Mặt phẳng đặc biệt Cho mặt phẳng () : 2x+y4z 8=0 , cắt trục Ox,Oy,Oz A,B,C Tính thể tích hình chóp VO.ABC ? Giải : mp() cắt Ox A(4;0;0) ( 2x+008=0 => x=4 ) mp() cắt Oy B(0;8;0) ( 0+y08=0 => y=8 ) mp() cắt Oz C(0;0;2) ( +04z8=0 => z=2 ) 1 32 + Thể tích VOABC= OA.OB.OC = 2 = (đvtt) 6 Trong không gian Oxyz cho M(2;1;3) Viết pt mặt phẳng () qua M cắt trục Ox,Oy,Oz A,B,C cho M trực tâm tam giác ABC Giải : + Giả sử () cắt Ox, Oy, Oz A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) x y z + Khi phương trình mp() : + + =1 a b c Vì M () => =1 (1) a b c Véc tơ : AM =(2a;1;3) , BC =(0;b;c) ; BM =(2;1b;3) , AC = (a;0;c) AM.BC M trực tâm tam giác ABC ta có : BM.AC b 3c b 3c 3c (2) a 2a 3c 2 Thay (2) vào (1) ta có : + + =1 c=4; a=6 ;b=12 3c 3c c x y z Phương trình mặt phẳng () : + =1 2xy+3z12=0 12 Trong không gian Oxyz cho Q(3;4;5) Viết phương trình mặt phẳng () cắt tia Ox,Oy,Oz A,B,C cho VO.ABC nhỏ Giải + Giả sử () cắt tia Ox, Oy, Oz A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) Với a,b,c > x y z + Khi phương trình mp() : + + =1 a b c =1 (1) a b c 1 Mà VOABC = OA.OB.OC= abc 6 p dụng bất đẳng thức Cô si ta có : 5 1= 3 abc 27.60 a b c a b c Suy : VOABC 270 Thể tích VOABC nhỏ 270 3 a b c => a=9 ; b=16 ; c =25 3 a b c x y z Vậy phương trình mặt phẳng : + + =1 16 25 4: Viết phương trình mặt phẳng () qua G(2;4;1) () cắt ba trục Ox,Oy,Oz điểm A,B , C cho G trọng tâm tam giác ABC Giải : + Giả sử () cắt Ox, Oy, Oz tai A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) x y z + Khi phương trình mp() : + + =1 a b c + Do G trọng tâm tam giác : a 3x G 0 b 3yG => a= 6; b= 12; c=3 0 c 3z G Vì Q () => x y z + + =1 6 12 Trong không gian Oxyz cho M(1;4;9) Viết phương trình mặt phẳng () cắt tia Ox,Oy,Oz A,B,C cho : OA+OB+OC nhỏ Giải + Giả sử () cắt tia Ox, Oy, Oz A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) Với a,b,c > x y z + Khi phương trình mp() : + + =1 a b c Vì M () => =1 a b c Vậy pt mặt phẳng () : Ta có : OA+OB+OC = a + b + c =a+b+c Xét u =( a ; b ; c ) v =( ; ; ) ; u v =1+2+3=6 a b c =1 u = abc ; v = a b c Mà : u v = u v cos => u.v u v Hay : a b c a+b+c 36 OA+OB+OC nhỏ 36 u , v phương a b c => => a=6 ; b=12, c=18 1 a b c x y z Vậy phương trình mặt phẳng : + + =1 12 18 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình : (x+1)2 +(y+2)2 +(z+3)2 =14 M(1;3;2) Lập phương trình mặt phẳng () qua M cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính nhỏ Giải :Giả sử mp(α) cắt mặt cầu (S) theo Đường tròn tâm H bán kính HB Ta có r = IB2 IH I Vì IB = R = 14 R nhỏ IH lớn B H* M Mà IH ≤ IM Do IH lớn IH =IM Hay IM mp(α) , với I(1;2;3) ; IM =(0;1;1) VTPT (α) Phương trình mp(α) : 0(x+1) 1(y+3) +1(z+2) =0 y+z 1=0 x 2t 7.Trong không gian Oxyz, cho đ.thẳng d: y t Lập phương trình z t mặt phẳng () chứa (d) cho khoảng cách từ A(1;2;3) đến mặt phẳng () lớn C1: Vì mp() chứa đường thẳng (d) => (α) qua M(1;3;0) Và u d =(2;1;1) A Gọi H hình chiếu A lên mp(α) K hình chiếu A lên đường thẳng (d) Ta có K cố đònh => AK không đổi M Khoảng cách : d(A;(α) ) =AH ≤ AK H K α AH lớn AK H K d + Tìm tọa độ K : Vì K d => K(12t;3t; t ) ; AK =(2t ; 1t ; t3) Ta có : AK d => AK u d =0 4t 1(1t) +t3=0 t= 2/3 Và : AK =( ; ; ) 3 3 Mặt phẳng (α) qua M nhận AK làm VTPT có pt : (x1) + (y3) (z0) =0 4x +y 7z +1 =0 3 3 C2: Gọi n =(a;b;c) VTPT mp() ( với a2 +b2 +c2 ≠ 0) Vì mp() chứa đường thẳng (d) => (α) qua M(1;3;0) n u d =0 2ab+c=0 c =2a+b (1) Phương trình mp(α) : a(x1) +b(y3) +cz =0 a(1 1) b(2 3) c.3 Khoảng cách từ A đến mp(α) : d(A;(α)) = a b2 c2 b 3(2a b) 6a 2b 36a 24ab 4b = = = 5a 4ab 2b a b (2a b)2 5a 4ab 2b 36a 24ab 4b , ta cần tìm GTLN T 5a 4ab 2b Nếu b= T= 36/5 36k 24k Nếu b ≠ Đặt a =k.b Suy : T= 5k 4k T(5k2+4k+2)=36k2+24k+4 (5T36).k2 +(4T24).k +2T4=0 (*) Khi 5T 36=0 T = 36/5 : pt(*) có nghiệm Khi T ≠ 36/5 Điều kiện pt (*) có nghiệm ’ ≥ (2T12)2 (5T36)(2T4) ≥ 6T2 +44T ≥ 22 ≤ T ≤ Đặt T= 4T 24 22 a k= =4 hay =4 Chọn b= 1; a=4 2(5T 36) b => a =2.(4)+1= 7 ; n =(4;1;7) Suy Tmax = Phương trình mp(α) : 4(x1) +(y3) 7z =0 4x +y 7z +1 = 8.Trong không gian Oxyz, cho (S) : (x2)2 +(y1)2 +(z+3)2 =9, M(3;2;4) x 2t đ.thẳng d: y 3t Lập phương trình mặt phẳng () qua M song z t song với (d) cho () cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) hình nón đỉnh I, đáy đường tròn (C) tích lớn ( với I tâm mặt cầu ) Giải : Đường thẳng (d) : u =(2;3;1) + Mặt phẳng () qua M(3;2;4) có VTPT n =(a;b;c) Phương trình mp() : a(x3)+b(y+2)+c(z4) =0 Vì d // mp() => n u =0 2a+3bc=0 c=2a+3b (*) + H hình chiếu I lên mp() + Mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo đường I Có bán kính : r = R IH = IH Vh/nón = IH..r2 = IH.(9IH2) *M 3 B H Đặt x=IH với x > Xét hàm số g(x) =x(9x2) =9x x3 Đạo hàm : g’(x) =93x2 x g’(x) =0 93x2 =0 x (loại) Bảng xét dấu : x 3 + g’(x) + + g(x) g(x) g( ) = Vh/nón = IH..r2 = IH.(9IH2) = 2 3 3 Vhình nón lớn 2 IH = tức : d(I;()) = d(I;())= => a 3b 7c a b2 c2 = a 3b 7(2a 3b) 2 a b (2a 3b) a 3b 7(2a 3b) a b (2a 3b)2 = 15a 18b = 5a 12ab 10b 225a2 +540ab +324b2 = 15a2 +36ab +30b2 210a2 +504ab + 294b2 = 70a2 +168ab +98b2 =0 a 1;c Chọn b=1 => a ; c 5 Có hai mp thỏa đk đề : (x3)+(y+2)+(z4) =0 x+y+z +1 =0 (x3)+1(y+2)+ (z4) =0 7x +5y +z +27 =0 5