4 + Gọi M(x ;y ) (C) x y b a a b2 x 20 y 20 .y b a a x 20 a y 20 2a.b y a b (1) | ax by ab | | ax by ab | d1 ;d ;d3 | y | 2 2 a b a b 2 Khi đó: 2 2 2 | a x 20 (by ab)2 | | a x b y 2a.b y a b | d1 d (2) a2 b2 a2 b2 Từ (1) a x 20 a y 20 2.a.b y a b a x 20 2.a.b y a b a y 20 Bài (3) | a y 20 b y 20 | Thay (3) vo (2) ta có: d1 d | y |2 d32 2 a b x 1- Giải phương trình: 2004 2006 x 2.2005x 2đ Giả sử x0 nghiệm phương trình 2004 x0 2006 x0 2.2005x0 2006 2005 2005 2004 Đặt: f(t) (t 1)x0 t x0 f(t) liên tục R Nên f(t) liên tục 2004;2005 có f(2005) f(2004) x0 x0 x0 x0 Và: f '(t) x (t 1)x0 x t x0 x (t 1) x0 t x Nên 2004;2005 để f'( )=0 2 x ( 1)x0 x0 x0 x0 x0 x x0 x0 x0 ( 1) Thử lại x 0, x thoả mãn Kết luận: Nghiệm phương trình: x=0, x=1 2- Với giá trị m bất phương trình: 3đ log x 2x m log (x 2x m) nghiệm với x 0;2 x 2x m Điều kiện: x 2x m log (x 2x m) Bpt log (x 2x m) log (x 2x m) (1) Đặt t log (x 2x m) đk: t t 4t Bpt (1) t t log (x 2x m) log (x 2x m) log (x 2x m) x 2x m x 2x m Do để bất phương trình cho nghiệm x 0;2 2 x 2x m nghiệm x 0;2 x 2x m x 2x m nghiệm x 0;2 x 2x m M in f(x) m x0;2 (với f(x)=x 2x) f(x) m Max x 0;2 Xét f(x) x 2x với x Có: f '(x) 2x f(x) x Bảng biến thiên: x - f(x) f(x) - 0 + -1 + M in f(x) x 0;2 f(x) Max x 0;2 m m Do (*) 2m4 m m Kết luận: m Bài 5: Xét số thực x, y thoả mãn: 2đ x x y y Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P x y Giả thiết (1): x y x y x y P (I) 3( x y 2) P Xét hệ: u x Đặt: v y P u v 3(u v) P Hệ (I): (II) 2 P u v P u.v P Hệ (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm u,v: u 0, v P P2 t t P 18t 6Pt P 9P 27 có nghiệm không âm ' 21 c P 15 a b a 21 Kết luận: Min P , MaxP 15 2 2 2 ... b 2.a.b.cosC cosC (2) + Chứng minh: sin A sin B sin C 2.cos A.cos B.cosC sin C sin C 2.cos A.cos B.cosC (*) Có: 2005 sin C sin C 2.cos A.cos B.cosC cos A.cos B.cosC cosC (3)... sin C sin C 2.cos A.cos B.cosC cos A.cos B.cosC cosC (3) (vì A, B nhọn cosA>0, cosB>0) Từ (2) (3) cos C C 90 Do đó: Bài 3: 1 2005 Trong hệ trục toạ độ 0xy cho điểm A(0;a), B(b;0),... để đồ thị hàm số: y x 3x điểm 3đ m có điểm cực trị x Khi chứng minh điểm cực trị nằm đường cong có phương trình: y 3( x 1)2 1/ + TXĐ: D R m 2x 3x m + Tính y ' 2x xác định x D