DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Mục lục MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Trang Phần thứ hai: Các bài toán về diện tích hình phẳng 6 Phần thứ ba: Bài tập minh họa phương pháp 14 Chúc các

Trang 1

Mục lục MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Trang

Phần thứ hai: Các bài toán về diện tích hình phẳng 6

Phần thứ ba: Bài tập minh họa phương pháp 14

Chúc các em học sinh ôn tập thật tốt

và dành kết quả thật cao trong hai kỳ thi tới!

Lêi Giíi ThiÖu

Trong chương trình toán 12 mà cụ thể là phân môn Giải tích các em học sinh được tiếp cận với bài toán diện tích hình phẳng trong Chương III Trong bài học đó Sách giáo khoa đề cập đến một số bài toán cơ bản của diện tích hình phẳng

Xong để giải quyết bài toán này mà chỉ biết áp dụng công thức thôi thì chưa đủ, bởi với bài toán tính diện tích của một hình phẳng các em sẽ gặp ở đó những tích phân của các hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối, mà việc tính tích phân này không phải dễ dàng gì đối với tất cả các em học sinh

Hơn nữa, thực tế trong những năm gần đây kể từ khi Bộ giáo dục cải tiến phương thức ra đề theo hình thức 3 chung thì câu hỏi về phần tích phân nói chung hay ứng dụng của tích phân nói riêng có xác suất xuất hiện thường xuyên hơn trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và thi vào các trường Đại học

Với tất cả những lý do trên, cùng với những kinh nghiệm của bản thân đã trực tiếp giảng dạy học sinh lớp 12 và luyện thi Đại học

Tôi mạnh dạn tổng hợp, phân loại và viết bài giảng “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” để trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm

tài liệu giúp các em học sinh ôn luyện trong kỳ thi tốt nghiệp THPT

và thi vào các trường Đại học

Trong bài giảng này tôi đã đề xuất 4 phương pháp để giải

quyết bài toán diện tích hình phẳng, đó là: phương pháp xét dấu,

phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân, phương pháp đồ thị và phương pháp giả định và gần 20 bài tập để

minh họa cho cả 4 phương pháp Sau mỗi lời giải của mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất./

Thạch Thất, ngày 20 tháng 02 năm 2011

Tác giả

Nguyễn Văn Dũng

Trang 2

Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868

Phần thứ nhất KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Công thức Niutơn – Laibơnit

) ( ) ( )

( )

a

b x F dx x f S b

2.2)   

a

b b

a

dx x f dx

b b

a

dx x f dx x f dx x

2.4)      

b

a b

a

dx x g dx x f dx x g x

2.5) k.f(x)dx k f(x)dx (k R)

b

a b

a

dx x g dx x f dx x g x

2.7) Nếu f(x)  0 trên đoạn [a; b] thì  

b

a dx x

2.8) Nếu f(x)  0 trên đoạn [a; b] thì 

b

a dx x

3 8

Bài 2:

Cho Parabol (P): y = x 2 + 1 và đường thẳng d: y = mx + 2

1) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích nhỏ nhất

2) Gọi A(-1;1), B(2; 4) là hai điểm trên (P), tìm điểm M trên cung AB để diện tích tam giác ABM lớn nhất

Bài 3: Parabol

2

xy

2

 chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = 2 2 thành hai phần Tính tỷ số diện tích của chúng

- Hết -

Trang 3

Phần thứ tư BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

3.1 Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], giả sử hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ] sao cho u() = a, u() = b và a  u(t)  b, ta có:    





dt t u t u f dx x f b

a

) ( ' ) ( )

Chú ý: Một số dấu hiệu dùng phép đổi biến

- Hàm lũy thừa u(x)  đặt t = u(x)

a

dx x u x v a

b x v x u dx x v x

u( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

hay   

b

a b

a

du v a

b v u dv

Chú ý: Một số dấu hiệu dùng phép từng phần

Trang 4

dx x f x

x

P f x

dx x f x

P

 ( ).ln ( )  Đặt u = ln f(x)

4 Giá trị tuyệt đối và tích phân chứa giá trị tuyệt đối

4.1 Giá trị tuyệt đối

(

0)()

()(

x f khi x f

x f khi x

f x f

Hệ quả: (ý nghĩa hình học):

a) Xét đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]

- Nếu (C) nằm trên trục hoành thì f(x) 0 với mọi x  [a; b],

khi đó, ta có: |f(x)| = f(x), x  [a; b]

- Nếu (C) nằm trên dưới hoành thì f(x) 0 với mọi x  [a; b],

khi đó, ta có: |f(x)| = - f(x), x  [a; b]

b) Xét đồ thị (C) của hàm số y = f(x) và đồ thị (D) của hàm số

y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]

- Nếu (C) nằm trên (D) trên đoạn [a;b] thì f(x)  g(x) trên [a; b]

a) Nếu f(x)  0 x  [a; b] thì I = 

b

a dx x

f( )  0

b) Nếu f(x)  0 x  [a; b] thì I = - 

b

a dx x

f( )  0

c) Nếu f(x) đổi dấu trên đoạn [a; b],

Nhận xét sau lời giải:

- Đây là một bài tập tương đối khó vì 2 lí do: thứ nhất đây

là bài toán tính diện tích hình phẳng nhưng giả thiết của bài toán chưa được cụ thể, thứ hai đây lại là bài toán cực trị

Trang 5

Mặt khác ta có:

2 2 2 2

)(

0

b

a a

b

a b

 A(- 1; 1) và B( 1; 1)

Câu 2: Gọi A(a; a2) , B(b; b2) ( với giả thiết a < b)

 phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B là: y = (b + a)x –

a b

) (

)

(

2 2

2

a ab b ab b

Vậy MinS =

3

28 Đạt được 

a

ab

3

01

1

b a

a b

c c

a

dx x f dx x f dx x f dx x f

b

a dx x

f( ) |

(Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân)

Trang 6

Phần thứ hai CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Một số bài toán cơ bản

Bài toán 1: Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục

Chú ý:

- Trong thực tế giả thiết của bài toán 1 có thể không cho

trước cận lấy tích phân (tức là không cho x = a, x = b)

- Cho dù giả thiết cho hay không cho cận lấy tích phân, thì

việc đầu tiên ta phải làm là tìm nghiệm của PT f(x) = 0

- Sau đó cần lập công thức tính diện tích của D và sử dụng

1 trong 4 phương pháp sẽ đề cập sau đây để tính diện tích

Bài toán 2: Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

thẳng qua 2 điểm A, B đạt giá trị lớn nhất

2) Gọi d là đường thẳng đi qua I(1; 3), tìm phương trình đường thẳng d sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P)

và d đạt giá trị nhỏ nhất

Nhận xét trước khi giải

- Đây là một bài toán cực trị về diện tích hình phẳng, nên

trước hết ta cần lập công thức tính diện tích S(tức là thiết lập các giả thiết liên quan đến S)

- Với câu 1, trước hết ta cần giả thiết về tọa độ A, B  lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B  diện tích

S

- Với câu 2, thực chất cũng là việc xác định 2 điểm A, B

trên (P) với điều kiện I  AB , khác với câu 1 là xác định

A, B với điều kiện AB = 2

- Sau khi đã tính được S, ta cần sử dụng phương pháp thích

hợp để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S

Câu 1: Gọi A(a; a2) , B(b; b2) ( với giả thiết a < b)

 phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B là: y = (b + a)x –

b

a

x abx x

a b

Trang 7

3

3 5 2

34244



Nhận xét sau lời giải 3:

- Từ hình vẽ ta thấy rằng phần hình phẳng cần tính diện

tích có trục đối xứng là trục hoành nên ta có thể viết S =

S 1 + S 2 , trong đó S 1 là diện tích của hình phẳng được giới

4

Bài 16: Cho (P) y = x 2

1) Gọi A, B là 2 điểm trên (P) sao cho AB = 2, tìm tọa độ A,

B sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường

Xét hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = f(x),

- Sau đó cần cần lập công thức tính diện tích của D và sử dụng 1 trong 4 phương pháp đề cập sau đây để tính diện tích S

Bài toán 3: Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín

Với bài toán này giả thiết có thể cho hình phẳng giới hạn bởi

2 , 3 hay 4 đường cong hoặc nhiều hơn Khi đó để giải quyết bài toán này ta sẽ sử dụng phương pháp đồ thị để tìm lời giải,

ta cần làm theo trật tự sau đây:

- Bước 1: Vẽ đồ thị của tất cả các đường đã cho trên cùng 1

hệ trục tọa độ

- Bước 2: Xác định phần hình phẳng cần tính diện tích

- Bước 3: Tìm hoành độ giao điểm của các đường cong

- Bước 4: Chia nhỏ phần hình phẳng cần tính diện tích bởi các đường thẳng x = c ( x = c chính là hoành độ giao điểm của các đường cong tìm được ở bước 3)

- Bước 5: Lập công thức và tính diện tích S

2 Chú ý

Tương tự (bằng cách coi x là hàm, y là biến) thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = d là:

Trang 8

(trong đó x = f(y), x = g(y) là hai hàm liên tục trên đoạn [c; d])

3 Một số phương pháp tính diện tích của hình phẳng

Bạn đọc thân mến, bản chất của việc tìm diện tích của

một hình phẳng là tính các tích phân có dấu giá trị tuyệt đối,

trong phần này sẽ giới thiệu 4 phương pháp tính tích phân chứa

dấu gái trị tuyệt đối đây cũng là 4 phương pháp tính diện tích

Để xét dấu của biểu thức f(x) trên đoạn [a; b] ta có thể sử

xét dấu trực tiếp hoặc gián tiếp bằng cách giải các BPT tương

ứng Sau đó tách tích phân I thành tổng của các tích phân trên

các đoạn con, mà trên mỗi đoạn con này f(x) không đổi dấu

Chẳng hạn ta có bảng xét dấu của f(x) trên đoạn [a; b] như sau

()

(

Chú ý:

- Để có thể lập được bảng xét dấu của biểu thức f(x) như trên,

trước tiên ta cần tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0 thuộc

đoạn [a; b]

- Xét dấu trực tiếp biểu thức f(x) là việc ta sử dụng bảng xét dấu

như trên (bảng này xét dấu dựa trên các định lý về dấu của các

 (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm có tung độ là y 2 2 và

2 2

0

2

3 22

2

2 2

2

3 2

44

24

4

2 2

0

3

3 52

3 4 2 4

245

21228

y y



2 2

0

2

3 22

2

2 2

2

3 2

44

24

4

2 2

0

3

3 5 2

3 4 2 4

Sau khi giả định kết quả ta thu được S =

15

2152

> 0, nên điều giả định trên là đúng

Lời giải 3: (phương pháp đồ thị)

Trang 9

Từ hình vẽ, nếu ta gọi S là diện tích cần tìm thì S = S1 + S2 ,

trong đó S1 là diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi các

đường y 5 x, y = 3 – x, x =1, x = 4; và S2 là diện tích của

phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y 5 x,

4 6

19



 (đvdt)

- Bằng việc coi x là biến, y là hàm ta cũng đã giải quyết

xong bài toán bằng phương pháp đồ thị, xong vẫn còn hơi

dài và chưa sáng sủa

- Tóm lại khi gặp các bài toán dạng này ta nên sử dụng

- Giả thiết của bài toán này cho cả hai hàm số y2 4x,

 3

2

4 x

y   (có bậc hai đối với y, còn bậc của x là lẻ) nên

ta sẽ coi x là hàm và y là biến Tức là từ giả thiết ta phải

rút x theo y

- Việc coi x là hàm và y là biến không hề ảnh hưởng đến

kết quả bài toán diện tích hình phẳng

- Ta sẽ giải bài toán này theo phương pháp đưa dấu giá trị

tuyệt đối ra ngoài và giả định

Lời giải 1: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài)

- Xét dấu gián tiếp được thực hiện khi việc xét dấu trực tiếp không thực hiện được (ví dụ với biểu thức f(x) = e x – e - x + 2 ta không thể dùng bảng để xét dấu) Khi đó ta đi giải Bất phương trình f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0)

Phương pháp 2: Dùng đồ thị của hàm số

Trong phương pháp này ta cần ghi nhớ các kết quả sau Kết quả 1: Nếu trên

đoạn [a; b] đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục và nằm trên trục hoành thì ta có:





b

a dx x f

= 

b

a dx x

f( )

Kết quả 2: Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục và nằm dưới trục hoành thì ta có:





b

a dx x f

= - 

b

a dx x

Trang 10

Kết quả 3: Nếu trên

Để thực hiện được theo phương pháp này, ta cần tiến hành

theo các bước sau:

 Bước 1: Vẽ đồ thị của các hàm số trong giả thiết trên cùng hệ

trục tọa độ

 Bước 2: Xác định phần hình phẳng cần tính diện tích

 Bước 3: Tìm hoành độ giao điểm của các đường cong tự cắt

 Bước 4: Chia nhỏ phần hình phẳng cần tính diện tích bởi các

đường thẳng x = c (x = c chính là hoành độ giao điểm

của các đường cong tìm được ở bước 3)

 Bước 5: Lập công thức và tính diện tích S

232

2

1

2 3 2

) y ( g ) y ( f

1

2

y 2 2

y 3

y dy

2 y y

( Kết quả S > 0, chứng tỏ điều giả định trên là đúng)

Nhận xét sau khi giải

- Đây là một bài toán đặc biệt mà ta coi y là biến, x là hằng

- Một lời khuyên nhỏ là khi gặp các hàm số mà bậc của y

khác 1 thì ta nên coi y là biến và x là hàm

- Tất nhiên bài này ta vẫn có thể coi x là biến, y là hàm

được, nhưng lời giải có thể không đẹp bằng các cách trên

Lời giải 5: (coi x là biến, y là hàm)

- Trước hết lưu ý rằng: y 2 + x – 5 = 0  y  5 x 

- Hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS y = 3 – x và y 5 x là nghiệm của phương trình: 3 – x  5x  x = 1

- Hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS y 5 x và y  5 x là nghiệm của phương trình: 5x  5x  x = 5

- Hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS y = 3 – x và y  5 x là nghiệm của phương trình: 3 – x  5x  x = 4

Trang 11

5 – y2 = 3 – y  y = - 1 hoặc y = 2 Đặt f(y) = 5 - y2 và g(y) = 3 – y,

232

)()

y y dy

y g y

f

Lời giải 2: (phương pháp đồ thị)

Từ hình vẽ trên, nếu gọi S là diện tích cần tìm, ta có:

( ) (y g y dy y y dy f

“Nếu f(x) giữa nguyên dấu trên [a; b] ta có:



b

a dx x f

b

a dx x

b

a

dx x f dx x f dx x f

|

|)(

|

|)(

|(trong đó  ,  là các nghiệm thuộc đoạn [a; b] của PT f(x) =

0)

 Bước 3: Đưa dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân ra bên

ngoài dấu tích phân, chẳng hạn:

b

a

dx x f dx x f dx x f

()

(

 Bước 4: Tính toán và ra kết quả

Phương pháp 4: Phương pháp giả định

Trong phương pháp 3 ta đã đề cập đến việc đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân, điều này có thể hơi “cồng kềnh” vì khi tích phân ta tính luôn có dấu trị tuyệt đối bên ngoài kèm theo Để khắc phục nhược điểm này ta có thể sử dụng phương pháp giả định sau đây

Trang 12

Giả sử ta phải tính tích phân 

b

a dx x f

S ( ) ( với điều kiện biểu

thức f(x) không đổi dấu trên [a; b]), khi đó ta có thể giả sử:

S = 

b

a dx x

|

|)(

|

|)(

|

(trong đó  ,  là các nghiệm thuộc đoạn [a; b] của PT f(x) = 0

và hiển nhiên rằng trên các đoạn con [a;  ], [ ; ], [; b]

biểu thức f(x) không đổi dấu, tức là f(x) luôn không âm, hoặc

không dương )

- Bước 3: Bỏ dấu || trong tất cả các tích phân và thay vào đó là

các dấu cộng (+) và trừ (-) xen kẽ nhau ( nếu ,  là các

nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ) Trong trường hợp nếu cận nào

đó là nghiệm bội chẵn thì 2 tích phân chung cận đó có cùng một

()

234

)1(

236

)1(5

226

Nhận xét sau lời giải:

- Mới đầu nhìn bài toán có thể thấy hơi khó, nhưng sau khi

cụ thể giả thiết và vẽ đồ thị của các hàm số, ta thấy bài toán thật đơn giản

- Tương tự như bài 10, bài 11- 12, ta không nên sử dụng

các phương pháp: xét dấu, đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài

và phương pháp giả định để giải bài này

Bài 14: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2 + x – 5 = 0 và x + y – 3 = 0

- Giả thiết của bài toán này cho hàm số y2 + x – 5 = 0 (có bậc hai đối với y và bậc một đối với x) nên ta sẽ coi x là hàm và y là biến

- Việc coi x là hàm và y là biến không hề ảnh hưởng đến kết quả bài toán diện tích hình phẳng

- Ta sẽ giải bài toán này theo cả 4 phương pháp

Lời giải 1: (phương pháp xét dấu)

Từ giả thiết: y2 + x – 5 = 0  x = 5 - y2 (P)

và x + y – 3 = 0  x = 3 – y (d) Khi đó phương trình tung độ giao điểm của (P) và (d) là:

Trang 13

; 1 ( ,

1

) ( )

; 1 [ ] 1

; ( ,

1 1

2 2

1 2

2

P x

khi x

P x

khi x

5

) ( 0 ,

5 5

khi x

d x

khi x

x y

Với các lưu ý trên ta thấy rằng bài toán này thuộc bài toán 3,

nên ta sẽ sử dụng phương pháp đồ thị để giải

Lời giải: (phương pháp đồ thị)

- Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số

- Bước 4: Kiểm tra kết quả sau khi tính S

 Nếu kết quả của (1) dẫn đến S = k > 0 thì điều giả định là đúng  Vậy S = k

 Nếu kết quả của (1) dẫn đến S = m < 0 thì điều giả định

là sai, khi đó quay lại bước 3 và đổi dấu cộng (+) thành trừ (-) và trừ (-)thành cộng (+)  S = - m

4 Một số chú ý khi giải bài toán diện tích hình phẳng:

- Trong thực tế có rất nhiều bài tập để việc tính toán bớt phức tạp và trở nên đơn giản ta thường thay đổi vai trò của x và

y cho nhau, tức là x là hàm số và y là biến số, khi đó công thức tính diện tích hình phẳng D của bài toán 1 và bài toán 2 là:





b

a dy y f

b

a

dy y g y f

- Phải điền kí hiệu “đvdt” (đơn vị diện tích) vào kết quả cuối cùng trong các bài toán diện tích hình phẳng

Trang 14

Phần thứ ba BÀI TẬP MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP

Trong phần này sẽ tập trung giới thiệu một số bài tập về

diện tích hình phẳng, với sự đa dạng về giả thiết của bài toán và

được giải bằng cả 4 phương pháp đã trình bày ở trên Tuy nhiên

tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể ta sẽ có những nhận xét về sự

lựa chọn phương pháp giải tối ưu nhất

Bài 1:( Ví dụ 1 – SGK Giải tích 12- trang 115)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x 3 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = 2

- Giả thiết của bài 1 này có đủ giả thiết của bài toán 1

- Đây là bài toán đã được đề cập đến trong phần khảo sát

thực tế, ở đó bài toán này được giải bằng phương pháp

xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối

- Bây giờ ta sẽ giải bài toán này bằng 3 phương pháp nữa,

đó là: phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt ra ngoài,

phương pháp đồ thị và phương pháp giả định

Lời giải 1: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài)

Ta có x3 = 0  x = 0  [- 1; 2], khi đó hình phẳng có diện tích

là:

dx

| x

| dx

| x

| dx

x

S

2

0 3 0

1 3 2

1 0

2 4

x 1

0 4

x dx x dx

x

4 4

2

0 3 0

- Sau khi tách tích phân ta nhận thấy rằng biểu thức f(x) =

x 3 luôn xác định dấu trên các đoạn [- 1; 0] và [0; 2], nên

ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài

Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo chính là phần hình phẳng cần tính diện tích Khi đó diện tích của hình phẳng cần tìm là:

x

dx x

2

4

82

2 ln 4

- Mới đầu nhìn bài toán có thể thấy hơi khó, nhưng sau khi

cụ thể giả thiết và vẽ đồ thị của các hàm số, ta thấy bài toán thật đơn giản

- Tương tự như bài 10, bài 11, ta không nên sử dụng các

phương pháp: xét dấu, đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài và phương pháp giả định để giải bài này

Bài 13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2 1, y  x| |5

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	754,89 KB